东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试 数学理 Word版含答案
2015年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)
2015年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．32．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜03．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=﹣2i，则|z1|=（）A．1B．C．2D．44．（5分）已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为（）①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．35．（5分）已知向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，||=2，点A的坐标为（3，﹣4）．则点B坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（5，﹣8）D．（﹣8，5）6．（5分）函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=7．（5分）阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A．7B．8C．9D．108．（5分）设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．4πD．π10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1B．0C．2D．﹣211．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．12．（5分）若函数y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣l]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为．14．（5分）设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计得ξ～N（520，14400），从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有辆．（附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξμ+3σ）=0.9974）15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若=+，则||的取值范围是．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（I）证明：{a n+2}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log2（a n+2），T n为数列{}的前n项和，若T n＜a 对正整数a都成立，求a的取值范围．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人．（I）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计（Ⅱ）由列表中的数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC⊥平面ACC1A1．（1）求证：M是棱BB1的中点；（2）求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，斜率为﹣l的直线l 交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为﹣．（I）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；（Ⅱ）求+的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当a=﹣时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD 是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）．（I）用x，y，θ0表示m，n；（Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证：（Ⅰ）++≤（Ⅱ）++≥．2015年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．3【解答】解：集合M={x|x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}={x|﹣1＜x＜3，x∈Z}={0，1，2}，所以集合M的真子集个数为：23﹣1=7个．故选：B．2．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0【解答】解：根据否命题的定义，x＞1的否定是：x≤1；x＞0的否定是：x≤0，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是：“若x≤1，则x≤0”．故选：A．3．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=﹣2i，则|z1|=（）A．1B．C．2D．4【解答】解：根据复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，可得|z1|=|z2|，再根据z1z2=﹣2i，可得|z1|•|z2|=|z1•z2|=|2i|=2，∴|z1|=，故选：B．4．（5分）已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为（）①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，在b上一点作a'∥a，则m⊥a'，b所在的平面，同理，n垂直a'b所在的平面所以m∥n；故①正确；对于②，若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线或者相交；故②错误；对于③，若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线或者相交；故③错误；所以正确的命题只有①；故选：B．5．（5分）已知向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，||=2，点A的坐标为（3，﹣4）．则点B坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（5，﹣8）D．（﹣8，5）【解答】解：由题意可得||==，∴•=||•||•cosπ=•2•（﹣1）=﹣10．设点B的坐标为（a，b），则=（a﹣3，b+4），由•=1×（a﹣3）+（﹣2）（b+4）=﹣10，求得a﹣2b=1 ①．再根据向量与向量=（1，﹣2）的夹角为π，可得（a﹣3，b+4）=k（1，﹣2），k＜0，即b=2﹣2a ②．结合①②求得a=1，b=0，故点B的坐标为（1，0），故选：A．6．（5分）函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=【解答】解：f（x）=sinx+sin（﹣x）=sinx+cosx+sinx=sin（x+），∴x=是函数f（x）=sinx+sin（﹣x）的图象的一条对称轴，故选：D．7．（5分）阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1满足条件n≤m，S=，n=2满足条件n≤m，S=+，n=3…满足条件n≤m，S=++…++=（1﹣）+（）+…+（）+（）=1﹣=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框内的条件应该为：n≤9．故选：C．8．（5分）设F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|+|=2，则∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由椭圆+y2=1，得a=2，b=1，c=，，则，即=12，由|+|=2，得，∴，即，∴∠F1PF2=．故选：D．9．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．4πD．π【解答】解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（2﹣r）2+（）2，∴r=，∴三棱锥外接球的表面积为4π×=9π，故选：B．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1B．0C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[﹣（x+3）+1]=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）=﹣f[（x+1）+1]=﹣f[﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f（0）=0，∵当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，∴f（3）=0，f（4）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，故选：B．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为d==，∵以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，∴2=a，∴2（c4﹣a2b2）=3a2c2，∴2c4﹣2a2（c2﹣a2）=3a2c2，∴2e4﹣5e2+2=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．12．（5分）若函数y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣l]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：解：∵y=sin2x+acosx在区间（0，π）上是增函数，∴y′=cos2x﹣asinx＞0，∴1﹣2sinx2﹣asinx＞0，即﹣2x2﹣ax+1＞0，x∈（0，1]，∴a＜﹣2x+，令g（x）=﹣2x+，则g′（x）=﹣2﹣＜0，∴g（x）在（0，1]递减，∴a＜g（1）=﹣1，故答案为：a＜﹣1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为16．【解答】解：∵（x﹣2）4=x4﹣8x3+24x2﹣32x+16∴（x+1）（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为24﹣8=16．故答案为：16．14．（5分）设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计得ξ～N（520，14400），从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有6826辆．