误差的定义及分类
《误差理论与数据处理(苐7版)》费业泰 第1章 绪论
最大相对误差为
xm xm r s% （公式2） x x x
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确
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误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法 【例1-3 】
检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在 50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均 小于2V，问这只电压表是否Байду номын сангаас格？ 由公式2，该电压表的引用误差为 【解】
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二、误差的来源 测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计 算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误 差
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是 按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 K FU U / 2 2 中出现无理数 和 2，故 取近似公式 1.11U ，由此产生的误差即为理 论误差。
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一、误差的定义及表示法
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是 引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到 的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
r
L
L0
绝对误差 被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 L 来代替 L0 相对误差
特点：
1） 相对误差有大小和符号。 2） 无量纲，一般用百分数来表示。
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第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。
尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。
所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。
测量值与真值之差称为误差。
在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。
当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。
但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。
这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。
实际上，误差仍然是存在的。
由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。
测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。
二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。
1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。
由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。
在正确的测量结果中不应包含系统误差。
2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。
这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。
随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。
钢板误差允许值范围
钢板误差允许值范围引言钢板是一种广泛应用于建筑、制造和汽车等行业的常用材料。
在生产和加工过程中，钢板的大小和形状主要受到误差的影响。
为了保证钢板的质量和尺寸的准确性，制定了钢板误差允许值范围的标准。
本文将深入探讨钢板误差的定义、分类以及常见的允许值范围。
一、钢板误差的定义钢板误差是指在加工或生产过程中，钢板的实际尺寸与理论或设计尺寸之间的差异。
钢板误差可分为尺寸误差和形状误差两类。
1. 尺寸误差尺寸误差是指钢板的实际尺寸与理论或设计尺寸之间的差异。
尺寸误差可分为长度误差、宽度误差和厚度误差三个方面。
•长度误差：钢板长度与理论长度的差值。
•宽度误差：钢板宽度与理论宽度的差值。
•厚度误差：钢板厚度与理论厚度的差值。
2. 形状误差形状误差是指钢板的实际形状与理论或设计形状之间的差异。
