量子力学讲义第五章
量子力学第五章
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
第五章量子力学的表象变换与矩阵形式共99页文档
1. 量子态的不同表象， 幺正变换 2. 力学量的矩阵表示 3. 力学量的表象变换
5.1量子态的不同表象， 幺正变换
5.1.1 坐标表象
通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.
表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.
平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2， 长度为1，彼此正交，即
A1 A2
（5）A2e2 θ
O e’1
（6）
ee’12 θ A’1
A A1
x1 x’1
R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当 R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。
其转置矩阵表示为
R~csoins csions
变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为
m
m
引进记号
F nm un *(x)F ˆum(x)dx
bn(t) Fˆ am(t)
m nm
这就是 F ˆ(x,t)(x,t)在Q表项中的表述方式。
表示成矩阵的形式：
b1(t) F11 F12 a1(t) b2(t)F21 F22 a2(t)
F ˆ(x,t)(x,t),
bmum(x) Fˆ amum(x),
m
m
两边同乘以u*n(x), 并在整个空间积分
bm un *(x)um(x)dx un *(x)F ˆam(t)um(x)dx
m
m
利用本征函数un(x)的正交性
bmnmbn(t) un *(x)F ˆum(x)da xm(t)
F ˆ(x,t)(x,t)
在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),….
量子力学第五章5.5
2Z r2 a0
2 5Ze s dτ 2 = 8a 0
2 2 2 2 Z2es ⎛ Z − 2 ⎞ Z e s 5Ze s 所以： H ( Z) = − + + 2⎜ ⎟ a0 8a 0 ⎝ Z ⎠ a0 2 2 2 es 2 27e s 5Z ⎞ e s ⎛ = Z − Z = ⎜ Z 2 − 4Z + ⎟ a0 8a 0 8 ⎠ a0 ⎝
(1)
其中 μ 是电子质量； r1 、 r2 分别是第一个电子和第二个电子到核
r r 的距离； r12 = r1 − r2 为两个电子之间的距离；最后一项是两电子
的静电相互作用。 ˆ ˆ ˆ 哈密顿算符也可写成： H = H 01 + H 02 ˆ ψ ( r , r ) = Eψ ( r , r ) 其本征方程为： H r1 r2 r1 r2
则： H ( Z) = ∫∫ ψ
* 100
r * r ˆ ˆ ( r1 )ψ 100 ( r2 )[H 01 ( Z) + H 02 ( Z)
2 es r r ⎛ Z−2⎞ −⎜ ⎟(U 01 + U 02 ) + ]ψ 100 ( r1 )ψ 100 ( r2 )dτ1dτ 2 r12 ⎝ Z ⎠
2 2 2 2 Z2es ⎛ Z − 2 ⎞ Z es es 则： H ( Z) = − + + 2⎜ ⎟ r12 a0 ⎝ Z ⎠ a0 2 es 下面计算 I = : r12
e Z 2 e = ( 3 ) ∫∫ e I= r12 r12 πa 0
3 3 −
2 s
3
2 s
−
2Z ( r1 + r2 ) a0
用微扰法求基态能量时，不仅计算较为烦琐，而且结果也不很准
第五章量子力学的矩阵形式和表象变换
例题： 例题：一维粒子运动的状态是
Axe , x ≥ 0 ψ ( x) = { 0, x ≤ 0
求1）粒子动量的几率分布； ）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量 ）
∞
− λx
∫x
0
ν −1 − µx
e
dx =
1
µ
ν
(ν − 1)! (ν ∈ N 0 )
解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化 由于波函数为归一化，
∫
∞
0
( x − λx )e
2
− 2 λx
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为λ 考虑任意力学量 本征值为λ1, λ 2,…, λ n…,对应的正交本 本征值为 对应的正交本 则任意波函数ψ ） 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数ψ（x）按Q的 的 本征函数展开为 本征函数展开为
P2 H = T +V = + Fx 2m
在动量表象中， 的 在动量表象中，x的 算符表示为
1 ψ p (x) = e 1/ 2 (2πh)
i px x h
i px x h
d i 1 ψ p ( x) = x e 1/ 2 dp h (2πh )
d i ˆ = xψ p ( x) x = ih dp h
总结
直角坐标系中，矢量 的方向由 三个单位矢量基 直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基 三个单位矢量 决定，大小由 三个分量（基矢的系数）决定。 矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。
在量子力学中，选定一个 表象 表象， 在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 看作一组基矢 看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 大小由 系数决定。 系数决定 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（ 希尔伯特（Hilbert）空间 ）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
