奇数阶幻方求解技巧
幻方解法
幻方解法
幻方，就是对于一个n×n的方阵，将1—n²这n²个数填入其中，使每行每列以及对角线上的数字之和都相等的方阵。
幻方分为奇数阶幻方(n=2k+1)、单偶数幻方
(n=4k+2)、双偶数幻方(n=4k)三种，每种幻方解法不同，但都有其固定的解。
下面我来具体介绍下幻方的解法：
1.奇数阶幻方
①将1填入第一行中间位置
②向右上方向依次填入
③如果上方出格了，则将其填入最后一行与其同列的位置
④如果右方出格了，则将其填入第一列与其同行的位置
⑤如果右上都出格，则将其填入第一列最后一格
⑥如果将要填入的方格已有数字，则填入上一个数字的下方
这里已三阶幻方为例：
2.双偶数阶幻方(n=4k)：
①先将1，2，3……n²依次填入方阵中
②拟出方阵对角线
③对角线上数字不动，将其余所有数字移至与其中心对称的位置
这里以四阶幻方为例
↓
↓ 3.单偶数阶幻方(n=4k+2)：
①先将1，2，3……n平方依次填入方阵中
②拟出对角线，将对角线上所有数字移至与其中心对称的位置。
③从方阵左半部分的每一列数字中抽出一对上下对称的数字互换位置(每一列抽出一对)
④从方阵上半部分的每一行数字中抽出一对左对称的数字互换位置(每一行抽出一对)
注：已经移动过或换过位置的数字不能再移动或换位
这里以六阶幻方为例：
↓
↓②↓
↓
↓③↓
↓
↓④↓。
数阶幻方的编排方法
精心整理奇数阶幻方的编排方法简便易学的编排方法。
一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我123图1）4然后把551下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。
步骤如下：①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1）②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形；④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。
这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。
需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。
练习（一定要完成的哦）1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。
2、用“罗伯法”将21、31、32、41、43、61、121、125、127编成一个三阶幻方。
3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。
双偶数阶幻方的编排方法一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格34。
幻方解法
幻方解法奇阶幻方介绍：当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac 法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
偶阶幻方介绍：当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。
当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。
可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey 为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。
YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
奇阶幻方解法Merzirac法：在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。
如下图用Merziral法生成的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9loubere法：在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。
如下图用Louberel法生成的7阶幻方：30 39 48 1 10 19 2838 47 7 9 18 27 2946 6 8 17 26 35 375 14 16 25 34 36 4513 15 24 33 42 44 421 23 32 41 43 3 1222 31 40 49 2 11 20horse法：先在任意一格内放入1。
向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。
在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。
如下图用Horse 法生成的5阶幻方：77 58 39 20 1 72 53 34 156 68 49 30 11 73 63 44 2516 78 59 40 21 2 64 54 3526 7 69 50 31 12 74 55 4536 17 79 60 41 22 3 65 4637 27 8 70 51 32 13 75 5647 28 18 80 61 42 23 4 6657 38 19 9 71 52 33 14 7667 48 29 10 81 62 43 24 5一般令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。
构造幻方
构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。
幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，角上出格一个样。
1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法(20210206050533)
