证明数列极限存在的方法大总结
高数夹逼准则
高数夹逼准则高数夹逼准则是微积分中常用的一种重要方法，用于求解函数的极限值。
它是通过将待求函数与两个已知函数进行比较，利用已知函数的性质来确定待求函数的极限值。
夹逼准则的应用范围很广，可以用于证明数列的极限、函数的极限、无穷小量的性质等等。
一、数列的极限对于数列的极限，夹逼准则可以用来证明某个数列的极限存在，并求出极限值。
例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们希望求出该数列的极限。
这时可以利用夹逼准则，我们知道-1≤sin(nπ/4)≤1，而当n趋近于无穷大时，sin(nπ/4)的取值会在-1和1之间无限循环。
因此，根据夹逼准则，可以得出lim(n→∞) sin(nπ/4) = 0。
二、函数的极限对于函数的极限，夹逼准则同样可以发挥重要作用。
通过夹逼准则，我们可以确定函数在某个点的极限是否存在，并求出极限值。
例如，对于函数f(x) = x^2sin(1/x)，我们希望求出x趋近于0时f(x)的极限。
利用夹逼准则，我们可以构造两个函数g(x) = -x^2和h(x) = x^2，可以发现对于任意x，-x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
当x趋近于0时，g(x)和h(x)的极限都是0，根据夹逼准则，可以得出lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0。
三、无穷小量的性质夹逼准则还可以用于证明无穷小量的性质。
例如，对于无穷小量x，我们希望证明x^2也是无穷小量。
可以利用夹逼准则，构造两个无穷小量a = 1/x和b = x，可以发现对于任意x，0 < a < b。
根据夹逼准则的定义，当a和b都趋近于0时，x^2也必然趋近于0，因此x^2也是无穷小量。
总结夹逼准则是微积分中一种重要的求解极限的方法，可以用于数列的极限、函数的极限和无穷小量的性质证明。
通过将待求对象与两个已知对象进行比较，利用已知对象的性质来确定待求对象的性质，从而求解极限值。
夹逼准则在数学证明和实际问题中都有广泛的应用，是学习微积分的基础内容之一。
数列极限的方法总结
数学科学学院数学与应用数学级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇摘要数列极限地求法一直是数列中一个比较重要地问题，本文通过归纳和总结，从不同地方面罗列了它地几种求法. 个人收集整理勿做商业用途关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中地一个重点内容，而对数列极限地求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用地求法.求数列极限地最基本地方法还是利用数列极限地定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求地数列，也可以利用数列极限地四则运算法则计算.夹逼性定理和单调有界原理是很重要地定理，在求地时候要重点注意运用. 泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊地数列而言地. 还有一些比较常用地方法，在本文中都一一列举了个人收集整理勿做商业用途.定义法利用数列极限地定义求出数列地极限.设｛｝是一个数列是实数,如果对任意给定地ε 〉,总存在一个正整数，当〉时,都有? < ε ,我们就称是数列{}地极限.记为. →∞ 例: 按定义证明. → ∞ ! 解()()…≤ 令< ε ,则让> 即可, ε 存在[ 立, ε ],当> 时,不等式()()…≤< ε 成. → ∞ !个人收集整理勿做商业用途利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式地函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例: 求,其中< , < . →∞ 解: 分子分母均为无穷多项地和,应分别求和,再用四则运算法则求极限? ? , ? ? ? ? →∞ ? ? 原式, ? ? →∞ ? ? 所以个人收集整理勿做商业用途利用夹逼性定理求极限若存在正整数, 当> 时, 有≤ ≤ , 且, 则有→∞ →∞ . →∞ 例:求{ 解: }地极限. 对任意正整数,显然有< ≤ , 而→ , → ,由夹逼性定理得. →∞ 个人收集整理勿做商业用途．换元法通过换元将复杂地极限化为简单. 例.求极限，此时→∞ 有，令解：若.单调有界原理个人收集整理勿做商业用途例.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限. ，易知｛｝递增，且≤. 显然 . . 中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在边取极限得即解之得２或１明显不合要求，舍去，从而个人收集整理勿做商业用途.先用数学归纳法,再求极限. ? ? ? ? ( ? ) 例:求极限→∞ ? ? ? ? ? 解: < ? ? ? ? < ? ? ? ? ? 