钱伯初版量子力学教学课件量子力学5.08年
Wn l (r) ~ r 的函数关系
[2，1]
[n，l]
[3，1]
Rn l (r) 的节点数 n r = n – – 1
[4，1]
04
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
r / a0
例2 n=1,=1, m=± 1时，W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 。 在 = π/2时，有最大值。 在 = 0 沿极轴方向（z向） W1,±1 = 0。
Y2pz n = 2, l = 1, m = 0
Y2px n = 2, l = 1
Y2py n = 2, l = 1
第五章 中心力场
§1 中心力场的一般概念 §4 粒子在库仑场中的运动
§5.1 中心力场的一般概念
质量为μ的粒子在中心力场中运动，能量算符为:
Hˆ
pˆ 2
2
V(r )
2
2
2
V (r )
2
2
2
Ze2 r
dV r
F V (r )
dr r
性质:
1.因为r
F
0, 所以角动量守恒
2.Hˆ
(r )
该几率与 角无关
Ψ2 ：原子核外出现电子的概率密度。
(a) 1s的 2
r图及 电子云
例 1. =0, m=0 ， 有 ： W00 = (1/4)，与 也 无关，是一个球对称分 布。
z
(b) 1s电 子 云 的
界面图
y
x
电子云是电子出现概率密度的形象化描述。
氢原子的激发态 1 2s态: n=2, l=0, m=0
a0Wn l(r)
量子力学第五章全同粒子
第五章：全同粒子
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@
November 25, 2019
1 / 23
双粒子体系：
单粒子量子力学体系的状态用波函数 p~r; s3; tq 描写：
p~r; s3; tq 是粒子空间位置坐标~r，自旋角动量 s3 以及
时间参数 t 的函数.
考虑 N 个全同粒子组成的多粒子体系，设其量子态用波函数
Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qNq 描写， qi（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N）代表第 i 个粒子的全部坐标（例如
包括空间坐标与自旋）. 设 Pˆij 表示交换第 i 个粒子与第 j 个粒子 的全部坐标的线性算符：
PˆijΨpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qNq “ Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qj; ¨ ¨ ¨ ; qi; ¨ ¨ ¨ ; qNq
粒子的全同性意味着 Ψ 与 PˆijΨ 描写的是同一个量子态，它们最 多可以相差一个非零的常数因子 c，
PˆijΨ “ c Ψ
8 / 23
两端再作用一次 Pˆij，得：
Ψ “ Pˆ2ijΨ “ c PˆijΨ “ c2 Ψ;
ù c2 “ 1; c “ ˘1
所以，全同粒子体系的波函数必须满足下列关系之一：或者关于 交换任意两个粒子对称：
PˆijΨ “ Ψ
或者关于交换任意两个粒子反对称：
PˆijΨ “ ´Ψ
迄今一切实验表明，全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子 的自旋角动量有密切的关系：
s13 ;s23
›
›
以下仅考虑有效势能不显含时间的情形. 此时，通过分离变 量可求得薛定谔方程一组完备的特解：
中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
量子力学(周世勋)课后答案-第五章
量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为00ˆˆ()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即2004ze U r rπε=-（）在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为ˆˆ()HT U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区域， 200()()4Ze U r U r r πε=-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0ˆˆˆHH H '=+得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以认为(0)ˆˆHH '<<，视为一种微扰。
对于基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ，2422(0)1222e s s m Z e Z e E a =-=-由ˆH '引起的一级修正为 ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故102≈-r a Ze 。
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
量子力学第五章12
考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程
将方程中（q
ih
由于Hamilton 量对于（q i ,q 调换不变
,q
j
) 调换，得：
∂ Φ ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) ∂t ˆ = H ( q1 , q 2 , L q j L q i L q N , t )Φ ( q1 , q 2 , L q j L q i L q N , t )
⎤ ⎡ h2 2 − ∇ i + U (q i , t )⎥ + ∑1 ⎢ 2 μ i= ⎦ ⎣ 为第 i 个粒子的坐标和自旋。
N
∑
N
i< j
V (qi , q j )
即：
