对小学数学中极限思想的探讨
以极限思想为例谈数学思想的有效渗透
2018·10曾有教育家说过，当学生忘掉了所有的知识，剩下的就是思想精华。
具体到小学数学教育，当学生忘光了所有的公式定理，剩下的就是一些活动经验和思维习惯。
数学思想应具备两个基本条件：一是数学知识产生时的思想理论根基，二是学习者自己的一套心得体会。
如转化思想、符号化思想、分类讨论思想、集合思想等，都属于催生一切数学知识的基本理论纲领。
基本思想是隐伏的，难以捕捉和提炼。
为此，笔者参阅了大量资料，经过反复斟酌，发现研读教材、挖掘内涵、随机渗透是传授基本数学思想的必经之道。
本文以“极限思想”为例展开讨论。
一、罗列极限思想的现实材料通过分析对比各册教材对极限思想这一章的处理安排，就会发现，编者的思路是由易至难、循序渐进的。
之所以这样安排，是为了遵循小学生的发展规律。
对于学生而言，只要严格站在原有的知识起点上，在贴切的现实情境中进行学习，是可以形成健全的极限思想的。
正是由于有了那么多极限案例打底，学生才可能从纷杂的思维模式中提炼出极限思想。
于是，教学过程中，我们应利用好这些生动的极限案例，帮助学生实现从抽象的“无限”演化到具体的“极限”。
比如，小学数学六年级上册的“圆的面积”，就是渗透极限思想的好课例。
它是促使学生思想从“无限”演变为“极限”的重要一环，也是体现极限思想真实存在且切实可用的生动案例。
通过动画演示，深刻理解了“把圆分得份数越多，每份就越小，拼出的图形就会无限接近一个长方形”。
进而推导出圆形的面积公式。
从中提炼极限思想，积累极限思维的经验。
二、体会极限思想的转折点如果说，学生在推导圆形面积公式时感受了极限思想，那么，“数与形”中例2的学习，则是深入埋设极限思想的又一袭重磅炸弹。
教材以“计算12+14+18+116+132+164+…”为例，让学生通过观察、分析、推理出“和为1”。
分析教材我们发现，编者照旧是运用循序渐进的编写模式，延长体验过程：化难为易，在有限的简易数字中摸索基本规律——借助数形结合，感受“随着加数不断增多，计算结果代表的图形面积无限趋近于1，直至为1”——推论出“和为1”。
数学分析中极限求法的教学探讨
数学分析中极限求法的教学探讨
此文章探讨的话题是数学分极限求法的教学，本文着重讨论如何正确的教授极限求法，在讲授极限求法的过程中应该注重哪些方面。
首先，我们需要讨论有关极限求法的定义，以及极限求法有哪些用途。
在这一过程中，我们要深入介绍极限求法的定义，介绍极限求法有什么用处，如何利用极限求法求解数学问题。
同时，我们还可以深入讨论极限求法的解法，如极限的定义、极限的基本性质、有界性、无界性、极值，以及极限求法的计算方法与定理等，充分让学生从理论上掌握极限求法的精妙，提高学生的数学技能和数学思维。
其次，教授极限求法时，要让学生体会极限求法的重要性，以便学生们能够理解极限求法对现实问题的求解有多么重要，并要在现实生活中发现极限的运用，使学生明白极限的广泛性，从而培养学生的科学态度。
另外，教授极限求法时，最好融入实际计算，将极限求法与具体实例结合，让学生深入理解极限求法的有效性。
对学生掌握极限求法，可以引导学生主动探索，让学生进行解题实践，尝试用极限求法解决实际问题，增强学生在数学知识学习中获得成就感，提高数学水平。
最后，在授课的过程当中，注重培养学生的自学能力和独立解题能力，鼓励学生多运用极限思维，增强对极限求法的认识与运用能力，使学生把极限求法运用到各种数学问题中，用数学技巧大胆地解决实际问题，培养学生的科学精神，锻炼学生的数学分析能力，使学生在数学学习上取得更多的成就。
以上就是本文关于数学分极限求法的教学探讨的相关内容。
本文从极限求法的定义、有效性、应用以及培养学生的自学能力几个方面来讨论极限求法的教学策略，从而提高学生在极限求法方面的学习水平。
极限数学思想方法的应用
极限数学思想方法的应用极限数学思想方法在小学数学中的应用一、极限思想的内涵极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。
但由于小学生受年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。
所以要理解“极限”的内涵，我们可以从“无限”入手，让小学生首先理解小学数学中的“无限”。
极限思想简单地说就是无限逼近的意思。
早在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如在《庄子?天下篇》就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
数学家刘微(约255-295)在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与园合体而无所失矣”解决了推求圆周率精确值问题，是应用极限思想的成功事例。
