典型数学知识在物理上的应用小集锦

典型数学知识在物理上的应用小集锦
杨凯 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，也可以帮助学生把握事物的本质及其内在联系，能达到打通关卡，长驱直入地解决问题的目的。

可以说物理学的发展依赖于数学，对于高中常用的典型的数学知识大概总结一下，通过归纳可以更好的理解数学和物理学的关系，以及达到能更好的利用数学知识解决物理问题的水平。

一， 利用一元二次方程求极值问题
在直线运动的追击问题当中常常可以应用一元二次方程求解极值的条件，应用时首先要明确抛物线的极值求法，有时建立的位移关系是关于时间的一元二次方程，要明确判别式“∆”大于零，等于零，小于零所对应的物理意义。

例：一辆小汽车从静止开始以3m/s 2 的加速度行驶，恰好有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过，求：小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时的距离是多少？
解析：设汽车在追上自行车之前t 时刻相距最远，2213622s s s t at t t ∆=⋅-
=-自汽自－＝ｖ 利用二次函数求极值的条件知：当62322()2
b t s s a =-=-=⨯-时，s ∆最大为2max 362262
s m m m ∆=⨯-⨯= 二， 微元的思想在瞬时速度定义，变力做功等知识上的应用
微元的思想在讲解瞬时速度，曲线运动的速度方向，大小不变方向变化的变力做功等等地方通常可以应用，使用时通常是选择极短的时间（接近是一个瞬间）、极短的位移（直线）、极小的面积等来考虑问题，微元法的使用是便于学生理解知识和物理思维的一种有效的数学方法，在讲解瞬时速度的时候，可以从平均速度x v t
=入手，选择极短的时间，从而让平均速度过度到瞬时速度。

而在曲线运动当中讲到质点的运动方向时，除了可以通过实际生活当中的例子来呈现曲线运动的物体的运动方向外，我们还可以利用微元的思想把曲线分成很多小段，每一小段就接近是一条直线，这样短距离上的曲线运动就可以转变成直线运动，而直线运动的方向肯定就在该直线上，也即是直线的切线，这样便于理解。

三，辅助角公式的应用
辅助角公式通常可以在物理当中求极值，例如在力学当中和做功当中。

例，如图所示，用力F 拉着质量为m 的物体，在水平面上匀速运动，一直物体与水平面的动摩擦因素为μ，试利用解析法求拉力的最小值。

解析：物体的受力分析如左图，而辅助角相当于构造一个三角形如下右图所示
μ1
水平方向：cos ,F f α⨯=
竖直方向：sin F N G α+=
摩擦力：f N μ= 联立以上式子可得：cos sin mg F μαμα=+，要求F 的最小值即要求出分母的最大值， 22222cos sin 1(cos sin )111(sin cos cos sin )1sin()
αμαμααμμμθαθαμθα+=++++=++=++
当90θα+=︒时，cos sin αμα+的最大值为21μ+，则F 有最小值为min 21F μ=+
90αθ=︒-，而1tan θμ=
，则1arctan θμ= 所以190arctan αμ=︒-
四， 不等式在求极值上的应用
不等式在物理中一般用在求最大值、最小值、某个物理量的范围，不等式的使用可以暴露最值。

例，如图所示，长为L 的细绳系着一个质量为m 的小球在竖直平面内饶o 点做圆周运动，绳所能承受的最大拉力为小球重力的12
倍，当小球到达最高点时的速度范围是多少？ 解：根据题意小球在最高点受到两个力作用即重力和绳的拉
力，重力和拉力的合力给小球提供了向心力（显而易见绳子
的拉力大于零而小于12
mg ） mv 2/L
=mg ＋F ①
0≤F ≤2
1mg ② 方程①②联立求解
mg ≤mv 2/L ≤mg ＋ 2
1mg ③
3Lg
解之得：（Lg）1／2≤ v≤
2
利用等式解题时隐含条件不突出，甚至出现遗漏题中的隐含条件现象，对学生的影响就是死记那些临界条件。

如果用不等式解这类题时，先要找出题中隐含的某个物理量的范围，先根据这个物理隐含条件构建一个不等式，再结合题中其他信息构建出所求物理量的等式。

利用不等式这种方法我们教给学生就是学会如何提炼条件，通过几年教学我感到利用不等式求解最值问题和物理量范围问题条理清楚、逻辑性强、结果显而易见，不等式的引入给我们物理教学带来许多的方便同时也可以加强学科的相互滲透。