形状误差可分为平直度误差、翼形误差、弯曲误差和表面质量误差等几个方面。
•平直度误差：钢板表面与平面的垂直度偏差。
•翼形误差：钢板两侧边缘的高低不平整度。
•弯曲误差：钢板在加工过程中出现的弯曲变形。
•表面质量误差：钢板表面的凹凸不平或者划痕等问题。
二、钢板误差的分类根据国家标准和行业标准，钢板误差可被划分为不同的等级和范围。
以下是常见的钢板误差分类及其允许值范围。
1. 尺寸误差分类根据国家标准，钢板尺寸误差可分为一级误差、二级误差和三级误差。
•一级误差：尺寸误差在规定的范围内，适用于高精度要求的场合，如航天器制造等。
允许值范围通常较小。
•二级误差：尺寸误差略大于一级误差，适用于一般精度要求的场合，如建筑和汽车制造等。
允许值范围适中。
•三级误差：尺寸误差较大，适用于低精度要求的场合，如大型机械制造等。
允许值范围通常较大。
2. 形状误差分类根据行业标准，钢板形状误差可分为A级、B级和C级。
•A级：形状误差最小，适用于高精度要求的场合，如航空航天等。
允许值范围较小。
•B级：形状误差略大于A级，适用于一般精度要求的场合，如建筑和机械制造等。
误差与有效数字
1．误差
(1)定义：在测量中，测出的数值(测量值)与真实值之 间的差异叫做误差 (2)分类：系统误差和偶然误差。 (3)系统误差： ①产生：仪器本身不精确、实验方法粗略或实验 原理不完善产生的。 ②系统误差的特点：多次重复测量时，测量值总 是大于(或小于)真实值。 ③减小系统误差的方法：校准测量仪器(或使用更 精密测量仪器)，改进实验方法，完善实验原理等。
(4)偶然误差：
①产生：由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测
物理量的影响而产生的。 ②特点：测量值与真实值相比有时偏大，有时偏小， 并且偏大和偏小的概率相同。 ③减小方法：多次重复测量求平均值。 (5)误差与错误的区别： 误差不是错误，一般情况下误差不可以避免，只能想办
法减小。而错误是由于操作不当引起的，在实验过程中可以
避免。
2．有效数字
(1)可靠数字：通过直接读数获得的准确数字。 (2)存疑数字：通过估读得到的那部分数字。 (3)有效数字：测量结果中能够反映被测量大小的带 有一位存疑数字的全部数字。 （4）有效数字的位数：左边开始的第一个非零数字 以及之后的所有数字（包括零）都是有效数字
测量仪器的读数规则
在中学阶段一般可根据测量仪器的最小分度来确定读数 方法： 1、最小分度是“1”的仪器，测量误差出现在下一位， 下一位按十分之一估读。如最小刻度是1mm的刻度尺， 测量误差出现在毫米的十分位上，估读到十分之几毫米。 2、最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同 一位上，估读到最小分度位。如学生用的电流表0.6A量程， 最小分度为0.02A，误差出现在安培的百分位，只读到安 培的百分位。
1 N
0 0
2 V
0
3
1
ห้องสมุดไป่ตู้100
在测量工作中，真误差、中误差和容许误差都称为绝对误差。
第六章测量误差基本知识【教学目标】使学生掌握测量中测量误差的分类，偶然误差的特性，评定误差的标准及其应用。
【重点、难点】1、重点：测量误差的分类；偶然误差的特性；2、难点：观测值及算术平均值中误差。
【教学方法】本章内容理论性较强，讲授时条理清晰，每个基本概念定义均应举测量实例加以推导或说明。
6.1 概述一、测量误差的定义在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。
二、测量误差的产生测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说，外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。
而观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的根本原因。
1 、外界环境主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致观测结果中带有误差。
2、仪器误差（1）仪器制造误差（2）检校残余误差3、观测误差观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等也会产生误差。
可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。
但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。
综上所述，观测结果的质量与观测条件的优劣有着密切的关系。
观测条件好，观测误差就可能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之，观测结果的质量就会相应降低。
当观测条件相同时，可以认为观测结果的质量是相同的。
于是，我们称在相同条件下所进行的一组观测为等精度观测，而称在不同条件下所进行的一组观测为非等精度观测。
三、误差的种类（按性质划分）1、系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的数值和正负号按一定规律变化或保持不变（或者误差数值虽有变化而正负号不变），具有这种性质的误差称为系统误差。
例如，用一支名义长度为30m，而经检定后，其实际长度为29.99m的钢尺来量距，则每量30m的距离，就会产生1cm的误差，丈量60m的距离，就会产生2cm的误差。
第六章 测量误差
