人教版高一数学必修一复习测试题及参考答案
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(55)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩∁U A=( )A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}2.对x∈R都成立的不等式是( )A．√x2+1≥√2x B．x2+1>2x C．1x2+1<1D．x2+4≥4x3.已知圆C:x2+y2=2，直线l:x−y+m=0，则“l与C相交”是“m<2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是( )A．(0,π2)B．(π2,π)C．(π,3π2)D．(3π2,2π)5.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，那么集合A∩B等于( )A．{3}B．{1,2}C．{1,3}D．{1,2,3} 6.下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2+14)>lgx(x>0)B．sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C．x2+1≥2∣x∣(x∈R)D．1x2+1>1(x∈R)7.函数y=2cos(2x+π4)的图象( )A．关于原点对称B．关于点(−3π8,0)对称C．关于y轴对称D．关于直线x=π4对称8.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+a2cosωx(a>0,ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤√3，若f (x ) 在 [0,π] 上的值域为 [32,√3]，则 ω 的取值范围是 ( )A ． [16,13]B ． [13,23]C ． [16,+∞)D ． [12,1]9. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −8<0}，B ={x∣ 2x −1>0}，则 A ∩B = ( ) A ． (−∞,−2) B ． (−2,12) C ． (4,+∞)D ． (12,4)10. −300∘ 的弧度数是 ( ) A ． −π6B ． −π3C ． −5π6D ． −5π3二、填空题（共10题）11. 函数 y =sin (2x −π6) 的最小正周期为 ．12. 已知 f (x )=ax 2+bx 是定义在 [a −1,2a ] 上的偶函数，则 a +b 的值是 ．13. 坐标平面内的点 (m 2,m ) 不在平面区域 x −3y +2>0 内，则 m 的范围是 ．14. 设函数 f (x )={32x −2x,x <2log 4(x 2−1),x ≥2,，则 f [f (3)]= ．15. 若函数 f (x )=log 2x +x −k (k ∈Z ) 在区间 (2,3) 内有零点，则 k = ．16. 已知集合 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}，则 M ∩N = ．17. 已知函数 f (x )=sin (kx 5+π3)，其中 k ∈N ∗，当 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x ) 至少有一个最大值与一个最小值，那么 k 的最小值为 ．18. 函数 y =(12)x 2−2的值域是 ．19. 用“>”“<”号填空：如果 a >b >0>c ，那么 ca cb ．20. 集合 {x∣ cos (πcosx )=0,x ∈[0,π]}= ．（用列举法表示）三、解答题（共10题）21. 已知集合 A ={x ∣1<ax <2}，B ={x ∣−1<x <1}，求满足 A ⊆B 的实数 a 的取值范围．22. 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a 2，若 a ∈A ，求实数 a 的值．23. 已知集合 A ={x∣ x 2−4<0}，B ={x∣ (x −2a )(x +a )<0}(a >0)．(1) 若 a =1，求 A ∩B ；(2) 若 B ⊆A ，求实数 a 的取值范围．24. 已知函数 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13x,x >1，g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣，若对任意的 x 1,x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2) 成立，求实数 k 的取值范围．25. 定义在 (−∞,0)∪(0,+∞) 上的函数 y =f (x ) 满足 f (xy )=f (x )−f (y )，且函数 f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数．(1) 求 f (−1)，并证明函数 y =f (x ) 是偶函数． (2) 若 f (4)=2，解不等式 f (x −5)−f (3x )≤1．26. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v =5log 2O10，单位是 m/s ，其中 O 表示燕子的耗氧量． (1) 计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2) 当一只燕子的耗氧量是 40 个单位时，它的飞行速度是多少？27. 判断下列函数是否为幂函数．（1）y =x 4；（2）y =1x 2；（3）y =x −2；（4）y =x 12；（5）y =2x 2；（6）y =x 3+2；（7）y =1；（8）y =√x ．28. 已知 f (x )=x 2，g (x )=x ，求函数 p (x )=f (x )⋅g (x )，并画出其图象．29. 如何理解区间的概念？30.某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价应为多少元？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】D【解析】对于A项，x≥0，故错误；当x=1时，x2+1=2x，故B项错误；当x=0时，1x2+1=1，故C项错误；对于D项，当x∈R时，x2+4≥4x恒成立，故正确．【知识点】不等式的性质3. 【答案】A【解析】“l与C相交”⇔√2<√2，解得−2<m<2．所以“l与C相交”是“m<2”的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，对于函数f(x)=7sin(x−π6)，由2kπ−π2<x−π6<2kπ+π2(k∈Z)，解得2kπ−π3<x<2kπ+2π3(k∈Z)，取k=0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−π3,2π3)，则(0,π2)⊆(−π3,2π3)，(π2,π)⊄(−π3,2π3)，A选项满足条件，B不满足条件；取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π3,8π3)，(π,3π2)⊄(−π3,2π3)且(π,3π2)⊄(5π3,8π3)，(3π2,2π)⊄(5π3,8π3)，CD选项均不满足条件．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【解析】 x =12时，A 中的不等式不成立；x =π2时，B 中的不等式不成立；x =1 时，D 中的不等式不成立；选C ．【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】B【解析】由 2x +π4=kπ，得到函数图象的对称轴方程为 x =kπ2−π8(k ∈Z )．把 x =0 代入，得 k =14∉Z ；把 x =π4 代入，得 k =34∉Z ．由此可排除C 、D ．由 2x +π4=kπ+π2，得到函数图象的对称中心的横坐标为 x =kπ2+π8(k ∈Z )．把 x =0，得 k =−14∉Z ，故排除A ； 把 x =−3π8代入，得 k =−1∈Z ，故B 正确．故选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】 f (x )=sin (ωx +π6)+a2cosωx =√32sinωx +a+12cosωx ，f (x )max=√3=√(√32)2+(1+a 2)2，因为 a >0，所以 a =2，所以 f (x )=√3sin (ωx +π3)． 因为 0≤x ≤π，ω>0，所以 π3≤ωx +π3≤ωπ+π3， 因为 32≤f (x )≤√3，所以π2≤ωπ+π3≤2π3，所以 16≤ω≤13．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为 A ={x∣ x 2−2x −8<0}={x∣ −2<x <4}，B ={x∣ 2x −1>0}={x∣ x >12}，所以 A ∩B ={x∣ 12<x <4}．【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算10. 【答案】D【知识点】弧度制二、填空题（共10题） 11. 【答案】 π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 13【解析】依题意 b =0，且 2a =−(a −1)，所以 a =13，则 a +b =13． 【知识点】函数的奇偶性13. 【答案】 [1,2]【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】 24【解析】先求 f (3)=log 48=32，再求 f (32)=33−3=24，即 f [f (3)]=24．【知识点】分段函数15. 【答案】 4【解析】因函数 f (x ) 在区间 (2,3) 内递增，则 f (2)f (3)<0，即 (log 22+2−k )⋅(log 23+3−k )<0，整理得 (3−k )⋅(log 23+3−k )<0， 解得 3<k <3+log 23，而 4<3+log 23<5． 因为 k ∈Z ，所以 k =4．【知识点】对数函数及其性质、零点的存在性定理16. 【答案】 {−2}【解析】 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}={−2,3}，∴M ∩N ={−2}． 【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 32【解析】因为 T =10πk，且任意两个整数间的距离都大于等于 1，所以 T =10πk≤1，解得 k ≥10π， 取 k =32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】 (0,4]【解析】设 t =x 2−2≥−2， 因为 y =(12)t为减函数， 所以 0<(12)t ≤(12)−2=4，故函数 y =(12)x 2−2的值域是 (0,4]．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质19. 【答案】 >【知识点】不等式的性质20. 【答案】 {π3,2π3}【知识点】集合的表示方法三、解答题（共10题）21. 【答案】①当 a =0 时，A =∅，满足 A ⊆B ．②当 a >0 时，A ={x ∣∣1a <x <2a }，又因为 B ={x ∣−1<x <1} 且 A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴： 所以 {a >0,1a ≥−1,2a≤1,所以 a ≥2．当 a <0 时，A ={x ∣∣2a<x <1a}，因为 A ⊆B ，如图， 所以 {a <0,2a ≥−1,1a≤1,所以 a ≤−2．综上所述，a 的取值范围是 {a ∣a =0或a ≥2或a ≤−2}．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性23. 【答案】(1) A =(−2,2)； 当 a =1 时，B =(−1,2)， 所以 A ∩B =(−1,2)．(2) A =(−2,2)，B =(−a,2a )，由 B ⊆A ，得不等式组：{−a ≥−2,2a ≤2, 解得 a ≤1，又因为 a >0， 所以 0<a ≤1．【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集24. 【答案】对任意的 x 1,x 2∈R ，都有 f (x 1)≤g (x 2) 成立，即 f (x )max ≤g (x )min ．观察 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13x,x >1 的图象可知，当 x =12 时，函数 f (x )max =14．因为 g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣≥∣x −k −(x −2)∣=∣k −2∣， 所以 g (x )min =∣k −2∣，所以 ∣k −2∣≥14，解得 k ≤74或 k ≥94．故实数 k 的取值范围是 (−∞,74]∪[94,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数25. 【答案】(1) 令 x =y ≠0，则 f (1)=f (x )−f (y )=0，再令 x =1，y =−1 可得 f (−1)=f (1)−f (−1)=−f (−1)， 所以 f (−1)=0．令 y =−1 可得 f (−x )=f (x )−f (−1)=f (x )，所以f(x)是偶函数．(2) 因为f(2)=f(4)−f(2)，所以f(2)=12f(4)=1，又f(x−5)−f(3x )=f(x2−5x3)，所以f(x 5−5x3)≤f(2)，因为f(x)是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，所以−2≤x 2−5x3≤2，且x2−5x3≠0，解得−1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6．所以不等式的解集为{x∣ −1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6}．【知识点】函数不等式的解法、函数的单调性、函数的奇偶性26. 【答案】(1) 由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入题中公式，可得0=5log2O10，解得O= 10个单位．(2) 将耗氧量O=40代入题中公式，得v=5log24010=5log24=10(m/s)．【知识点】函数模型的综合应用27. 【答案】（1）（2）（3）（4）（8）为幂函数，（5）（6）（7）不是幂函数．【知识点】幂函数及其性质28. 【答案】p(x)=x3，定义域为R．其大致图象如下：【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数图象29. 【答案】区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立；区间表示连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；∞是一个符号，而不是一个数，以“−∞”或“+∞”作为区间的一端时，这端必须用小括号．【知识点】函数的相关概念30. 【答案】设应将每件商品定价为x元，其月利润为y元，由题意得：y=(x−40)⋅[500−(x−50)×10]=−10x2+1400x−40000.=70时，y max=9000．当x=−14002×(−10)答：商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价70元．【知识点】函数模型的综合应用11。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(17)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若函数 f (x )=x 2−3x −4 的定义域为 [0,m ]，值域为 [−254,−4]，则实数 m 的取值范围是( ) A ． (0,4] B ． [−254,−4]C ． [32,3]D ． [32,+∞)2. 已知 a,b ∈R ，则“ab =0”是“函数“f (x )=x ∣x +a ∣+b 是奇函数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知集合 A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x∣ (x −1)(x +2)<0}，则 A ∩B = ( ) A ． {−1,0} B ． {0,1} C ． {−1,0,1} D ． {0,1,2}4. 已知 f (1x )=11+x ，那么函数 f (x ) 的解析式是 ( ) A ． f (x )=x 1+x (x ≠−1)B ． f (x )=x 1+x （x ≠−1 且 x ≠0）C ． f (x )=11+xD ． f (x )=1+x5. 设 f (x )={√x,0<x <12(x −1),x ≥1若 f (a )=f (a +1)，则 f (1a )= ( )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 86. 函数 f (x )=sinx −cos (x +π6) 的值域为 ( )A ． [−2,2]B ． [−√3,√3]C ． [−1,1]D ． [−√32,√32]7. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：f (x )={2x −1,x ∈[0,1)∣x −3∣−1,x ∈[1,+∞)，则函数 g (x )=f (x )−a (0<a <1) 的所有零点之和为 ( ) A ． 2a −1B ． log 2(a −1)C ． log 2(a +1)D ． 2−a −18. 已知函数 f (x )={lnx,x ≥11e (x +2)(x −a ),x <1（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点 A (e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． −3−2√2<a <−3+2√2 B ． a <−2 或 −3+2√2<a <23 C ． −3+2√2<aD ． a <−3−2√2 或 −3+2√2<a <239. 已知函数 f (x )=x 2+mx +2，x ∈R ，若方程 f (x )+∣x 2−1∣=2 在 (0,2) 上有两个不等实根，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−52,−1)B ． (−72,−1]C ． (−72,−1)D ． (−52,−1]10. 函数 f (x )=2x −1+log 2x 的零点所在区间是 ( ) A ． (18,14)B ． (14,12)C ． (12,1)D ． (1,2)二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=sin (x +φ)+cosx 为偶函数，则常数 φ 的一个取值为 ．12. 已知函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1在定义域 [0,+∞) 上单调递增，且对于任意 a ≥0，方程 f (x )=a 有且只有一个实数解，则函数 g (x )=f (x )−x 在区间 [0,2n ](n ∈N ∗) 上所有零点的和为 ．13. 将初始温度为 0∘C 的物体放在室温恒定为 30∘C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为 t n ，已知 t 1=0∘C ．已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）．给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；（填写模型对应的序号） ① t n+1−t n =ktn −30；② t n+1−t n =k (30−t n )；③ t n+1=k (30−t n )．在上述模型下，设物体温度从 5∘C 上升到 10∘C 所需时间为 a min ，从 10∘C 上升到 15∘C 所需时间为b min，从15∘C上升到20∘C所需时间为c min，那么ab 与bc的大小关系是．（用“>”，“=”或“<”号填空）14.已知A=(−∞,−1)∪(5,+∞)，B=(a,a+4)，若A∪B=A，则实数a的取值范围是．15.函数y=x−√1−2x的最大值为．16.已知f(x)=x5+ax3+bx−8，f(−2)=10，则f(2)=．三、解答题（共6题）17.计算：(1) 0.001−13+1654+(√24)8．(2) 2log32−log3329+log38−log553．(3) 4log23+log128−lg516+lg25−lg(12)−3−ln√e3．18.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)．(1) 若f(1)=1，写出f(x)的单调区间；(2) 是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．19.已知函数f(x)=(log4x−3)⋅log44x．(1) 当x∈[14,16]时，求该函数的值域；(2) 令g(x)=f(x)+log4x2−2a⋅log4x，求g(x)在x∈[42,44]的最值．20.已知函数f(x)=2x(x∈R)，记g(x)=f(x)+f(−x)．(1) 解不等式：f(2x)−f(x)≤6；(2) 设k为实数，若存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，求k的取值范围；(3) 记ℎ(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b（其中a，b均为实数)，若对于任意的x∈[0,1]，均有∣ℎ(x)∣≤12，求a，b的值．21.指出下列命题中，p是q的什么条件：(1) p：{x ∣x>−2或x<3}；q：{x ∣x2−x−6=0}．(2) p：a与b都是奇数；q：a+b是偶数；；q：方程mx2−2x+3=0有两个同号且不相等的实根．(3) p：0<m<1322.如图，铁路线上的AB段长100km，工厂C到铁路的距离CA为20km，现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米和公路每吨千米的运费的比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】如图，作出y=x2−3x−4的图象．由图可知，m∈[32,3]．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的定义域的概念与求法2. 【答案】B【解析】由ab=0⇒a，b中至少有一个为零，由函数f(x)=x∣x+a∣+b是奇函数⇒f(−x)=−f(x)⇒−x∣−x+a∣+b=−x∣x+a∣−b⇒x∣x−a∣−b=x∣x+a∣+b⇒a=b=0，显然由a，b中至少有一个为零，不一定能推出a=b=0，但由a=b=0，一定能推出ab=0，故“ab=0”是“函数f(x)=x∣x+a∣+b是奇函数”的必要而不充分条件．【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】A【解析】B={x∣ −2<x<1}，A={−2,−1,0,1,2}；所以A∩B={−1,0}．【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】B【解析】令t=1x ，则x=1t（t≠0且t≠−1），所以f(t)=11+1t（t≠0且t≠−1），所以f(x)=xx+1（x≠−1且x≠0）．【知识点】函数的解析式的概念与求法5. 【答案】C【解析】当 a ≥1 时，由 f (a )=f (a +1)，得 2(a −1)=2a ，无解，所以 0<a <1，a +1>1．由 f (a )=f (a +1)，得 √a =2a ，解得 a =14（a =0 舍去），则 f (1a )=f (4)=2×(4−1)=6．【知识点】分段函数6. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【知识点】函数的零点分布、分段函数9. 【答案】C【解析】当 x ∈(0,1] 时，f (x )+∣x 2−1∣=2 可化为：x 2+mx +2−(x 2−1)=2， 整理得：mx =−1，当 x ∈(1,2) 时，f (x )+∣x 2−1∣=2 可化为：x 2+mx +2+(x 2−1)=2， 整理得：2x 2+mx −1=0，此方程必有一正、一负根．要使得方程 f (x )+∣x 2−1∣=2 在 (0,2) 上有两个不等实根，则 mx =−1 在 x ∈(0,1] 内有实数解，且方程 x 2+mx −1=0 的正根落在 (1,2) 内． 记 g (x )=x 2+mx −1，则 {g (1)<0,g (2)>0,0<−1m≤1,即：{2+m −1<0,8+2m −1>0,0<−1m≤1,解得：−72<m <−1． 【知识点】函数的零点分布10. 