2013-2014年宁夏银川一中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2013-2014学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈Z，x2+2x+1≤0”的否定是（）A．∃x∈Z，x2+2x+1＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+1＞0C．∀x∈Z，x2+2x+1≤0D．∀x∈Z，x2+2x+1＞02．（5分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．3．（5分）设集合，则A∩B的子集的个数是（）A．2B．4C．6D．84．（5分）如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=7．（5分）一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，﹣2，﹣3），（0，1，0），（0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（）A．1B．C．D．8．（5分）过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF=，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B 的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 11．（5分）已知向量分别是空间三条不同直线l1，l2，l3的方向向量，则下列命题中正确的是（）A．B．C．l1，l2，l3平行于同一个平面⇒∃λ，μ∈R，使得D．l1，l2，l3共点⇒∃λ，μ∈R，使得12．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中真命题的序号为．14．（5分）过点M（1，1）作一直线与椭圆+=1相交于A，B两点，若M 点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为．15．（5分）抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则的最大值为．16．（5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是．三．解答题（满分70分）17．（10分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．18．（12分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．19．（12分）已知点P（x0，y0）是椭圆上的一点．F1、F2是椭圆C 的左右焦点．（1）若∠F1PF2是钝角，求点P横坐标x0的取值范围；（2）求代数式的最大值．20．（12分）已知动圆过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足•=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）在四棱锥P﹣OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；（2）求二面角P﹣AB﹣O的余弦值．22．（12分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB 的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．2013-2014学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈Z，x2+2x+1≤0”的否定是（）A．∃x∈Z，x2+2x+1＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+1＞0C．∀x∈Z，x2+2x+1≤0D．∀x∈Z，x2+2x+1＞0【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈Z，x2+2x+1≤0”的否定是：∀x∈Z，x2+2x+1＞0．故选：D．2．（5分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设椭圆C的方程为=1，则c=，e==，∴a=2，∴b2=1，∴椭圆的方程为，故选：B．3．（5分）设集合，则A∩B的子集的个数是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：集合A为双曲线，B为指数函数的图象，作出两个曲线对应的图象，由图象可知两个曲线的交点个数为3个，∴A∩B共有3个交点，∴A∩B的子集的个数是23=8，故选：D．4．（5分）如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，，∴=．又，∴=．故选：C．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．7．（5分）一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，﹣2，﹣3），（0，1，0），（0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（）A．1B．C．D．【解答】解：设A（1，﹣2，﹣3），B（0，1，0），C（0，1，1），D（0，0，1），则B、C、D三点在平面xoz内，=（0，0，1），=（0，1，0），∵•=0，∴BC⊥DC底面三角形BCD为直角三角形，且|BC|=|DC|=1，其面积S=×1×1=；三棱锥的高为1，∵A的横坐标为1，∴A到平面xoz的距离为1，∴三棱锥的体积V=××1=．故选：D．8．（5分）过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q（﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|=6当且仅当Q，P，F2共线，即kPF2=kQF2，即=，上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，知a2=45，b2=36，∴椭圆的方程为+=1．故选：C．9．（5分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF=，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，设AD=2a，则AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=AB=2a．==a2．在△AGC中，AC=CG=2a，AG=2a，∴S△ACG设B到平面AGC的距离为h，则由V C=V B﹣AGC可得，﹣ABG∴h=，∴GB与平面AGC所成角的正弦值为=．10．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B 的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：∵在△ABC中，cos2B＞cos2A⇔1﹣2sin2B＞1﹣2sin2A⇔sin2B＜sin2A ⇔sinA＞sinB⇔A＞B故A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件，即命题p为真命题；∵x∈（0，），∴函数y=+tanx+2﹣1≥2﹣1=1，∴命题q为真命题；由复合命题真值表知，p∧q为真命题；p∧（￢q）为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∧￢q为假命题，故选：A．