（附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξμ+3σ）=0.9974）【解答】解：ξ～N（520，14400），则μ=520，σ=120，所以P（400，640）=P（520﹣120，520+120）=0.6826，所以每月汽油费用在（400，640）之间的私家车估计有l0000×0.6826=6826．故答案为：6826．15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若=+，则||的取值范围是[2﹣2，2+2] ．【解答】解：如图所示，设MN中点为G（x，y），由PG=GN，得G点轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=6，又PQ=2PG，所以﹣≤PG≤+，所以2﹣2≤PQ≤2+2故答案为：[2﹣2，2+2]．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）．（I）证明：{a n+2}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log2（a n+2），T n为数列{}的前n项和，若T n＜a 对正整数a都成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题设S n=2a n﹣2n（n∈N*），S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n﹣1），n≥2，两式相减得a n=2a n﹣1+2，即a n+2=2（a n﹣1+2），又a1+2=4，所以{a n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，a n+2=4•2n﹣1，即a n=2n+1﹣2（n≥2）又a1=2，所以a n=2n+1﹣2（n∈N*）；（Ⅱ）解：因为b n=log2（a n+2）=log22n+1=n +1，即有==﹣，故T n=﹣+﹣+…+﹣=﹣＜，依题意得：a≥．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人．（I）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．青年人合计中年人经常使用微信不经常使用微信合计（Ⅱ）由列表中的数据，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（Ⅲ）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．附：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：下面2×2列联表：青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常使用微信55560合计13545180…（4分）（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K2=≈13.33＞10.828所以有99%的把握认为经常使用微信与年龄有关．…（8分）（III）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为=由题意，X～B（3，），所以：E（X）=3×=．…（12分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC⊥平面ACC1A1．（1）求证：M是棱BB1的中点；（2）求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AC中点O，连OB．在平面ACC1A1上过O作AC垂线交A1C1于N．∵平面ACC1A1⊥平面ABC．∴ON⊥平面ABC，如图：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系由已知：A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），A1（2，0，5），B1（0，2，5），C1（﹣2，0，5），M（0，2，m），…（3分）设=（x，y，z）为平面A1MC法向量，，取x=5，z=﹣4，y=2m﹣5，即：=（5，2m﹣5，﹣4），又=（0，1，0）为平面ACC1A1法向量依题意：，解得m=∴M为棱BB1的中点…（8分）（2）由（1）知：=（5，2m﹣5，﹣4）为平面A1MC法向量又=（0，0，1）为平面ABC法向量∴cos＜＞==﹣，∴平面A1MC与平面ABC所成锐二面角余弦值为．…（12分）20．（12分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，斜率为﹣l的直线l 交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为﹣．（I）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值；（Ⅱ）求+的最大值．【解答】解：（I）设直线l的方程为：y=﹣x+b，将它代入C：y2=4x得：x2﹣2（b+2）x+b2=0，令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=2（b+2），x1x2=b2，y1+y2=﹣（x1+x2）+2b=﹣4，…（3分）因为△PAB重心的纵坐标为﹣，所以y1+y2+y P=﹣2，所以，y P=2，x P=1．所以k1+k2=+===0所以：k1+k2=0．…（6分）（Ⅱ）+=+==，…（8分）由△=16（b+1）＞0得b＞﹣1，又l不过P点，则b≠3．令t=b+3，则t＞2且t≠6．则+===≤=当t=，即t=2，b=2﹣3时，+的最大值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）当a=﹣时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：，依题意得：，解得：；（Ⅱ）证明：当时，，∴．∴对x∈（1，+∞）成立，即：f′（x）在（1，+∞）上为增函数，又f′（1）=0，故f′（x）＞0对x∈（1，+∞）成立，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数；（Ⅲ）解：由f（x）≥g（x），得：（x≥1），设（x≥1），∴h′（x）=（x+1）e x﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[e x﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]（x≥1），设k（x）=e x﹣1﹣a（x﹣1）﹣1（x≥1），∴k′（x）=e x﹣1﹣a．①当a≤1时：k′（x）≥0对x∈[1，+∞）成立，又k（1）=0，故k（x）≥0，即：h′（x）≥0．又h（1）=0，故h（x）≥0；②当a＞1时：由k′（x）=0，得x=1+lna＞1，当x∈（1，1+lna）时：k′（x）＜0，又k（1）=0，故：k（x）＜0，即：h′（x）＜0，又h（1）=0，故h（x）＜0这与已知不符．综上所述：实数a的取值范围为（﹣∞，1]．四、选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD 是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【解答】（Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，得△ACE∽△BCA，∴，∴CE•AB=AE•AC；…（5分）（Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACF=∠BCD，∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD∴△ACF∽△BCD，∴=，∴CF=DF．…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知点P的直角坐标是（x，y）．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是（ρ，θ），点Q的极坐标是（ρ，θ+θ0），其中θ0是常数．设点Q的平面直角坐标是（m，n）．（I）用x，y，θ0表示m，n；（Ⅱ）若m，n满足mn=1，且θ0=，求点P的直角坐标（x，y）满足的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，和，即：，所以：，（Ⅱ）由题意知：，所以：，．整理得：．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c＞0，a+b+c=1．求证：（Ⅰ）++≤（Ⅱ）++≥．【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3，∴++≤．（Ⅱ）由柯西不等式得：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（++）≥（•+•+•）2=9∴++≥．。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷
东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．１．已知集合2{0,},{30},A b B x Z x x ==∈-<若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2=（ ）Ａ． Ｂ．i - Ｃ．)i Ｄ．1i +３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“c o s2c o s2A B <”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量a,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．3 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．2７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上 任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，C A C B =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 12．函数()lg(1)sin2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空（3/g m μ）DCBAFE（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若AE ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB 与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积. 21．（本题满分12分）。
2024届东北三省三校第一次联考数学试题+答案
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2024年2月东北三省三校高三一模数学试题
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东北三省三校联考的意义
东北地区最具影响力的高考联合模拟考试，一个是三省四市联合模拟考试，另一个是三省三校联合模拟考试，三省四市模考由东北F4市教研院组织，参加学校基本为四市市重点高中。
三省三校联考由东北排名第一的高中东北师大附中，哈尔滨市排名第二的高中哈师大附中以及辽宁省实验中学联合举办，参加学校多为省重点高中，两类考试在东北享有很高的声誉，为莘莘学子备考提供重要参考!