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
分析化学(误差和分析数据的处理)
S y Sz y z
2
2
23
分析天平称量时，单次的标准偏差为0.10mg，求减 量法称量时的标准偏差。
W W1 W2
2 2 2 S S1 S2 0 . 10 0 . 10 0.14mg 2
3.测量值的极值误差 在分析化学中，若需要估计整个过程可能出现的 最大误差时，可用极值误差来表示。它假设在最 不利的情况下各种误差都是最大的，而且是相互 累积的，计算出结果的误差当 然也是最大的，故称极值误差。
大概率 事件
5
若无明显过失，离群值不可随意舍弃， 常用的取舍检验方法有： （1）Q 检验法 1)将所有测定值由小到大排序， 其可疑值为X1或Xn
x1 , x 2 ,x n
2)求出极差
R X n X1
3)求出可疑值与其最邻近值之差 x2 - x1 或 xn - xn-1
4)求出统计量Q
6
x n x n 1 Q x n x1
5)查临界值QP,n
或
x 2 x1 Q x n x1
6) 若Q > QP.n，则舍去可疑值，否则应保留。
过失误 差造成
不同置信度下的Q值表
测定次数n 3 4 5 6 7 8 9
偶然 误差 所致 10
Q(90%) Q(95%)
Q(99%)
0.94 0.97
0.99
0.76 0.84
0.93
第一节
一、系统误差
误差
定义：由于某种确定的原因引起的误差，也称
可测误差
特点： 分类：
①重现性
②单向性
③可测性
溶解损失 终点误差
1.方法误差:
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
gnss误差定义及处理方法
GNSS误差定义及处理方法一、引言GNSS（全球导航卫星系统）是一种通过卫星系统提供全球定位和导航服务的技术。
然而，由于各种因素的影响，GNSS定位结果往往存在一定的误差。
本文将探讨GNSS误差的定义、分类以及处理方法，旨在提高GNSS定位的精度和可靠性。
二、GNSS误差定义GNSS误差是指GNSS定位结果与真实位置之间的差异。
由于多种因素的影响，包括卫星系统、大气层、接收机等，导致GNSS定位存在不同类型的误差。
三、GNSS误差分类GNSS误差可分为系统误差和随机误差两大类。
3.1 系统误差系统误差是由于GNSS系统本身的缺陷或不完善引起的误差，通常具有一定的规律性和可预测性。
3.1.1 时钟误差GNSS卫星和接收机内部的时钟不可能完全同步，导致定位结果中存在时钟误差。
这种误差通常是由于卫星和接收机的时钟频率不同步造成的。
3.1.2 多径效应多径效应是指卫星信号在传播过程中遇到障碍物（如建筑物、树木等）反射后形成多个路径到达接收机，导致接收机接收到多个信号。
这些多个信号的相位差异会导致定位误差。
3.1.3 天线相位中心偏移天线相位中心偏移是指GNSS接收机天线的相位中心与接收机的几何中心之间的偏移，这种偏移会导致定位误差。
3.2 随机误差随机误差是由于各种随机因素引起的误差，通常是无规律的、不可预测的。
3.2.1 大气延迟大气延迟是指卫星信号在穿过大气层时，由于大气层折射和散射等因素引起的传播延迟。
这种延迟会导致定位结果的偏差。
3.2.2 多路径干扰多路径干扰是指卫星信号在传播过程中受到城市峡谷、高楼大厦等多径效应的影响，导致定位结果的随机误差。
3.2.3 接收机噪声接收机噪声是指接收机本身产生的噪声，会对接收到的信号进行干扰，导致定位结果的随机误差。
3.2.4 多普勒效应多普勒效应是指由于卫星和接收机之间的相对运动引起的频率变化，会对接收到的信号进行频率偏移，导致定位结果的随机误差。
四、GNSS误差处理方法为了减小GNSS定位误差，提高定位精度和可靠性，可以采取以下处理方法：4.1 差分定位差分定位是利用两个或多个接收机同时接收卫星信号，通过比较它们的定位结果，消除其中的一些误差。
误差理论PPT课件
图1-1 对正态分布的影响示意图
图1-2 对正态分布的影响示意图
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在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f (x)
( x )2
物理量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均 值为L’,基准仪器读数的平均值为L0’,则Δ= L’L0’，看作是测量仪器对该物理量测量时的误差。
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三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
第31页/共42页
置测信量区值间取与为真值的X若（0 干或倍数，学即期：望 ）偏差 x 的
望 的估计值，不是真值。既然是估计值，就
一定存在差值，而且这偏差值是随机误差。那么， 如何评价算术平均值的随机误差(离散度)的大小？ 和其它随机变量一样，算术平均值也是用其方差 或标准差来评价。我们先分析算术平均值的方差：
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2
X
X
2
1 n
n i 1
2
X
i
1 n2
估计值 ˆ X 与ˆ 2 X 来代替上两式中的 X 2 X
第30页/共42页
(4)（正态分布时）测量结果的置信度 由上述可知，可用测量值 Xi 的算术平均值 X