11．（5分）已知向量分别是空间三条不同直线l1，l2，l3的方向向量，则下列命题中正确的是（）A．B．C．l1，l2，l3平行于同一个平面⇒∃λ，μ∈R，使得D．l1，l2，l3共点⇒∃λ，μ∈R，使得【解答】解：A．由l1⊥l2，l2⊥l3，可得与共面，但是不一定共线，因此不正确；B．由l1⊥l2，l2∥l3，可得l1⊥l3，∴，∴与不共线，因此不正确；C．l1，l2，l3平行于同一个平面⇒，，共面⇒∃λ，μ∈R，使得，因此正确；D．l1，l2，l3共点．可知l1，l2，l3不一定共面，因此，，不一定共面，故推不出：点∃λ，μ∈R，使得，因此不正确．综上可知：只有C正确．故选：C．12．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中真命题的序号为①③．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“不等边三角形的三个内角相等”，显然不正确．正确命题有①③．故答案为：①③．14．（5分）过点M（1，1）作一直线与椭圆+=1相交于A，B两点，若M 点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为4x+9y﹣13=0．【解答】解：由题意，直线AB的斜率存在，设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0设A、B的横坐标分别为x1、x2，则=1，解之得k=﹣故AB所在直线的方程为，即为4x+9y﹣13=0．故答案为：4x+9y﹣13=0．15．（5分）抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则的最大值为．【解答】解：不妨设抛物线方程为：y2=2px（p＞0），焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2pm，m＞0，设M 到准线x=﹣的距离等于d，则=====．令，t＞﹣，则m=∴==≤=（当且仅当t=p2时，等号成立）．故的最大值为，故答案为．16．（5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2，①取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=，∵两边之和大于第三边∴＜2，得0＜a＜，（负值0值舍）②由①②得0＜a＜．故答案为：（0，）．三．解答题（满分70分）17．（10分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．【解答】证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线的方程可设为；代入抛物线方程得y2﹣2pmy﹣p2=0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=﹣p2．因为BC∥x轴，且点c在准线x=﹣上，所以点c的坐标为（﹣，y2），故直线CO的斜率为．即k也是直线OA的斜率，当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．所以直线AC经过原点O．18．（12分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：设=a，=b，=c，根据题意，|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0，∴=b+c，=﹣c+b﹣a．∴•=﹣c2+b2=0．∴⊥，即CE⊥A′D．（2）=﹣a+c，∴||=|a|，||=|a|．•=（﹣a+c）•（b+c）=c2=|a|2，∴cos＜，＞==．即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．19．（12分）已知点P（x0，y0）是椭圆上的一点．F1、F2是椭圆C 的左右焦点．（1）若∠F1PF2是钝角，求点P横坐标x0的取值范围；（2）求代数式的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆，∴a2=5，b2=1，∴c=，∴椭圆的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），要使∠F1PF2=θ为钝角，满足cosθ＜0即可，在△F1PF2中，根据余弦定理得：=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|，∵cosθ=＜0，只要＜0，又根据椭圆的第二定义知：|PF1|=e|x0+|，|PF2|=e|x0﹣|，|F1F2|=2c，∴＜0，[e||]2+[e||]2﹣（2c）2＜0，∴+，∵e=，a=，c=2，∴，∴．∴点P横坐标x0的取值范围{x0|}．（2）∵点P（x0，y0）是椭圆上的一点，∴=1﹣，∴=1﹣+2x0=﹣（x0﹣5）2+6，∵﹣，∴在[﹣，]上是增函数，∴当时，代数式取最大值为1﹣+2=．20．（12分）已知动圆过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足•=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），过点M作直线x=﹣1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|即动点M到定点F与到定直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x；（2）由题可设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0）由得y2﹣4ky+4k=0；△=16k2﹣16k＞0⇒k＜0ork＞1设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=4k由，即x1x2+y1y2=0⇒（k2+1）y1y2﹣k2（y1+y2）+k2=0，解得k=﹣4或k=0（舍去），∴直线l存在，其方程为x+4y﹣4=0．21．（12分）在四棱锥P﹣OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；（2）求二面角P﹣AB﹣O的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．连接OB，易知△OBC为等边三角形，，则D（0，1，1），．又易知平面AOP的法向量为，由，得，又∵BD⊄平面AOP，∴BD∥平面AOP（2）在△OAB中，OB=2，∠AOB=∠ABO=30°，则∠OAB=120°，由正弦定理，得，即，∴，．设平面PAB的法向量为，由，令，则y=﹣1，z=1，即又平面OABC的法向量为，∴．∴二面角P﹣AB﹣O的余弦值为22．（12分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB 的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，∴，（8分）故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。