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法--- 对杨辉口诀的讨论 范贤荣2016.3.8关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法： “九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图 1d 的图面。
因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。
最后得到“戴九履一，左三右七，二四爲肩，六八爲足”的三阶幻方。
见图1。
九子斜徘a上下对易 即g 对易 b左右相更四錐艇出巴d幻方即磁 -图1杨辉口诀的画法可见，杨辉口诀是在利用 5X 5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出 5X 5方格的3阶的幻方，如图1e 。
图2 菱中取方的画法现在,我们很多人用的是“取方框”画法 。
即在5X 5的方阵中，取出 3X 3方框来，如图2b 的红框。
红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9,是走到框内的蓝方块中。
因此1、9没有“对易”。
同样，3、7也没有“相更”。
因此，就没有“上下对易，左右相更”了。
所以，就不需要“四维挺出”了。
因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。
所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成：各子斜排为菱形，中间取方当作城， 城外有子城内空，四围都往城中进。
挺进多少方可止，几阶就挺几步深。
注1: “四围”就是上下左右四边。
“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。
注2: “几阶就挺几步深”。
如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。
见图 2。
1斗17SS69四團都向坝挺进 九彳網排成羞理 挺进三步幻方成F面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。
1*□7j3S6S.1戈子斜排咸羞延中值］取方当作城城外育子城肉空四團都向城挺进芽mA.r33h F锂进三歩幻方咸1s-1117J］；&4211?ri395IS14101310152420SS1n&117*16口s17139y 1、IS14102315242-0|城外有子城内空图3 5阶菱方阵与幻方1s I15g3丄"£16104 (2317115)241a126 4337312S丹13x ja32262014 _ r27a464034234B42491124720 412283 17313工g 10IS114r r 236"w"七15四围祁向城挺讲图4 7阶菱方阵与幻方377?702162135456333D712263144B477 費8031722355151643e4081笼6-124565717+9g11右336525舉閔IS50142T-434EE5T10512聽存3536ea fin115?3典T07723' 20611253445图5 9阶菱方阵与幻方112斗2；13_324144453525b5托2(51666：57车3?27177~9655S4$3S2S1933?79695?4?3V291?9 1M的80?0*050J0302010 111101?1軒716151JI312】11 13：9282724252壮3211 1】：93?363534333 114104SJ74&15444H.*二S3栖55]1£]«80聒ir ir97£77798S8119金]?fl1101：3图6 11阶菱方阵与幻方图7 11阶幻方图8 13阶菱方阵图9 13阶幻方。
奇数幻方、偶数幻方的规律
1515151515151515343434343434343434346565656565656565656565651111111111111111111111116以1居第一行中，将幻方看成一个球形，从1开始绕球一周得到奇数阶幻方。
53以1居第一行中，将幻方看成一个球形，从1开始绕球一周得到奇数阶幻方。
画出四阶对角线，从左往右从上往下按顺序填入数字，空开对角线不覆盖的空格，再从右往左，从下往上按顺序将空白处填满。
4以洛书为出发点，将四小格看成一个大格，以1、2、3、4替代1, 5、6、7、8替代2。
依次类推，在做适当调整。
1751751751751751751751751752602602602602602602602602602603693693693693693693693693693693695059以1居第一行中，将幻方看成一个球形，从1开始绕球一周得到奇数阶幻方。
87以1居第一行中，将幻方看成一个球形，从1开始绕球一周得到奇数阶幻方。
画出四阶对角线，从左往右从上往填入数字，空开对角线不覆盖的空格，再从右往左，从下往上按顺序将空白处填满。
5055055055055055055055055055055055055055055055055055055055055056716716716716716716716716716716716716716716716716716716716716716716716711011以1居第一行中，将幻成一个球形，从1开始绕球一周得到奇数阶幻方。
以五阶幻方为出发点，将成一个大格，以1、2、3、4替代1, 56、7、8替代2。
依次类推，在做适当整。
870870870870870870870 87087087087087087087087087087087087087087012 画出四阶对角线填入数字，空开对角线不覆盖左，从下往上按顺序将空白处其他幻方按上述幻方依次类推（奇数、偶数4的倍数，偶数除4于2）大格，替代2。
求解幻方的技巧
求解幻方的技巧幻方是一个由数字组成的矩阵，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
在解决幻方问题时，可以使用许多技巧和策略。
本文将介绍一些常用的解幻方问题的技巧。