调换第 i 和第 j 粒子， 体系 Hamilton 量不变。
ˆ ˆ H ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) = H ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t )
2
所以
λ = ± 1，
ˆ Ρ ij 本征值 ˆ Ρ ij 本征值
对称波函数是 反对称波函数是
λ = + 1 的本征态； λ = − 1 的本征态。
物理工程学院
（三）波函数对称性不随时间变化
SCHOOL OF PHYSICS AND ENGINEERING
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以 后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。 设全同粒子体系波函数 Φs 在 t 时刻是对称的，由体系哈密顿 量是对称的，所以 HΦs 在t 时刻也是对称的。
物理工程学院
Φ ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) = λ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 中心力场§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22()2V r μ=-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即ˆ0l t∂=∂ˆˆ[,]0l H = 222221ˆ()22l H r V r r r r rμμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ()2ˆ,,z H l l构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭径向方程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()()l l r R r rχ=；径向方程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。
一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。
在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。
对于非束缚态，E 是连续变化的。
对于束缚态，则E 取离散值。
在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，二、 径向波函数在r →0邻域的渐近行为：()()2222222()120l l l r E V r l l dR d R R dr r dr r r μ⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦假定V (r )满足：2lim ()0r r V r →=薛定谔方程在0r →邻域表示为：()222120l l l l l dR d R R dr r dr r++-=； (3) 在正则奇点r =0邻域，设()s l R r r ∝，代入(3)式，得：222(1)2(1)0s s s s s r sr l l r ----+-+=；⇒(1)(1)s s l l +=+解出：1s l =，或2(1)s l =-+， 即当r →0时,1l R r ∝或(1)2l R r -+∝根据波函数平方可积条件，因此要求：r →0时，l l R r ∝的解才是物理上可以接受的。
或等价地，要求径向方程(2)的解()()l r rR r χ=满足 0lim ()0l r r χ→=三、两体问题化为单体问题两个质量分别为m 1和m 2的粒子，相互作用12()V r r -只依赖于相对距离。
这个二粒子体系的能量本征方程为：22221212121212[()](,)(,)22T V r r r r E r r m m -∇-∇+-ψ=ψ (5) E T 为体系的总能量。
引入质心坐标R 和相对坐标r112212m r m r R m m +=+12r r r =-可以证明222212121111R m m M μ∇+∇=∇+∇ 其中12M m m =+——体系的总质量，1212m m m m μ=+——约化质量或折合质量2222222RX Y Z ∂∂∂∇=++∂∂∂，2222222x y z∂∂∂∇=++∂∂∂（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）二粒子体系的能量本征方程(5)化为：2222[()]22R T V r E M μ-∇-∇+ψ=ψ (6) 此方程可分离变量，令()()R r φψψ=代入(6)式，得22()()2R C R E R Mφφ-∇=(7) 22[()]()()2V r r E r ψψμ-∇+= T C E E E =- (8) 式(7)描述质心运动，是能量为E C 的自由粒子的能量本征方程，E C 是质心运动能量。
即质心按能量为E C 的自由粒子的方式运动，),,(Z Y X φ就是平面波。
这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。
式(8)描述相对运动，E 是相对运动能量。
可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m 理解为约化质量，E 理解为相对运动能量。
§5.4 氢原子氢原子的原子核是一个质子，带电+e ，在它的周围有一个电子绕着它运动)10~(8cm r -。
它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）2()e V r r=-这是一个两体问题。