设* ? ? 则有< * *<* * 再由夹逼性定理,得→∞ ? ? ? ? ( ? ) →∞ ? ? ? ? 个人收集整理勿做商业用途.利用两个重要极限, ( ) . → → ∞ 例:求( ) → ∞ 解: 原式( ) ? ( ) ? → ∞ 个人收集整理勿做商业用途.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉地等价无穷小地形式然后求极限. , 例:求→ 而< < ? 解:当→ 地时候, → , ? 而此时, ? ,所以原式→ ∞个人收集整理勿做商业用途.用洛必达法则求极限.适用于和型∞ ? 例:求→ 解: 是待定型. ? → → 个人收集整理勿做商业用途.积分地定义及性质例:求( > ) → ∞ 解: ( > ) ∑ ( ) → ∞ → ∞ 设( ) ,则( ) 在[]内连续, , 取ξ ∈[ , ] 所以, (ξ ) ( ) 所以原式∫ 个人收集整理勿做商业用途.级数收敛地必要条件. . 设∑ 等于所求极限地表达式, 再证∑ 是收敛地, 据必要条件知所求表达式地∞ ∞ 极限为. 例:求→ ∞ ! ∞ ! < ,则→ ∞ → ∞ ( ) ! 所以该级数收敛,所以→ ∞ 个人收集整理勿做商业用途.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数地恒等变形. ? 例. 求→ 解：? ? 法一：原式? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? 法二：原式→ → → 个人收集整理勿做商业用途.奇数列和偶数列地极限相同，则数列地极限就是这个极限. () 例：求地值→∞ 解：奇数列为→∞ 偶数列为→∞ () 所以→∞ 个人收集整理勿做商业用途．利于泰勒展开式求极限. 解:设∑ 例.求( ? ? ) ? ? 解：原式?( ) ? ( ? ) ? (令) → ∞ ? ? ? ? ( ) ? ? ( )? ? ? ? ?( ) ? ( ? ) ? → ? ? 个人收集整理勿做商业用途.利于无穷小量地性质和无穷小量和无穷大量之间地关系求极限. 利用无穷小量与有界变量地乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数地关系，以及有限个无穷小地和仍是无穷小等等. 例：求地值→∞ 是无穷小量，而是有界变量，所以→∞ →∞ 还是无穷小量，即→∞ →∞ 个人收集整理勿做商业用途。
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
用极限定义证明数列极限的几种方法
用极限定义证明数列极限的几种方法作者：***来源：《科技风》2019年第28期摘要：在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，是研究微积分的必备工具，也是我们的教学中的重难点之一。
本文简单介绍了数列极限定义证明数列极限的四种方法：直接法、适当放缩法、适当放大条件法、反证法。
关键词：极限;放缩;反证我们知道初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。
极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正六边形的面积来推算圆面积的方法——割圆术[1]，就是极限思想在几何上的应用。
在本文中主要介绍了几种不同的方法来加深对数列极限定义的理解和掌握.但在实际的教学中我们看到，学生在运用数列极限定义证明极限存在还是有一定的困难，这是由于学生对极限ε-N 定义中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a<ε”等术语及它们之间的关系了解的还不够完整，深刻。
首先介绍数列极限ε-N的定义[2]：设xn为以数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛SymboleB@ xn=aε>0，正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。
我们应该注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数ε有关的，它随着ε的给定而选它。
那么，要如何根据ε来确定N？N的取值是唯一的吗？这些问题都将是在解题过程中遇到的。
接下来简单介绍几种常用的解题方法。
一、直接法对常见的一些简单的极限问题可以直接由不等式|xn-a|<ε解出N。
其过程如下：首先对ε>0，从|xn-a|<ε分析出n>φ（ε），然后取N=[φ（ε）]。
SymboleB@ 1n2=0。
§1.1数列的极限讲解
数列的变化趋势.
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 ( 1)n1 1， ，， ， ， ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，， 1 0，， 1 ， ， 2
什么叫数列的极限？
lim xn a 0， N Z ， 当 n N 时，
n
有 xn a .
