高二数学会考立体几何专项训练.doc

学业水平测试模块检测（立体几何）

一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A ．若m ∥α, n ∥β,α∥β,则m ∥n

B ．若βα??n m ,,m ∥n 则α∥

β

C ．若m ⊥β,m ∥α,则α⊥β

D ．若β?m ,α⊥β,则m ⊥α

2．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积等于( )

A.

π3

28 B.

π316 C. 83

4

+π D. π12 3．下列命题正确的是（ ）

Ａ.垂直于同一直线的两条直线平行 Ｂ.若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条

Ｃ.若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交Ｄ.一条直线至多与两条异面直线中的一条相交

4．如图S 为正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成角为( ) A ．90o B ．60o C．45oD ．30o 5．设βα,为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若;//,,//βαβαl l 则? ②若;//,//,//,,βαββαα则n m n m ?? ③若;,,//ββα⊥⊥

a l l 则④ααα⊥⊥⊥??l n l m l n m 则且,,,,

其中真命题的序号是( ) A ．①③④ B ．①②③

C ．①③

D ．②④

6．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60o

，则该棱锥的体积为（ ）A.3 B.6

C.9

D.18

7．下面四个命题：其中正确的两个命题是（ ）Ａ．①与② Ｂ．②与③ Ｃ．③与④ Ｄ．②与④

①若直线a //平面α，则α内任何直线都与a 平行②若直线a ⊥平面α，则α内任何直线都与a 垂

③若平面α//平面β，则β内任何直线都与α平行④若平面α⊥平面β，则β内任何直线都与α垂直

8．一条直线与一个平面所成的角等于

3π，另一直线与这个平面所成的角是6

π

. 则这两条直线的位置关系（ ）A ．必定相交B ．平行 C ．必定异面 D ．不可能平行

9．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A ．75

°B ．60°C ．45°D ．30°

10．1∥2，a ，b 与1，2都垂直，则a ，b 的关系是（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面

11．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π

12．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ） A.

38π

B. 328π

C. π28

D. 3

32π

13．如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ） A. BD B. CD C. BC D. 1CC

14．互相平行的三条直线，可以确定的平面个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ． 3或1

15．若m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的个数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

①//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα??⊥?⊥?

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分。把答案填在题中的横线上）

16. 四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的

角等于______

17.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积

为_____cm 2

.

18.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角

的大小是

19. 棱长为2的正方体内切球的表面积为 20.在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意

一条

直线m ∥平面β，则βα//；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线n ⊥直线m ，

则n ⊥α；

④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面内的射影是三角形的外心；

俯视图

8

5

5

8

侧(左)视图

8

5

5

A

B

C

D

E

F

⑤若平面β内的直线m垂直于平面α，那么β⊥α；其中正确的命题为________ (填上所有

正确命题的序号)

一、选择题答题卡：班级：_______姓名：___________考号：_______

二、填空题答题卡： 16、_________17、_________18、__________ 19、__________20、

__________

三、解答题（本大题有5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤）

21．如图，在四面体ABCD中，CB=CD,BD

AD⊥，点E，F分别是AB,CD的中点．

求证：（1）直线EF// 面ACD；（2）平面⊥

EFC面BCD．

22．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱

111

ABC A B C

-中，

1

3

3,5,,4

5

AC AB CAB AA

==∠==，点D是AB的中点．

（1）求证：

1

AC BC

⊥；（2）求证：

1

AC//平面

1

CDB。

23．如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB

是

等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD

（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角。

24.如图, 已知正三角形PAD, 正方形ABCD, 平面PAD⊥平面ABCD, E为PD的中

点.

⑴求证：CD AE

⊥;⑵求证：AE⊥平面PCD;

⑶求直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦值。

25.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a

2,点E在PD 上，且PE:ED=2:1

（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的

大小；

学业水平测试模块检测（立体几何）答案

一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B7．B 8．D 9．C 10．D 11．D 12．B

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

答案

A

C

E

P

13．A14．D 15．C

二、填空题16. 60° 17. 80

18. 60o

19. π4 20. ②④⑤

三、解答题（本大题有5小题，满分40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ∥?面ACD ，AD ?面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD

又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ，∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD

22. （１）证明：在ABC ?中，由余弦定理得4BC =，∴ABC ?是直角三角形，AC CB ∴⊥． 又1CC ⊥Q 平面ABC ，AC ?平面ABC ，1,AC CC ∴⊥AC ∴⊥平面11BCC B ，

1AC BC ∴⊥．

（２）证明：连接1BC 交1BC 于E ，则E 为1BC 的中点．连接DE ，则在1ABC ?中，

DE //1AC ．

又DE ?平面1CDB ，则1AC //平面1CDB ．

23.（I ）证明：在矩形ABCD 中，BC ⊥AB 又∵面PAB ⊥底面ABCD 侧面PAB ∩底面ABCD=AB

∴BC ⊥侧面PAB 又∵BC ?侧面PBC ∴侧面PAB ⊥侧面PBC ）

（II ）解：取AB 中点E ，连结PE 、CE 又∵△PAB 是等边三角形 ∴PE ⊥AB 又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角

332

3

22=+===

BC BE CE BA PE 在Rt △PEC 中，∠PCE=45°为所求

24. ⑴ 证：∵ CD AD ⊥, 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =, ∴ CD ⊥平面PAD . ∵ AE ?平面PAD , ∴ CD AE ⊥. ⑵ 证：∵

PAD V 是正三角形, E 为PD 的中点,∴ AE PD ⊥.∵ AE CD ⊥,

CD PD D =I , ∴ AE ⊥平面PCD .

⑶ 解：∵ AE ⊥平面PCD , ∴ ACE ∠为直线AC 与平面PCD 所成的角. 设

AB a =, 由

PAD V 是正三角形, ABCD 是正方形, 得3

2

AE a =

, 2AC a =. ∴ 在Rt AEC V 中, 362sin 42a

AE ACE AC a

∠===.即 直线AC 与平面PCD 所成的角的大小的正弦值为

6

4

。 25. 证明： 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2

知PA ⊥AB 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD

（Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD 知EG ⊥平面ABCD 作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，

则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角 又PE : ED=2 : 1，

所以.3

3

60sin ,32,31a AG GH a AG a EG =?===

从而 ,33tan ==GH EG θ .30?=θ 定时一练：

1、设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD ，∠ABC=∠DBC=120°. 求：（I ）直线AD 与平面BCD 所成角的大小； （II ）异面直线AD 与BC 所成的角的大小； （III ）二面角A －BD －C 的平面角正切值大小.

2、三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥 B —APQC 的体积是（ ）A ．V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3

2

解：1、（1）如图9－7－3所示，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，

连结DH ，故∠ADH 为直线AD 与平面BCD 所成的角.由题设知，△AHB ≌△DHB ，则DH ⊥BH ，AH=DH.∴∠ADH=45°为所求.

（2）∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.

（3）过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知AR ⊥BD ，故∠ARH 为

二面角A －BD －C 的平面角的补角.设BC=a ，则由题设得AH=DH=

a 23，BH=a 2

1

，BD=BC=a . 在△HDB 中，求得HR=a 43.∴ta n ∠ARH=HR

AH

=2. 故二面角A －BD －C 的正切

值大小为－2.