按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数()()l l r rR r χ=满足下列方程：()22222120l l l l d e E dr r r μχχ⎡⎤+⎛⎫++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(1) 及边条件 (0)0l χ= 式中μ为电子的约化质量，e p e pm m m m μ=+，m e 和m p 分别为电子和质子的质量。
书本采用自然单位，即在计算过程中令1e μ=== ，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。
()22222120l l l l d e E dr r r μχχ⎡⎤+⎛⎫++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(1) r =0,∞是微分方程的两个奇点。
r →0时，()22210l l l l d dr rχχ+-=；1()l l r r χ+∝，或()l l r r χ-∝ 只有()()l r rR r χ=→0是满足要求的，所以r →0，1()l l r r χ+∝r →∞时，22220l l d Edr μχχ+=，考虑束缚态，E <0()r l r e βχ±∝，β=，考虑到平方可积性，()r l r e βχ-∝；试探解为：1()()l r l l r r e u r βχ+-=，代入径向薛定谔方程，并化简：()()22()212()21()0l l l me ru r l r u r l u r ββ⎡⎤'''++--+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦变量变换：2r ξβ=，得到：[]22222(1)10d u du me l l u d d ξξξξβ⎡⎤++--+-=⎢⎥⎣⎦（合流超几何方程） 即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：()220d u duu d d ξγξαξξ+--=， 参数：2(1)2l γ=+≥，221me l αβ=+- ；解的一般形式：(),,u F αγξ=()()211...12!αααξξγγγ+=++++b νννξ=∑，()()()()()()1111121!b ναααανγγγγνν++⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-， ν→∞时，11b b ννν+→，无穷级数解：(),,F e ξαγξ→发散（2r ξβ=可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，0,1,2,...α=--即可满足中断条件； 即：221me l αβ=+-r n =-，0,1,2,...r n = 221r me l n β=++n =， 0,1,2,...l =，0,1,2,...r n =，1,2,...n = 即：2222me n β⎛⎫= ⎪⎝⎭，222n m E β= 2424m e n = ； 一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：42212n e E n μ=- 2212e a n=-， (2) 玻尔半径：22a eμ= 0.53oA =，主量子数：n ， 二、氢原子的波函数与E n 相应的径向波函数()()l l r R r rχ=可表示为/2(,22,)l nl r R e F n l ξξξ-∝-+ 归一化的径向波函数为()/2()1,22,2l nl nl R r N e F n l l ξξξ-=-+++，2r naξ=)3/23/202l nl n N a β+=[]220()1nl R r r dr ∞=⎰氢原子的束缚态能量本征函数为),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =,3,2,1=n ；1,,2,1,0-=n l ；l m ±±±=,,2,1,0 。
定态波函数),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =是氢原子体系H ˆ、2ˆl 和ˆzl 的共同本征函数。
22ˆˆ(,,)(1)(,,)ˆn nlm nlm z H E l r l l r m l ψθϕψθϕ⎫⎫⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎭能级简并度电子的能级n E 只与主量子数n 有关，而波函数nlm ψ却与三个量子数n ，l ，m 有关，因此能级n E 是简并的（1=n 除外）。
给定n ，l 可能1,,2,1,0-n 共n 个；给定l ，m 可取l ±±±,,2,1,0 共)12(+l 个。
因此，对应于第n 个能级n E 的波函数就有212]1)1(2[1)12(n n n l n l =+-+=+∑-=个，也就是说，电子的第n 个能级是2n 度简并的。
例1、设氢原子处于状态 123211210010132211100612131612131),,(--++=++=Y R Y R Y R r ψψψϕθψ求氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的可能值及其几率，并求其平均值。
三、氢原子核外电子的几率分布当氢原子处于ψnlm 态时，在),,(ϕθr 点周围的体积元ϕθθτd drd r d sin 2=内发现电子的几率为2*(,,)(,,)nlm nlm nlm nlm dW r d r d d ρθϕτψθϕτψψτ===人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云” 1、在(r , r +d r )球壳中找到电子的几率——径向分布2220()()sin nl dW r r dr r drd d ππρψθθϕ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ππππϕθθϕθθ0202222022sin sin d d Y dr r R d drd r Y R lm nl lm nldr r r R nl 22)(=2()nl r dr χ=即，22()()nl nl r R r r ρ=称为径向几率密度或径向分布函数。