关键:正整数N的存在性证明. 其基本思路： 从
不等式 xn a 反解 n， 再确定 N .
注： 证明极限常用的方法是放缩法.
n a 思考题 (1)证明 lim n n 1; (2) lim 0( a 0). n n n !
此时也称数列{ xn }是收敛的，否则称其发散.
注：
(1)定义中的正整数 N 是与任意给定的 有关的， 它随着 的给定而选定， 是不唯一的. (2)定义的等价形式：
定义 设 { xn }为一数列， 如果存在常数a， 对于任 意给定的正数 (无论它多么小)， 总存在正整数 N ， 使 当 n N时， 不等式 | xn a | k
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 n 1 1 1， ，， ， ， ( 1) ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，，，， 1 0 1 ， ， 2
数列的几何表示(一)
n1
( n 1, 2,
) 是发散的.
1 取 ， 则存在 N ， 使当n N 时， 有 2
1 1 a xn a 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1， 而此二数不可能同时落在长度
第二章 数列极限
⑸ 迫敛性定理：设收敛数列 {a n } ， {bn } 都以 a 为极限，数列 {cn } 满足：存在正数 N 0 ， 当 n > N 0 时有 a n ≤ c n ≤ bn ，则数列 {cn } 收敛，且 lim c n = a 。
n→∞
2. 数列极限的判定定理 ⑴ 数列 {a n } 收敛的充要条件是： {a n } 的任何非平凡子列都收敛。
1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 = 1 + 1 + ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + L + ⎜ − ⎟ = 1 + 1 + 1 − < 3. ⇒ x n 有界. n ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ n −1 n ⎠
综上, 数列{ x n }单调有界. 证法二： ( 利用 Bernoulli 不等式 ) 注意到 Bernoulli 不等式 (1 + x) ≥ 1 + nx,
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2 ) 3 ⋅3 + ⋅ 3 + L + 3n 2! 3!
证明： 因为
4 n = (1 + 3) = 1 + n ⋅ 3 +
n
>
n(n − 1)(n − 2 ) 3 ⋅3 ，n ≥ 3 . 3!
注意到对任何正整数 k , n > 2k 时有 n − k >
n 就有 2
0<
n > 4 6n ⋅ 4 n2 6n 2 6n 24 1 1 < = < = ⋅ < n 2 27n(n − 1)(n − 2 ) 27(n − 1)(n − 2) 27n 27 n n 4
于是，对 ∀ε > 0 ，取 N = max ⎨4, ⎢ ⎥ ⎬, L . ε 例 4 试证： lim n a = 1, a > 1 。
3数列的极限
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn
(1
1 n
)n
11
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又 xn (1 1n)n 11 11
3
1 2n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e ,
即
lim (1
n
1 n
)
数列
极限存在的充要条件是:
0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时,
有
xn xm
证:
“必要性”.设
lim
n
xn
a,则
使当
时, 有
xn a 2 , xm a 2
因此
xn xm
xn a xm a
“充分性” 证明从略 .
n
xn
.
利用极限存在准则
解： xn1
1 2
(xn
a) xn
xn
a xn
a
xn1 xn
1 (1 2
a xn 2
)
1 (1 2
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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例2. 已知
证明
证: xn 0
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1
n 1
第一节数列极限存在准则-3分析
am
| .
故数列{an
}收敛. 11
例5(P38) 证明 : 任一无限十进小数 0. b1b2 bn 的n位不
足近似(n 1, 2, )所组成的数列
b1 10
,
b1 10
b2 102
,
, b1 10
b2 102
bn 10n
,
(2)
满足柯西条件(从而必收敛),其中bk为0,1, 2, , 9中的一个数, k 1, 2, .
由定理2.9 知 lim n 及 lim n 1 存在 . n n 1 n n
实际上
n
n1
lim 1, lim 1.
n n 1
n n
4
例1( P 35)
设an
1
1 2
1 3
2. 证明数列{an }收敛.
1 n
，n
1,
2,
, 其中实数
例 证
证明：若an 1
0＝
1 2
0，N
1
2
N
1 n
，则数列{an
}发散.