【答案】C【解析】方法一：由题可知 f (x ) 在 (0,+∞) 上为增函数，f (12)=−1，f (1)=1,所以 f (12)⋅f (1)<0，则零点在 (12,1) 之间．故选C ． 方法二：f (18)=2×18−1+log 218<0， f (14)=2×14−1+log 214<0， f (12)=2×12−1+log 212<0， f (1)=2−1+log 21>0， 所以 (12,1)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 π2【解析】 f (x ) 为偶函数 ⇒f (x )=f (−x )． f (−x )=sin (−x +φ)+cos (−x )=sin (−x +φ)+cosx =sin (x +φ)+cosx.⇒ ① −x +φ=x +φ⇒x =0，与 φ 无关（舍）． ② −x +φ+x +φ=π+2kπ(k ∈Z )，φ=π2+kπ(k ∈Z )． 取 k =0，则 φ 的一个取值为 π2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 2n−1+22n−1，n ∈N ∗【解析】因为函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1 在定义域 [0,+∞) 上单调递增，又因为对于任意 a ≥0，方程 f (x )=a 有且只有一个实数解，所以函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1 在定义域 [0,+∞) 上单调递增，且图象连续，21−1=f (1−1)+m ，即 1=20−1+m ， 所以 m =1．画出函数 f (x ) 的图象，如图所示．由图可知，函数 f (x ) 的图象与直线 y =x 的交点的横坐标分别为 0，1，2，3，⋯，所以函数 g (x )=f (x )−x 在区间 [0,2n ](n ∈N ∗) 上所有零点分别为 0，1，2，3，⋯，2n ， 所以所有零点的和为2n (1+2n )2=2n−1+22n−1，n ∈N ∗．【知识点】函数的零点分布、函数的单调性、分段函数13. 【答案】②； >【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 (−∞,−5]∪[5,+∞)【解析】因为 A ∪B =A ， 所以 B ⊆A ，又 A =(−∞,−1)∪(5,+∞)，B =(a,a +4)， 所以 a +4≤−1 或 a ≥5，即 a ≤−5 或 a ≥5． 【知识点】包含关系、子集与真子集15. 【答案】 12【解析】由 1−2x ≥0，得 x ≤12．所以函数 y =x −√1−2x 的定义域为 (−∞,12]，因为函数 y =x 在 (−∞,12] 上为增函数，函数 y =−√1−2x 在 (−∞,12] 上为增函数，所以函数 y =x −√1−2x ，在 (−∞,12] 上为增函数，所以当 x =12 时，函数 y =x −√1−2x 有最大值为 12． 【知识点】函数的最大（小）值16. 【答案】−26【知识点】函数的奇偶性三、解答题（共6题）17. 【答案】(1)0.001−13+1654+(√24)8 =(10−3)−13+(24)54+(214)8 =10+32+4=46.(2)2log32−log3329+log38−log553=log34+log3932+log38−3=log2(4×932×8)−3=log39−3=2−3=−1.(3)4log23+log128−lg516+lg25−lg(12)−3−ln√e3=22log23+log12(12)−3−lg516+lg25−lg8−lne32=9−3−(lg516−lg25+lg8)−32=9−3−lg(516×125×8)−32=6−lg110−32=6+1−32=7−32=112.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算18. 【答案】(1) 因为f(1)=1，所以log4(a+5)=1，因此a+5=4，a=−1，此时f(x)=log4(−x2+2x+3)．由−x2+2x+3>0得−1<x<3，函数定义域为(−1,3)．令g(x)=−x2+2x+3，则g(x)在(−∞,1)上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减，又 y =log 4x 在 (0,+∞) 上单调递增， 所以 f (x ) 的单调递增区间是 (−1,1)， 单调递减区间是 (1,3)．(2) 假设存在实数 a 使 f (x ) 的最小值为 0， 则 ℎ(x )=ax 2+2x +3 应有最小值 1，因此应有 {a >0,12a−44a=1,解得 a =12．故存在实数 a =12，使 f (x ) 的最小值等于 0．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、函数的单调性19. 【答案】(1) f (x )=(log 4x )2−2log 4x −3，令 t =log 4x ，则 x ∈[14,16] 时，t ∈[−1,2]，此时有 y =t 2−2t −3， 所以 y ∈[−4,0]．(2) g (x )=(log 4x )2−2a ⋅log 4x −3，令 t =log 4x ，则 x ∈[42,44] 时，t ∈[2,4]，此时有 y =t 2−2a ⋅t −3．（ⅰ）当 a ≤2 时，y min =y ∣t=2=1−4a ；y max =y ∣t=4=13−8a ；（ⅰ）当 2<a ≤3 时，y min =y ∣t=a =−a 2−3；y max =y ∣t=4=13−8a ； （ⅰ）当 3<a <4 时，y min =y ∣t=a =−a 2−3，y max =y ∣t=2=1−4a ； （ⅰ）当 a ≥4 时，y min =y ∣t=4=13−8a ；y max =y ∣t=2=1−4a ．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、函数的值域的概念与求法20. 【答案】(1) 由 f (x )=2x ，得 f (2x )=22x ，代入 f (2x )−f (x )≤6，得 22x −2x −6≤0，即 (2x +2)(2x −3)≤0， 又因为 2x +2>0， 所以 2x ≤3，即 x ≤log 23， 故原不等式的解集为 {x∣ x ≤log 23}．(2) g (x )=2x +2−x ，g (2x 0)=22x 0+2−2x 0，g 2(x 0)=(2x 0+2−x 0)2=22x 0+2−2x 0+2 代入 g (2x 0)=k ⋅g 2(x 0)−1，得 22x 0+2−2x 0+1=k ⋅(22x 0+2−2x 0+2)，22x 0+2−2x 0+2≠0， 所以 k =22x 0+2−2x 0+122x 0+2−2x 0+2=1−14x 0+14x 0+2，由 x 0∈(1,2]，得 4<4x 0≤16， 设 t =4x 0，则 4<t ≤16，由于函数 y =t +1t 在区间 (4,16] 上是增函数，所以174<t +1t ≤25716， 所以254<4x 0+14x 0+2≤28916， 故 2125<k ≤273289．(3) f (2x +2)=4⋅4x ，ℎ(x )=f (2x +2)+a ⋅f (x )+b =4⋅4x +a ⋅2x +b ，即 ℎ(x )=4⋅(2x )2+a ⋅2x +b ，由 x ∈[0,1]，得 1≤2x ≤2，令 2x =u ，则 1≤u ≤2，所以任意的 u ∈[1,2]，均有 ∣4u 2+au +b ∣≤12（∗）， 令 ℎ(u )=4u 2+au +b ，当 −a 8≥2 时，a ≤−16，此时有 4+a +b ≤12，16+2a +b ≥−12，两式相减得 12+a ≥−1，即 a ≥−13，与条件不符；当 −a 8≤1，此时有 4+a +b ≥−12，16+2a +b ≤12，两式相减得 12+a ≤1，即 a ≤−11，与条件不符；当 −a 8∈(1,2) 时，有 4+a +b ≤12，16+2a +b ≤12，ℎ(−a 8)=−a 216+b ≥−12，得 4+a +b −(−a 216+b)≤1，16+2a +b −(−a 216+b)≤1， 分别解得 −12≤a ≤−4，−20≤a ≤−12，故 a =−12．此时（∗）变为 −12≤4u 2−12u +b ≤12 对于任意的 u ∈[1,2] 均成立，记 H (u )=4u 2−12u +b (1≤u ≤2)，则函数 H (u ) 需满足：{H (u )max ≤12,H (u )min ≥−12, 由 H (u )max =H (1)=H (2)=b −8≤12，得 b ≤172, ⋯⋯① 再由 H (u )min =H (32)=b −9≥−12，得 b ≥172, ⋯⋯② 由①②得172≤b ≤172， 故 b =172．【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性、函数的最大（小）值、函数不等式的解法21. 【答案】(1) 因为 {x ∣x >−2或x <3}，{x ∣x 2−x −6<0}={x ∣−2<x <3}，所以 {x ∣x >−2或x <3}⇒{x ∣−2<x <3}，而 {x ∣−2<x <3}⇒{x ∣x >−2或x <3}．所以 p 是 q 的必要不充分条件．(2) 因为 a 、 b 都是奇数 ⇒a +b 为偶数，而 a +b 为偶数 ⇒a 、 b 都是奇数，所以 p 是 q 的充分不必要条件．(3) mx 2−2x +3=0 有两个同号不等实根 ⇔{Δ>03m>0⇔{4−12m >0m >0⇔{m <13m >0⇔0<m <13． 所以 p 是 q 的充要条件． 【知识点】充分条件与必要条件22. 【答案】设 AD 为 x 千米，铁路和公路每吨千米运费的运费分别为 3k 和 5k ，记 B 到 C 的总运费为 y ，则 y =5k√x 2+400+3k (100−x )，即 y−300k k =5√x 2+400−3x (x ∈[0,100])，令 t =y−300k k， 则 (t +3x )2=25(400+x 2)，即 16x 2−6tx +10000−t 2=0．又因为 x ∈R ，所以 Δ=36t 2−64(10000−t 2)≥0，解得 ∣t ∣≥80．当 t =80 时，x =15，即当 D 取在距 A 点 15 千米处时最省．【知识点】函数模型的综合应用。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(31)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知函数 f (x )=3cos (ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)，其图象的相邻两条对称轴间的距离为 π2，且满足 f (−π3+x)=f (−π3−x)，则 f (x ) 的解析式为 ( ) A ． 3cos (2x −2π3) B ． 3cos (2x −π3) C ． 3cos (12x −2π3) D ． 3cos (12x −π3)2. 设集合 A ={x∣ x 2−4≤0}，B ={x∣ 2x +a ≤0}，且 A ∩B ={x∣ −2≤x ≤1}，则 a 等于 ( ) A ． −4B ． −2C ． 2D ． 43. 已知定义在 R 上的函数 f (x )，当 x >−1 时，f (x )={2x +1,−1<x ≤0∣lnx ∣,x >0，且 f (x −1) 为奇函数，若方程 f (x )=kx +k (k ∈R ) 的根为 x 1 x 2，⋯，x n ，则 x 1+x 2+⋯+x n 的所有的取值为 ( ) A ． −6 或 −4 或 −2 B ． −7 或 −5 或 −3 C ． −8 或 −6 或 −4 或 −2 D ． −9 或 −7 或 −5 或 −34. 已知函数 f (x )={sinπx,0≤x ≤1log 2014x,x >1，若 a ，b ，c 互补相等，且 f (a )=f (b )=f (c )，则a +b +c 的取值范围是 ( ) A ． (1,2014) B ． [1,2014] C ． (2,2015) D ． [2,2015]5. 已知 cos (508∘−α)=1213，则 cos (212∘+α) 等于 ( ) A ． −1213B ．1213C ． −513D ．5136. q 是 p 的充要条件的是 ( ) A ． p ：3x +2>5；q ：−2x −3>−5 B ． p ：a >2，b >2；q ：a >bC ． p ：四边形的两条对角线互相垂直平分；q ：四边形是正方形D ． p ：a ≠0；q ：关于 x 的方程 ax =1 有唯一解7.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)且f(0)=0，当x∈(0,4]时，f(x)=ln(2x)x，关于x的不等式[f(x)]2+a⋅f(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围为( )A．(−13ln6,ln2]B．(−ln2,−13ln6)C．(−13ln6,ln2)D．(−ln2,−13ln6]8.已知映射f：A→B，其中集合A={−2,−1,0,1,2,3}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在集合B中和它对应的元素为∣a∣，则集合B的子集个数是( )A．4B．16C．32D．89.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )A．B．C．D．10.定义函数序列：f1(x)=f(x)=x1−x，f2(x)=f(f1(x))，f3(x)=f(f2(x))，⋯，f n(x)=f(f n−1(x))，则函数y=f2019(x)与y=1x−2019的图象的交点坐标为( )A．(−1,−12020)B．(0,−12019)C．(1,−12018)D．(2,−12017)二、填空题（共10题）11.已知函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)，其所有的零点依次记为x1，x2，⋯，x i(i∈N∗)，则x1⋅x2⋯x i=．12.若关于x的不等式ax2−2x+3>0的解集为{x∣ −3<x<1}，则实数a=．13.已知函数f(x)=x2+2x−3的单调减区间为[−2,−1]，单调增区间为(−1,4]，则f(x)的值域是．14.设f(x)=lgx，若f(1−a)−f(a)>0，则实数a的取值范围是．15.已知log147=a，log145=b，则用a，b表示log3528=．16.对于任意的实数x∈[1,e]，总存在三个不同的实数m∈[−1,4]，使得m2xe1−m−ax−lnx=0成立，则实数a的取值范围为．17.满足不等式∣x−A∣<B(B>0,A∈R)的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b−2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则1a +4b的取值范围是．18.设函数f(x)=3x+9x，则f(log32)=．19.设a,b∈R，集合A={1,a}，B={x∣ x(x−a)(x−b)=0}，若A=B，则a=，b=．20.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“单独元”．给定A={1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“单独元”的集合共有个．三、解答题（共10题）21.已知函数f(x)=3sin(2x+π4)．(1) 求f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；(2) 求函数f(x)在R上的单调递增区间．22.设ω>0，若函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．23.已知函数f(x)=−x2+2bx+c，设函数g(x)=∣f(x)∣在区间[−1,1]上的最大值为M．(1) 若b=2，试求出M；(2) 若M≥k对任意的b，c恒成立，试求k的最大值．24.已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，求2sin2α+sin2αcos(α−π4)的值．25.已知函数f(x)=−x2+8x，g(x)=6lnx+m．(1) 求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值ℎ(t)；(2) 是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．26.已知sin(α+30∘)=1213，且60∘<α<90∘，求sinα的值．27.已知数集A={a1,a2,⋯,a n}(1≤a1<a2<⋯a n,n≥2)具有性质P；对任意的i,j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a ja i两数中至少有一个属于A．(1) 分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；(2) 证明：a1=1，且a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1=a n；(3) 证明：当n=5时，a5a4=a4a3=a3a2=a2a1．28.已知函数f(x)=sin2x−cos2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(1) 求f(2π3)的值；(2) 求f(x)的最小正周期及单调递增区间．29.作出下列函数的图象：(1) f(x)=1−x（x∈Z且−2≤x≤2）．(2) y=x2−2x(x∈[0,3))．30.设a，b均为实数，求证：a2+b2+10≥2a+6b，并指出等号成立的条件．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】由其图象的相邻两条对称轴间的距离为 π2，可得函数的最小正周期 T =2⋅π2=π， 而 T =2πω，所以 ω=2，所以 f (x )=3cos (2x +φ)， 又因为 f (−π3+x)=f (−π3−x)， 所以对称性 x =−π3，所以 2⋅(−π3)+φ=kπ，k ∈Z ，−π<φ<0， 所以 φ=−π3，所以 f (x )=3cos (2x −π3)， 故选：B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】D【知识点】函数的零点分布4. 【答案】C【解析】当 0≤x ≤1 时，函数 f (x )=sinπx 的对称轴为 x =12，当 f (x )=1 时，由 log 2014x =1，解得 x =2014， 若 a ，b ，c 互不相等，不妨设 a <b <c ， 因为 f (a )=f (b )=f (c )，所以由图象可知 0<a <12，12<b <1，1<c <2014， 且a+b 2=12，即 a +b =1，所以 a +b +c =1+c ，因为 1<c <2014， 所以 2<1+c <2014， 即 2<a +b +c <2015，所以 a +b +c 的取值范围是 (2,2015)．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】B【知识点】诱导公式6. 【答案】D【解析】由 3x +2>5 得 x >1，由 −2x −3>−5 得 x <1，故A 不符合题意；显然B 不符合题意；正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，可以是菱形，故C 不符合题意．故选D ． 【知识点】充分条件与必要条件7. 【答案】D【解析】当 0<x ≤4 时，fʹ(x )=1−ln2x x 2，令 fʹ(x )=0 得 x =e2，所以 f (x ) 在 (0,e2) 上单调递增，在 (e2,4) 上单调递减， 因为 f (x ) 是偶函数，所以 f (x +4)=f (4−x )=f (x −4)， 所以 f (x ) 的周期为 8，因为 f (x ) 是偶函数，且不等式 f 2(x )+af (x )>0 在 [−200,200] 上有且只有 200 个整数解， 所以不等式在 (0,200) 内有 100 个整数解， 因为 f (x ) 在 (0,200) 内有 25 个周期， 所以 f (x ) 在一个周期 (0,8) 内有 4 个整数解，①若 a >0，由 f 2(x )+af (x )>0，可得 f (x )>0 或 f (x )<−a ， 显然 f (x )>0 在一个周期 (0,8) 内有 7 个整数解，不符合题意； ②若 a <0，由 f 2(x )+af (x )>0，可得 f (x )<0 或 f (x )>−a ， 显然 f (x )<0 在区间 (0,8) 上无解，所以 f (x )>−a 在 (0,8) 上有 4 个整数解， 因为 f (x ) 在 (0,8) 上关于直线 x =4 对称， 所以 f (x ) 在 (0,4) 上有 2 个整数解， 因为 f (1)=ln2，f (2)=ln42=ln2，f (3)=ln63，所以 f (x )>−a 在 (0,4) 上的整数解为 x =1，x =2． 所以ln63≤−a <ln2，解得 −ln2<a ≤−ln63．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布、函数的单调性8. 【答案】B【解析】由题意可得 B ={0,1,2,3}，集合 B 中有 4 个元素，因此，集合 B 的子集个数为 24=16．【知识点】n 元集合的子集个数9. 【答案】A【解析】 f (x )=ln (x 2+1)，x ∈R ，当 x =0 时，f (0)=ln1=0，即 f (x ) 过点 (0,0)，排除B ，D ．因为 f (−x )=ln [(−x )2+1]=ln (x 2+1)=f (x )， 所以 f (x ) 是偶函数，其图象关于 y 轴对称． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象10. 【答案】A【解析】因为 f 1(x )=f (x )=x1−x ， f 2(x )=f(f 1(x ))=x 1−x1−x 1−x=x1−2x ，f 3(x )=f(f 2(x ))=x1−3x ， ⋯⋯f n (x )=f(f n−1(x ))=x1−nx ， 所以函数 y =f 2019(x )=x 1−2019x ．令 x1−2019x =1x−2019，解得 x =1（舍去）或 x =−1， 将 x =−1 代入 y =1x−2019，得 y =−12020，所以函数 y =f 2019(x ) 与 y =1x−2019的图象的交点坐标为 (−1,−12020)，故选A ．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题） 11. 【答案】 16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布12. 【答案】−1【解析】关于x的不等式ax2−2x+3>0的解集为{x∣−3<x<1}，所以关于x的方程ax2−2x+3=0的实数根为−3和1，由根与系数的关系知，3a=−3×1，解得a=−1．【知识点】二次不等式的解法13. 【答案】[−4,21]【解析】由题意得，函数的定义域为[−2,4]．因为二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=−1，又−1∈[−2,4]，图象开口向上，且区间端点4离对称轴较远，所以f(4)>f(−2)，因为f(4)=21，f(−1)=−4，所以f(4)的值域是[−4,21]．【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (0,12)【知识点】对数函数及其性质15. 【答案】2−a a+b【解析】因为log 3528=log 1428log 1435=log 14(14×147)log 145+log 147=log 14142−log 147log 145+log 147=2−log 147log 145+log 147,且 log 147=a ，log 145=b ， 所以 原式=2−aa+b ．【知识点】对数的概念与运算16. 【答案】 [16e 3,3e )【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质17. 【答案】 (−∞,12]∪[92,+∞)【解析】由题得 ∣x −(a +b −2)∣<a +b ，解得 x ∈(−2,2a +2b −2)， 又其关于原点对称，所以 2a +2b −2=2，即 a +b =2， 所以 1a +4b =a+b 2a +2(a+b )b=52+b2a +2a b ．若 a b >0，则 ba >0，此时 1a +4b =52+b2a +2a b ≥52+2√b 2a ⋅2a b=92，当且仅当 b =2a 时等号成立； 若ab <0，则 b a<0，1a +4b =52+b 2a +2a b=52−[(−b2a )+(−2ab)]≤52−2√(−b2a )⋅(−2ab)=12，当且仅当 b =2a 时等号成立． 所以 1a+4b∈(−∞,12]∪(92,+∞]．【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】 6【解析】因为函数 f (x )=3x +9x ，所以 f (log 32)=3log 32+9log 32=2+9log 94=2+4=6． 【知识点】对数的概念与运算19. 【答案】0；1【知识点】集合相等20. 