而刘微提出的这种无限接近的思想也就是后来建立极限概念的基础。
二、极限思想的作用极限是指用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。
而极限思想是在小学教学中是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。
三、极限思想在教材中的分布点小数和整数的数位顺序表“自然数”“奇数”“偶数”“倍数”“质数”、“合数”的教学循环小数的认识直线、射线、平行线的认识小数点的移动变化规律圆的认识圆的面积圆柱的体积角的认识及大小比较倍数与公倍数四、极限思想方法的渗透策略1、从“图形”上看“无限延伸性”小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的，通过一点可以画无数条直线等等，如人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端(没有端点)可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室，学校，我们所在的城市地球的大气层太阳系……，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想;二是经过一点可以画( )条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条……直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。
初探极限思想在小学数学教学中的渗透策略——以人教版六年级上册“数与形”为例
课程篇初探极限思想在小学数学教学中的渗透策略———以人教版六年级上册“数与形”为例易常朝（广东省广州市天河区天英小学，广东广州）数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
多数专家认为数学思想是对数学知识的本质认识、理性认识。
参与《义务教育数学课程标准（2011年版）》撰写及《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读的专家学者认为，数学思想是有层次的，较高层次的基本思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想。
极限思想是属于推理思想中较低层次的一种数学思想。
在小学阶段所能渗透的数学思想方法中，极限思想是最为抽象、最难被理解与接受的一种数学思想，也容易被老师忽略。
本文以“数与形”（例2）的教学为例，谈谈在小学阶段渗透极限思想的一些愚见。
一、极限思想的概念及其重要性极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极的概念。
极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，为数学的发展提供了有力的思想武器。
极限可分为数列极限和函数极限。
极限概念是非常抽象的，在小学数学教学中不曾涉及。
作为专业的数学教师，要对其概念把控于心，细心琢磨，把这些抽象的概念转化成数学思想，循序渐进地渗透给小学生，绝不可以忽视它。
“数学广角”是人教版教材独有的内容。
人教版教材安排“数学广角”的主要目的是向学生渗透数学思想及方法。
教材根据学生的年龄特点从二年级开始每一册都安排了“数学广角”的内容。
由王永春（2014）的研究可以看出，极限思想在“数学广角”中编排的例题只有一个，但不代表渗透极限思想的机会只有一次。
极限思想在小学阶段渗透的机会不多，笔者梳理了人教版小学数学12册教材，发现可以渗透极限思想的内容如下表所列。
数的认识图形的测量数学广角其他循环小数圆的周长圆的面积圆柱的体积“数与形”例2六上15页“你知道吗”“农夫分牛”的故事从上表可以看出，人教版教材针对数学思想方法专门编排了教学内容，但数学思想方法的渗透又不局限于“数学广角”这一类教学内容，需要教师在平时的教学中发掘与提炼。
极限思想在中小学数学的应用
.
定义 2 设
为定义 为 a , 上的函数 ， A 为定数，若
sin cos 1, tan 0 解 当 0 ，此时有
0 ， 总 存 在 正 数 M ， 使 得 当
f x A
x M
sin cos tan ；
时 当
当 此时 sin
3
sin cos
tan ，
3，
cos tan ；
则，可知本题选 C . 4 极限在解析几何的应用 ， 例 3 求 已知 离 心率
5 ，过点 且与直线l ： 2 5 , 2x y 3 0 3 3 ，长轴平行于 y 轴椭圆方 相切于点 e 2
1 1 a 1 1 b
所以
2 2
1 a a a 1 b b b
，
1 1 1 b
2 2
2
4
6
1 , 0
2
4
6
程.