五，矢量运算转化成代数运算
在高中所学的众多矢量如：速度，位移，加速度，力等等的运算当中，不能用数学上的代数运算来进行处理，矢量的运算遵从平行四边形定则。

有时候我们会遇到在一条直线上的矢量的运算，那么这个时候为了计算的方便，我们通常的做法是先规定一个正方向，与规定的正方向相同的矢量为正，与规定的方向相反的矢量为负，这样让矢量的方向通过正负来体现，然后就可以用代数运算来进行处理了，计算出的结果如果为正，则说明与正方向同向，反之亦然。

例如物体受到向左的力20N，向右的力10N，你把向右作为正的，向左为负，那么物体受到的合力就是-20+10=-10，方向左，大小10，这个表示方向的符号一定要体现。

还有就是如加速度问题中a是等于末速度减初速度再除以时间，一定不能交换初末速度的位置，这样算出来的结果为正，加速度方向即为你规定的正方向，反之一样。

六，控制变量法在例如讨论F，a，m等物理量的关系上的应用
正如E.T.贝尔所说：“大自然这部伟大的书是用数学符号写成的”，一个数学符号总表达了一个物理量或一定的物理意义，而控制变量法通常是在研究三个变量的关系的时候使用，通常的做法是让一个物理量保持不变，然后来研究另外两个量的关系。

这种方法在物理中比较常用，它能确定一个表达式来表达几个物理量的关系，比较直观简洁。

七，几何知识在物理上的应用
1，关于能否构成三角形的条件在求三力的合力上的应用
根据平行四边形法则演变出了更加简洁的三角形法则，而由三角形法则我们可以知道在求解三个力的合力的时候，关于合力是否可以为零的判断就是依赖表示三个力的矢边是否满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，这个在数学上的条件在判断三力的合力的时候可以说非常方便。

2，矢量三角形和几何三角形相似的应用求极值
在物体的平衡当中，根据物体平衡的受力特点，作出力的矢量图，如果物体只受三个力，则这三个力能构成封闭的矢量三角形，如果在对力的利用平行四边形定则（或三角形定则）运算的过程中，力的三角形与几何三角形相似，则可以根据相似三角形对应边成比例的性质和动态分析求解最值，这种方法很简便，直观。

例，如图所示，水平面上固定一光滑半球，球心O的正上方固定一个
小滑轮，绳上拴一小球，小球置于半球面上的A点，绳绕过定滑轮，
另一端用力F拉，现缓慢地将小球从B点释放到A点，则此过程中，
小球对半球面的压力N以及细线拉力T的大小变化情况是怎样的？
解：以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G，细线的拉力T
和半球面的支持力N，作出N、T的合力F，由平衡条件得知G′=G．
由△NFA ∽△AO 2O 1得1122
n F G F AO O O AO '== ， 可得：112n AO F G O O =，212
AO F G O O = 由题缓慢地将小球拉动顶端的过程中，O 1O 2，AO 1不变，O 2A 变小
可见F 变小；F n 不变．
3，利用三角形法则求解小船渡河时（v 水大于v 船）位移的最小值
等极值
在讲速度的合成于分解的时候，小船渡河可以说是实际生活当中关于运动的合成与分解的典型事例，而在研究渡河问题的渡河时间和渡河位移的时候，可以说不遗余力的用到了几何知识，通过三角形法则可以很快的通过作图找出当v 合⊥v 船的时候位移最小。

另外关于物体在动态平衡的时候求某个最小的力，通过三角形作图也能很迅速的找到结果。

可以说三角形在力学、运动学方面的应用是相当广泛的，同样在解物体的平衡的时候我们还有时将菱形转化为直角三角形来求解，是一种很有效的方法。

数学是物理学的表述形式，数学高度的抽象性，使它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系。

数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，惟有数学才能以最终的，精确的和便于讲授的形式表达自然规律，惟有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中。

所以掌握常见的数学知识在物理中的应用是学好高中物理的一个重要的环节，只有将其归纳然后各个击破才能最终实现数学与物理学的真正融合，才能使物理思维有更进一步的提高。