高三模拟考试和高考哪个更难
这个回答没有绝对的答案，因为每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。
而且因为考生的成绩不同，对于考卷的难易程度判断也不同。
所以这个问题没有确切的答案。
如果按照总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。
所以如果基础知识打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。
高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的知识点，与大家传统意义上的难度不通。
相比高考的难度，模拟考要更难一点。
因为模拟考的目的是希望通过考试来判断学生对知识点的掌握情况，如果过于简单就起不到探底的目的。
东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试物理试卷_word版含答案剖析
哈尔滨师大附中2015年高三第一次联合模拟考试东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第33~40为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14 ~18题只有一项符合题目要求；第19 ~ 21题有多项符合要求。
全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）14．物理关系式既可以反映物理量之间的关系，也可以确定单位间的关系。
高中物理学习中常见的单位有m（米）、s（秒）、N（牛顿）、C（库仑）、F（法拉）、Wb（韦伯）、Ω（欧姆）、T（特斯拉）、V（伏特）等，由它们组合成的单位与电流的单位A（安培）等效的是A．2TmΩsB．NsTmC．2WbmD．FV15．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点。
B点在y轴上且∠BMO = 60°，O′为圆心。
现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，如所用时间分别为t A、t B、t C，则t A、t B、t C大小关系是A．t A < t C < t BB．t A = t C < t BC．t A= t C = t BD．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系16．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在墙上，一个小物块（可视为质点）从A 点以初速度v0向左运动，接触弹簧后运动到C点时速度恰好为零，弹簧始终在弹性限度内。
【2015东北三校二模】东北三省三校2015届高三第二次高考模拟考试_数学(理)_Word版含答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2015年高三第二次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ．8 B ．7 C ．4 D ．32．命题“若x >1，则x >0”的否命题是 A ．若x ≤l ，则x ≤0 B ．若x ≤l ，则x >0 C ．若x >1，则x ≤0 D ．若x <1，则x <03．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1z 2=-2i ，则|z 1|=A ．1BC ．2D ．44．已知a ，b ，m ，n 是四条不同的直线，其中a ，b 是异面直线，则下列命题正确的个数为 (D 若m ⊥a ，m ⊥b ，n ⊥a ，a ⊥b ，则m ∥n ； ②若m ∥a ，n ∥b ，则m ，n 是异面直线；③若m 与a ，b 都相交，n 与a ，b 都相交，则m ，n 是异面直线． A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知向量AB u u u r与向量a =(1，-2)的夹角为π，||AB =u u u r ，点A 的坐标为(3，-4)，则点B的坐标为A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(5，-8)D ．(-8，5) 6．函数2()sin sin()3f x x x π=+-图象的一条对称轴为 A ．2x π=B ．x π=C ．6x π=D ．3x π=7．阅读程序框图，若输出结果910S =，则整数m 的值为A ．7B ．8C ．9D ．108．设F 1、F 2分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且12||23PF PF +=u u u r u u u u r，则12F PF ∠= A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为A ．16πB ．9πC ．4πD ．π10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x +是偶函数，当x ∈(2，4)时，()|3|f x x =-，则(1)(2)(3)(4)f f f f +++=A ．1B ．0C ．2D ．-211．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x ya b+=截得的弦长为6a ，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 12．若函数1sin 2cos 2y x a x =+在区间(0，π)上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．(一∞，一l] B ．[一1，+∞) C ．(一∞，0) D ．(0，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．)13．4(1)(2)x x +-的展开式中含3x 项的系数为 。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2015届高考数学一模试卷(文科)【解析版】
东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或22．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3510．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10 D．1111．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10 C．11 D．12二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．[来源:Z#xx#]16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；[来源:Z_xx_] （2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1B．2C．3D．1或2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．[来源:学.科.网]3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故选C．点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用．4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ．利用（+）⊥（2﹣），可得（+）•（2﹣）=+=0，即可解出．解答：解：设向量与的夹角为θ．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=+==0，化为cosθ=0，∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．故选：C．点评：本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．∴该三棱锥的体积V===．故选：B．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点坐标，设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的数量积运算和余弦函数的单调性即可得出．解答：解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）•（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，连结OD，OC判断棱锥的特征，求解体积即可．解答：解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD与ACB 都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，∴AD=BD=AC=BC=，DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD•（AO+OB）==故选：A．点评：本题考查球的内接体知识，几何体的体积的求法，空间想象能力以及计算能力．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．解答：解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8B．9C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+s in+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，所以讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，m需要满足，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可．解答：解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选D．点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9B．10 C．11 D．12考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解答：解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，[来源:学科网ZXXK]结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．