1 a
2
一般解法是：设椭圆中心为
4
x 0 , y 0 ，可得椭圆方程，并列
2 a b
2
a
2 2
b
4
4
2 1 ab a b
1
3 极限在函数中的应用
sin cos tan 0 2 则 范围. 例2若
A 0, 6
a 设 n 为数列， a 为定数 .若对任给的正数
a
，总存在正整数 N ，使得当 n N 时 a n
.
2 a n a b 3 代入
n n
极限思想在小学数学教学中的渗透
米， 两人 同 向而行 ， 小明 每分钟 １ ０米 ， 小王 每 分钟 ５米 ， 问： 小 明什 么时候 能与 小王 相 遇？ 答 案是 小明 永远 追不 上 小王 。
当小 明走 １ ０米 时 ， 小王 走 了 ５米 ； 当 小 明走 １ 米时 ， 小 王 同
根 据乘 法 分配 率 ， 最终 也可 以 得 出圆柱 体 的体积 公式 。
如在 四 年级 下册 中有 关循 环小 数的 学 习中 ，我 首先 在
黑板 中写 出 １ 与 ３两个数相 除 ， 运算 得 出结果 为 ０ ． ３ ３ ３ …… ，
以此 为基 准 ， 得 出循 环 小数概 念 ， 即 在小 数点 后某 一 位开 始 依 次 不 断 重 复 出现 的前 一 个 或 一 节 数 字 的 十 进 制 无 限 小 数， 叫 做循 环小 数 。随后 ， 我再 提 出 “ ０ ． ９ ９ ９ … …是 否 等于 １ ” 的 问题 ，学 生普 遍认 为 ：无论 小数 点后 的 ９的数 量 如何 增
时 向前走 了 Ｏ ． ５米 ……周 而 复始 ， 小 明永 远也 追不 上小 王 。 从解题 的 角度 来看 ， 这个 答案 是简 单 的 ， 学 生 并不 需 要 过 多地耗 费脑 力 ， 而 且一 直写 下 去也起 不 到锻 炼的效 用 。 但
是学 生可 以 由此得 到 启发 ，为什 么 与原 分数 等值 的分 数 有
教苑 时空 ・ 教研经纬
极 限思想在 小学数学教学 中的渗透
浙 江湖 州 市织里镇 轧村 小学 （ ３ １ ３ ０ ０ ８ ） 陆小 琴
极 限思想 作 为社 会实 践 的产物 ，在 近代 数学 中 有着 极
小学数学教学中渗透极限思想策略研究
小学数学教学中渗透极限思想策略研究摘要：在数学课程领域，“极限”是基本数学思想之一，主要用来描述变量通过一定变化而达成极端的状态，即事物无限接近某状态的过程。
在数学解题中应用极限思想，能够化繁为简、化零为整，以此反映数学的本质，促进学生从形象思维走向抽象思维。
从小学数学阶段开始渗透极限思想，不仅为了锻炼解题能力，更在于启发数学思想，培养数学方法，奠定数学核心素养的发展基础。
本文结合小学数学教学的具体案例，探讨渗透极限思想的几点策略。
关键词：小学数学；核心素养；数学思想；极限思想新课程改革针对义务教育阶段的数学教育活动提出了培养学生“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”以及“基本活动经验”的总目标，实现从“双基”到“四基”的变革，更关注学生的思维能力与实践能力，强调教学过程要渗透数学思想和数学方法，体现“授人以鱼，不如授人以渔”的根本理念。
从新版小学数学教材的教学要求来看，其中蕴含很多关于极限思想的内容，那么如何从小学阶段开始打好“极限思想”的应用根基，如何由浅入深激活学生的数学思维、培养核心素养？需要教师在具体教学实践中不断尝试、不断创新。
一、借助直观体验，渗透极限思想极限思想作为较重要的数学思想之一，本身具有高度抽象特征，当然对于初学数学的小学生来说有一定的理解难度，教师不能过于苛求学生深化理解，而是先从培养数学思想着手，建立感性认知，再运用熟悉的直观体验为“跳板”，循序渐进地过渡到抽象逻辑思维，渗透极限思想意识。
如基于多媒体教学策略调动小学生的多重感官，让他们在直观、形象的感知中深入思考，发现规律。
以六年级《圆的面积》教学为例，借助多媒体课件直观演示，将一个圆形划分为2等分、4等分、6等分，通过观察而思考问题：“每一个等分的图形看起来像什么？”由此链接已有的知识经验，联想到圆形等分之后的小块图形接近三角形，但是有一个边是弯曲的；继续追问启发：“那怎么才能让这个弯曲的边变直，更接近一个真正的三角形呢？”经过对比与探究，很快就有学生提到如果将圆形继续细分，得到等分图形越多，那另一条边就越接近直线。
极限思想的探讨
引言极限的思想是近代数学的一种重要思想.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极限思想蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的完美应用,同时也为辩证法论证世界提供了丰富的表现例证.有了极限思想,常数和变数、有限和无限、精确和近似、任意和确定、抽象和具体、量变与质变、直线与曲线等矛盾问题在这里都得到了完美的科学体现和辩证的统一.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限思想作为一种哲学和数学思想,其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期.在其漫长曲折的演变历程中,布满了众多哲学家和数学家们的奋斗足迹,闪烁着人类智慧的光芒.极限理论的形成为微积分提供了理论基础,为人类认识无限提供了强有力的工具,它从方法论上凸显出来高等数学不同于初等数学的魅力,是近现代数学发展的一种重要思想和数学方法.理清极限思想的发展过程,熟练掌握极限解题方法,揭示极限思想的核心内容与哲学思想的内在联系,对理解和解决数学史和数学哲学史上的一些疑难问题问将有重大的帮助.1 产生与发展庞加莱说过：能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人.