1. 奇序幻方和偶序幻方的区别：奇序幻方是指矩阵的边长为奇数，而偶序幻方是指矩阵的边长为偶数。
这两种幻方的解法有所不同。
2. 奇序幻方的解题思路：- 首先，将数字 1 放置在第一行的中间位置。
- 然后，依次从数字 2 开始，按照以下规则放置：- 如果下一个数字所要放置的位置超出矩阵的边界，则将该数字放置在矩阵的对角位置。
- 如果下一个数字所要放置的位置已经有数字存在，则将该数字放置在上一个数字的下方。
- 以此类推，直到将所有数字放置完毕。
3. 偶序幻方的解题思路：- 首先，将数字 1 放置在第一行的中间位置。
- 然后，依次从数字 2 开始，按照以下规则放置：- 将该数字放置在上一个数字的右上方。
- 如果右上方的位置超出矩阵的边界，则将该数字放置在下一个位置的左下方。
- 以此类推，直到将所有数字放置完毕。
4. 总结幻方的规律：- 任何一个幻方矩阵都有一个中心对称的特点，即将矩阵按中心水平线对折，得到的新矩阵和原矩阵是相同的。
- 幻方矩阵中，对称位置的数字之和相等。
例如，在3 阶幻方矩阵中，1 和 9、2 和 8、3 和 7 的和都是 10。
- 幻方矩阵中，行数和列数之和的一半是矩阵中每行或每列的数字之和。
5. 借助已知的幻方解题：- 对于任何奇序幻方矩阵，可以通过一个已知的奇序幻方解题，例如3 阶幻方矩阵，来推导出更大阶幻方矩阵的解法。
- 对于偶序幻方矩阵，可以通过两个已知的奇序幻方矩阵的组合来解题，例如，通过组合两个3 阶幻方矩阵来解决 6 阶幻方问题。
6. 幻方的旋转和反转：- 幻方矩阵可以通过旋转和反转来获得新的解法。
例如，可以将一个 3 阶幻方矩阵逆时针旋转 90 度得到一个新的解法。
7. 求解幻方问题的算法：- 幻方问题是一个数学问题，可以通过编程来求解。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
阶幻方规律
五阶幻方规律
一、什么叫？
（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。
这样的方阵图叫做幻方。
幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。
奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。
偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。
二、奇数阶幻方的填法。
奇数阶幻方中最简便的一种就是，又称“九宫图”。
平常我们遇到这类题都是用分析、分组、尝试的方法推出，这种方法较麻烦，如果是五阶幻方、七阶幻方就更困难了。
有一种方法不仅能很快地填出三阶幻方，还能很快地填出五阶幻方、七阶幻方、九阶幻方……那就是“口诀法”
口诀
“1”坐边中间，斜着把数填；
出边填对面，遇数往下旋；
出角仅一次，转回下格间。
注意：
（1）这里的“1”，是指要填的这一列数中的第一个数。
（2）“1”坐边中间，指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里。
（3）从1到2时，必须先向边外斜（比如：第一个数填在上边的正中间，填第二个数时，要向左上方或右上方斜），填后面的数时也要按照同样的方向斜。
例如：五阶幻方就是把1－25二十五个数字填入下面的图形中，使每一行、每一列、每条对角线上的五个数字和都相等。
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奇数阶幻方求解技巧
奇数阶幻方是一种特殊的方阵，其中的所有数字从1到$n^2$（n为方阵的阶数）连续排列，并且所有行、列和对角线的和相等。
求解奇数阶幻方的问题是一个古老而有趣的数学难题。
虽然没有一种通用的方法可以适用于所有的奇数阶幻方，但是有一些技巧和规则可以帮助我们更好地解决这个问题。
1. 规则1：确定中间数
奇数阶幻方的中间数一定是$n^2$的一半，即$(n^2 + 1) / 2$。
由于幻方中所有行、列和对角线的和相等，所以可以将中间数放置在中间行的中间列（例如n=3时，中间数5可以放在第2行第2列的位置）。
2. 规则2：填充右上角
从幻方的第一行开始，从中间数位置的右上方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从2的右上方（即第一行第二列的位置）开始填充，然后填充到第一行的右边界，继续填充到第一个位置（即第三行第一列的位置）。
3. 规则3：填充左下角
从幻方的最后一行开始，从中间数位置的左下方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从8的左下方（即第三
行第二列的位置）开始填充，然后填充到最后一行的左边界，继续填充到最后一个位置（即第一行第三列的位置）。
4. 规则4：填充其他位置
从填充右上角和左下角的位置开始，按照以下规则填充其他位置：
- 如果下一个填充位置在方阵的边界之外，则将其转移到相应的对角边界处。
- 如果下一个填充位置已经被填充过了，则将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
5. 规则5：确定重复位置
最后一个规则是确定重复位置。
当下一个填充位置部分或完全重叠时，我们需要将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
使用以上的规则和技巧，我们可以逐步填充奇数阶幻方的所有位置，直到所有的位置都被填满。
这样，我们就可以得到一个满足条件的奇数阶幻方。
总结：
- 确定中间数的位置，并将其放置在中间行的中间列。
- 从中间数位置的右上方开始填充数字，遇到边界则继续填充到相应的对角边界处。
- 从中间数位置的左下方开始填充数字，遇到边界则继续填充到相应的对角边界处。
- 根据规则4填充其他位置，遇到边界或已经被填充过的位置则转移到相应位置。
- 确定和处理重复位置。
虽然以上提供了一些基本的技巧和规则，但是奇数阶幻方的求解仍然是一个复杂的问题。
对于更高阶的幻方，可能需要使用更复杂的算法和技巧。
此外，还有许多其他的方法和技巧可以用于求解奇数阶幻方问题。
感兴趣的读者可以深入研究这个问题，并探索更多的方法和技巧。