点评：本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式性质及其前n项和公式即可得出解答：解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，a4+a6+a2010+a2012=8，∴2（a1+a2015）=8，∴a1+a2015=4，∴S2015==4030．故答案为：4030．点评：本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，属于基础题．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．解答：解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．点评：本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．解答：解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，[来源:学+科+网]由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．[来源:学科网ZXXK]∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得．解答：解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[﹣，），∴sin（2θ﹣）∈[﹣，1]，∴1+sin（2θ﹣）∈[，2]，∴f（θ）的取值范围为：[，2]点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…（2分）∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（5分）（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF 是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A﹣BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．解答：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，[来源:学+科+网Z+X+X+K]∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A﹣BDEF=2×=2×=．点评：本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．[来源:学_科_网]考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，利用点（2，0）在圆上及被y轴所截得的弦长为4，计算即可；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，通过将点P（1，2）代入抛物线y2=4x并与直线l1联立，计算可得直线AB的斜率，不妨设l AB：y=﹣x+b，利用直线AB与圆C相切可得b=3或1，分b=3、b=1两种情况讨论即可．解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），点P（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，k AB===﹣1，不妨设l AB：y=﹣x+b，∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，当b=3时，直线AB过点P，舍去，当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，此时△=32，∴|AB|==8，∴P到直线AB的距离d=，△PAB的面积为=4．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h （x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x （0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x （0，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．解答：证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）[来源:学+科+网Z+X+X+K]=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．点评：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】[来源:学*科*网]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试-文科综合
哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试文科综合能力测试东北师大附中 辽宁省实验中学12．中国人民银行决定，自2014年11月22日起下调金融机构人民币贷款和存款基准利率。
当前我国经济运行总体平稳，此次下调贷款和存款基准利率，重点是发挥基准利率对企业和居民的引导作用。
下列选项符合央行此举目的的是A ．促进货币回笼，释放通货膨胀压力B ．降低融资成本，激发企业投资需求C ．增加货币投放，促进经济快速增长D ．拓宽投资渠道，促进居民收入增长13．图5是“环境库兹涅茨曲线”，它指出在后工业化阶段，技术效应和结构效应超过规模效应，环境质量随着经济增长逐步改善。
为加速拐点到来，我国可以采取的措施是①加快转变经济发展方式，促进经济结构升级 ②推动中西部地区快速发展，增强发展持续性 ③实施创新驱动战略，提高科技自主创新能力 ④扩大能源和资源投入，进一步扩大生产规模 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．②③14．粮食是关系国家经济安全的重要战略物资，粮食安全与社会的和谐、政治的稳定、经济的持续发展息息相关。
为保障粮食安全，需要增加粮食供给，下列选项中正确的是①加大科技投入→大力发展转基因技术→提高谷物生产能力→增加粮食供给 ②降低人民币汇率→降低粮食进口成本→提高粮食进口量→增加粮食供给③加大对农业的财政补贴→增加神粮农民收入→提高粮食生产积极性→增加粮食供给④深化农村土地制度改革→引导土地承包经营权有序流转→发展农业适度规模经营→增加粮食供给A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④15．领导人借出访之机推销产品，为双方签署大单提供支持，是和平发展时代的一种国际惯例。
李克强总理2014年五次出访签定近1400亿美元大单。
其中“铁路单唱主角，中土集团获得的尼日利亚131亿美元铁路大单，刷新了我国对外承包工程单体合同额最高记录；“能源单”金额高，其中英国石油公司与中国海洋石油总公司签署的液化天然气供应协议，达200亿美元。
(优辅资源)东北三省三校高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2018年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2.( )3.( )4.( )5.( )A.2B.16.( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若( )A.4，8B.4，4C.12，16D.15，188.( )称9.的图象不可能是( )A B C D10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )11.( )12.( )[)0,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13._____________.14._____________.15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。
甲说：是乙做的。
乙说：不是我做的。
丙说：不是我做的。
则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(1)(2)18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。
在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1(1)手机支付与年龄有关”？(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为52人，这2人中至少有1人是不使19..(1)(2).20.1(1)(2).21.(1)(2)1.22.)(1)(2).23.(1)(2).2018年三省三校一模考试文科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C 10.C 11.C 12.A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．．．丙 16三、解答题（本大题共70分）17.（本小题满分12分）解：18.（本小题满分12分）解：(Ⅰ1:故有99.5%.(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中：1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b ，则从这个样本中任选2人有(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种其中至少有1人是不使用手机支付的(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种，19.（本小题满分12分）=SO MO O∴⊥平面SOMAC20.（本小题满分12分）解：a =M 为椭圆C故椭圆C=2c=BP斜率必存在，AE由对称性易知直线AEAE过定点（1，0）.21. （本小题满分12分）解：.1.22. (本小题满分10分）解：时，点(0,π0,0）满足方程23.（本小题满分10分）解：6，2018年三省三校一模考试文科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C 10.C 11.C 12.A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．．．丙 16三、解答题（本大题共70分）17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）………4分当时，，符合上式………5分所以( (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）………7分………12分18.（本小题满分12分）解：(Ⅰ1………2分:………4分………6分.........7分故有99.5%. (8)分(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：1,2,3不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b，………9分则从这个样本中任选2人有(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种其中至少有1人是不使用手机支付的(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种，………11分………12分19.（本小题满分12分）………3分=………4分SO MO O………5分………7分∴ (10)分因此，………12分20.（本小题满分12分）解：a=M为椭圆C故椭圆C 标准方程为：………3分=2c=BP (6)分斜率必存在，AE (7)分由对称性易知直线AE………11分AE过定点（1，0）. (12)分21. （本小题满分12分）解：………2分………4分上递在上递增；)减. ………5分1.………7分………9分………11分………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号.22. (本小题满分10分）解：=时，点0,0）满足方故曲线的直角坐标方程为即………3分曲线：………5分，………8分，即P A Q………10分23.（本小题满分10分）解：综上：不等式的解集为………5分当且仅当即时有最小值6，………8分即………10分。