一切数学概念都来自于社会实践,经过千锤百炼从而被提炼为概念,再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善为经典的理论.毫无疑问,极限也是社会实践的产物.1.1 极限思想的产生极限思想的产生可以追溯到古代,战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》中就有关于原始的极限思想的应用:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺…….按照这样的分法分下去,长度越来越小,但无论多小,永远分不完.也就是说随着分割的次数增加,棰会越来越短 ,长度接近于零,但又永远不会等于零.墨家观点与惠施不同,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”.意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想,名家则有“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”性,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.显然名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.已反映出极限思想的萌芽,这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土.但从现有的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,更加谈不上应用极限的方法来解决数学问题.公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”.他创造性地将极限思想应用到数学领域.所谓割圆术,具体的方法是把圆周分割得越细,内接多边形的边数越多,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周几乎“吻合”,进而完全一致了.刘徽将正多边形的面积算到了3072边形,由此求出的圆周率为3.1416,是当时世界上最早也是最准确的数据.后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位,这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.在国外,古希腊时期也有极限思想.古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣.安提芬在研究“化圆为方”的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,不过没有具体计算的记载.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”,这种方法假定量的无限可分性,并且以下面命题为基础:“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分,从余部中再减去不小于他的一半的另一部分,等等,则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量.”应用穷竭法,欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”.欧多克斯的穷竭法,也已体现出了极限论思想.古希腊最伟大的数学家阿基米德巧妙地运用欧多克斯等人的穷竭法,通过严密的计算,解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算二值等大量的计算问题.它突破了传统的有限运算,采用了无限逼近的思想,将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较,他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础.由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就己在极限领域开创了一个光辉的起点.1.2极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已经无法解决,这就要求数学突破传统常量范围,来提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展的社会背景.16世纪,荷兰人斯泰文在考察三角形重心的过程中借助几何直观用极限思想思考问题,将极限概念向前推进了一步,但极限思想仍只停留在思想的层面,没有形成系统的理论体系.进入17世纪,特别是牛顿在建立微积分的过程中,由于极限没有准确的概念,也就无法确定无穷小的概念,利用无穷小运算时,牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时,无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零,约掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,显然这种数学推导在逻辑上是行不通的.那么,无穷小量是零还是非零？这个问题困然牛顿也困扰着与牛顿同时代的众多数学家.