3.3二元一次方程组及其解法例题与讲解

3.3 二元一次方程组及其解法

1．二元一次方程组 (1)二元一次方程

含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy

＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2

x ＋

y ＝5中2

x

不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．

(2)二元一次方程组

①联立在一起的几个方程，称为方程组．

②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．

实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．

如下列方程组都是二元一次方程组：?

??

??

x ＋5y ＝1，

y －3＝0，?

??

??

x ＝2，

y ＝－3，????

?

x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.

【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )．

①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y

2

＝1；

④2????m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m

3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.

答案：D

【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．

A ．????? x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6

B ．?

????

x －y ＝1，x ＋y ＝4 C ．?

????

x ＋y ＝5，x ＝5

D ．???

x 2＋y

2

＝2y ，y ＝2

3x

解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.

答案：A

2．二元一次方程组的解

使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如

????? x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说?????

x ＝12，y ＝5是二元一次方程组?????

x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75

的解．

谈重点 理解二元一次方程组的解

(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．

【例2】 二元一次方程组?

????

2x ＋y ＝2，①

－x ＋y ＝5②的解是( )．

A.?????

x ＝1

y ＝6 B.?????

x ＝－1

y ＝4 C.????? x ＝－3y ＝2

D.?????

x ＝3y ＝2

解析：选项A ，将????

?

x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，

所以????? x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将?????

x ＝－1，

y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6

＝4，右边＝4，左边＝右边，所以????? x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将?????

x ＝－1，y ＝4代入方程②得，

左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以?????

x ＝－1，

y ＝4是方程②的解，所以

????? x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组?????

2x ＋y ＝2，①

－x ＋y ＝5②

的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.

答案：B

3．代入消元法 (1)消元思想

二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．

(2)代入消元法的概念

从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．

解技巧 用代入法解二元一次方程组

(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．

(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．

(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；

②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；

④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题

运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．

【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.

解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝1

2

x －

3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .

答案：1

2

x －3 6＋2y

【例3－2】 解方程组?

????

3x －5y ＝6，①

x ＋4y ＝－15.②

分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．

解：由②，得x ＝－15－4y ，③

把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，

把y ＝－3代入③，得x ＝－3.

所以原方程组的解是?

???

?

x ＝－3，y ＝－3.

4．加减消元法

(1)加减消元法的概念

两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤

用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．

第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．

第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．

第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．

析规律 解二元一次方程组的方法

(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．

【例4】 解方程组：?

???

?

3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②

分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．

解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③

③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3.

把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8， y ＝－2.

所以原方程组的解是?

????

x ＝3，

y ＝－2.

5．解二元一次方程组的策略

解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．

解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．

(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．

(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．

【例5－1】 解方程组：?

????

3(x －1)＝y ＋5，

5(y －1)＝3(x ＋5).

分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为?

????

3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．

解：原方程组化简，得 ?

????

3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.② ①＋②，得4y ＝28，y ＝7.

把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.

所以原方程组的解为?

????

x ＝5，

y ＝7.

【例5－2】 解方程组：?

????

53x ＋47y ＝112，①

47x ＋53y ＝88.②

分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观

察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．

解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③

于是原方程变为?

????

53x ＋47y ＝112，①

x ＋y ＝2，③

由③，得x ＝2－y ， ④

把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112，

106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，

所以原方程组的解为?

????

x ＝3，

y ＝－1.

6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：

(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．

例如????? x ＝1，y ＝1是方程组????? x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把?

????

x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b ＝0.

(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．

(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．

解技巧 用整体代入法解二元一次方程组 当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．

【例6－1】 已知2a y ＋3b 3x 和－3a 2x b 8－

2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.

解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x 和－3a 2x b 8－

2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x

＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组?

???

?

2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，

即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1

【例6－2】 已知????? x ＝2，y ＝1是方程组?????

2x ＋(m －1)y ＝2，nx ＋y ＝1

的解，则m ＋n 的值是__________．

解析：因为????? x ＝2，y ＝1是方程组?

???

?

2x ＋(m －1)y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②

所以????

?

x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，

将?????

x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②， 可得?

????

4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④

由③和④可分别求出m ，n 的值为?

????

m ＝－1，n ＝0.

所以m ＋n ＝－1＋0＝－1.

答案：－1

【例6－3】 已知方程组????? ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组?????

3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b 的值． 解：解方程组?????

3x －y ＝5，4x －7y ＝1得?????

x ＝2，y ＝1.把?????

x ＝2，

y ＝1 代入方程组?????

ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得?

???

?

2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，

解这个方程组，得?????

a ＝52，

b ＝1.

7．求二元一次方程的正整数解

任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．

析规律 注重实际问题中的隐含条件

生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．

【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)．

用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y

3

，

当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1.

原方程所有的正整数解为 ?

???? x ＝1，y ＝7，????? x ＝6，y ＝4，?????

x ＝11，y ＝1. 答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题

(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．

(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．

【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？

解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得?

????

x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280. 解这个方程组，得?????

x ＝960，y ＝360.

答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．