11.5几何证明举例(3)
11[1].5__几何证明举例(1)
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11.5《几何证明举例》导学案（1）课本内容：P130—131 例1 例2课前准备：直尺学习目标：1. 会证明下列定理：SAS ASA2. 能根据上述定理证明有关的命题3、养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯一. 自主预习课本P130——131的内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）二. 回顾课本P28-31 P120—121思考下列问题：1、SAS 定理的内容2、ASA 定理的内容3、几何证明的过程的步骤三、巩固练习1、在ΔABC 和ΔDEF 中，按照下列给出的条件，能用“SAS ”公理判断ΔABC ≌ΔDEF 的是（）A 、AB=DE ∠A=∠D BC=EFB 、AB=EF ∠A=∠D AC=DFC 、AB=BC ∠B=∠E DE=EFD 、BC=EF ∠C=∠F AC=DF2、．如图5—47，△ABC≌△CDA，并且BC ＝DA ，那么下列结论错误的是 ()A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．AB ＝AD D ．∠B＝∠D3． :如图,点B 在AE 上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC ≌ΔABD,可补充的一个条件是ED CB A4． :如图,AE=AD,要使ΔABD ≌ΔACE,请你增加一个条件是5、:如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使ΔABC ≌ΔAED 的条件有( )个.A. 4B. 3C. 2D. 16：已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD四、学习小结回顾这一节所学的，看看你学会了吗？五、达标检测1、如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 （ ）A ．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙2．如图,已知MB ＝ND,∠MBA ＝∠NDC,下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ）A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完EDC AB 21ED CBA EC BA全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去5．如图5—54，已知△ABC≌△DEF，AF＝5cm，(1)求CD的长，(2)AB与DE平行吗?为什么?解：(1)∵ △ABC≌DEF(已知)，∴ AC＝DF( )．∴ AC－FC＝DF－FC(等式性质)．即_________＝_________．∵ AF＝5cm∴ _________＝5cm．(2)∵ △ABC≌△DEF(已知)，∴ ∠A＝__________( )．∴ AB∥_________( )．6：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DC∥ABAODBC六、布置作业。
初中几何证明公式及经典例题
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
三.证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
求证：EC＝ED
证明：作DF//AC交BE于F
是正三角形
是正三角形
又AE＝BD
即EF＝AC
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示， 。
求证：
证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE
在 和 中，
证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF
则易证
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
几何证明举例复习
对应练习： 综训 P129 6题
角平分线定理
定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
逆定理： 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。 例题： 综训127页，例4
等腰三角形相关定理：
判定定理： 等角对等边 性质定理： （1）等边对等角 （2）三线合一 推论： （1）等边三角形的每个角都等于60º （2）直角三角形中，30º 角所对的直角边等于 斜边的一半。 例题： 综训127页，例3
几何证明举例复习
知识回顾 全等三角形相关定理：
（1）AAS定理，HL定理 （2）全等三角形的对应高相等， 对应中线、对应角平分线相等。（逆定理）
例题： 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三 角形全等。
对应练理： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 逆定理： 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 例题： 求证：△ABC三边的垂直平分线相交于一点。
对应练习：
1、如图，△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°CD⊥AB，AB=4，则BC= 2 ∠BCD= 30° BD= 1 B 2、如图,∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的 Ｂ 延长线上一点， ∠ＢＤＣ＝１５ °， 1 且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ = AD Ｃ 2
C
D
A
Ｄ Ａ
3、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶 角的度数是（C ） （A）30° （B）150° （C）30°或 150° （D）60°或120°
随堂练习：
综训 P130 综合训练 课本习题变式 1--7题
小
结
思考： 本节课你有什么收获？
作业：
A组 综合能力测试：10,11题 B组： 综合能力测试：21,22题
初中几何证明题课堂PPT
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（2009南京中考模拟题）写出下列命题的已知、
求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两
个角所对的边也相等（简称：“等角对等
边”）．
A
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求D． 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD． B D C ∴AB＝AC．
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●典型的几种证明书写的规范形式 （全等的证明）
我们在初中阶段有一些典型的规范证明格 式，如：全等证明的书写，我们发现在教材 中经常有这样的格式作为规范可以参考．
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思考题 已知：如图,△ABC中, ∠ C=90°,
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足 为E，F在AC上，BD=DF. 求证：CF=EB． C
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已知：如图,在四边形ABCD中，BC >AB，
AD=CD，BD平分∠ABC.
求证： ∠A+∠C=180°.