，m，2m N，有
| a2m am |
1 1 m1 m2
1 2m
11 2m 2m
1 2m
m
1 2m
1 2
0.
故数列{an }发散.
柯西收敛准则的等价叙述(补充):
数,其值用e= 2.7182818284……)来表示，即
lim(1 1 )n e.
n
n
9
求数列极限的方法
求数列极限的方法求数列的极限是数学分析中非常重要的一个概念，也是数学分析的基础之一、在数列的极限的研究中，数列极限的定义和性质、极限存在性的判定以及计算数列极限的方法是数学分析中的重点和难点。
下面将详细介绍数列极限的定义和性质、极限存在性的判定以及计算数列极限的方法。
一、数列极限的定义和性质数列极限的定义是数列收敛的基础。
数列极限的定义如下：设数列{a_n}是一个实数数列，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n−a，<ε成立，其中a是一个实数，则称实数a是数列{a_n}的极限，记为a_n→a。
数列极限的性质可以分为数列极限唯一性和有界性。
数列极限唯一性：如果数列{a_n}存在极限，那么它的极限是唯一的。
数列极限有界性：如果数列{a_n}存在极限，那么它一定有界。
二、极限存在性的判定判断一个数列的极限是否存在是数学分析中的核心问题，常用的判定方法有以下几种：1.单调有界原理：如果数列{a_n}是递增有上界的（或递减有下界的），那么数列{a_n}存在极限。
2.夹逼准则：如果数列{a_n}和数列{b_n}满足a_n≤c_n≤b_n（n=1,2,3,...），并且数列{a_n}和数列{b_n}的极限都是a，那么数列{c_n}的极限也是a。
3.柯西收敛原理：数列{a_n}收敛的充分必要条件是，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当m,n>N时，有，a_m−a_n，<ε成立。
4.分部数列收敛原理：如果数列{a_n}收敛，那么它的任何一个由数列{a_n}中有限个元素构成的数列也收敛，并且它们的极限是相同的。
计算数列极限是数学分析中的一个重要问题，常用的计算数列极限的方法有以下几种：1.代换法：对于一些形如a_n=f(n)的数列，可以通过代换变量的方法将其转化为已知的数列来计算极限。
2.化简法：对于一些形式比较复杂的数列，可以通过一些化简的方法将其转化为易于计算的形式，然后再计算极限。
第八讲 数列的极限
第八讲 数列的极限（一） 主要知识及主要方法：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a-无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作limn n a a→∞=.注：a 不一定是}{n a 中的项2.几个重要极限： 1limn nα→∞=（0α>，α为常数）； CC n =∞→lim（C 是常数）；)1(0lim<=∞→q qnn ； 1,lim0,1,n n nnn a ba b a b aba b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩3.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数； 指数型(00和∞∞型），通过变形（如通分，约分）使得各式有极限；根式型(∞-∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；4.数列极限的运算法则:如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么BA b a n n n +=+∞→)(limBA b a n n n -=-∞→)(limlim ()n n n a b A B→∞⋅=⋅ )0(lim≠=∞→B BA b a nn n .特别地，如果c 是常数，那么，()lim lim n n n n c a c a ca→∞→∞⋅=⋅=5.无穷等比数列的各项和：()1公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n SS →∞=；()21lim 1n n a S S q→∞==-(0||1)q <<（二）典例分析：例1．求下列数列的极限：()1nnn )1(lim-∞→；()2∞→n lim112322+++n n n ；()3∞→n lim1122++n n()4322lim 11n n n n n →∞⎛⎫- ⎪--⎝⎭()5()11111lim139273n n n -→∞⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦例2．