高中数学三角函数知识点及例题
2010高中数学竞赛标准讲义：三角函数
一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对
的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r
L
,
其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正
弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y
，余切函数cot α=y
x ，正割函数se c
α=x r
,余割函数c s c α=.y
r
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α
sec 1
；
商数关系：tan α=α
α
αααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α,
co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??
?
??-απ2=co s α,
co s ??? ??-απ2=s in α, tan ??
?
??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间
?????
?+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????
++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2
π
时, y 取最小值-1。
对称性：直线x =k π+2
π
均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k
∈Z .
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：
直线x =k π均为其对称轴，点??? ?
?
+0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取
最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z .
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+2π)在开区间(k π-2π, k π+2
π
)上为增函
数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2
π
，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s
β±co s αs in β; tan (α±β)=.)
tan tan 1()
tan (tan βαβα ±
定理7 和差化积与积化和差公式:
s in α+s in β=2s in ??? ??+2βαco s ??? ??-2βα,s in α-s in β=2s in ??? ??+2βαco s ???
??-2βα,
co s α+co s β=2co s ??? ??+2βαco s ??? ??-2βα, co s α-co s β=-2s in ??? ??+2βαs in ??
?
??-2βα,
s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)],co s αs in β=21
[s in (α+β)-s in (α-β)],
co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)],s in αs in β=-2
1
[co s(α+β)-co s(α-β)].
定理8 倍角公式:s in 2α=2s in αco s α, co s2α=co s 2
α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α,
tan 2α=.)
tan 1(tan 22
αα
- 定理9 半角公式:s in ??? ??2α=2)cos 1(α-±,co s ??
?
??2α=2)cos 1(α+±,
tan ??
?
??2α=)cos 1()cos 1(αα+-±=
.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+ 定理10 万能公式: ?
?
?
??+?
??
??=
2tan 12tan 2sin 2ααα, ??? ??+??? ??-=2tan 12tan 1cos 22ααα, .2tan 12tan 2tan 2?
?
?
??-?
?? ??=
ααα 定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a ,
b )的一个角为β，则s in β=22b a b +,co s β=22b a a
+，对任意的角α.
a s in α+bco s α=)(22
b a +s in (α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC 中有
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，其中a , b , c 分别是角A ，B ，
C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。
定理14 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；经左右平移得
y =s in (x +?)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω
1
，得到y =s in x ω(0>ω)
的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得
到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +?)(ω, ?>0)(|A |叫作振幅)的图象向右平移
ω
?个单位得到y =A s in ωx 的图象。
定义4 函数y =s inx ????
?
???????-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x ∈[-1, 1])，函数y =co s x (x ∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x ∈[-1, 1]). 函数
y =tanx ???? ?
???????-∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数。记作y =a r ctanx (x ∈[-∞, +∞]). y =co s x (x ∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x ∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集，如果a ∈(-1,1)，方程s inx =a 的解集是{x |x =n π+(-1)n a r c s ina , n ∈Z }。方程co s x =a 的解集是{x |x =2kx ±a r cco s a , k ∈Z }. 如果a ∈R ，方程tanx =a 的解集是
{x |x =k π+a r ctana , k ∈Z }。恒等式：a r c s ina +a r cco s a =2π；a r ctana +a r ccota =2
π
.
定理16 若??
?