作为数学期望 的估计值，即真值 X0 的近似值。 其分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复
性标准差 ˆ x（标准偏差的估计值）来表征
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一、测量误差：测量结果减被测量的真值（测量的期望值）之差。
1）即：测量误差=测量结果-真值；对测量仪器：示值误差=仪器示值-标准示值。
2）测量误差通常通常可用示值的绝对误差、相对误差及引用误差（折合误差）来表示。
3）按照测量误差的基本性质不同，可将误差分为三大类：系统误差、随机误差和疏失误差。
二、约定真值：是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。
实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够多次的测量值之平均值作为约定真值。
一般由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该特定量的值。
三、标称范围：标称范围是指测量仪器的操纵器件调到特定位置时可得到的示值范围（定值）。
四、精度等级：在正常的使用条件下,仪表测量结果的准确程度叫仪表的准确度。
1）引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围以减小测量误差，精度等级是以它的允许误差占表盘刻度值的百分数来划分的,其精度等级数越大允许误差占表盘刻度极限值越大。
量程越大,同样精度等级的,它测得压力值的绝对值允许误差越大。
2）在工业测量中，为了便于表示仪表的质量,通常用准确度等级来表示仪表的准确程度.准确度等级就是最大引用误差去掉正,负号及百分号.准确度等级是衡量仪表质量优劣的重要指标之一。
3）我国工业仪表等级分为0.1,0.2,0.5,1.0,1.6,2.5,5.0七个等级，并标志在仪表刻度标尺或铭牌上.仪表准确度习惯上称为精度,准确度等级习惯上称为精度等级。
绝对误差:测量结果与被测量［约定］真值(标准表读数)之差。
1）公式：△：绝对误差，L：测量值，A：真值（标准表读数）△= L- A
2）绝对误差的缺点：并不能完全表示近似值的好坏程度，例如：x=10±1，y=1000±5，哪一个精度高呢？看上去x的绝对误差限比y的绝对误差限小，似乎x的精度高，其实不然。
四、相对误差:测量的绝对误差与被测量［约定］真值（标准表读数）之比的百分数所得的数值，以百分数表示。
1）由于测量值的真值是不可知的，因此其相对误差也是无法准确获知的，我们提到相对误差时，指的一般是相对误差限，即相对误差可能取得的最大值（上限）。
指绝对误差在真实值中所占的百分率。
他是相对于仪表某一点真值（标准表读数）的一种误差。
2）公式：r:相对误差，△：绝对误差，A：真值（标准表读数）r=△/ A%
五、引用误差（折合误差）：测量的绝对误差与仪表的满量程值之比，称为仪表的引用误差，它常已百分数表示。
1）引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法，他是相对于仪表满量程的一种误差；引用误差是相对误差的一种特殊形式用满量程值代替了某点真值（标准表读数），在使用上方便了很多，然而实践证明，在仪表测量范围内每个示值的绝对误差都是不同的，因此引用误差仍与仪表的具体示值有关，使用仍不方便；为此又引入了最大引用误差的概念，他既能克服上述不足，又更好的说明了误差的测量精度，所以常被用来确定仪表的精确等级。
2）最大引用误差：在仪表全量程内所测得各示值的绝对误差的最大者与满量程比值之百分数称为仪表的最大引用误差。
3）公式：r0：引用误差，△：绝对误差，A max:测量仪表的上限刻度，A min：测量仪表的下限刻度。
r0=△/ A max- A min%
4）最大引用误差是仪表基本误差的主要形式，他能更可靠的表明仪表的测量精确度，是仪表最主要的质量指标。
六举例：
有一体温计A，其量程为0-50℃，现测量一体温为37℃的人体，其温度指示值为38℃；另有一温度计B，其量程为0-1200℃，炉膛出口烟气为1050℃，而其测量示值为1040℃。
则：
A表：示值绝对误差为△A=38℃-37℃=+1
相对误差为r A=1/37%=+2.7%
引用误差为r0A=1/50-0%=+2.0%
B表：示值绝对误差为△A=1040℃-1050℃=-10℃
相对误差为r A=-10/1050%=-1%
引用误差r0A=-10/1200-0%=-0.9%
虽然B表测烟气温度绝对误差大，但其测量结果的质量却较高，即测量的准确度较A表高；另由引用误差也很容易地比较、判断出，B表优于A表，A表可信度较差。
七系统误差：在相同条件下多次重复测量同一被测量时，如果每次测量值的误差基本恒定不变（绝对值和符号不变），或按某种确定规律变化，这种误差称作系统误差。
八、随机误差（偶然误差）：是指在相同条件下多次测量同一被测量时产生的绝对值和符号不可预知的随机变化着的误差。
引起测量结果产生随机误差的原因是由于测量过程中微小且众多的影响因素综合作用的结果。
通常这些因素是人们所不知或因其变化过分微小而无法加以严格控制。
但由于其遵从正态分布规律，故只要重复测量次数足够多，就可通过数学处理得到可信的测量结果。
九疏失误差：是指由于操作人员的操作错误、粗心大意及仪表的误动作等原因而造成的误差。
十回程误差：同一个检定点，上行程与下行程测量过程中的示值之差的绝对值，又叫，变差、回差、滞后误差。
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