东北三省三校2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题含答案解析
哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i - D.1i+3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A .3- B.3C.13D.13-4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.235.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55B.70- C.30D.25-6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A.9πB.36πC.4πD.4π37.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C .若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP=D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是311.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.14.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.18.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅【答案】C 【解析】【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求M N ⋂即可.【详解】由对数函数的性质可得：不等式()2log 212x -≤成立，需要满足202124x <-≤=，解得1522x <≤，即15(,]22N =，且{}1,2M =，则M N ⋂={}1,2M =，故选：C.2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i -+B.1i --C.1i- D.1i+【答案】A 【解析】【分析】先由i 1i z ⋅=-，得到1iiz -=，利用复数的除法运算法则求出z ，进而求出复数z 即可.【详解】由于i 1i z ⋅=-，得1i (1i)(i)1i i i (i)z --⋅-===--⋅-，则1i z =-+，故选：A.3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A.3- B.3C.13D.13-【答案】B 【解析】【分析】借助奇函数的性质计算即可得.【详解】()()383f f =-=--，故()38f -=，故()()23383af -=-+=-，解得3a =.故选：B.4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】先求直线AB 的斜率，再求过左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程，求出点D 的坐标后，由关系式2OD DB =得出关于,,a b c 的方程，化简即可.【详解】由椭圆C ：22221x y a b +=的方程可得：(,0),(0,),(,0)A a B b F c --，其中c =则00()AB b b k a a-==--，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程为：()by x c a=+，将0x =代入该直线方程，可得点D 的坐标为(0,bca，若2OD DB = ，则23bc b a =，得23c a =.故选：D.5.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55 B.70- C.30D.25-【答案】C 【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()5x y -，有()()55155C 1C k kk k k k kk T x y x y --+=-=-，令2k =，有()2252232351C 10T x y x y -=-=，令3k =，有()3353323451C 10T x y x y -=-=-，则()32233221101030x x y x y x y y ⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，故()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为30.故选：C .6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A .9πB.36πC.4πD.4π3【答案】B【解析】【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.【详解】如图，设P 在底面ABCD 的射影为H ，则PH ⊥平面ABCD ，且H 为,AC BD 的交点.因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且12AH =⨯=，故1641633PH ⨯⨯=，故4PH =.由正四棱锥的对称性可知O 在直线PH 上，设外接球的半径为R ，则4OH R =-，故()2284R R =+-，故3R =，故正四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为4π936π⨯⨯=，故选：B.7.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】B 【解析】【分析】求导()222e2e xx f x a -'=+-，令()()222e 2e 0x x g x a x -=+-≥，利用导数判断函数()g x 的单调性，再由a 分类讨论即可得解.【详解】由()22e e xx f x ax -=--，得()222e 2e x x f x a -'=+-，令()()222e2e 0xx g x a x -=+-≥，则()224e4e xx g x -'=-，因为函数224e ,4e x x y y -==-在[)0,∞+上都是增函数，所以函数()224e4e xx g x -'=-在[)0,∞+上是增函数，所以()()00g x g ''≥=，所以函数()222e2e xx g x a -=+-在[)0,∞+上是增函数，所以()()min 04f x f a ''==-，当4a ≤时，()222e2e 40xx f x a a -'=+-≥-≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，满足题意；当4a >时，则存在()00,x ∈+∞，使得()00f '=，且当[)00,x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以()()000f x f <=，故()0f x ≥不恒成立，综上所述，a 的取值范围是(],4∞-.故选：B.8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1a >，1b <，1c <，即可得a b >，a c >，再比较b 与c 的大小关系，借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，结合放缩计算即可得.【详解】10331ee a >==，11ln110b =<，ln 2.2110c =<，故a b >，a c >，要比较11ln 10与ln 2.210的大小，即比较1011ln 10⎛⎫ ⎪⎝⎭与ln 2.2的大小，等价于比较()101.1与2.2的大小，等价于比较()91.1与2的大小，又()()()()98441.1 1.1 1.1 1.1 1.21 1.1 1.2=⨯=⨯>⨯()()221.1 1.44 1.1 1.4 1.11.962=⨯>⨯=⨯>，故()91.12>，即11ln2.2ln 1010>，即b c >，故c b a <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b 与c 的大小关系，可借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C.若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n 项和公式逐项分析判断即得.