()1已知数列{}n a 的首项1a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limn n na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2()2设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22limn n na n S →∞-=变式训练：在数列{}n a 中，31=a ，且对任意的大于1的正整数n ，点()1,-n n n a a P 在直线03=--y x 上,则()=+∞→21limn a nn （ ）A .2-B .2C .3-D .3例3．()1若21lim 01n n a n b n →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，求a 和b 的值；()2若()131lim331nnn n a +→∞=++，求a 的取值范围.变式训练：已知lim ∞→x (12+-x x－ax －b )=0,确定a 与b 的值.例4．如图，连结A B C △的各边中点 得到一个新的111A B C △又连结111A B C △到222A B C △A B C△，111A B C △，222A B C △，…，这一系列三角形趋向于一个点M .已知(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M 的坐标是变式训练：如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则lim n →∞n s =A ． 22r π B.832r π C.42r π D.62r π例5已知数列{}n a 的前n 项和2()3nn S nn =+ ．（Ⅰ）求limn n na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．变式训练：设A n 为数列}{n a 的前n 项的和，))(1(23N n a A n n∈-=，数列}{n b 的通项公式为)(34N n n b n ∈+=。
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证明数列极限存在的方法大总结
最近几年证明数列极限存在已经成为考研数学的压轴大题了，而且有
的题目确实挺操蛋的，关于证明数列极限存在的问题确实有一定的难度，
这里唐老师给大家进行详细的总结这类问题的方法：
一、利用夹逼准则
夹逼准则
利用夹逼准则关键是进行不等式放缩，这里是有一定技巧的。
1.比如在求数列n项和极限利用夹逼准则时，往往对分母进行统一化
放缩，分母都取最大的，整体就放小了；分母都取最小的，整体就放大了，然后再计算两边的极限即可，这里举一道例题
2.关于数列非n项和（不妨称为m项和），其计算方法也是利用夹逼
准则，但是我们可以将其总结为固定的答题公式，关于公式怎么来的，我
们不在这里详述（主要是因为不太方便打字，哈哈哈哈哈哈），其经典模
式及公式为
数列m项和极限计算公式
照猫画虎，我们举例说明
本题也是2023年数学四考研真题稍加改变
再给出一道经典例题，改题的出法就明显高于上面的考研真题了，请
同学们好好琢磨：
4.有的考研真题需要综合利用定积分定义和夹逼准则方可解决，如何1998年数学一的真题
二、利用单调有界准则
当然，以上还没有涉及到证明数列极限存在的难题。
考研中，证明数列极限存在的题目十之八九考查单调有界准则，而单调有界准则是大多数同学们比较困难的地方，因为既要证明单调性，又要证明有界性，往往这两个并不是容易证明的。
单调性的证明往往有两种手段：若某_{n+1}-某_{n}>0 ，则数列 {某_n} 单调增加，否则单调减少；若 \frac{某
_{n+1}}{某_n}>1 ，则数列 {某_n} 单调增加，否则单调减少。
利用单调有界证明数列极限存在的题目往往都是已知递推式的特点，我们来看2002年数学二的一道真题
2002年数学二，解析出自《考研数学核心考点1200题》
这个题目的有界性证明利用了数学归纳法，这也是很多题目证明有界性的常见方法。
有的题目的有界性及单调性的证明除了利用归纳法外，还需要根据题目条件及常见的不等式来处理，比如2023年考研数学真题，这个题目成了当然的压轴题：
2023年真题，解析来自《考研数学核心考点1200题》
《考研数学核心考点1200题》
当然，可能会出现比较操蛋的题目，就是数列不具备单调性，我们应该如何处理，这是再利用单调有界就属于重在参与了，如
同学们可以观察发现数列某_n 不具备单调性（当然可能有点为难大家了，因为你们可能观察不出来），我们可以令某_{n+1}=y,某_n=某，得到函数 y=f(某) ，如果 f'(某)>0 ，可以得出数列 {某_{n}} 具备单
调性。
但如果 f'(某)<0 ，数列某_n 就没有单调性了（当然，同学们不要问我问什么，我只能说你记住这种方法就行了）。
比如这个题目，相应的函数为 y=2+\frac{1}{某} ，导数 y'=-\frac{1}{某^2}<0 ，故数列没有单调性。
那这种情况就不可以利用单调有界准则了，此时则考查我们：压缩映射原理。
改题目的解题过程详细看下：
好啦，同学们，唐老师打字也累了，今天就先分享这么多。
欢迎大家讨论，并写下自己感兴趣的考研数学内容吧，我来为大家出专题.。