真正意义上的极限概念产生于十七世纪,由英国数学家约翰瓦里斯提出了变量极限的概念,他认为变量的极限是当变量无限逼近的一个常数,它们的查是一个给定的任意小的量.他的这种描述,把两个无限变化的过程表述出来,揭示了极限的核心内容.约翰的这个表述将极限思想向前做了延伸.到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出,“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值.特别地,当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”.柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零.柯西试图取消极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义.但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就有多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.德国数学家,曾被誉为“现代分析之父”的维尔斯特拉斯提出了极限的定量的定义,给微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何,总存在自然数,使得时,不等式恒成立”.这个定义定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为数学的语言,用数学的方法描述,完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中占有了合法的地位.2 极限思想的应用2.1 极限思想在数学分析中的应用极限思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.在数学分析中的连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数等概念都是利用极限思想的方法来定义的.首先,我们引出极限的定义.定义1:设为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限,记作,或,读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.例1：证明事实上，当时，即：，当时，，就有所以2.2 微积分与极限极限思想是分析数学最基本的概念之一,特别是极限思想贯穿整个微积分的始终.微积分思想的确立,微积分理论的掌握与应用,以及数学思维的建立都与极限思想的把握有很大关系.设质点在作直线运动时的运动规律为,则质点在时刻的瞬时速度为：.而平面曲线上过点处的切线斜率为：.问题不同,但在数学上的表现却相同,这我们就可以引出导数的意义:设函数在的某邻域内有定义,若极限（1）存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点的导数,记作.令,,则（1）式可改写为（2）所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率,而导数则为在处关于的变化率.若（1）（或（2））式极限不存在,则称在点处不可导.可见,微分学的基本概念导数是用极限来定义的.例 2：设，试证证:两式相减可得因，，所以，又因为，故当，时右端极限为零，原极限获证.微分学很多的定理定义都是利用极限的思想直接或间接定义的.首先引出微分的定义.定义2:设函数定义在点的某邻域内.当一个增量,时,相应地得到函数的增量为.如果存在常数,使得能表示成, （3）则称函数在点可微,并称（3）式中的第一项为在点的微分,记作或.定理1:函数在点可微的充要条件是函数在点可导,而且（3）式中的等于证明【必要性】若在点可微,由（3）式有.取极限后有.这就证明了在点可导且导数等于.【充分性】若在点可导,则在点的有限增量公式表明函数增量可表示为的线性部分与较高阶的无穷小量之和,所以在点可微,且有这个定理的证明就充分利用了极限的思想.微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.定义3：设是定义在区间上的有界函数,用点将区间任意分成个子区间.子区间及其长度记作.在每个子区间上任取一点并作和式.如果当最大的子区间的长度时,和式的极限存在,并且其极限值与的分发及的取法无关,则称在区间上可积,此极限值称为在区间上的定积分,记作即定义4:设为平面上可求长度的曲线段,为定义在上的函数.对曲线作分割,把分成个可求长度的小曲线段,的弧长记为,分割的细度,在上任取一点.若有极限,切的值与分割与点的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲线积分,记作.由上充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位,除了以上所述,微积分中还有许多重要的定义也离不开极限思想,极限思想无可争议的成为了微积分的核心.2.3 极限思想在代数中的应用行列式和矩阵是线性代数非常重要的内容,极限思想作为数学研究的重要理论基础,自然而然的被应用于行列式的计算以及矩阵的证明.这里我们会做简单的介绍,从而验证极限思想研究的重要性.定义5：在矩阵中,设阶矩阵,若矩阵中是关于变量的函数,则我们称矩阵为矩阵函数.定义6：在矩阵中,设阶矩阵,,为连续函数,若有,称矩阵函数收敛于矩阵,记作或令.例 3 :设、为阶方阵,则有等式成立（1）若、都为阶可逆矩阵,则,因为、都可逆,则也可逆,所以有：,,故.