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，对于A ，374a a +=，1937989(1)9()22S a a a a ++===，A 正确；对于B ，11515815()1502a a S a +=>=，则80a >，116168916()8()02a a S a a +==+<，则890a a +<，980a a <-<，因此22898989()()0a a a a a a -=+-<，即2289a a <，B 错误；对于C ，5634122()()17a a a a a a +=+-+=，则675483252()()a a a a a a +=++=-，C 正确；对于D ，设{}n a 的公差为d ，由810a S =，得1171045a d a d +=+，解得1938d a =-，则9111189369()019S a d a a =+=->，1011815(2)038S a a =-<，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP= D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是3【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出()1,0F 及准线方程，由抛物线定义得到PF PA =，当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到PQ PF ≥；C 选项，求出()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，求出直线PF 的方程，得到81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求出23QF FP = ；D 选项，得到PF PQ =，由抛物线定义得到点Q 与点A重合，由等边三角形的性质结合2WF =得到4PQ PF ==，从而求出点P 的横坐标.【详解】A 选项，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，设准线与x 轴交点为W ，过点P 作PA ⊥抛物线C 的准线，垂足为A ，由抛物线定义可知，PF PA =，则PQ PF PQ PA +=+，故当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，显然，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，最小值为1OW =，故2PQ PF PA +=的最小值为2，A 正确；B 选项，由A 选项知PQ PA PF ≥=，当点Q 与点A 重合时，等号成立，故B 正确；C 选项，当点P 的纵坐标为4时，令24y x =中的4y =得，4x =，故()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，直线PF 的方程为014041y x --=--，即4340x y --=，4340x y --=中，令=1x -得83y =-，故点81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时()82,,3,43QF FP ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时23QF FP =，C 错误；D 选项，若PQF △是等边三角形，则PF PQ =，因为PF PA =，所以PA PQ =，即点Q 与点A 重合，则PQ ⊥y 轴，则π3PQF QFW ∠=∠=，又2WF =，则224πcos3WFQF ==⨯=，所以4PQ PF ==，故点P 的横坐标是413-=，D 正确；故选：ABD11.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732【答案】ABD 【解析】【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A ：10分钟或10分钟以内到家只能是A B C D →→→，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为11112228⨯⨯=，故A 正确；选项B ：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于1553=步，可能顺时针A D →走5步概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可能逆时针A D →走3步概率为31128⎛⎫= ⎪⎝⎭，或者逆时针A D →走5步，即概率为31313C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率概率为1131832324++=，故B 正确；选项C ：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即A H G F E D →→→→→，概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以逆时针走5步，概率为51515C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率为153532321632+=≠，故C 错误；选项D ：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为2116677C C C 7232++=，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据面积公式和数量积的定义可求tan A =，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.【详解】因为22ABC S AB AC=⋅△，故1sin cos 2AB AC A AC A = ,故tan A =，故A为锐角，故sin 3A =，132=，故答案为：3.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.【答案】5【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，则PA AD ⊥，PA AB ⊥，又四边形ABCD 是正方形，则AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AP AB AD分别为,,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，且2PA AB ==，则()0,0,2D ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，又M 是线段PB 的中点，则()1,1,0M ，则()1,1,2DM =- ，()2,0,0AP = ，则6cos ,626AP DM AP DM AP DM ⋅==⋅，设异面直线DM 与PA 所成角为θ，即6cos cos ,6AP DM θ=<>=，则230sin 1cos 6θθ=-=，所以sin tan 5cos θθθ==，即异面直线DM 与PA 5.514.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.【答案】274【解析】【分析】求出圆心()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，和()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，利用垂径定理得到AB =，表达出ABC S =，换元后得到面积的最大值.【详解】()2249x y -+=的圆心()4,0M ，半径为3，则()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，解得297k <，()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，AB =，故12ABCS AB h =⋅==t =，由于3d =<，故34t <，则6ABCS === ，当328t =时，ABC S取得最大值，最大值为274=.故答案为：274四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）22y x =+（2）单调递减区间为π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z 【解析】【分析】（1）先求原函数的导函数，再求出0x =处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；（2）求()f x 的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式()0f x '≤的解集即可.【小问1详解】由于()sin 22cos f x x x =+，其导函数为：()2cos 22sin f x x x =-'，得：()02f '=，()02f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()220y x -=-，即22y x =+；【小问2详解】由于()2cos 22sin f x x x =-'，得：()()()22212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x =--=-+-'，若()0f x '≤，则()222sin sin 10x x -+-≤，即()()22sin 1sin 10x x --+≤，由于1sin 1x -≤≤，则sin 10x +≥，只需1sin 2x ≥即可，解得π5π[2π,2π66x k k ∈++，k ∈Z ，故()f x 的单调递减区间为：π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z .16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1313【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出DB =，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；（2）利用台体体积公式求出11DD =，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.【小问1详解】底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=︒ ，60DAB ∴∠=︒.4DA = ，8AB =，由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+-⨯︒=，DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，1DD DB ∴⊥，又DA ⊂ 平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，且1DA DD D = ，DB ∴⊥平面11ADD A ，又1AA ⊂ 平面11ADD A ，1DB AA ∴⊥.【小问2详解】四棱台中1111ABCD A B C D -的体积为2833，(111113ABCD A B C D V S S ∴=++，(11111283133DD AD DB A D D B ∴=⋅⋅⋅+⋅+，1133DD ∴=⋅⋅11DD =.