【答案】13【解析】因为k∈A，k−1∉A且k+1∉A，所以所求集合中满足题意的有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,4,5}，{2,3,5}，{2,4,5}，{1,2,3,5}，{1,3,4,5}，共13个．【知识点】包含关系、子集与真子集三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由题意可f(x)min=−3，此时2x+π4=−π2+2kπ，k∈Z，解得x=−3π8+kπ，k∈Z，即当f(x)取最小值时自变量x的取值集合为{x∣ x=−3π8+kπ,k∈Z}．(2) 令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】将y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后，所得图象的函数解析式为y=sin[ω(x−4π3)+π3]+2=sin(ωx+π3−4ωπ3)+2．因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3=2kπ(k∈Z)，即ω=3k2，又因为ω>0，所以k≥1，故ω=3k2≥32．故ω的最小值为32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质23. 【答案】(1) 当 b =2 时，f (x )=−x 2+4x +c 在区间 [−1,1] 上是增函数， 则 M 是 g (−1) 和 g (1) 中较大的一个，又 g (−1)=∣−5+c∣，g (1)=∣3+c∣，则 M ={∣−5+c∣,c ≤1∣3+c∣,c >1．(2) g (x )=∣f (x )∣=∣−(x −b )2+b 2+c ∣，（ⅰ）当 ∣b∣>1 时，y =g (x ) 在区间 [−1,1] 上是单调函数，则 M =max {g (−1),g (1)}，而 g (−1)=∣−1−2b +c∣，g (1)=∣−1+2b +c∣， 则 2M ≥g (−1)+g (1)≥∣f (−1)−f (1)∣=4∣b∣>4，可知 M >2．（ⅰ）当 ∣b∣≤1 时，函数 y =g (x ) 的对称轴 x =b 位于区间 [−1,1] 之内， 此时 M =max {g (−1),g (1),g (b )}，又 g (b )=∣b 2+c ∣， ①当 −1≤b ≤0 时，有 f (1)≤f (−1)≤f (b )，则 M =max {g (b ),g (1)}≥12(g (b )+g (1))≥12∣f (b )−f (1)∣=12(b −1)2≥12； ②当 0<b ≤1 时，有 f (−1)≤f (1)≤f (b )，则 M =max {g (b ),g (−1)}≥12(g (b )+g (−1))≥12∣f (b )−f (−1)∣=12(b +1)2>12． 综上可知，对任意的 b ，c 都有 M ≥12．而当 b =0，c =12时，g (x )=∣∣−x 2+12∣∣ 在区间 [−1,1] 上的最大值 M =12， 故 M ≥k 对任意的 b ，c 恒成立的 k 的最大值为 12．【知识点】函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像24. 【答案】由 tan (α+π4)=tanα+11−tanα=12，得 tanα=−13．又 −π2<α<0，所以 sinα=−√1010，故2sin 2α+sin2αcos(α−π4)=√22(=2√2sinα=−2√55.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式、两角和与差的余弦25. 【答案】(1) f (x )=−x 2+8x =−(x −4)2+16．当 t +1<4，即 t <3 时，f (x ) 在 [t,t +1] 上单调递增，ℎ(t )=f (t +1)=−(t +1)2+8(t +1)=−t 2+6t +7;当 t ≤4≤t +1，即 3≤t ≤4 时，ℎ(t )=f (4)=16;当 t >4 时，f (x ) 在 [t,t +1] 上单调递减，ℎ(t )=f (t )=−t 2+8t.综上，ℎ(t )={−t 2+6t +7,t <3,16,3≤t ≤4,−t 2+8t,t >4.(2) 函数 y =f (x ) 的图象与 y =g (x ) 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 φ(x )=g (x )−f (x ) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．因为 φ(x )=x 2−8x +6lnx +m ，所以φʹ(x )=2x −8+6x=2x 2−8x+6x=2(x−1)(x−3)x(x >0).当 x ∈(0,1) 时，φʹ(x )>0，φ(x ) 是增函数；当 x ∈(1,3) 时，φʹ(x )<0，φ(x ) 是减函数； 当 x ∈(3,+∞) 时，φʹ(x )>0，φ(x ) 是增函数；当 x =1 或 x =3 时，φʹ(x )=0．∴φ(x )最大值=φ(1)=m −7,φ(x )最小值=φ(3)=m +6ln3−15. ∵ 当 x 充分接近 0 时，φ(x )<0，当 x 充分大时，φ(x )>0．∴ 要使 φ(x ) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 {φ(x )最大值=m −7>0,φ(x )最小值=m +6ln3−15<0,即7<m <15−6ln3.所以存在实数 m ，使得函数 y =f (x ) 与 y =g (x ) 的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为 (7,15−6ln3)． 【知识点】分段函数、函数的最大（小）值、利用导数研究函数的图象与性质26. 【答案】12√3+526． 【知识点】两角和与差的正弦27. 【答案】(1) {1,3,4} 不具有；{1,2,3,6} 具有． (2) 因为 A ={a 1,a 2,⋯a n } 具有性质 P ， 所以 a n a n 与a n a n中至少有一个属于 A ，由于 1≤a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a n a n >a n ，故 a n a n ∉A ，从而 1=an a n∈A ，所以 a 1=1．因为 1=a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a k a n >a n ，故 a k a n ∉A (k =2,3,⋯,n )，由A具有性质P可知a na k∈A(k=1,2,3,⋯,n)，又因为a na n <a na n−1<⋯<a na2<a na1，所以a na n =1，a na n−1=a2，⋯a na2=a n−1，a na1=a n，从而a na n =a na n−1+⋯+a na2+a na1=a1+a2+⋯+a n−1+a n，所以a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1=a n．(3) 由（2）知，当n=5时，有a5a4=a2，a5a3=a3，即a5=a2a4=a32，因为1=a1<a2<⋯<a5，所以a3a4>a2a4=a5，所以a3a4∉A，由A具有性质P可知a4a3∈A，由a2a4=a32，得a3a2=a4a3∈A，且1<a3a2=a2，所以a4a3=a3a2=a2，所以a5a4=a4a3=a3a2=a2a1=a2．【知识点】元素和集合的关系28. 【答案】(1) 由函数概念f(2π3)=sin22π3−cos22π3−2√3⋅sin2π3cos2π3，分别计算可得f(2π3)=2．(2) f(x)=−cos2x−√3sin2x =−2sin(2x+π6),所以f(x)的最小正周期是π．由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) f(x)=1−x（x∈Z且−2≤x≤2）的图象如图（1）所示．(2) 因为x∈[0,3)，所以这个函数的图象是抛物线y=x2−2x在0≤x<3之间的一段弧，如图（2）所示．【知识点】函数图象30. 【答案】a2+b2+10−2a−6b=(a2−2a+1)+(b2−6b+9)=(a−1)2+(b−3)2≥0，当且仅当a=1且b=3时，等号成立．【知识点】不等式的性质。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a =1.70.3，b =0.31.7，c =log 0.31.7，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <b <a C ． c <a <b D ． b <a <c2. 已知 m ∈R ，“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知 sin (α+β)=14，sin (α−β)=13，则 tanα:tanβ= ( )A ． −17B ． 17C ． −7D ． 74. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )=√x x <A√Ax ≥A （A ，c为常数），已知工人组装第 4 件产品用时 30 min ，组装第 A 件产品用时 15 min ，那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，25 D ． 60，165. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)6. 已知 a >0 且 a ≠1，下列说法中正确的是 ( ) ①若 M =N ，则 log a M =log a N ； ②若 log a M =log a N ，则 M =N ； ③若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ； ④若 M =N ，则 log a M 2=log a N 2． A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④7.定义在(−1,1]上的函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=∣∣f(x)−12∣∣−mx−m+1在(−1,1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )A．(32,+∞)B．(32,258)C．(32,2516)D．(23,34)8.实数α，β为方程x2−2mx+m+6=0的两根，则(α−1)2+(β−1)2的最小值为( )A．8B．14C．−14D．−2549.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac −bd>0B．ac−bd<0C．ad>bcD．ad<bc10.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为( )A．12R2B．12R2Ssin1cos1C．12(1−sin1cos1)R2D．(1−sin1cos1)R2二、填空题（共10题）11.已知△ABC中，sin(A+B)=45，cosB=−23，则sinB=，cosA=．12.函数y=lg(x2+2x−a)的定义域为R，则实数a的取值范围是．13.已知函数y=f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内零点的个数的最小值是个．14.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车．（精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48）15.将函数y=√4+6x−x2−2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则tanα的最大值为．16.设集合A为含有三个元素的集合，集合B={z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y}，若B={log 26,log 210,log 215}，则集合 A = ．17. 已知 p:∣x −4∣>6，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为 ．18. 已知 α 为第二象限角，sinα+cosα=12，则 cos2α= ．19. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={x +2x −3,x ≥1lg (x 2+1),x <1，则 f(f (−3))= ，f (x ) 的最小值是 ．三、解答题（共10题）21. 已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，能使扇形的面积最大，最大面积是多少？22. 已知实数 a ，b 是常数，函数 f (x )=(√1+x +√1−x +a)(√1−x 2+b)．(1) 求函数 f (x ) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若 a =−3，b =1，设 t =√1+x +√1−x ，记 t 的取值组成的集合为 D ，则函数 f (x )的值域与函数 g (t )=12(t 3−3t 2)(t ∈D ) 的值域相同．试解决下列问题：（i ）求集合 D ；（ii ）研究函数 g (t )=12(t 3−3t 2) 在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明：若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数 f (x ) 的最小值．23. 对于定义域为 R 的函数 g (x )，若存在正常数 T ，使得 cosg (x ) 是以 T 为周期的函数，则称g (x ) 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f (x ) 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R ．设 f (x ) 单调递增，f (0)=0，f (T )=4π． (1) 验证 g (x )=x +sin x3 是以 6π 为周期的余弦周期函数；(2) 设 a <b ，证明对任意 c ∈[f (a ),f (b )]，存在 x 0∈[a,b ]，使得 f (x 0)=c ；(3) 证明：“u 0 为方程 cosf (x )=1 在 [0,T ] 上的解，”的充要条件是“u 0+T 为方程 cosf (x )=1 在区间 [T,2T ] 上的解”，并证明对任意 x ∈[0,T ]，都有 f (x +T )=f (x )+f (T )．24. 已知函数 f (x )=(sinx +cosx )2+2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 的最小正周期；(2) 求 f (x ) 在 [0,π2] 上的单调区间．25. 已知函数 f (x )=a +b x (b >0,b ≠1) 的图象过点 (1,4) 和点 (2,16)．(1) 求 f (x ) 的表达式； (2) 解不等式 f (x )>(12)3−x2；(3) 当 x ∈(−3,4] 时，求函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域．26. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x 1∈D ，都存在 x 2∈D ，满足 f (x 1)=1f (x 2)，则称函数 f (x ) 为“L 函数”．(1) 判断函数 f (x )=sinx +32，x ∈R 是否为“L 函数”，并说明理由；(2) 已知“L 函数”f (x ) 是定义在 [a,b ] 上的严格增函数，且 f (a )>0，f (b )>0，求证：f (a )⋅f (b )=1．27. 记函数 f (x ) 的定义域为 D ，如果存在实数 a ，b 使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为 Ψ 函数． (1) 设函数 f (x )=1x −1，试判断 f (x ) 是否为 Ψ 函数，并说明理由； (2) 设函数 g (x )=12x +t ，其中常数 t ≠0，证明 g (x ) 是 Ψ 函数；(3) 若 ℎ(x ) 是定义在 R 上的 Ψ 函数，且函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，试判断 ℎ(x ) 是否为周期函数？并证明你的结论．28. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ．(1) 求函数 g (x ) 的解析式；(2) 若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在区间 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．29. 解答题．(1) 已知 cosα=17，cos (α+β)=−1114，α，β 都是锐角，求 cosβ 的值；(2) 已知 π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，sin2α．30.用五点法作出下列函数在[−2π,0]上的图象．(1) y=1−sinx；(2) y=sin(π+x)−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】若函数 y =f (x )=2x +m −1 有零点，则 f (0)=1+m −1=m <1， 当 m ≤0 时，函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数，则 0<m <1，此时函数 y =2x +m −1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的必要不充分条件． 【知识点】指数函数及其性质、充分条件与必要条件、对数函数及其性质3. 【答案】C【解析】 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14，sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13， 所以 sinαcosβ=724，cosαsinβ=−124，所以 tanα:tanβ=sinαcosβcosαsinβ=−7． 【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】函数的模型及其实际应用5. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ， 所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)， 所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ． 因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布6. 【答案】C【解析】对于①，当 M =N ≤0 时，log a M ，log a N 都没有意义，故不成立； 对于②，log a M =log a N ，则必有 M >0，N >0，M =N ，故成立；对于③，当 M ，N 互为相反数且不为 0 时，也有 log a M 2=log a N 2，但此时 M ≠N ，故不成立； 对于④，当 M =N =0 时，log a M 2，log a N 2 都没有意义，故不成立． 综上，只有②正确． 【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】C【解析】当 x ∈(−1,0) 时，x +1∈(0,1)，f (x )=1f (x+1)−1=1x+1−1，若函数 g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，即方程 ∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1=0 在 (−1,1] 内恰有 3 个根，也就是函数 y =∣∣f (x )−12∣∣ 与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点，作出函数图象如图：由图可知，过点 (−1,−1) 与点 (−13,0) 的直线的斜率为 32；设过点 (−1,1)，且与曲线 y =1x+1−1−12=−3x−12(x+1) 相切的切点为 (x 0,y 0)， 则 yʹ∣x=x 0=−1(x 0+1)2=y 0−1x0−(−1)， 又因为 y 0=−3x 0−12(x 0+1)，解得 {x 0=−15,y 0=−14,则切点为 (−15,−14)．所以切线的斜率为 k =1+14−1−(−15)=−2516，由对称性可知，过点 (−1,−1) 与曲线 ∣∣f (x )−12∣∣ 在 (−1,0) 上相切的切线的斜率为 2516．所以使函数 y =∣∣f (x )−12∣∣与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为(32,2516)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程8. 【答案】A【解析】因为 Δ=(2m )2−4(m +6)≥0， 所以 m 2−m −6≥0， 所以 m ≥3 或 m ≤−2．而(α−1)2+(β−1)2=α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2=(2m )2−2(m +6)−2(2m )+2=4m 2−6m −10=4(m −34)2−494,因为 m ≥3，或 m ≤−2，所以当 m =3 时，(α−1)2+(β−1)2 的最小值为 8，故选A ． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】D【解析】因为 c <d <0，所以 0<−d <−c ， 又 0<b <a ，所以 −bd <−ac ，即 bd >ac ， 又因为 cd >0，所以 bdcd >accd ，即 bc >ad ． 【知识点】不等式的性质10. 【答案】D【解析】 l =4R −2R =2R ，α=lR =2R R=2，可得：S 扇形=12lR =12×2R ×R =R 2，可得：S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1⋅cos1⋅R 2，可得：S弓形=S扇形−S三角形=R2−sin1⋅cos1⋅R2 =(1−sin1cos1)R2.【知识点】弧度制二、填空题（共10题）11. 【答案】√53；6+4√515【知识点】两角和与差的余弦12. 【答案】a<−1【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质13. 【答案】7【知识点】函数的零点分布、函数的周期性14. 【答案】5【解析】设经过n小时后才能开车，由题意得0.3(1−0.25)n≤0.09，所以(34)n≤0.3，所以nlg34≤lg310<0，所以n≥lg3−1lg3−2lg2=0.48−10.48−0.6=133，解得n≥133，故至少经过5小时才能开车．故答案为：5．【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 {1,log 23,log 25}【解析】设 A ={a,b,c }(a <b <c )，则 {a +b =log 26,b +c =log 215,c +a =log 210,所以 a +b +c =log 230，所以 a =1，b =log 23，c =log 25， 所以 A ={1,log 23,log 25}． 【知识点】元素和集合的关系17. 【答案】 0<a ≤3【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 −√74【解析】因为 sinα+cosα=12，所以 1+2sinαcosα=14，所以 2sinαcosα=−34，则 (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=74． 又因为 α 为第二象限角，所以 cosα<0，sinα>0， 则 cosα−sinα=−√72，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)(cosα+sinα)=12×(−√72)=−√74. 【知识点】二倍角公式19. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]， 若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0,即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 0 ； 2√2−3【解析】因为 f (−3)=lg [(−3)2+1]=lg10=1，所以 f(f (−3))=f (1)=1+2−3=0．当x ≥1 时，x +2x −3≥2√x ⋅2x −3=2√2−3，当且仅当 x =2x ，即 x =√2 时等号成立，此时 f (x )min =2√2−3<0；当 x <1 时，lg (x 2+1)≥lg (02+1)=0，此时 f (x )min =0．