证明：在BC上取的E,使BE=BA,连接DE．
A
在△ABD和△EBD中，
D ∵BA＝BE, ∠ABD＝∠EBD,BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD．
∴∠A＝∠DEB ，AD=DE ．
B
E
C
∵AD=DC，∴ DE=DC． ∴∠DEC＝∠DCE．
∵∠DEC+∠DEB＝180°．
∴ ∠A+∠C=180°.
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例2 如图，在四边形ABCD中，AB=BC, ∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E． S四边形ABCD =9，求BE的长.
B AE
F 提示： C 过点B作BF⊥DC交DC的延长
线于点F．证明△BAE≌△BCF, D 四边形BEDF是正方形，BE=3.
几何证明练习题及解法解析
几何证明练习题及解法解析在几何学中，经常会遇到需要证明的问题。
通过证明，可以推导出几何图形的性质和定理，进一步加深对几何概念的理解。
本文将提供一些几何证明的练习题，并对每个问题给出解法解析。
题目一：证明等腰三角形的底边角相等。
解法解析：设三角形ABC为等腰三角形，AB=AC。
要证明∠B=∠C。
根据等腰三角形的定义，我们可以得到以下等式：AB = AC (1)∠A + ∠B + ∠C = 180° (2)由于AB=AC，我们可以令BC=x，由此得到以下等式：AB + BC = AC + BCAC + BC = AC + xBC = x (3)根据等腰三角形的性质，我们知道∠B=∠C，因此∠B+∠C=180°-∠A。
将等腰三角形的定义和等式(2)带入上述等式中，可以得到：∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠C + 180° - ∠A∠B + ∠C = 180°根据等腰三角形的性质，我们知道∠B+∠C=180°-∠A，即180°-∠A=180°，解得∠A=0°。
由此可见，∠A为0°，所以∠B+∠C=180°-∠A成立。
在等式中代入∠A=0°，可以得到∠B+∠C=180°。
同时根据等式(2)可得∠B+∠C=180°-∠A。
综上所述，等腰三角形的底边角相等，证毕。
题目二：证明平行线的内错角相等。
解法解析：设直线AB和CD平行，要证明∠1=∠2。
根据平行线的定义，直线AB和CD的内错角之和为180°，即∠1+∠3=180°和∠2+∠4=180°。
为了证明∠1=∠2，我们需要利用这两个等式，进行一定的代换和运算。
首先，我们可以将∠3=180°-∠1代入第一个等式中，得到∠1+(180°-∠1)=180°。
我们可以合并同类项，得到180°=180°。
专题二：几何证明
专题二：几何证明〖要点梳理〗一、相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定（1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
（2）一般相似三角形的判定判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（3）两直角三角形相似的判定定理1：如果两直角三角形有一个内角对应相等，那么它们相似。
定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么两个直角三角形相似。
4．相似三角形的性质（1）相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（4）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。
二、直线与圆的位置关系1．圆周角定理（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
初中几何证明公式及经典例题
求证：DE＝DF
分析：由 是等腰直角三角形可知， ，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得 ， 。从而不难发现
证明：连结CD
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证 是等腰直角三角形。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上， 。
求证：EF＝BE＋DF
分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF
在正方形ABCD中，
又
即∠GAE＝∠FAE
中考题：
如图8所示，已知 为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例3.如图3所示，设BP、CQ是 的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC
115几何讲义证明举例1青岛版
∴ AB－AD＝AC－AE （等式性质），
即BD=CE
例3 . 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
例3. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
1
B3
2C
4
D
变式1 已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
A
B
?
C
?
D
变式2 已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
证明：在△ABD与△ACD中，
AB=AC（ 已知 ），
D
BD=CD（ 已知 ），
B
C
AD=AD（ 公 共 边 ），
隐含条件：公共边相等
∴ △ABD≌△ACD（ S.S.S）.
预习检测☞
A
已知：如图，AE=AD，∠B=∠C.
求证：△ABD≌△ACE.
E
D
证明：在△ABD和△ACE中， B
C
∠B=∠C（已知）， ∠A=∠A（ 公 共 角 ）， AD=AE（ 已知 ），
∠A=∠C，OA=OC，
O
求证：△AOD≌△COB.
A
证明：在△AOD与△COB中，
C
AC（ 已 知 ）， 隐含条件：对顶角相等 OA=OC（ 已 知 ）， ∠AOD=∠COB（ 对 顶角相等 ），
∴ △AOD≌△COB（ A.S.A ）.
预习检测☞
已知：如图，在△AEC和△ADB中，AE=AD，
B
C
A
D
交流与发现
思考
刚刚我们证明两条线段相等， 或者两个角相等，用了哪些方法？
注意一些常用方法和规律性的总结