如图，以点D 为原点，DA ，DB ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()4,0,0A，()0,B，()4,C -，()10,B ，()4,0,0BC ∴=-，()10,BB =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则有140n BC x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以(0,1,n = 平面11ADD A 的法向量为()0,1,0m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ，则cos cos ,13m nm n m n θ⋅====.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.【答案】（1）甲班（2）25，35（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则需要求()P A B 和()P A B ，而这需要先求()P B A 和()P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，最后用贝叶斯公式求解即得；（3）先求出X 的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得X 的分布列.【小问1详解】由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.【小问2详解】由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分；乙班中有34的学生分数低于128分设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则()12P A =，()12P A =，()12P B A =，()34P B A =，()()()()()()()1131522428P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅=⨯+⨯=()()()()()()11222558P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====()()()()()()13324558P A P B A P AB P A B P B ⨯====所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为25，35.【小问3详解】依题X 的所有可能取值为0，1，2，3()3064310C C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===()1264310C C 32C 10P X ===，()0364310C C 14C 30P X ===所以X 的分布列为：X123P161231013018.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析（3）3⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）设出M 、N 两点坐标，借助点差法计算即可得；（2）联立直线与双曲线方程，可得与M 、N 两点坐标有关韦达定理，通过计算0EM EN ⋅=即可得MEN 为直角三角形；（3）设直线AB 方程为：x my n =+，()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，结合题意计算可得()()()()22222244554545332331x y xy x x y y λλλ-+-+-=+，又224430x y -= ，225530x y -=，可得()245453132x x y y λλ+-=，联立直线AB 与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得()222316312n m λλ+-=-，结合面积公式计算即可用λ表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.【小问1详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则122x x +=，126y y +=，M ，N 两点在双曲线C 上，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩①②，由①－②得22221212220x x y y a b ---=，即2221222212y y b x x a -=-，()()()()2121221212y y y y b x x x x a+-∴=+-，22OQ MNb k k a ∴⋅=，即2213b a∴⋅=，223b a ∴=，又1a = ，23b ∴=，∴双曲线C 的方程为：2213yx -=；【小问2详解】由已知可得，直线MN 的方程为：()311y x -=⋅-，即2y x =+，联立22222470330y x x x x y =+⎧⇒--=⎨--=⎩，1656720∆=+=>，则122x x +=，1272x x =-，()()()()112212121,1,11EM EN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()12121212112225x x x x x x x x =--+++=+++722502⎛⎫=⨯-++= ⎪⎝⎭，EM EN ∴⊥，EMN ∴△为直角三角形；【小问3详解】由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+，设()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，AP PB λ=，()()34345353,,x x y y x x y y λ∴--=--，()()4533453345345311x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+∴⇒⎨⎨-=-+⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，点P 在双曲线C 上，22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴-=，()()()2224545331x x y y λλλ∴+-+=+，()()()()22222244554545332331x y x y x x y y λλλ∴-+-+-=+③，又224430x y -= ，225530x y -=，()()245452331x x y y λλ∴-=+，()245453132x x y y λλ+∴-=④，联立()222223031630x y m y mny n x my n⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，()2222231033Δ3612310m m m n n m ⎧-≠⎪⇒≠±⎨=-->⎪⎩，452631mn y y m -+=-⑤，2452331n y y m =-⑥，A ，B 分别在第一象限和第四象限，450y y ∴<，2310m ∴-<，由④式得：()()()245453132my n my n y y λλ+++-=，()()()22245453131332m y y mn y y n λλ+∴-+++=⑦，将⑤⑥代入⑦得：()()2222223136313331312n mn m mn n m m λλ+--++=--，()222316312n m λλ+-∴=-，12132323sin 2433AOB S OA OB AOB y y ∴=⋅⋅∠=⋅⋅⋅⋅△212231n y y m ===-()231122λλλλ+⎫==++⎪⎭令()1h λλλ=+，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数性质可得()h λ在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,2上单调递增，()102,3h λ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，433AOB S ∴∈⎦△.【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用λ表示出该三角形面积，难点在于计算.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）2；（ⅱ）9841【解析】【分析】（1）借助二进制的定义计算可得()()832S n S n +=+，()()432S n S n +=+，即可得证；（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出()260111100=，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从1n =到511n =中，()0I n =、()1I n =、L ，()9I n =的个数，即可得()51112I n n =∑.【小问1详解】32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0183112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0143112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，()()8343S n S n ∴+=+；【小问2详解】（ⅰ）()54321260321684121212120202111100=+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()602I ∴=，（ⅱ）()021121=⨯=，()8765432102511121212121212121212111111111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故从1n =到511n =中，()0I n =有()21、()211、L 、()2111111111共9个，()1I n =有111128C C C ++⋅⋅⋅+个，由11121289C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有29C 个()2I n =有222238C C C ++⋅⋅⋅+个，由22232389C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有39C 个……，()9I n =有89891C C ==个，()511021329899912922C 2C 2C I n n ==⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯∑11223399999922222C C C C ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=001122339999999C C C C C 2222212⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=()912198412+-==.【点睛】关键点点睛：本体最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到()021121=⨯=，()2511111111111=，通过组合数的计算得到()0I n =、()1I n =、L 、()9I n =的个数，再结合组合数的性质计算得到结果.。