所以f(x)的最小值为2√2−3．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数三、解答题（共10题）21. 【答案】设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，所以l=40−2r．S=12lr=12(40−2r)r=20r−r2=−(r−10)2+100．所以当r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ=lr =40−2×1010=2．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) 因为实数a，b是常数，函数f(x)=(√1+x+√1−x+a)(√1−x2+b)，所以由{1+x≥0,1−x≥0,1−x2≥0.解得−1≤x≤1．所以函数的定义域是[−1,1]．对于任意x∈[−1,1]，有−x∈[−1,1]，且f(−x)=(√1+(−x)+√1−(−x)+a)(√1−(−x)2+b)=(√1−x+√1+x+a)(√1−x2+b)=f(x),即f(−x)=f(x)对x∈[−1,1]都成立．（又f(x)不恒为零）所以，函数f(x)是偶函数．（该函数是偶函数不是奇函数也可以）(2) 因为a=−3，b=1，所以f(x)=(√1+x+√1−x−3)(√1−x2+1)．设t=√1+x+√1−x(−1≤x≤1)，则t2=2+2√1−x2．所以0≤√1−x2≤1，2≤t2≤4(t≥0)，即√2≤t≤2．所以D=[√2,2]．于是，g(t)=12(t3−3t2)的定义域为D=[√2,2]．对于任意的t1,t2∈D，且t1<t2，有g(t1)−g(t2)=12[t13−3t12−(t23−3t22)]=12[(t1−t2)(t12+t1t2+t22)−3(t1−t2)(t1+t2)]=12(t1−t2)[(t12−2t1)+(t22−2t2)+(12t1t2−t1)+(12t1t2−t2)]=12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)].又t1>0，t2>0，t1−t2<0，且t1−2≤0，t2−2≤0（这里二者的等号不能同时成立），所以12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)]>0，即g(t1)−g(t2)>0，g(t1)>g(t2)．所以函数g(t)在D上是减函数．所以(g(t))min =g(2)=12×(23−3×22)=−2.又因为函数f(x)的值域与函数g(t)=12(t3−3t2)的值域相同，所以函数f(x)的最小值为−2．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性23. 【答案】(1) g(x)=x+sin x3，所以cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sin x3)=cosg(x)，所以g(x)是以6π为周期的余弦周期函数．(2) 因为f(x)的值域为R；所以存在x0，使f(x0)=c；又c∈[f(a),f(b)]，所以f(a)≤f(x0)≤f(b)，而f(x)为增函数；所以a≤x0≤b；即存在x0∈[a,b]，使f(x0)=c；(3) 若u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解；则：cosf(u0+T)=1，T≤u0+T≤2T；所以cosf(u0)=1，且0≤u0≤T；所以u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解；所以“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)：①当x=0时，f(0)=0，所以显然成立；②当x=T时，cosf(2T)=cosf(T)=1；所以f(2T)=2k1π，(k1∈Z)，f(T)=4π，且2k1π>4π，所以k1>2；（1）若k1=3，f(2T)=6π，由（2）知存在x0∈(0,T)，使f(x0)=2π；cosf(x0+T)=cosf(x0)=1⇒f(x0+T)=2k2π，k2∈Z；所以f(T)<f(x0+T)<f(2T)；所以4π<2k2π<6π；所以2<k2<3，无解；（2）若k1≥5，f(2T)≥10π，则存在T<x1<x2<2T，使得f(x1)=6π，f(x2)=8π；则T，x1，x2，2T为cosf(x)=1在[T,2T]上的4个解；但方程cosf(x)=1在[0,2T]上只有f(x)=0，2π，4π，3个解，矛盾；（3）当k1=4时，f(2T)=8π=f(T)+f(T)，结论成立；③当x∈(0,T)时，f(x)∈(0,4π)，考查方程cosf(x)=c在(0,T)上的解；设其解为f(x1)，f(x2)，⋯，f(x n)，(x1<x2<⋯<x n)；则f(x1+T)，f(x2+T)，⋯，f(x n+T)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；又f(x+T)∈(4π,8π)；而f(x1)+4π,f(x2)+4π,⋯,f(x n)+4π∈(4π,8π)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；所以f(x i+T)=f(x i)+4π=f(x i)+f(T)；所以综上对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式24. 【答案】(1) 由已知得，f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1．函数的最小正周期T=2π2=π．(2) 由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得，kπ−3π8≤x≤kπ+π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[0,π8]，所以f(x)的单调递增区间为[0,π8]，由2kπ+π2−≤2x+π4≤2kπ+3π2（k∈Z）得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[π8,π2 ]，所以f(x)的单调递减区间为[π8,π2 ]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质25. 【答案】(1) 由题意知 {4=a +b,16=a +b 2,解得 {a =0,b =4 或 {a =7,b =−3（舍去）， 所以 f (x )=4x ． (2) f (x )>(12)3−x2，所以 4x>(12)3−x2，所以 22x >2x 2−3， 所以 2x >x 2−3， 解得 −1<x <3，所以不等式的解集为 (−1,3)． (3) 因为g (x )=log 2f (x )+x 2−6=log 24x +x 2−6=2x +x 2−6=(x +1)2−7,因为 x ∈(−3,4]，所以当 x =−1 时，g (x )min =−7， 当 x =4 时，g (x )max =18，所以函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域为 [−7,18]．【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法26. 【答案】(1) 不是； (2) 反证法，略．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0}．设 f (x )=1x −1 是为 Ψ 函数，则存在实数 a ，b ，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足 a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立， 即 1a−x +1a+x −2=b ，所以 (b +2)(a 2−x 2)=2a 恒成立，所以 a =0，b =−2． 所以存在 a =0，b =−2，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意 x ≠±a 恒成立． 所以 f (x )=1x −1 是 Ψ 函数．(2) 若 g (a +x )+g (a −x )=12a−x +t +12a+x +t =b 恒成立， 则 2a+x +2a−x +2t =b (2a+x +t )(2a−x +t ) 恒成立， 即 (1−bt )(2a+x +2a−x )=b (22a +t 2)−2t 恒成立，所以 1−bt =0，b (22a +t 2)−2t =0，又 t ≠0，所以 b =1t ，a =log 2∣t∣． 所以存在实数 a ，b 使得 g (x ) 是 Ψ 函数．(3) 因为函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称， 所以 ℎ(m −x )=ℎ(m +x )，所以当 m ≠a 时， ℎ(x +2m −2a )=ℎ[m +(x +m −2a )]=ℎ[m −(x +m −2a )]=ℎ(2a −x )=ℎ(a +(a −x )),又 ℎ(a +x )+ℎ(a −x )=b ，所以 ℎ(a +(a −x ))=b −ℎ[a −(a −x )]=b −ℎ(x )，所以 ℎ(x +2m −2a )=b −ℎ(x )，ℎ(x )=b −ℎ(x +2m −2a )=ℎ(x +2m −2a +2m −2a )=ℎ(x +4m −4a )．所以 ℎ(x ) 为周期函数，周期为 4m −4a ．若 m =a ，则 ℎ(a −x )=ℎ(a +x )，且 ℎ(a −x )=b −ℎ(a +x )， 所以 ℎ(a +x )=b2，显然 ℎ(x ) 是周期函数． 综上，ℎ(x ) 是周期函数．【知识点】函数的对称性、函数的周期性、幂函数及其性质、指数函数及其性质28. 【答案】(1) g (x )=−x 2+2x ，(2) ℎ(x )=−(1+λ)x 2+2(1−λ)x +1，当 λ=−1 时，ℎ(x )=4x +1 在 [−1,1] 上显然为增函数，当 λ≠−1 时，可得 {1+λ>0,1−λ1+λ≥1, 或 {1+λ>0,1−λ1+λ≤−1,⇒−1<λ≤0 或 λ<−1，综上所述，所求 λ 的取值范围是 λ=−1 或 −1<λ≤0 或 λ<−1，即 λ≤0．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性29. 【答案】(1) 由题知，sinα=4√37，sin (α+β)=5√314，所以，cosβ=cos (α+β−α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=12． (2) 因为 0<α−β<π4，cos (α−β)=1213，所以 sin (α−β)=513，因为 π<α+β<3π2，sin (α+β)=−35，所以 cos (α+β)=−45，所以 sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665． 【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦30. 【答案】(1) 找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π2y =sinx 010−10y =1−sinx10121描点作图，如图所示．(2) 由于 y =sin (x +π)−1=−sinx −1，找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π20y =sinx 010−10y =−sinx −1−1−2−10−1描点作图，如图所示． 【知识点】正弦函数的图象。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(63)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∣ x−1≥0}，则A∩B=( )A．{0,1,2,3}B．{1,2,3}C．{2,3}D．{3}2.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )A．B．C．D．3.下列顺序能客观反映教科书中指数幂的推广过程的是( )A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂4.无论a取何正实数，函数f(x)=a x+1−2恒过点( )A．(−1,−1)B．(−1,0)C．(0,−1)D．(−1,−3)5.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:∀x∈A，2x∈B，则( )A．¬p:∀x∈A，2x∉B B．¬p:∀x∉A，2x∉BC．¬p:∃x∉A，2x∈B D．¬p:∃x∈A，2x∉B6.若函数f(x)=ka x−a−x（a>0且a≠1）是(−∞,+∞)上的单调递增的奇函数，则g(x)=log a(x+k)的图象是( )A．B．C．D．7.已知a,b,c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=38.命题“∀x>0，lnx≥1−1x”的否定是( )A．∃x0≤0，lnx0≥1−1x0B．∃x0≤0，lnx0<1−1x0C．∃x0>0，lnx0≥1−1x0D．∃x0>0，lnx0<1−1x09.已知集合A={0,1,2}，集合B={x∣ x>2}，则A∩B=( )A．{2}B．{0,1,2}C．{x∣ x>2}D．∅10.已知集合A={x∣x≥1}，B={−1,0,1,2}，则A⋂B=( )A．{2}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{x∣ x≥−1}二、填空题（共10题）11.设函数f(x)={x2+1,x≤12x,x>1，则f(f(3))=．12.本场数学考试时间2小时，请问这段时间时针旋转弧度．13.不等式(x−1)(2−x)≥0的解集是．14.设全集U={−1,0,1,2}，若集合A={−1,0,2}，则∁U A=．15.如果某人x秒内骑车行进了1千米，骑车的速度为y千米/秒，那么y=．16.设集合A={1,3,5,7}，B={x∣ 4≤x≤7}，则A∩B=．17.设集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 0≤x≤4}，则A∩B=．18.已知偶函数f(x)，且当x∈[0,+∞)时都有(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]<0成立，令a=f(−5)，b=f(12)，c=f(−2)，则a，b，c的大小关系是（用“>”连接）．19.已知A={x∣ 2x≤1}，B={−1,0,1}，则A∩B=．20.已知集合M={x∣ x>2}，集合N={x∣ x≤1}，则M∪N=．三、解答题（共10题）21.已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．22.求证：cos2(A+B)−sin2(A−B)=cos2Acos2B．23.指数函数的定义．一般地，函数y=a x（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．问题：为何指数函数的概念中规定a>0且a≠1？24.a，b是实数，比较a2+b2与2(a+b−1)的大小．25.如何记忆一元二次方程根的分布满足的条件？26.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．27.初中我们学习过哪些函数？试举几个具体的例子．28.函数的表示方法主要有哪几种？29.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若a∈R，函数y=f(x)−a的零点个数为F(a)，求F(a)的解析式．30.一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式有何联系？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】画数轴，选B．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】C【知识点】二分法求近似零点3. 【答案】A【知识点】幂的概念与运算4. 【答案】A【解析】f(−1)=−1，所以函数f(x)=a x+1−2的图象一定过点(−1,−1)．故选A．【知识点】指数函数及其性质5. 【答案】D【解析】命题p:∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，其命题的否定¬p应为：∃x∈A，2x∉B．故选D．【知识点】全（特）称命题的否定6. 【答案】C【解析】函数f(x)=ka x−a−x（a>0且a≠1）是奇函数，f(−x)=−f(x)对于任意x∈R 恒成立，即ka−x−a x=a−x−ka x对于任意x∈R恒成立，即(k−1)⋅(a x+a−x)=0对于任意x∈R恒成立，故只能是k=1，此时函数f(x)=a x−a−x，由于这个函数单调递增，故只能是a>1．函数g(x)=log a(x+k)的图象是把函数y=log a x的图象沿x轴左移一个单位得到的．【知识点】对数函数及其性质、函数的奇偶性、指数函数及其性质7. 【答案】A【解析】“a+b+c=3”的否定是“a+b+c≠3”，“a2+b2+c2≥3”的否定是“a2+b2+c2<3”．【知识点】全（特）称命题的否定8. 【答案】D【解析】“∀x>0，lnx≥1−1x ”的否定为∀x>0，lnx≥1−1x不恒成立，即“∃x0>0，lnx0<1−1x0”．故选D ．【知识点】全（特）称命题的否定9. 【答案】D【解析】由题意可知集合 A 表示的三个实数 0，1，2，而集合 B 表示的是大于 2 的所有实数，所以两个集合的交集为空集． 【知识点】交、并、补集运算10. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题） 11. 【答案】139【解析】 f (3)=23，f(f (3))=f (23)=49+1=139．【知识点】分段函数12. 【答案】 −π3【知识点】弧度制13. 【答案】 [1,2]【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】 {1}【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 x −1【知识点】函数模型的综合应用16. 【答案】 {5,7}【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 [0,2]【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】 a >c >b【解析】 x 1,x 2∈[0,+∞)，在 x 1>x 2 时，f (x 2)<f (x 1)，在 x 1<x 2 时，f (x 2)>f (x 1)，由上可知，f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，由 f (x ) 为偶函数，a =f (−5)=f (5)，c =f (−2)=f (2)， 12<2<5，即 f (12)<f (2)<f (5)， 故 a >c >b ．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性19. 【答案】 {−1,0}【解析】 A =(−∞,12]，B ={−1,0,1}，所以 A ∩B ={−1,0}． 【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性22. 【答案】左边=1+cos (2A+2B )2−1−cos (2A−2B )2=cos (2A+2B )+cos (2A−2B )2=12(cos2Acos2B −sin2Asin2B +cos2Acos2B +sin2Asin2B )=cos2Acos2B =右边.所以原等式成立． 【知识点】二倍角公式23. 【答案】①若 a =0，则当 x >0 时，a x =0；当 x ≤0 时，a x 无意义；②若 a <0，则对于 x 的某些数值，可使 a x 无意义．如 (−2)x ，这时对于 x =14，x =12，⋯，在实数范围内函数值不存在； ③若 a =1，则对于任何 x ∈R ，a x =1，是一个常量，没有研究的必要性．【知识点】指数函数及其性质24. 【答案】 a 2+b 2−2(a +b −1)=(a −1)2+(b −1)2≥0，所以 a 2+b 2≥2(a +b −1)． 【知识点】不等式的性质25. 【答案】虽然上述表格中的公式比较复杂，但结合图形理解会比较简单，因此上述公式不要死记硬背，结合图形理解其含义即可． 【知识点】二次不等式的解法26. 【答案】(1) A ={2,3,4,5}．(2) B ={−3,3}． (3) C ={2,3,5,7}． (4) D ={(1,4)}．【知识点】集合的概念27. 【答案】正比例函数 y =x ，一次函数 y =x +1，反比例函数 y =1x ，二次函数 y =x 2．【知识点】函数的相关概念28. 【答案】（1）解析法：解析法是将定义域与值域之间的对应法则用解析式表示．（2）列表法：是将定义域和值域中所有变量的对应法则用表格形式一一列出． （3）图象法：图象法是借助于二维的坐标系刻画两个变量之间的对应法则．【知识点】函数的表示方法29. 【答案】(1) 当 x ∈(−∞,0) 时，−x ∈(0,+∞)，因为 y =f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (x )=−f (−x )=−[(−x )2−2(−x )]=−x 2−2x ，f (0)=0， 所以 f (x )={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0.当 x ≥0 时，函数图象开口向上，增区间是 [1,+∞)； 当 x <0 时，函数图象开口向下，增区间是 (−∞,−1]． 所以函数 f (x ) 的单调递增区间是 (−∞,−1]，[1,+∞)．(2) 由（1）可得 f (x ) 的解析式，据此可作出函数 y =f (x ) 的图象，根据图象得，若方程 f (x )=a 恰有 3 个不同的解，则 a 的取值范围是 (−1,1)，此时 F (a )=3，当 a =±1 时，F (a )=2，当 a >1 或 a <−1 时，F (a )=1． 综上可得 F (a )={1,a <−1或a >12,a =±13,−1<a <1．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性、函数的零点分布30. 【答案】（1）一元二次函数与 x 轴的交点为一元二次方程的根；（2）一元二次函数 x 轴上方的部分对应元二次不等式大于 0，下方的部分对应一元二次不等式小于 0；（3）一元二次不等式解集的两个端点恰好为一元二次方程的根．【知识点】二次不等式的解法。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.设函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示，则a，b，c满足( )A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a2.将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到数学函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( )A．x=−π24B．x=π4C．x=5π24D．x=π123.函数f(x)=−2sin2x+sin2x+1，给出下列四个命题：①在区间[π8,5π8]上是减函数；②直线x=π8是函数图象的一条对称轴；③函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位得到；④若x∈[0,π2]，则f(x)的值域是[0,√2]．其中，正确的命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④4.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B等于( )A ． {1,2,3,4}B ． {1,2,3}C ． {2,3,4}D ． {1,3,4}5. 函数 f (x ) 在 (−∞,+∞) 单调递增，且为奇函数，若 f (1)=1，则满足 −1≤f (x −2)≤1 的 x 的取值范围是 ( ) A ． [−2,2] B ． [−1,1] C ． [0,4] D ． [1,3]6. 已知 U =R ，集合 M ={x∣ log x 23>1}，N ={x∣ lg∣ 3x −1∣ >0}，则 ( ) A ． M ∪N =R B ． M ∩N =[23,+∞) C ． N ⫋∁U MD ． ∁U M ∪N =R7. 关于 x 的方程 (13)∣x∣−a −1=0 有解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． 0<a ≤1B ． −1<a ≤0C ． a ≥1D ． a >08. 若 x ，a ，b 均为任意实数，且 (a +2)2+(b −3)2=1，则 (x −a )2+(lnx −b )2 的最小值为 ( ) A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√29. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x )={2x +2,0≤x <14−2−x ,−1≤x <0 且 f (x −1)=f (x +1)，则函数g (x )=f (x )−3x−5x−2在区间 [−1,5] 上的所有零点之和为 ( )A ． 4B ． 5C ． 7D ． 810. 关于 x 的不等式 x 2−x −5>3x 的解集是 ( ) A ． {x∣ x ≥5或x ≤−1} B ． {x∣ x >5或x <−1} C ． {x∣ −1<x <5} D ． {x∣ −1≤x ≤5}二、填空题（共10题）11. 已知 cos (π4−α)=13，则 cos 2(3π4+α)−sin (α+π4) 的值为 ．12. 函数 f (x )=√1−x3+x 的定义域为 ．13. 函数 f (x )=√x −2 的定义域为 ．14. 已知 a >0，b >0，c >0，若点 P (a,b ) 在直线 x +y +c =2 上，则4a+b+a+b c的最小值为 ．15. 函数 f (x )=sin 2x +sinxcosx +1 的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．16. 设函数 y =f (x ) 的定义域为 D ，若对任意 x 1∈D ，存在 x 2∈D ，使得 f (x 1)⋅f (x 2)=1，则称函数 f (x ) 具有性质 M ，给出下列四个结论： ①函数 y =x 3−x 不具有性质 M ； ②函数 y =e x +e −x2具有性质 M ；③若函数 y =log 8(x +2)，x ∈[0,t ] 具有性质 M ，则 t =510； ④若函数 y =3sinx+a4具有性质 M ，则 a =5．其中，正确结论的序号是 ．17. 若函数 y =f (2x −1) 的定义域是 [0,2]，则函数 y =f (x +1) 的定义域是 ．18. 已知全集 U ={x∣ 1≤x ≤5}，A ={x∣ 1≤x <a }，若 ∁U A ={x∣ 2≤x ≤5}，则 a = ．19. 定义域为 R 的函数 f (x ) 同时满足以下两条性质：①存在 x 0∈R ，使得 f (x 0)≠0； ②对于任意 x ∈R ，有 f (x +1)=2f (x )． 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数． （ⅰ）若 f (x ) 是增函数，则 f (x )= ； （ⅰ）若 f (x ) 不是单调函数，则 f (x )= ．20. 已知函数 f (n )=log (n+1)(n +2)(n ∈N ∗)，定义使 f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋯⋅f (k ) 为整数的数k (k ∈N ∗) 叫做企盼数，则在区间 [1,2017] 内的企盼数共有 个．三、解答题（共10题）21. 已知 cosα=35，α∈(−π2,0)．(1) 求 sinα 和 tanα 定义域； (2) 求 sin (α+π3) 的值．22. 判断下列函数的奇偶性：(1) y=x(tanx+cotx)；(2) y=tanx⋅cotx．23.经过函数性质的学习，我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”．(1) 若f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)=2x−1，求f(x)的解析式，并求不等式f(x)>f(2x−1)的解集；(2) 某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”．若函数g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，g(x)=x2−1x．①求g(x)的解析式；②求不等式g(x)>g(3x−1)的解集．24.下列每组对象能否构成一个集合？（1）我们班的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）√3的近似值的全体．25.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数ℎ(x)={400x−12x2,0<x≤40080000,x>400，其中x是新样式单车的月产量（单位：辆），利润=总收益−总成本．(1) 试将自行车厂的利润y（单位：元）表示为关于月产量x的函数；(2) 当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？26.设幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)在区间(0,+∞)上是严格减函数．(1) 求该函数的表达式；(2) 设f(x)=x m2−2m−3（m为奇数），g(x)=a√f(x)−bxf(x)，且函数y=g(x)的图象关于原点对称，写出实数a，b满足的条件．27.求函数y=log2x+log x(2x)的定义域和值域．28.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f(x)在区间[−π,2π]上的图象．29.已知集合A={x∣ x≥3}，B={x∣ 1≤x≤7}，C={x∣ x≥a−1}．(1) 求A∩B，A∪B；(2) 若C∪A=A，求实数a的取值范围．30.已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−π6)，x∈R．(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值和最小值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为函数 f (x ) 的图象关于 y 轴对称，所以函数 f (x ) 是偶函数， 所以 f (−x )=f (x )，即−ax+b x 2+c=ax+b x 2+c恒成立，所以 a =0．又由图知，当 x =0 时，函数取得最大值，且最大值时一个大于 1 的实数， 所以 f (0)=bc >1．又因为函数 f (x ) 的定义域为 R ，所以 x 2+c =0 无解， 所以 c >0，所以 b >c >0，所以 b >c >a ． 【知识点】函数的奇偶性、函数图象2. 【答案】A【解析】将函数 f (x )=2sin (2x +π3) 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 y =2sin (4x +π3)，再将所得图象向左平移 π12 个单位得到函数 g (x ) 的图象， 即 g (x )=2sin [4(x +π12)+π3]=2sin (4x +2π3)，由 4x +2π3=π2+kπ，k ∈Z ，得 x =14kπ−π24，k ∈Z ，当 k =0 时，离原点最近的对称轴方程为 x =−π24．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为 A ={1,2,3}，B ={2,3,4}， 所以 A ∪B ={1,2,3,4}． 【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】D【解析】 f (x ) 是奇函数，故 f (−1)=−f (1)=−1；又 f (x ) 是增函数，−1≤f (x −2)≤1，即 f (−1)≤f (x −2)≤f (1)， 则有 −1≤x −2≤1，解得 1≤x ≤3． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性6. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质7. 【答案】B【解析】方程 (13)∣x∣−a −1=0 有解等价于存在 x ∈R 使得 (13)∣x∣−1=a 成立，设 f (x )=(13)∣x∣−1={(13)∣x∣−1,x ≥03x −1,x <0，易得函数 f (x ) 的值域为 (−1,0]，所以 a 的取值范围为 −1<a ≤0，故选B ．【知识点】零点的存在性定理、指数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质、圆的切线9. 【答案】B【知识点】函数的周期性、函数的零点分布10. 【答案】B【解析】因为 x 2−x −5>3x ， 所以 x 2−4x −5>0，则 (x −5).(x +1)>0，解得 x >5 或 x <−1． 【知识点】二次不等式的解法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 −29【解析】因为 cos (3π4+α)=cos [π−(π4−α)]=−cos (π4−α)=−13，所以 cos 2(3π4+α)=19．又因为 sin (α+π4)=sin [π2−(π4−α)]=cos (π4−α)=13， 所以 cos 2(3π4+α)−sin (α+π4)=19−13=−29．【知识点】诱导公式12. 【答案】(−3,1]【知识点】函数的定义域的概念与求法13. 【答案】[2,+∞)【解析】由x−2≥0，得x≥2．所以函数f(x)=√x−2的定义域为[2,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法14. 【答案】2+2√2【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】π；[3π8+kπ,7π8+kπ]，k∈Z【解析】原式=1−cos2x2+sin2x2+1=√22sin(2x−π4)+32,故f(x)的最小正周期为π，令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，得kπ+3π8≤x≤kπ+78π(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】①③【解析】①当x1=1时，f(1)=0，显然不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=0，故函数y=x3−x不具有性质M．故①正确；②因为e x>0，则y=e x+e−x2=12(e x+1e x)≥12⋅2√e x⋅1e x=1，当且仅当e x=1e x即x=0时等号成立，所以y≥1恒成立，所以当x1≠0时，f(x1)⋅f(x2)>1恒成立，故函数y=e x+e−x2不具有性质M．故②错误；③函数y=log8(x+2)在[0,t]上是单调增函数，其值域为[log82,log8(t+2)]，要使得其具有M性质，则{1log8(t+2)≤log82,log8(t+2)≤1log82,即log82×log8(t+2)=1，解得(t+2)=83，故t=510．故③正确；④若函数y=3sinx+a具有性质M，一方面函数值不可能为零，也即3sinx+a≠0对任意的x恒成立，解得a>3或a<−3，在此条件下，另一方面，y=13sinx+a的值域是y=3sinx+a值域的子集．y=3sinx+a的值域为[a−3,a+3]，y=13sinx+a 的值域为[1a+3,1a−3]，要满足题意，只需1a+3≥a−3，1a−3≤a+3，解得a2−9=1，故a=±√10．故④错误．综上所述，正确的是①③．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质17. 【答案】[−2,2]【解析】函数y=f(2x−1)的定义域是[0,2]，则x∈[0,2]，所以2x−1∈[−1,3]，所以x+1∈[−1,3]，解得x∈[−2,2]．所以函数y=f(x+1)的定义域是[−2,2]．【知识点】函数的定义域的概念与求法18. 【答案】2【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】2x；2x sin2πx（答案不唯一）【知识点】指数函数及其性质、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的单调性20. 【答案】9【解析】令g(k)=f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅⋯⋅f(k)，因为f(k)=log(k+1)(k+2)=lg(k+2)lg(k+1)，所以g(k)=lg3lg2×lg4lg3×⋯×lg(k+2)lg(k+1)=lg(k+2)lg2=log2(k+2)．若g(k)为企盼数，则k+2=2n，n∈N∗．因为k∈[1,2017]，所以k+2∈[3,2019]，即2n∈[3,2019]．因为22=4，⋯，210=1024，211=2048，所以可取n=2,3,⋯,10．因此在区间[1,2017]内的企盼数共有9个．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 由 cosα=35，α∈(−π2,0)， 所以 sinα=−√1−cos 2α=−45．所以 tanα=sinαcosα=−43．(2)sin (α+π3)=sinαcos π3+cosαsin π3=−45×12+35×√32=−4+3√310.【知识点】两角和与差的正弦22. 【答案】(1) 偶函数． (2) 偶函数．【知识点】正切函数的性质、函数的奇偶性23. 【答案】(1) 设 x >0，则 −x <0，则 f (−x )=2⋅(−x )−1=−2x −1， 又因为 f (x ) 为偶函数，所以 f (x )=f (−x )=−2x −1， 所以 f (x )={2x −1,x ≤0−2x −1,x >0．因为 f (x ) 为偶函数，且 f (x ) 在 [0,+∞) 上是减函数， 所以 f (x )>f (2x −1) 等价于 ∣x ∣<∣2x −1∣， 即 x 2<(2x −1)2，解得 x <13 或 x >1．所以不等式的解集是 {x∣ x <13或x >1}．(2) ①因为 g (x ) 的图象关于直线 x =1 对称， 所以 y =g (x +1) 为偶函数，所以 g (1+x )=g (1−x )，即 g (x )=g (2−x ) 对任意 x ∈R 恒成立． 又因为当 x <1 时，2−x >1，所以 g (x )=g (2−x )=(2−x )2−12−x =x 2−4x +4+1x−2，所以 g (x )={x 2−1x ,x ≥1x 2−4x +4+1x−2,x <1． ②任取 x 1,x 1∈[1,+∞)，且 x 1<x 2，则 g (x 1)−g (x 2)=x 12−1x 1−(x 22−1x 2)=(x 1−x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2)，因为 x 1<x 2，所以 x 1−x 2<0，又因为 x 1+x 2>0，1x 1x 2>0，所以 (x 1−x 2)⋅(x 1+x 2+1x 1x 2)<0，即 g (x 1)<g (x 2)， 所以函数 y =g (x ) 在 [1,+∞) 上是增函数，又因为函数 g (x ) 的图象关于直线 x =1 对称，所以 g (x )>g (3x −1) 等价于 ∣x −1∣>∣3x −2∣，即 (x −1)2>(3x −2)2，解得 12<x <34． 所以不等式的解集为 {x∣ 12<x <34}． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性24. 【答案】（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合；（2）任给一个实数 x ，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20 或 x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“√3 的近似值”不明确精确到什么程度，因此无法判断一个数（如“2”）是不是它的近似值，所以（4）不能构成集合．【知识点】集合的概念25. 【答案】(1) 依题设知，总成本为 (20000+100x ) 元，则 y ={−12x 2+300x −20000,0<x ≤400,且x ∈N 60000−100x.x >400,且x ∈N． (2) 当 0<x ≤400 时，y =−12(x −300)2+25000，故当 x =300 时，y max =25000；当 x >400 时，y =60000−100x 是减函数，故 y <60000−100×400=20000．所以当月产量为 300 辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为 25000 元．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用26. 【答案】(1) 由题意，可知 m 2−2m −3<0，解得 −1<m <3，又 m ∈Z ，所以 m =0,1,2，当 m =0 或 m =2 时，y =x −3；当 m =1 时，y =x −4，所以 y =x −3 或 y =x −4．(2) 由 m 为奇数，可知 f (x )=x −4，得 g (x )=ax −2−bx 3，由题意知 g (−x )=−g (x )，可得 a =0，b ≠0．【知识点】幂函数及其性质、函数的单调性、函数的对称性27. 【答案】由 {x >0,x ≠1,2x >0得 x >0 且 x ≠1，所以此函数的定义域为 (0,1)∪(1,+∞)．由 y =log 2x +log x (2x )=log 2x +log x 2+1，则：当 x >1 时，log 2x >0，log 2x +log x 2≥2（当且仅当 x =2 时，等号成立），得 y ≥3； 当 0<x <1 时，log 2x <0，log 2x +log x 2≤−2（当且仅当 x =12 时，等号成立），得 y ≤−1． 综上所述，此函数的值域为 (−∞,−1]∪[3,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法28. 【答案】因为 1−sinx ≥0 且 1+sinx ≥0 在 R 上恒成立，所以函数的定义域为 R ；因为 f 2(x )=(√1−sinx +√1+sinx)2=2+2∣cosx∣，所以由 ∣cosx∣∈[0,1]，f 2(x )∈[2,4] 可得函数的值域为 [√2,2]；因为 f (x +π)=√1+sinx +√1−sinx =f (x )，所以函数的最小正周期为 π．因为当 x ∈[0,π2] 时，f (x )=√1−sinx +√1+sinx =2cos x 2，在 [0,π2] 上为减函数； 当 x ∈[π2,π] 时，f (x )=√1−sinx +√1+sinx =2sin x 2，在 [π2,π] 上为增函数． 所以 f (x ) 在 [kπ−π2,kπ] 上递增，在 [kπ,kπ+π2] 上递减 (k ∈Z )．因为 f (−x )=f (x ) 且 f (π2−x)=f (π2+x)，所以f(x)在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x=kπ2对称．因此，可得如下表格：【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) A∩B={x∣ x≥3}∩{x∣ 1≤x≤7}={x∣ 3≤x≤7}，A∪B={x∣ x≥3}∪{x∣ 1≤x≤7}={x∣ x≥1}．(2) 因为C∪A=A，所以C⊆A，所以a−1≥3，即a≥4．故实数a的取值范围为{a∣ a≥4}．【知识点】交、并、补集运算30. 【答案】(1) 由已知，有f(x)=1−cos2x2−1−cos(2x−π3)2=12(12cos2x+√34sin2x)−12cos2x=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6),所以的最小正周期T=2π2=π；(2) 当−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，所以f(x)在区间(−π3,−π6)上是减函数，在区间[−π6,π4]上是增函数，f(−π3)=−14，f(−π6)=−12，f(π4)=√34，所以f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值为√34，最小值为−12．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
高一数学必修一集合复习练习题及单元测试含及解析
集合练习题1．设集合 A ＝ {x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，那么A∪B等于()A． {x|x≥3}B． {x|x ≥ 2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x≥4}2．集合A＝ {1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，那么A∩ B＝()A． {3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}3. 集合A＝ {x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，那么A∪B＝()A． {x|x≥－1}B．{x|x≤2 }C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2} 4. 满足 M?{，，，} ，且 M∩{，，} ＝ {，} 的集合M 的个数是 () A． 1B ．2C ．3D．45．集合A＝ {0,2 ， a} ， B ＝ {1 ，} ．假设 A∪ B＝ {0,1,2,4,16}，那么a的值为() A． 0B．1C．2D．46．设S＝ {x|2x ＋ 1>0} ， T＝ {x|3x － 5<0} ，那么 S∩ T＝ ()A． ?B．{x|x<－1/2}C． {x|x>5/3}D．{x|－1/2<x<5/3}7． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30 名，参加乙项的学生有25 名，那么仅参加了一项活动的学生人数为________ ．8．满足 {1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合 A 的个数是 ________ ．9．集合A＝ {x|x ≤1} ， B＝ {x|x ≥a} ，且 A∪B ＝R，那么实数 a 的取值范围是________ ．10. 集合A＝ { － 4,2a － 1，} ， B＝ {a － 5,1 － a,9} ，假设 A ∩B＝ {9} ，求 a 的值．..11 ．集合A＝ {1,3,5}，B＝{1,2，－1}，假设A∪ B＝{1,2,3,5}，求x 及A∩B.12 ． A ＝ {x|2a ≤ x≤a＋ 3} ， B＝{x|x<－1或x>5}，假设A∩ B＝?，求a的取值范围．13 ． (10 分 ) 某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，那么同时参加数学和化学小组的有多少人？集合测试一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(39)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④2. 设全集为 R ，A ={x ∣x 2−5x −6>0}，B ={x ∣−2<x <12}，则 ( ) A ． (∁R A )∪B =R B ． A ∪(∁R B )=R C ． (∁R A )∪(∁R B )=RD ． A ∪B =R3. 已知函数 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1，则满足 f (2x +1)<f (3x −2) 的实数 x 的取值范围是( ) A ． (−∞,0] B ． (3,+∞) C ． [1,3) D ． (0,1)4. 已知函数 f (x )={x 2+4a,x >01+log a ∣x −1∣,x ≤0（a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递增，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=x +3 恰好有两个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (34,1316]B ． (0,34]∪{1316}C ． [14,34)∪{1316}D ． [14,34]∪{1316}5. 已知 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32，则 cos (α−β)= ( ) A ． −12B ． −√32C ． 12D ． 16. 已知函数 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m 区间 [0,1] 上有且只有一个零点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,√2]∪[3,+∞)C ． (0,√2]∪[2√3,+∞)D ． (0,1]∪[3,+∞)7. 已知函数 f (x )=sin2x ，x ∈[a,b ]，则“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A ． [25,12)B ． (0,25]C ． (0,12)D ． (0,15]9. 函数 f (x )=lnx +2x −6 的零点一定位于区间 ( ) A ． (1,2) B ． (2,3) C ． (3,4) D ． (4,5)10. 