（2）若时,则,此时有或或、以及都为零矩阵,故有：.（3）若,时,可知在矩阵中至少有一个元素的代数余子式不等于零,不妨设（为中元素的代数余子式）：令, ,显然,当时,,此时为可逆矩阵,又因为, 所以：由定义6可得：当时,,所以,即：即：当时有：.类似可证明当时也有成立.关于阶行列式的计算,有的题目运算比较复杂不易发现规律,有的运算量非常庞大,这时我们就可以适当运用极限的思想来求解.例 4:特殊行列式证明:已知利用数学归纳法,当时,；当时,；以此类推,可推测当时, .假设,当时行列式对上式也成立,即：,；当时：按第一行展开====故推测等式成立.综上所述：,时.当时,上述公式不能直接求解,但此时的值仍然存在,可设为常数,令：可知,为关于的连续幂函数,且当时,同样有：当,根据连续函数的性质有：即当时,,可以验证,将时展开计算也得到该表达式.所以：3 极限思想的哲学意义极限理论的建立,使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰,悖论思想是一种探索性的辩证思维,这种思维的追索可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性.极限思想正是在这种悖论思维中得以发展和完善的.学习极限思想对于培养人的思维方法、思维品质,提高其分析问题和解决问题的能力,形成正确的世界观和人生价值观都有极好的作用.极限思想的哲学意义主要表现在以下几个方面:（1）极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态,是事物两种对立的矛盾状态.辩证唯物主义观点认为,它们在一定条件下可以相互转化.极限思想的研究提供了“变”与“不变”相互转化的方法和理论依据.使得人们能够由“不变”认识了“变”,实现了“变”中求得“不变”.因为有了极限的思想和方法,为人们解决事物变化中的问题提供了科学方法,形成了实用有效的“微元法”.（2）极限思想是有限与无限的对立统一.有限与无限有着本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限.例如,在极限式,中对应数列中的每一项,这些不同的数值既有相对静止性,又有绝对的运动性.数列中的每一项和是确定不变的量,是有限数；随着无限增大,有限数向无限接近,正式这些有限数的无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的.（3）极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确在一定条件下可以相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中,引入“圆内接正多边形面积”,其内接多边形面积的近似值是该圆面积,当多边形的边数无限增大时,内接多边形的面积无限接近于圆的面积,取极限值后就可以得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化.因此,近似与精确既是对立又是统一的.（4）极限思想是量变与质变的对立统一.辩证唯物主义认为,事物是处于不断变化过程中的,是量变和质变的统一.量变是事物发生变化的前提和准备条件,质变是事物变化的必然结果.当事物的量积累到一定的基础、达到事物变化的度时就一定发生质变.极限思想生动地诠释了马克思主义这一科学原理.例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变.但是,不断地让边数加倍,无限地进行下去的时候,多边形就质变为圆,多边形面积就转化为圆的面积.极限的思想方法让我们从量变认识到了质变.（5）极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.例如,平面内一条曲线上某点的切线斜率为.当曲线上的点无限接近于点的过程中,是变化过程,是变化结果.一方面,无论曲线上点多么接近点,都不能与点重合,同样曲线上变化点的斜率也不等于,这体现了过程和结果的对立性；另一方面,随着无限接近过程的进行,斜率越来越接近,二者之间有紧密的联系,无限接近的变化结果使得斜率等于了,这体现了过程与结果的统一性.所以,极限思想是过程与结果的对立统一.（6）极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面,内接正多边形是事物对自身的肯定,其中也包含着否定,这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形的边数的改变来体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加到无穷时,内接正多边形的面积转化为圆的面积,促使该事物转化为自己的对立面.由肯定达到自身的否定,这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽然是两个对立的事物,但是二者之间有紧密的联系,圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积,而圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的,从而建立了两者的联系,体现了否定与肯定的统一.小结极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学问题的一种重要手段,它不仅是我们学习极限或高等数学所必须理解的,也是我们解决数学问题或实际问题所必须掌握的思想方法.它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.它的产生为数学的发展增加了新的动力,使数学得以在新的领域不断开拓新的道路,也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具.本文从极限的产生与发展入手，描述了极限思想产生的背景，前进的过程，再到完善。