2015东北三省三校一模联考数学(文)试题
东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．１．已知集合2{0,},{30},A b B x Z x x ==∈-<若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2=（ ）Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．)i Ｄ．1i +３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos 2cos 2A B <”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量a,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ）Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上 任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 12．函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量（3/g m μ）DCBAFE（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若AE =ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB 与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积.21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求实数a 值； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <．①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ． 请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
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哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试
理科数学试卷 东北师大附中
辽宁省实验中学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知集合{|21}Axx，2{|20}Bxxx，则AB等于 A．{|01}xx B．{|01}xx C．{|01}xx D．{|21}xx
2．复数212ii
A．2(2)i B．1 + i C．i D．-i 3．点(1,1)M到抛物线y = ax2准线的距离为2，则a的值为
A．14 B．112
C．14或112 D．14或112 4．设Sn是公差不为零的等差数列{}na的前n项和，且a1 > 0，若S5 = S9，则当Sn最大时，n = A．6 B．7 C．8 D．9 5．执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的 A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
开始
结束 输入t 0S 1k
3sinkSS tk 1kk
输出S 否 是 6．下列命题中正确命题的个数是 ①对于命题p：xR，使得210xx，则p：xR，均有210xx；
②p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件； ③命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题； ④“1m”是“直线l1：(21)10mxmy与直线l2：330xmy垂直”的充要条件。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A．6 B．8 C．10 D．12 8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦
点F到一条渐近线的距离为d，若||3FBd，则双曲线离心率的取值范围是 A．(1,2] B．[2,)
C．(1,3] D．[3,)
9．不等式组2204xy表示的点集记为A，不等式组220xyyx表示的点集记为B，在A中任取一点P，则PB的概率为 A．932 B．732 C．716 D．916
10．设二项式*1() ()2nxnN展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则1212nn
aaabbb
A．123n B．12(21)n C．12n D．1 11．已知数列{}na满足：3215334nannm，若数列的最小项为1，则m的值为 A．14 B．13 C．14 D．13
12．已知函数211 (0)()2ln(1) (0)xxfxxx，若函数()()Fxfxkx有且只有两个零点，则k的取值范围为 A．(0,1) B．1(0,)2 C．1(,1)2 D．(1,)
第II卷（非选择题，共90分）
第7题图 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．向量a，b满足||1a，||2b，()(2)abab，则向量a与b的夹角为__________。 14．三棱柱ABC - A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB = 120°，CA = CB =23，AA1 = 4，则这个球的表面积为__________。 15．某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有__________种不同选课方案（用数字作答）。 16．已知函数sin()2cos() (0)yxx的图象关于直线x = 1对称，则sin2__________。 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知ΔABC的面积为2，且满足04ABAC，则AB和AC的夹角为θ。 （1）求θ的取值范围； （2）求函数2()2sin()3cos24f的取值范围。
18．（本小题满分12分） 为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2。 频率分布表1 频率分布直方图2 分组（岁） 频 数 频 率 [20,25) 5 0.050
[25,30) 20 0.200
[30,35) ① 0.350
[35,40) 30 ②
[40,45] 10 0.100
合 计 100 1.000
（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者的平均年龄； （2）在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。 19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点。 （1）求证：EF∥平面PAD； （2）若PA = 2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二
面角 Q - AP - D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分） 已知椭圆22221 (0)xyabab的左右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且AF2与x轴垂直。 （1）求椭圆的方程； （2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求ΔAOB面积的最大值。
A B C D
P F E 21．（本小题满分12分） 已知a是实常数，函数2()lnfxxxax， （1）若曲线()yfx在x = 1处的切线过点(0,2)A，求实数a的值； （2）若()fx有两个极值点x1，x2（x1 < x2）
①求证：102a；
②求证：211()()2fxfx。 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲 如图，在ΔABC中，∠ABC = 90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M。 （1）求证：DE是圆O的切线； （2）求证：DE · BC = DM · AC + DM · AB。
23．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是3212xtmyt（t为参数） （1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）设点(,0)Pm，若直线l与曲线C交于A，B两点，且||||1PAPB，求实数m的值。
24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||2|fxxx。 （1）解不等式()0fx；
（2）若0xR，使得20()24fxmm，求实数m的取值范围。
C D
M O B
E A 2015年东北三省三校第一次高考模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B A B C A A C B C 二、填空题
13．90° 14．64π 15．84 16．45 三、解答题 17．解： （1）设ΔABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，
则由已知：1sin22bc，0cos4bc， ……4分
可得，tan1，所以：[,)42 ……6分 （2）2()2sin()3cos2[1cos(2)]3cos242f (1sin2)3cos2sin23cos212sin(2)13 ……8分 ∵[,)42，∴22[,)363，∴π22sin(2)133 即当512时，max()3f；当4时，min()2f 所以：函数()f的取值范围是[2,3] ……12分 18．解： （1）由表知：①，②分别填35、0.300补全频率分布直方图如下： ……2分
年龄（岁） 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
20 25 30 35 40 45 50
频率 组距