已知 a =log 0.92019，b =20190.9，c =0.92019，则 ( ) A ． a <c <b B ． a <b <c C ． b <a <c D ． b <c <a二、填空题（共10题） 11. 已知函数 f (x )=3x −13x +1，若不式 f (kx 2)+f (2x −1)<0 对任意 x ∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知函数 f (x )=lg 1−x 1+x ，若 f (a )=b ，则 f (−a )= ．13. 已知一次函数 f (x ) 满足 f [f (x )]=4x +3，且 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (1)= ．14. 已知 f (x ) 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数，当 x ∈(0,e )，f (x )=lnx ，若在区间 [−e,3e ]，关于 x 的方程 f (x )=kx 恰有 4 个不同的解，则 k 的取值范围是 ．15. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．16. 用二分法求函数 y =f (x ) 在区间 [2,4] 上零点的近似解，经验证有 f (2)f (4)<0．取区间的中点 x 1=2+42=3，计算得 f (2)f (x 1)<0，则此时零点 x 0∈ （填区间）．17. 函数 f (x )=2x 与 g (x )=x 2 的图象交点个数是 个．18. 若某种参考书每本 2.5 元，则购书 x 本这种参考书的费用 y 关于 x 的函数表达式为 ．19.已知13≤k<1，函数f(x)=∣2x−1∣−k的零点分别为x1，x2（x1<x2），函数g(x)=∣2x−1∣−k2k+1的零点分别为x3，x4（x3<x4），则(x4−x3)+(x2−x1)的最小值为．20.已知函数f(x)=∣∣x+1x∣∣，给出下列命题：①存在实数a，使得函数y=f(x)+f(x−a)为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数y=f(x)+f(x−a)关于x=m对称；③若对任意非零实数a，f(x)+f(x−a)≥k都成立，则实数k的取值范围为(−∞,4]；④存在实数k，使得函数y=f(x)+f(x−a)−k对任意非零实数a均存在6个零点．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共10题）21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=π4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a,b)．(1) 当θ=π6时，求ab的值；(2) 设θ∈[π4,π2]，求b−a的取值范围．22.化简：(1) 1+sin(α−2π)sin(π+α)−2cos2(−α)；(2) sin(−1071∘)sin99∘+sin(−171∘)sin(−261∘)．23.已知f(x)=e x−ae x是奇函数（e为自然对数的底数）．(1) 求实数a的值；(2) 求函数y=e2x+e−2x−2λf(x)在[0,+∞)上的值域；(3) 令g(x)=f(x)+x，求不等式g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0的解集．24. 已知 α，β 为锐角，tanα=43，cos (α+β)=−√55． (1) 求 cos2α 的值； (2) 求 tan (α−β) 的值．25. 设函数 f (x )=∣x −a ∣，a ∈R ．(1) 当 a =2 时，解不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣；(2) 若关于 x 的不等式 f (x )≤4 的解集为 [−1,7]，且两正数 s 和 t 满足 2s +t =a ，求证：1s+8t ≥6．26. 已知 a ≥1，函数 f (x )=sin (x +π4)，g (x )=−sinxcosx −1+√2af (x )．(1) 若 f (x ) 在 [−b,b ] 上单调递增，求正数 b 的最大值； (2) 若函数 g (x ) 在 [0,3π4] 内恰有一个零点，求 a 的取值范围．27. 对于函数 f (x )=ax 2+(b +1)x +b −2，(a ≠0)，若存在实数 x 0，使 f (x 0)=x 0 成立，则称x 0 为 f (x ) 的不动点．(1) 当 a =2，b =−2 时，求 f (x ) 的不动点；(2) 当 a =2 时，函数 f (x ) 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，求实数 b 的取值范围； (3) 若对于任意实数 b ，函数 f (x ) 恒有两个不相同的不动点，求实数 a 的取值范围．28. 用适当的方法表示下列集合：(1) 二次函数 y =x 2−4 的函数值组成的集合； (2) 反比例函数 y =2x 的自变量组成的集合； (3) 不等式 3x ≥4−2x 的解集．29. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，当 x ≤0 时，f (x )=x 2+4x ．(1) 求出 f (x ) 的解析式，并直接写出 f (x ) 的单调区间． (2) 求不等式 f (x )>3 的解集．30. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2016 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 p =3−2x+1（其中 0≤x ≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），每一件产品的)元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．销售价格定为(4+20p(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2) 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即 1x 2=2−1x 1，当 x 1=12 时，2−1x 1=2−2=0，此时 1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件． 故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】B【解析】法一：由 f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1可得当 x <1 时，f (x )=1；当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (1)=log 22=1， 要使得 f (2x +1)<f (3x −2)，则 {2x +1<3x −2,3x −2>1, 解得 x >3，即不等式 f (2x +1)<f (3x −2) 的解集为 (3,+∞)． 法二：当 x ≥1 时，函数 f (x ) 在 [1,+∞) 上单调递增，且 f (x )≥f (1)=1， 要使 f (2x +1)<f (3x −2) 成立，需 {2x +1≥1,2x +1<3x −2 或 {2x +1<1,3x −2>1,解得 x >3．【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】由函数的解析式可知函数在区间(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，函数y=∣x−1∣单调递减，由复合函数的单调性法则可知：0<a<1，且函数在x=0处满足：02+4a≥1+log a∣0−1∣，解得：a≥14，故14≤a<1，方程∣f(x)∣=x+3恰有两个不相等的实数解，则函数∣f(x)∣与函数y=x+3的图象有且仅有两个不同的交点，绘制函数∣f(x)∣的图象如图中虚线所示，令1+log a∣x−1∣=0可得：x=1±1a，由14≤a<1可知1+1a>1，1−1a≥−3，则直线y=x+3与函数∣f(x)∣的图象在区间(−∞,0]上存在唯一的交点，原问题转化为函数y=x+3与二次函数y=x2+4a(14≤a<1)在区间(0,+∞)上存在唯一的交点，很明显当4a≤3，即a≤34时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为(x0,x02+4a)，亦即(x0,x0+3)，由函数的解析式可得：yʹ=2x，故2x0=1，x0=12，则x0+3=72，故切点坐标(12,72)，从而x02+4a=72，即14+4a=72，a=1316．据此可得：a的取值范围是[14,34]∪{1316}．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】A【解析】由 cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=√32， 两边平方相加得，(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=(12)2+(√32)2=1，所以 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1， 即 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=−1， 所以 cos (α−β)=−12． 故选A ．【知识点】两角和与差的余弦6. 【答案】D【解析】由 f (x )=m 2x 2−2mx −√x +1−m =0， 得 m 2x 2−2mx +1=√x +m ，令 g (x )=m 2x 2−2mx +1=(mx −1)2，ℎ(x )=√x +m ，问题等价于函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． 又函数 g (x )=(mx −1)2 的图象为经过点 (0,1)，对称轴为 x =1m 的抛物线，函数 ℎ(x )=√x +m 在区间 [0,1] 上单调递增，且图象经过点 (0,m ) 和 (1,1+m )． ①当 0<m ≤1 时，1m ≥1，所以函数 g (x )=(mx −1)2 在区间 [0,1] 上单调递减， 又当 0<m ≤1 时，g (1)=(m −1)2<1，ℎ(1)=1+m >1， 所以 g (1)<ℎ(1)，所以函数 g (x )=(mx −1)2 和 ℎ(x )=√x +m 的图象在区间 [0,1] 上有且只有一个交点． ②当 m >1 时，0<1m<1，在同一坐标系内做出两个函数的图象，如图所示． 由图形可得，要使两个函数的图象有且只有一个交点， 则需满足当 m >1 时，g (1)≥ℎ(1)， 即 {m >1,m 2−3m ≥0,解得 m ≥3．综上，正实数 m 的取值范围是 (0,1]∪[3,+∞)．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】B【解析】 f (x ) 的最小正周期 T =2π2=π，所以当 x ∈[a,b ] 时，f (x )∈[−1,1]，则 b −a ≥π2 恒成立， 而当 a =0，b =π2时，a −b ≥π2，此时 f (x )∈[0,1]，故“b −a ≥π2”是“f (x ) 的值域为 [−1,1]”的必要而不充分条件．故B 选项符合题意．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )={(2a −1)x +a,x ≥2log a (x −1),1<x <2 是 (1,+∞) 上的减函数，所以 {2a −1<0,0<a <1,log a 1≥2(2a −1)+a,即 {a <12,0<a <1,a ≤25,解得 0<a ≤25．【知识点】函数的单调性9. 【答案】B【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】A【解析】因为 a <0，b >1，0<c <1， 所以 a <c <b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (−∞,−1)【解析】易证 f (x )=3x −13x +1 为奇函数，所以 f (kx 2)+f (2x −1)<0⇒f (kx 2)<f (1−2x )． 因为 f (x )=3x −13x +1=1−23x +1，所以 f (x ) 在 R 上单调递增，所以 f (kx 2)<f (1−2x )⇒kx 2<1−2x ⇒kx 2+2x −1<0 在 R 上恒成立， 所以 {k <0,Δ=4+4k <0, 解得 k <−1，所以实数 k 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性12. 【答案】 −b【解析】由 1−x1+x >0，得 {1−x >0,1+x >0, 或 {1−x <0,1+x <0,所以 −1<x <1．故 f (x ) 的定义域为 (−1,1)，而 f (−x )=lg 1+x1−x =lg (1−x 1+x )−1=−lg 1−x1+x =−f (x )，所以 f (x ) 为奇函数，所以 f (−a )=−f (a )=−b ． 【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】 3【解析】根据题意，函数 f (x ) 是一次函数，设 f (x )=ax 十b ，则 f [f (x )]=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =4x +3，则有 {a 2=4,ab +b =3.解得：{a =2,b =1, 或 {a =−2,b =−3.又由 f (x ) 在 R 上为单调递增函数，则 f (x )=2x +1， 故 f (1)=2+1=3． 【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (−∞,−1e]∪[13e ,1e)【知识点】函数的零点分布15. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点， 此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象16. 【答案】 (2,3)【解析】因为 x 1=3，且 f (2)⋅f (3)<0，所以 x 0∈(2,3)． 【知识点】零点的存在性定理17. 【答案】 3【知识点】函数的零点分布18. 【答案】 y =2.5x ，x ∈N ∗【知识点】函数的解析式的概念与求法19. 【答案】log23【解析】f(x)=∣2x−1∣−k=0⇒2x1=1−k，2x2=1+k⇒x1=log2(1−k)，x2=log2(1+k)，g(x)=∣2x−1∣−k2k+1=0⇒2x3=k+12k+1，2x4=3k+12k+1⇒x3=log2k+12k+1，x4=log23k+12k+1，由（1）（2）得(x4−x3)+(x2−x1)=log23k+11−k =log2(41−k−3)，因为13≤k<1，故(x4−x3)+(x2−x1)≥log23．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】②③④【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由三角函数的定义，可得P(cosπ4,sinπ4)，Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))．当θ=π6时，Q(cos5π12,sin5π12)，即a=cos5π12，b=sin5π12，所以ab=cos5π12sin5π12=12×2×cos5π12sin5π12=12×sin5π6=14．(2) 因为Q(cos(π4+θ),sin(π4+θ))，所以a=cos(π4+θ)，b=sin(π4+θ)，由三角恒等变换的公式，化简可得：b−a=sin(π4+θ)−cos(π4+θ)=√2[sin(π4+θ)cosπ4−cos(π4+θ)sinπ4]=√2sinθ,因为θ∈[π4,π2]，所以1≤√2sinθ≤√2．即b−a的取值范围为[1,√2]．【知识点】任意角的三角函数定义、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) −cos2a．(2) 0．【知识点】诱导公式23. 【答案】(1) 因为f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)=0，故1−a=0，即a=1．经检验，满足题意．(2) 设e x−1e x =t（t≥0），则e2x+1e2x=t2+2，设y=ℎ(t)=t2−2λt+2=(t−λ)2+2−λ2，t∈[0,+∞)．①当λ≤0时，ℎ(t)≥ℎ(0)，所以函数的值域为[2,+∞)；②当λ>0时，ℎ(t)≥ℎ(λ)，所以函数的值域为[2−λ2,+∞)．(3) 因为g(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以g(−x)=f(−x)+(−x)=−f(x)−x=−(f(x)+x)=−g(x)，故g(x)为奇函数．任取x1，x2，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(e x1−e x2)−(1e x1−1e x2)+(x1−x2)=(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)+(x1−x2),因为x1<x2，所以(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)<0，x1−x2<0，所以g(x1)−g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，故g(x)在R上单调递增．由g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0，得g((log2x)2)≥−g(2log2x−3)，即g((log2x)2)≥g(−2log2x+3)，所以(log2x)2≥−2log2x+3，所以(log2x)2+2log2x−3≥0，解得log2x≥1或log2x≤−3，故x≥2或0<x≤18．故原不等式的解集为(0,18]∪[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性24. 【答案】(1) 因为 tanα=43，tanα=sinαcosα， 所以 sinα=43cosα，因为 sin 2α+cos 2α=1，所以 cos 2α=925， 因此，cos2α=2cos 2α−1=−725．(2) 因为 α，β 为锐角，所以 α+β∈(0,π)， 因为 cos (α+β)=−√55， 所以 sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55．因此 tan (α+β)=−2， 因为 tanα=43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=−247，因此tan (α−β)=tan [2α−(α+β)]=tan2α−tan (α+β)1+tan2αtan (α+β)=−211.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式25. 【答案】(1) 当 a =2 时，不等式：f (x )≥6−∣2x −5∣，可化为 ∣x −2∣+∣2x −5∣≥6． ① x ≥2.5 时，不等式可化为 x −2+2x −5≥6，所以 x ≥133；② 2≤x <2.5，不等式可化为 x −2+5−2x ≥6，所以 x ∈∅； ③ x <2，不等式可化为 2−x +5−2x ≥6，所以 x ≤13，综上所述，不等式的解集为 (−∞,13]∪[133,+∞)．(2) 不等式 f (x )≤4 的解集为 [a −4,a +4]=[−1,7]， 所以 a =3，所以 1s +8t =13(1s +8t )(2s +t )=13(10+ts +16s t)≥6，当且仅当 s =12，t =2 时取等号．【知识点】绝对值不等式的求解、均值不等式的应用26. 【答案】(1) 由2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z．因为f(x)在[−b,b]上单调递增，令k=0，得−3π4≤x≤π4是f(x)的一个单调递增区间，所以{b≤π4,−b≥−3π4,解得b≤π4，可得正数b的最大值为π4．(2) g(x)=−sinxcosx+√2af(x)−1=−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1，设t=sinx+cosx+√2sin(x+π4)，当x∈[0,3π4]时，t∈[0,√2]．它的图形如图所示．又sinxcosx=12(t2−1)，则−sinxcosx+a(sinx+cosx)−1=12t2+at−12，t∈[0,√2]，令ℎ(t)=−12t2+at−12，则函数g(x)在[0,3π4]内恰有一个零点，转化为ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点．①当t=0时，ℎ(t)无零点．②当t=√2时，由√2a−32=0，得a=3√24，把a=3√24代入−12t2+at−12=0中，得−12t2+3√24t−12=0，解得t1=√2，t2=√22，不符合题意．③当0<t<√2时，若Δ=a2−1=0，得a=1，此时t=1，由t=√2sin(x+π4)的图象可知不符合题意；若Δ=a2−1>0，即a>1，设−12t2+at−12=0的两根分别为t1，t2，由t1t2=1，且抛物线的对称轴为t=a≥1，要使ℎ(t)=−12t2+at−12在[0,√2]内恰有一个零点，则两同时为正，且一个根在(0,1)内，另一个根在(√2,+∞)内，所以{ℎ(1)>0,ℎ(√2)>0,解得a>3√24．综上，a的取值范围为(3√24,+∞)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) 当a=2，b=−2时，f(x)=2x2−x−4，所以由 f (x )=x 得 x 2−x −2=0，所以 x =−1 或 x =2， 所以 f (x ) 的不动点为 −1，2．(2) 当 a =3 时，f (x )=2x 2+(b +1)x +b −2， 由题意得 f (x )=x 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，即方程 2x 2+bx +b −2=0 在 (−2,3) 内的两个不相等的实数根， 设 g (x )=2x 2+bx +b −2，所以只须满足 {g (−2)=8−2b +b −2>0,g (3)=18+3b +b −2>0,−2<−b4<3,b 2−8(b −2)>0, 所以 {b <6,b >−4,−12<b <8,b ≠4, 所以 −4<b <4 或 4<b <6．(3) 由题意得：对于任意实数 b ，方程 ax 2+bx +b −2=0 总有两个不相等的实数解， 所以 {a ≠0,Δ=b 2−4a (b −2)>0,所以 b 2−4ab +8a >0 对 b ∈R 恒成立， 所以 16a 2−32a <0，所以 0<a <2．【知识点】函数的零点分布28. 【答案】(1) {y∣ y ≥−4}． (2) {x∣ x ≠0}． (3) {x∣ x ≥45}．【知识点】集合的表示方法29. 【答案】(1) 当 x >0 时，−x <0，f (−x )=(−x )2+4(−x )=x 2−4x ， 因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f (x )=−f (x )=−x 2+4x ， 所以 f (x )={x 2+4x,x ≤0−x 2+4x,x >0，f (x ) 的单调减区间为 (−∞,−2) 和 (2,+∞)，单调增区间为 (−2,2)．(2) 当 x ≤0 时，x 2+4x >3，即 x 2+4x −3>0， 即 x <−2−2√7 或 x >−2+2√7， 因为 x ≤0，所以 x <−2−2√7， 当 x >0 时，−x 2+4x >3，即 x 2−4x +3<0，即 (x −1)(x −3)<0，解得 1<x <3．综上，不等式f(x)>3的解集为(−∞,−2−2√7)∪(1,3)．【知识点】函数的奇偶性、函数不等式的解法30. 【答案】(1) 由题意知，t=(4+20p)p−x−(10+2p)，将p=3−2x+1代入化简得：y=16−4x+1−x(0≤x≤a)．(2) y=17−(4x+1+x+1)≤17−2√4x+1×(x+1)=13，当且仅当4x+1=x+1，即x=1时，上式取等号，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，y=17−(4x+1+x+1)在[0,a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(7)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. “x ≥1”是“x +1x ≥2”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2. 已知 a =log 372，b =(14)13，c =log 1315，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ． a >b >cB ． b >a >cC ． c >b >aD ． c >a >b3. 