小学数学知识点解读与学习策略61——极限思想
小学数学知识点解读与学习策略61——极限思想计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的和，可以利用数形结合思想得到结果1-1/128=127/128。
但要计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+…的和，这便要涉及到极限思想。
随着加数的不断增加，对应图形的面积不断地逼近1，当无限多项相加时其结果就是1。
极限是数学分析的基本概念，一般是指变量在一定的变化过程中逐渐稳定的一种变化趋势或趋向某一数值。
如圆面积的推导过程，其刘徽的割圆术所反映的圆内接多边形面积无限逼近圆的面积，就是用极限的方法推导出圆面积计算公式。
小学数学中极限思想的运用，一般要注意以下三点：1、注重积累基本的数学活动经验认识极限思想对于小学生来说是有些困难的，所以积累基本的数学经验就十分重要。
如学习射线、线段、直线时，借助直尺、书本、手电筒、激光笔等工具体会其有限性与无限性，积累对“线”认识的基本活动经验。
2、注重极限思想的初期渗透初期的极限思想渗透是感悟、运用的基础，也是建构知识体系的前提。
如循环小数的建构，当学生除到有规律出现时，他们发现这些有规律的数字是无限次的出现，对于这样的无限循环小数可以用一个分数来表示，如1÷3=0.3333…=1/3等，进一步体会极限的思想。
3、注重极限思想的运用感悟利用割圆术实现化圆为方，随着等分的边数越来越多，图形就越接近长方形，从而推导出圆面积计算公式。
那么这种极限思想同样可以应用在推导圆柱体积计算公式的过程中，在化曲为直的同时进一步加深对极限思想的认识，提高了解决问题的能力。
借助极限思想，可以让学生从“有限”认识“无限”，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确，所以极限思想是小学阶段应该渗透的重要思想。
发现特殊值渗透极限思想极限思想在小学数学中的应用和渗透
发现特殊值渗透极限思想极限思想在小学数学中的应用和渗透“鸡兔同笼”问题作为人教版六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容，教材中先后呈现了列表法、假设法、方程法、抬足法四种不同的解决问题的策略。
此问题蕴含着丰富的数学思想方法，适合于小学低中高各年段，每个年段都有不同的侧重方法，与学生的发展思维相适。
以“鸡兔同笼”为教学素材，苏教版作为替换策略的练习题，北师大版把课题定位为《尝试与猜测》，而人教版则体现多种策略解决问题。
作为“通性通法”的尝试列表法解题策略，在六年级人教版多种策略中如何定位？反复思考之后，我以为，通过引导学生发现特殊值，渗透极限逼近思想，把猜测变成确定的规律，将尝试列表法进行优化，有其独特的教育价值。
教学片断：例：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”以史激趣，导入新课后，题目化简为：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。
鸡和兔各有几只？”学生尝试猜测，探索规律。
1.任意猜：（交流后，汇报你是怎么猜的，以及猜想的情况）。
2.有序猜：出示表格四个组，同桌合作从四个方向猜。
左起，右起，中间靠左，中间靠右开始猜。
3.发现特殊值，渗透极限逼近思想。
（1）由四种猜法，得一完整表格。
（课件出示）（2）认真观察，从表格中你能不能发现“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”（学生独立思考）（3）需要帮助吗？课件提示：（脚数16，头数8，16是8的2 倍）（4）再观察，你发现什么？（小组交流）（5）越靠近2倍，鸡的只数和兔子只数有什么变化？越靠近4倍呢？（6）现在让你猜兔子和鸡的只数，你会怎么猜？ 4.尝试解决例题，并说说你的想法。
片段反思：教学时，让学生经历尝试、有序列举（填表）、调整，进一步培养了学生有序思考的习惯。
通过观察表格，适时地抛出了问题：“什么情况下，鸡的只数猜多点，什么情况下，兔的只数猜多点？”引发学生的认知冲突，突显学生的深刻思考，引导发现特殊值“当兔的只数是0只，全部是鸡时，脚的只数是头数的2倍。
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对小学数学中极限思想的探讨
极限的概念最强调看不到“边界”，只有在“边界”点之后才会改变。
这一概念使学生思考如何把很复杂的数学问题变得更简单，从而学会解决问题的能力，而不只是简单地“记忆”。
此外，通过极限概念，学生能够学会加强观察、发现和分析，相应地，学生可以更容易地通过观察，剖析，做出准确的结论，从而更好的掌握知识。
小学生的数学教学应把极限的概念作为一个思维发展的理念引入，激发学生对数学的探索和推理的兴趣，使学生具有多维思维的能力和体会，从而丰富学习的内涵和形式。
极限思想不仅能够提高学生的数学思维逻辑能力，而且有助于学生在数学学习中培养更多的技术能力，提高学习效果。
总之，小学数学教学中引入极限思想，不仅有利于培养学生的创造力与分析能力，而且可以让学生在数学学习中培养科学的学习态度和动手实践精神。