《周髀算经》中给出了弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为 α，β（如图所示），且小正方形与大正方形面积之比为 9:25，则 cos (α−β) 的值为 ( )A ． 59B ． 49C ． 916D ． 16254. 已知函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ≤0 时，y =f (x ) 是减函数，若 ∣x 1∣<∣x 2∣，则 ( ) A ． f (x 1)−f (x 2)<0 B ． f (x 1)−f (x 2)>0 C ． f (x 1)+f (x 2)<0D ． f (x 1)+f (x 2)>05. 函数 f (x )=2sin (ωx +π3)(ω>0) 的图象在 [0,1] 上恰有两个极大值点，则 ω 的取值范围为 ( ) A ． [2π,4π] B ． [2π,9π2) C ． [13π6,25π6) D ． [2π,25π6)6. 已知函数 y =f (x ) 是定义域为 R 的偶函数．当 x ≥0 时，f (x )={516x 2,0≤x ≤2(12)x +1,x >2．若关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (−52,−94) B ． (−94,−1)C ． (−52,−94)∪(−94,−1)D ． (−52,−1)7. 412∘ 角的终边在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8. 已知函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，若 f (m )≤f (x )≤f (π12) 对任意实数 x 恒成立，且 ∣∣m −π12∣∣的最小值为 π2，则 φ 等于 ( )A ． π6B ． π4C ． π3D ．2π39. 已知曲线 C 1:y =cosx ，C 2:y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 ( )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线 C 2C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线 C 2D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线 C 210. 函数 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，且它的最小正周期是 T ，已知 f (x )={x,x ∈[0,T4]T 2−x,x ∈(T 4,T2]，g (x )=f (x +a )(a ∈R )．给出下列四个判断：①对于给定的正整数 n ，存在 a ∈R ，使得 ∑g (i⋅Tn )f (i⋅Tn )n i=1=0 成立；②当a=T4时，对于给定的正整数n，存在k∈R(k≠1)，使得∑g(k i⋅Tn)f(i⋅Tn)ni=1=0成立；③当a=k T4(k∈Z)时，函数g(x)+f(x)既有对称轴又有对称中心；④当a=k T4(k∈Z)时，g(x)+f(x)的值只有0或T4．其中正确判断的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6题）11.已知实数a，b满足∣a−2b+1∣+√4a2−12ab+9b2=0，函数y=x2+a−bx（1≤x≤2），则y的取值范围是．12.438∘是第象限角．13.若tanα+1tanα=3，则sinαcosα=，tan2α+1tan2α=．14.函数y=√5−x+1x−1的定义域是．（结果写成集合或区间）15.已知函数f(x)=∣x2+3x∣，x∈R．若方程f(x)−a∣x−1∣=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．16.函数数y=sinx+cosxtanx的定义域为．三、解答题（共6题）17.已知函数f(x)=xx−a．(1) 若a=−2，用定义证明f(x)在(−∞,−2)上是增函数．(2) 若a>0，且f(x)在(−1,a)上的值域是(−∞,12)，求a的值．18.已知二次函数y=f(x)，当x=2时函数取最小值−1，且f(1)+f(4)=3．(1) 求f(x)的解析式；(2) 若g(x)=f(x)−kx在区间(1,4)上不单调，求实数k的取值范围．19.已知a,b为常数，且a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0，方程f(x)=x有两个相等实根．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；(3) 若F(x)=f(x)−f(−x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．20.设函数f(x)=∣√x−ax−b∣，a，b∈R．(1) 当a=0，b=1时，写出函数f(x)的单调区间；时，记函数f(x)在[0,4]的最大值为g(b)．在b变化时，求g(b)的最小值；(2) 当a=12(3) 若对任意实数a，b，总存在实数x0∈[0,4]使得不等式f(x0)≥m成立，求实数m的取值范围．21.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[−2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A={x∣ f(x)=x}．(1) 若A={1,2}，且f(0)=2，求M和m的值；(2) 若A={1}，且a≥1，记g(a)=M+m，求g(a)的最小值．22.以下“若α，则β”形式的命题中，哪些命题中的α是β的充分条件？(1) 若x>3，则x>2；(2) 若x=1，则x2−4x+3=0．(3) 若x为无理数，则x2为无理数．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】D【解析】设大正方形的边长为1，因为小正方形与大正方形面积之比为9:25，，所以小正方形的边长为35, ⋯⋯①可得cosα−sinα=35, ⋯⋯②sinβ−cosβ=35由题图可得cosα=sinβ，sinα=cosβ，① ×②可得，9=cosαsinβ+sinαcosβ−cosαcosβ−sinαsinβ25=sin2β+cos2β−cos(α−β)=1−cos(α−β),．解得cos(α−β)=1625【知识点】两角和与差的余弦4. 【答案】A【解析】因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y=f(x)是减函数，所以当x>0时，y=f(x)是增函数．又因为∣x1∣<∣x2∣，所以f(∣x1∣)<f(∣x2∣)．因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(∣x1∣)=f(x1)，f(∣x2∣)=f(x2)，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x1)−f(x2)<0．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性、抽象函数5. 【答案】C【解析】解法一：由函数 f (x ) 在 [0,1] 上恰有两个极大值点， 及正弦函数的图象可知 (ω+π3)∈[2π+π2,4π+π2)， 则13π6≤ω<25π6．解法二：取 ω=2π，则 f (x )=2sin (2πx +π3)， 由 2πx +π3=π2+2kπ,k ∈Z ，得 x =112+k ，k ∈Z ，则在 [0,1] 上只有 x =112，不满足题意，排除A ，B ，D ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】C【解析】依题意 f (x ) 在 (−∞,−2) 和 (0,2) 上递增，在 (−2,0) 和 (2,+∞) 上递减， 当 x =±2 时，函数取得极大值 54；当 x =0 时，取得极小值 0．要使关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且只有 6 个不同实数根， 设 t =f (x )，则则有两种情况符合题意： （1）t 1=54，且 t 2∈(1,54)，此时 −a =t 1+t 2，则 a ∈(−52,−94)； （2）t 1∈(0,1]，t 2∈(1,54)， 此时同理可得 a ∈(−94,−1)．综上可得 a 的范围是 (−52,−94)∪(−94,−1)．【知识点】函数的零点分布7. 【答案】A【解析】因为 412∘=360∘+52∘， 所以 412∘ 角与 52∘ 角终边相同． 【知识点】任意角的概念8. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为 C 2:y =sin (2x +2π3)=cos (2x +2π3−π2)=cos [2(x +π12)]，所以将 C 1 上各点的横坐标缩短为原来的 12，再向左平移 π12 个单位长度得到 C 2．故选D ． 【知识点】三角函数的图象变换10. 【答案】C【知识点】函数的对称性、函数的奇偶性、函数的周期性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [2,6]【解析】因为实数 a ，b 满足 ∣a −2b +1∣+√4a 2−12ab +9b 2=0， 化简可得 ∣a −2b +1∣+√(2a −3b )2=0， 所以 {a −2b +1=0,2a −3b =0, 解方程组可得 {a =3,b =2.代入解析式可得 y =x 2+3−2x （1≤x ≤2）．因为 y =x 2 与 y =−2x 在 1≤x ≤2 上 y 随 x 的增大而增大， 所以 y =x 2+3−2x 在 1≤x ≤2 上 y 随 x 的增大而增大．所以当 x =1 时，y 取得最小值为 y =2； 所以当 x =2 时，y 取得最大值为 y =6．所以 y =x 2+3−2x 在 1≤x ≤2 上的取值范围是 2≤y ≤6．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 一【知识点】任意角的概念13. 【答案】 13 ； 7【解析】因为 tanα+1tanα=3，所以 sinαcosα+cosαsinα=3，即sin 2α+cos 2αsinαcosα=3，所以 sinαcosα=13， 所以 tan 2α+1tan 2α=(tanα+1tanα)2−2tanα⋅1tanα=9−2=7． 答案：13；7．【知识点】同角三角函数的基本关系14. 【答案】 {x∣ x ≤5且x ≠1}【解析】使函数 y =√5−x +1x−1 有意义， 即 {5−x ≥0,x −1≠0,解得 x ≤5 且 x ≠1，故函数的定义域为 {x∣ x ≤5且x ≠1}． 【知识点】函数的定义域的概念与求法15. 【答案】(0,1)∪(9,+∞)【解析】在同一坐标系内分别作出 y =f (x ) 与 y =a∣x −1∣ 的图象如图所示．当 y =a∣x −1∣ 与 y =f (x ) 的图象相切时，由 {−ax +a =−x 2−3x,a >0整理得 x 2+(3−a )x +a =0，则 Δ=(3−a )2−4a =a 2−10a +9=0，解得 a =1 或 a =9．故当 y =a∣x −1∣ 与 y =f (x ) 的图象有四个交点时，0<a <1 或 a >9．【知识点】函数的零点分布、函数的图象变换16. 【答案】 {x∣ x ≠kπ2,k ∈Z}【解析】函数 y =sinx 与 y =cosx 的定义域为 R ， 要使函数有意义，必须使 tanx 有意义，且 tanx ≠0，所以有{x≠kπ+π2,k∈Zx≠kπ,k∈Z，即x≠kπ2(k∈Z)，所以函数y=sinx+cosxtanx 的定义域为{x∣ x≠kπ2,k∈Z}．【知识点】函数的定义域的概念与求法三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 根据题意，设x1<x2<−2，则f(x1)−f(x2)=x1x1+2−x2x2+2=2(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，又由x1<x2<−2，则x1−x2<0，x1+2<0，x2+2<0，则f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(−∞,−2)上是增函数．(2) 根据题意，f(x)=xx−a =1+ax−a，又由a>0，则f(x)在(−1,a)上为减函数，若f(x)在(−1,a)上的值域是(−∞,12)，则f(−1)=1+a−1−a =12，解得a=1，故a=1．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的单调性18. 【答案】(1) 因为二次函数y=f(x)在x=2时取得最小值−1，所以二次函数图象的顶点坐标为(2,−1)，所以可设解析式为y=a(x−2)2−1(a>0)．因为f(1)+f(4)=a−1+4a−1=5a−2=3，所以a=1，所以y=(x−2)2−1，即y=x2−4x+3．(2) 因为g(x)=f(x)−kx=x2−(k+4)x+3在区间(1,4)上不单调，所以1<k+42<4，解得−2<k<4．所以实数k的取值范围为(−2,4)．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的最大（小）值、函数的单调性19. 【答案】(1) 由f(2)=0，得4a+2b=0，即2a+b=0.①方程f(x)=x，即ax2+bx=x，即ax2+(b−1)x=0有两个相等实根，且a≠0，所以b−1=0，所以b=1，代入①得a=−12．所以f(x)=−12x2+x．(2) 由（1）知f(x)=−12(x−1)2+12．显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以x=1时，f(x)max=12,x=2时，f(x)min=0．所以x∈[1,2]时，函数f(x)的值域是[0,12]．(3) F(x)是奇函数．证明：F(x)=f(x)−f(−x)=(−12x2+x)−[−12(−x)2+(−x)]=2x，因为F(−x)=2(−x)=−2x=−F(x)，所以F(x)是奇函数．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的最大（小）值、函数的值域的概念与求法、函数的单调性、函数的奇偶性20. 【答案】(1) 当a=0，b=1时，f(x)=∣√x−1∣．f(x)的单调递减区间为[0,1]，单调递增区间为[1,+∞]．(2) 设√x=t(t∈[0,2])，ℎ(t)=∣∣12t2−t+b∣∣．此时ℎ(0)=ℎ(2)，所以g(b)=max{ℎ(0),ℎ(1)}=max{∣ b∣ ,∣∣b−12∣∣}．所以g(b)的最小值为14．(3) 设H(t)=∣at2−t+b∣，t∈[0,2]．原命题等价于对任意实数a，b，H(t)max≥m．记函数H(t)在[0,2]上最大值为G(b)，只要G(b)min≥m．①当a=0时，G(b)=max{H(0),H(2)}=max{∣ b∣ ,∣ b−2∣ },此时，G(b)的最小值为1，所以m≤1；②当a<0时，G(b)=max{H(0),H(2)}=max{∣ b∣ ,∣ b+4a−2∣ }，此时，G(b)min=1−2a>1，所以m≤1；③当 12a ≥2，即 0<a ≤14 时，G (b )=max {H (0),H (2)}=max {∣ b∣ ,∣ b +4a −2∣ }， 此时，G (b )min =1−2a ≥12，所以 m ≤12； ④当 1≤12a <2，即 14<a ≤12 时，G (b )=max {H (0),H (12a )}=max {∣ b∣ ,∣∣b −14a ∣∣}． 此时，G (b )min =18a ≥14，所以 m ≤14； ⑤当 0<12a <1，即 a >12 时，G (b )=max {H (2),H (12a )}=max {∣ b +4a −2∣ ,∣∣b −14a ∣∣}， 此时 G (b )min =18a +2a −1．而 18a +2a −1 在 (12,+∞) 上单调递增，所以 G (b )min >14，于是 m ≤14； 综上，实数 m 的取值范围为 (−∞,14)． 【知识点】函数的最大（小）值、函数的单调性21. 【答案】(1) 由 f (0)=2 可知 c =2，又 A ={1,2}，故 1，2 是方程 ax 2+(b −1)x +c =0 的两实根， 所以 {1+2=1−b a ,2=c a ,解得 a =1，b =−2，所以 f (x )=−x 2−2x +2=(x −1)2+1，因为 x ∈[−2,2]，根据函数图象可知，当 x =1 时，f (x )min =f (1)=1，即 m =1； 当 x =−2 时，f (x )max =f (−2)=10，即 M =10．(2) 由题意知，方程 ax 2+(b −1)x +c =0 有两相等实根 x 1=x 2=1， 根据韦达定理得到：{1+1=1−b a ,1=c a , 即 {b =1−2a,c =a.所以 f (x )=ax 2+bx +c =ax 2+(1−2a )x +a ，x ∈[−2,2]，其对称轴方程为 x =2a−12a =1−12a ，又 a ≥1，故 1−12a ∈[12,1)， 所以 M =f (−2)=9a −2，m =f (2a−12a )=1−14a ，−1，则g(a)=M+m=9a−14a又g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的，．所以当a=1时，g(a)min=314【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 因为命题（1）为真命题，所以（1）中，α均是β的充分条件．(2) 因为命题（2）为真命题，所以（2）中，α均是β的充分条件．(3) （3）中，取x=√2，则x2=2不是无理数，故该命题为假命题，所以α不是β的充分条件．【知识点】充分条件与必要条件。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(30)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设函数 f (x ) 的定义域为 [0,1]，则“函数 f (x ) 在 [0,1] 上单调递增”是“函数 f (x ) 在 [0,1] 上的最大值为 f (1)”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 下列四个图象中，是函数图象的是A ．（1）B ．（1）、（3）、（4）C ．（1）、（2）、（3）D ．（3）、（4）3. 设全集 I ={0,1,2,3}，∁I M ={0,2}，则 M = ( ) A ． {3}B ． {1,3}C ． {2,3}D ． ∅4. 设 a =4−12，b =log 1415，c =log 43，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． a <b <cB ． a <c <bC ． c <a <bD ． c <b <a5. 已知 log a 34<1，那么 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,34)∪(1,+∞) B ． (34,+∞) C ． (34,1)D ． (1,+∞)6. 将函数 f (x )=sin (2x +φ)(∣φ∣<π2) 的图象向左平移 π6 个单位长度后关于原点对称，则函数f (x ) 在 [0,π2] 上的最小值为 ( ) A ．−√32B ．−12C ．12D ．√327. 若 α=k ⋅360∘+θ，β=m ⋅360∘−θ (k,m ∈Z )，则角 α 与 β 的终边的位置关系是A ．重合B ．关于原点对称C ．关于 x 轴对称D ．关于 y 轴对称8. 已知集合 A ={0,1,2,4}，B ={1,2,3}，则 A ∩B = ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {3} C ． {1,2}D ． {0,4}9. 已知集合 P ={x∣ 2≤x <8,x ∈N }，则下列结论正确的是 ( ) A ． 1⊆PB ． √2∈PC ． 2∈PD ． 2⊆P10. 化简 cos15∘cos45∘−sin15∘sin45∘ 的值为 ( ) A ． −12B ．√32C ． 12D ． −√32二、填空题（共10题）11. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=x +e −x （e 为自然对数的底数），则 f (ln6) 的值为 ．12. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 的图象是一条连续的曲线，且函数 f (x ) 在区间 (a,b ) 上有一个零点 x 0，f (a )⋅f (b )<0，用二分法求 x 0 时，当 f (a+b 2)=0 时，函数 f (x ) 的零点是 ．13. 已知 ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，则 ln72 的近似数为 ．（结果精确到 0.001）14. 已知集合 U ={−1,0,1,2,3}，A ={−1,0,2}，则 ∁U A = ．15. 已知函数 f (x )={a −∣x +1∣,x ≤1(x −a )2,x >1，函数 g (x )=2−f (x )，若函数 y =f (x )−g (x ) 恰有 4个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 ．16. 如果一个正方形场地的面积为 x ，边长为 y ，那么 y = ．17. 已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 α 的终边与单位圆的交点坐标是(−35,45)，则 sin2α= ．18. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示．在时间段 [t 0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3] 上的平均速度分别为 v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是 （用“>”连接）．19.对于正数a，b，称a+b是a，b的算术平均值，并称√ab是a，b的几何平均值．设x>1，2y>1，若lnx，lny的算术平均值是1，则e x，e y的几何平均值（e是自然对数的底）的最小值是．20.命题“∃x0∈R，x02+1≤0”的否定是．三、解答题（共10题）21.已知a∈R，x∈R，A={2,4,x2−5x+9}，B={3,x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x−3,1}，求：(1) 使A={2,3,4}的x的值；(2) 使2∈B，B⫋A的a，x的值；(3) 使B=C的a，x的值．22.用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合．23.已知a>0，b>0，a3+b3=2．证明：(1) (a+b)(a5+b5)≥4；(2) a+b≤2．24.真子集对于两个集合A，B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B 的真子集，记为或，读作“ ”或“ ”．问题：真子集与子集有什么区别？25.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1) 两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；(2) 若x≥10，则2x+1>20．26.要在半径OA=100cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112cm，那么圆心角∠AOB是多少度（可用计算工具，精确到1∘）？27.已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．28.判断下列各组中的两个函数是不是相同的函数．，g(x)=x−5；(1) f(x)=(x+3)(x−5)x+3(2) f(x)=√x+1⋅√x−1，g(x)=√(x+1)(x−1)．29.家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e−t400，其中Q0是臭氧的初始量．(1) 随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2) 多少年后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）30.已知sinα=1，且α是第二象限的角，求α的其他三角比的值．3答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】前推后，一定成立．后推前，若 f (x ) 在 [0,1] 上的最大值为 f (1)，找反例，开口向上对称轴为 x =14 的二次函数．【知识点】充分条件与必要条件、函数的最大（小）值2. 【答案】B【知识点】函数的相关概念3. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】B【解析】 a =4−12=12，b =log 1415=log 45>1>log 43>log 42=12，所以 a <c <b ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】A【解析】由题意，log a 34<1=log a a ，故当 0<a <1 时，y =log a x 为减函数，0<a <34；当 a >1 时，y =log a x 为增函数，a >34，所以此时 a >1．综上，a 的取值范围是 (0,34)∪(1,+∞)．【知识点】对数函数及其性质6. 【答案】A【解析】将 f (x )=sin (2x +φ) 的图象左移 π6 个单位长度得 y =sin [2(x +π6)+φ]=sin (2x +π3+φ) 的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则 π3+φ=kπ(k ∈Z )，且 ∣φ∣<π2，所以 φ=−π3，即 f (x )=sin (2x −π3)，当 x ∈[0,π2] 时，2x −π3∈[−π3,2π3]，所以当 2x −π3=−π3，即 x =0 时，f (x ) 取得最小值，最小值为 −√32． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】C【解析】由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角−θ的终边相同，又角θ与角−θ的终边关于x轴对称，故选C．【知识点】任意角的概念8. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【解析】P={x∣ 2≤x<8,x∈N}={2,3,4,5,6,7}，所以2∈P．【知识点】元素和集合的关系10. 【答案】C．【解析】根据两角和余弦公式可得：cos15∘cos45∘−sin15∘sin45∘=cos60∘=12【知识点】两角和与差的余弦二、填空题（共10题）11. 【答案】ln6−6【解析】因为当x<0时，f(x)=x+e−x，所以f(−ln6)=−ln6+e ln6=6−ln6，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln6)=−f(−ln6)=ln6−6，故答案为ln6−6．【知识点】函数的奇偶性12. 【答案】a+b2)=0，【解析】因为f(a+b2．所以函数f(x)的零点是a+b2【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】4.277【解析】ln72=ln(9×8)=ln32+ln23=2ln3+3ln2=2×1.0986+3×0.6931=2.1972+2.0793=4.2765≈4.277.【知识点】对数的概念与运算14. 【答案】{1,3}【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】(2,3]【解析】由题意，函数g(x)=2−f(x)，且函数y=f(x)−g(x)恰有4个不同的零点，即f(x)=1恰有4个实数根，当x≤1时，由a−∣x+1∣=1，即∣x+1∣=a−1≥0，解得x=a−2或x=−a，所以{a−2≤1,−a≤1,a−2≠−a,解得1<a≤3；当x>1时，由(x−a)2=1，解得x=a−1或x=a+1，所以{a−1>1,a+1>1,解得a>2．综上可得：实数a的取值范围为(2,3]．【知识点】函数的零点分布16. 【答案】x 1 2【知识点】函数模型的综合应用17. 【答案】−2425【知识点】二倍角公式18. 【答案】v3>v2>v1【解析】因为v1=s(t1)−s(t0)t1−t0=k MA，v2=s(t2)−s(t1)t2−t1=k AB，v3=s(t3)−s(t2)t3−t2=k BC，由题图可知k MA<k AB<k BC，故 v 3>v 2>v 1． 【知识点】函数的单调性19. 【答案】 e e【知识点】均值不等式的应用20. 【答案】对任意 x 0∈R ，使 x 02+1≥0【解析】 ∵ 命题“存在 x 0∈R ，使 x 02+1<0”是一个特称命题，∴ 命题“存在 x 0∈R ，使 x 02+1<0”的否定是“对任意 x 0∈R ，使 x 02+1≥0”．【知识点】全（特）称命题的否定三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 由题意，知 x 2−5x +9=3， 解得 x =2 或 x =3．(2) 因为 2∈B ，B ⫋A ， 所以 {x 2+ax +a =2,x 2−5x +9=3,解得 x =2，a =−23或 x =3，a =−74．(3) 因为 B =C ，所以 {x 2+(a +1)x −3=3,x 2+ax +a =1,解得 x =−1，a =−6 或 x =3，a =−2．【知识点】包含关系、子集与真子集、集合的表示方法22. 【答案】终边在第一象限内的角的集合为 {α∣∣2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z}； 终边在第二象限内的角的集合为 {α∣∣π2+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z}；终边在第三象限内的角的集合为 {α∣∣π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}；终边在第四象限内的角的集合为 {α∣∣3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k ∈Z}．【知识点】弧度制23. 【答案】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2−2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2−b2)2≥ 4.(2) 因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)3≤8，因此a+b≤2．【知识点】证明不等式、均值不等式的应用24. 【答案】A⊆B；A⫋B；B⫌A；A真包含于B；B真包含A在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A，也就是说集合B至少要比集合A多一个元素．【知识点】包含关系、子集与真子集25. 【答案】(1) 逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题．否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题．逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题．(2) 逆命题：若2x+1>20，则x≥10，为假命题．否命题：若x<10，则2x+1≤20，为假命题．逆否命题：若2x+1≤20，则x<10，为真命题．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、若则命题的四种形式、命题的概念与真假判断26. 【答案】64∘．【知识点】弧度制27. 【答案】由题意可知，a=1或a2=a．（1）若a=1，则a2=1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．（2）若a2=a，则a=0或a=1（舍去），又当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性28. 【答案】(1) f (x )=(x+3)(x−5)x+3的定义域为 {x∣ x ∈R 且x ≠−3}，而 g (x )=x −5 的定义域为 R ．两个函数的定义域不同， 所以不是相同的函数．(2) f (x )=√x +1⋅√x −1 的定义域为 {x∣ x ≥1}， 而 g (x )=√(x +1)(x −1) 的定义域为 {x∣ x ≥1或x ≤−1}， 两个函数的定义域不同， 所以两个函数不是相同的函数． 【知识点】函数的相关概念29. 【答案】(1) 因为 Q 0>0，−t 400<0，e >1，所以 Q =Q 0e −t 400为减函数，所以随时间的增加，臭氧的含量減少．(2) 设 x 年以后将会有一半的臭氧消失， 则 Q =Q 0e−x 400=12Q 0，即 e−x 400=12，取对数可得 −x400=ln 12， 解得 x =400ln2≈277.2．所以 278 年以后将会有一半的臭氧消失．【知识点】函数模型的综合应用30. 【答案】 cosα=−2√23，tanα=−√24，secα=−34√2，cscα=3，cotα=−2√2．【知识点】同角三角函数的基本关系。
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小中高学习资料 推荐下载高一数学必修一复习测试题(附参考答案)班级 姓名一、选择题。
（共10小题，每题5分） 1、设集合A={x ∈Q|x>-1}，则（ ）A 、A ∅∉B 、2A ∉C 、2A ∈D 、{}2 ⊆A2、设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5}3、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ）A 、[1，2)∪(2，+∞）B 、(1，+∞）C 、[1，2)D 、[1，+∞)4、设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5、三个数70。
3，0.37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ）A 、 70。
3，0.37，，㏑0.3,B 、70。
3，，㏑0.3, 0.37C 、 0.37, , 70。
3，，㏑0.3,D 、㏑0.3, 70。
3，0.37，6、若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.57、函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像为（ ）8、设()log a f x x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有（ ）A 、f(xy)=f(x)f(y)B 、f(xy)=f(x)+f(y)C 、f(x+y)=f(x)f(y)D 、f(x+y)=f(x)+f(y)9、函数y=ax 2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定 10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（ ）（年增长率=年增长值/年产值）A 、97年B 、98年C 、99年D 、00年二、填空题（共4题，每题5分）11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为 ；12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价0099989796(年）2004006008001000（万元）小中高学习资料 推荐下载格可降为 ；13、若f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x,则当x<0时，f(x)= ；14、计算：2391－ ⎪⎭⎫⎝⎛＋3264＝ ；15、函数212log (45)y x x =--的递减区间为三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。
） 16、（本题12分）设全集为R ，{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，求()R C AB 及()R C A B17、（每题6分，共12分）不用计算器求下列各式的值⑴ ()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+⑵ 74log 2327log lg 25lg 473+++18、（本题12分）设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，(1)在下列直角坐标系中画出()f x 的图象； (2)若()3g t =，求t 值；(3)用单调性定义证明在[)2,+∞时单调递增。
小中高学习资料 推荐下载19、（本题12分）已知函数()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设 （1）求函数()h x 的定义域（2）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由.20、（本题13分）已知f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. （1）求证：f (8)＝3 (2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集.21、（本题14分）已知f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. （1）求证：f (8)＝3 (2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集.。
题号1234 5 6 7 8 9 10 答案 C D ABACBBAB一、 填空题（共4题，每题4分）11、[-4，3] 12、300 13、-x 14、2x y = 或0,10,1{<+≥-=x x x x y 或xy 2-=二、 解答题（共44分） 15、 解：}102|{)(≥≤=⋃x x x B A C R 或}10732|{)(<≤<<=⋂x x x BC R 或16、解（1）原式＝23221)23()827(1)49(--+-- =2323212)23()23(1)23(-⨯-⨯+-- =22)23()23(123--+-- =21（2）原式＝2)425lg(33log 433+⨯+ ＝210lg 3log 2413++-＝4152241=++-17、略 18、 解：若y ＝c bx ax x f ++=2)( 则由题设⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=7.035.005.03.139)3(2.124)2(1)1(r q p r q p f r q p f r q p f )(3.17.0435.0405.0)4(2万件=+⨯+⨯-=∴f若c ab x g y x +==)( 则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+==+=4.15.08.03.1)3(2.1)2(1)1(32c b a c ab g c ab g c ab g )(35.14.15.08.0)4(4万件=+⨯-=∴g∴选用函数c ab y x +=作为模拟函数较好19、解：（1）12-x >0且2x -1），这个函数的定义域是（∞+⇒>⇒≥000x （2）㏒a 12-x >0,当a>1时，12-x >1;1>⇒x 当0<a<1时，12-x <1且x>010<<⇒x一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合M={0,2,4,6},集合Q={0,1,3,5},则M∪Q 等于( ). A.{0} B.{0,1,2,3,4,5,6} C.{1,2,3,4,5,6} D.{0,3,4,5,6} 答案:B2(2011·北京东城期末)设全集U=R,集合A={x|x≥1},B={x|0≤x<5},则集合(∁U A)∩B=( ).A.{x|0<x<1}B.{x|0≤x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0≤x≤1}解析:∁U A={x|x<1},则(∁U A)∩B={x|0≤x<1}. 答案:B3(2010·湖北卷)已知函数f(x)=则f=( ). A.4 B. C.-4D.-解析:f=log 3=-2,f=f(-2)=2-2=. 答案:B4设f:x→x 2是集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A∩B 一定是( ). A.1 B.⌀或{1}C.{1}D.⌀解析:由题意,当y=1时,即x 2=1,则x=±1;当y=2时,即x 2=2,则x=±,则±1中至少有一个属于集合A,±中至少有一个属于集合A,则A∩B=⌀或{1}.答案:B5已知log 23=a,log 25=b,则log 2等于( ). A.a 2-b B.2a-b C. D.解析:log 2=log 29-log 25=2log 23-log 25=2a-b.答案:B6已知方程lg x=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ). A.x 0∈(0,1) B.x 0∈(1,2) C.x 0∈(2,3) D.x 0∈[0,1]解析:设函数f(x)=lg x+x-2,则f(1)=lg 1+1-2=-1<0,f(2)=lg 2+2-2=lg 2>lg 1=0,则f(1)f(2)<0,则方程lg x=2-x 的解为x 0∈(1,2). 答案:B7已知集合M={x|x<1},N={x|2x>1},则M∩N 等于( ). A.⌀ B.{x|x<0}C.{x|x<1}D.{x|0<x<1}解析:2x>1⇔2x>20,由于函数y=2x 是R 上的增函数,所以x>0.所以N={x|x>0}.所以M∩N={x|0<x<1}. 答案:D8(2010·山东卷)设f(x)为定义在R 上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则f(-1)等于( ).A.-3B.-1C.1D.3解析:因为f(x)为定义在R 上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 答案:A9下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(-∞,0),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的函数是( ).A.f(x)=-x+1B.f(x)=x2-1C.f(x)=2xD.f(x)=ln(-x)解析:满足“对任意x1,x2∈(-∞,0),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的函数在(-∞,0)上是增函数,函数f(x)=-x+1、f(x)=x2-1、f(x)=ln(-x)在(-∞,0)上均是减函数,函数f(x)=2x在(-∞,0)上是增函数.答案:C10已知定义在R上的函数f(x)=m+为奇函数,则m的值是( ).A.0B.-C.D.2解析:f(-x)=m+=m+,-f(x)=-m-.由于函数f(x)是奇函数,所以对任意x∈R,都有m+=-m-, 即2m++=0,所以2m+1=0,即m=-.答案:B11已知函数f(x)=(x2-3x+2)ln x+2 009x-2 010,则方程f(x)=0在下面哪个区间内必有实根( ).A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)解析:f(1)=-1<0,f(2)=2 008>0,f(3)=2ln 3+4 017>0,f(4)=6ln 4+6 022>0,所以f(1)f(2)<0,则方程f(x)=0在区间(1,2)内必有实根.答案:B12若函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的增函数,则函数f(x)=log a(x+1)的图象大致是(). 解析:因为f(x)=(a>0,且a≠1),则>1,所以0<a<1.所以函数f(x)=log a(x+1)是减函数,其图象是下降的,排除选项A,C;又当log a(x+1)=0时,x=0,则函数f(x)=log a(x+1)的图象过原点(0,0),排除选项B.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13已知函数f(x)的图象是连续不断的,x,f(x)的对应值如下表:x…012345…f(x)…-6-23102140…用二分法求函数f(x)的唯一零点的近似解时,初始区间最好选为.解析:由于f(0)f(2)<0,f(0)f(3)<0,f(1)f(2)<0,f(1)f(3)<0,…,则f(x)的零点属于区间(0,2)或(0,3)或(1,2)或(1,3)或….但是区间(1,2)较小,则选区间(1,2).答案:(1,2)14已知a=,函数f(x)=a x,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为.解析:由于a=∈(0,1),则函数f(x)=a x在R上是减函数.由f(m)>f(n),得m<n.答案:m<n15幂函数y=f(x)的图象过点,则f(x)的解析式是y= . 解析:设y=xα,则=2α,则2α=,则α=-,则y=.答案:16已知函数f(x)=且f(a)<,则实数a的取值范围是.(用区间的形式表示)解析:当a>0时,log2a<,即log2a<log2,又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,则有0<a<;当a<0时,2a<,即2a<2-1,又函数y=2x在R上是增函数,则有a<-1.综上可得实数a的取值范围是0<a<或a<-1,即(-∞,-1)∪(0,).答案:(-∞,-1)∪(0,)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)证明函数f(x)=在[-2,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,由于x1<x2,则x1-x2<0,又x1≥-2,x2>-2,则x1+2≥0,x2+2>0.则+>0,所以f(x1)<f(x2),故函数f(x)=在[-2,+∞)上是增函数.18(12分)设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.解:A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B⊆A.关于x的一元二次方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根的判别式Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=⌀,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0},∴B={-4,0}.由根与系数的关系,得解得a=1.∴a=1或a≤-1.19(12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润P=-(x-40)2+100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润Q=-(60-x)2+(60-x)万元.问从10年的累积利润看,该规划方案是否可行?解:在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万元,即可获得最大利润为100万元.则10年的总利润为W1=100×10=1 000(万元).实施规划后的前5年中,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年投入30万元时,有最大利润P max=(万元).前5年的利润和为×5=(万元).设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元于外地的销售投资,则其总利润为W2=×5+×5=-5(x-30)2+4 950.当x=30万元时,(W2)max=4 950(万元).从而10年的总利润为万元.∵+4 950>1 000,故该规划方案有极大的实施价值.20(12分)化简:(1)-(π-1)0-+;(2)lg 2lg 50+lg 25-lg 5lg 20.解:(1)原式=-1-[+(4-3=-1-+16=16.(2)原式=lg 2(1+lg 5)+2lg 5-lg 5(1+lg 2)=lg 2+lg 5=1.21(12分)求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度为0.1).解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点中点函数值(-3,-2)-2.5 1.25(-2.5,-2)-2.250.062 5(-2.25,-2)-2.125-0.484 375(-2.25,-2.125)-2.187 5-0.214 843 75∵1-2.187 5+2.251=0.062 5<0.1,∴f(x)的负零点为-2.187 5.22(14分)(2010·辽宁锦州期末)某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)图1图2解:(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知f(1)=,∴k1=.又g(4)=,∴k2=,∴f(x)=x,x≥0,g(x)=,x≥0.(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,此时企业的总利润为y万元,则y=f(x)+g(10-x)=+,0≤x≤10,令=t,则x=10-t2,则y=+t=-+,0≤t≤,当t=时,y max=≈4,此时x=10-=3.75.即当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元.。