??∈2,0πx ，则s inx 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。 【解】 若?? ????∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ??? ??-∈0,2πx ， 所以s in (co s x ) ≤0,又0 若??? ? ? -∈2,0πx ，则因为 s inx +co s x =2cos 22sin 222=???? ??+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0 π ， 所以co s(s inx )>co s(2 π -co s x )=s in (co s x ). 综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx ) 例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π ）>0，求证：.2sin cos sin cos ?+???? ??x x αββα 【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α π -β)=s in β, 所以0<β αsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβ sin cos <1， 所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0 =??? ??+???? ?? x 若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π -β)=s in β>0, 所以β αsin cos >1。又0 所以2sin cos sin cos sin cos sin cos 0 =?? ? ??+???? ?? x ，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例4 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以co |x |=co s x ）；其次， 当且仅当x =k π+2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=mπ, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co sπ)，所以T 0=2π。 4．三角最值问题。 例5 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+=+ 因为ππ4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4πθ=，即x =2k π+2π (k ∈Z )时，y m ax =2. 【解法二】 因为y =s inx +)cos 1(sin 2cos 1222x x x ++≤+, =2（因为(a +b )2≤2(a 2+b 2)）， 且|s inx|≤1≤x 2cos 1+，所以0≤s inx +x 2cos 1+≤2， 所以当x 2cos 1+=s inx ，即x =2k π+2π (k ∈Z )时, y m ax =2， 当x 2cos 1+=-s inx ，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时, y m in =0。 例6 设0<θ<π，求s in )cos 1(2 θθ +的最大值。 【解】因为0<θ<π，所以220πθ<<，所以s in 2θ>0, co s 2 θ >0. 所以s in 2θ（1+co s θ）=2s in 2θ·co s 22θ =2 cos 2cos 2sin 22222θθθ??? ≤3 22232cos 2cos 2sin 22?? ???? ?? ???θθ θ =.9342716= 当且仅当2s in 22θ=co s 22θ, 即tan 2θ=22, θ=2a r ctan 22时，s in 2θ(1+co s θ)取得最大值9 3 4。 例7 若A ，B ，C 为△ABC 三个内角，试求s inA +s inB +s inC 的最大值。 【解】 因为s inA +s inB =2s in 2B A +co s 2 sin 22B A B A +≤-, ① s inC +s in 2 3sin 223cos 23sin 23ππππ+ ≤-+=C C C , ② 又因为3 sin 243cos 43sin 223sin 2sin ππππ≤- -++++=+++C B A C B A C B A ，③ 由①，②，③得s inA +s inB +s inC +s in 3π≤4s in 3 π , 所以s inA +s inB +s inC ≤3s in 3π=2 3 3, 当A =B =C =3π时，（s inA +s inB +s inC ）m ax =2 3 3. 注：三角函数的有界性、|s inx |≤1、|co s x |≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求x x x x y cos sin 1cos sin ++=的值域。 【解】 设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=???? ??+x x x 因为,1)4 sin(1≤+ ≤-π x 所以.22≤≤-t 又因为t 2=1+2s inxco s x , 所以s inxco s x =2 1 2-t ，所以21121 2-=+-=t t x y ， 所以.2 12212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以12 1 -≠-t ，所以y ≠-1. 所以函数值域为.212,11,212?? ? ??--???????-+-∈ y 例9 已知a 0=1, a n = 1 1121---+n n a a (n ∈N +)，求证：a n > 2 2+n π . 【证明】 由题设a n >0，令a n =tana n , a n ∈?? ? ??2,0π，则 a n = .tan 2tan sin cos 1tan 1sec tan 1tan 111 1111 12n n n n n n n n a a a a a a a a ==-=-= -+------- 因为21-n a ，a n ∈??? ??2,0π，所以a n =121-n a ，所以a n =.210a n ?? ? ?? 又因为a 0=tana 1=1，所以a 0=4π，所以n n a ?? ? ??=21·4π。 又因为当0 2tan 22++>=n n n a π π 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x ∈?? ? ??2,0π时，有tanx >x >s inx ，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明 是很容易的。 6．图象变换：y =s inx (x ∈R )与y =A s in (ωx +?)(A , ω, ?>0). 由y =s inx 的图象向左平移?个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，然后再 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的ω 1 ，得到y =A s in (ωx +?)的图象；也可以由y =s inx 的图 象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的ω 1 ， 最后向左平移ω ? 个单位，得到y =A s in (ωx +?)的图象。 例10 例10 已知f (x )=s in (ωx +?)(ω>0, 0≤?≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点??? ??0,43πM 对称，且在区间?? ????2,0π上是单调函数，求?和ω的值。 【解】 由f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，所以s in (ω+?)=s in (-ωx +?)，所以co s ?s inx =0，对任意x ∈R 成立。 又0≤?≤π，解得?=2 π ， 因为f (x )图象关于?? ? ??0,43πM 对称，所以)43()43(x f x f ++-ππ=0。 取x =0，得)43(πf =0，所以sin .024 3=??? ??+πωπ 所以243ππωπ+=k (k ∈Z )，即ω=3 2 (2k +1) (k ∈Z ). 又ω>0，取k =0时，此时f (x )=sin (2x + 2π)在[0，2π ]上是减函数； 取k =1时，ω=2，此时f (x )=sin (2x +2π)在[0，2 π ]上是减函数； 取k =2时，ω≥310，此时f (x )=sin (ωx +2π)在[0，2π ]上不是单调函数， 综上，ω=3 2 或2。 7．三角公式的应用。 例11 已知sin (α-β)=135，sin (α+β)=- 135，且α-β∈??? ??ππ,2，α+β∈?? ? ??ππ2,23，求sin 2α,cos 2β 的值。 【解】 因为α-β∈?? ? ??ππ,2，所以cos (α-β)=-.1312)(sin 12-=--βα 又因为α+β∈?? ? ??ππ2,23，所以cos (α+β)=.1312)(sin 12=+-βα 所以sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin (α+β)cos (α-β)+cos (α+β)sin (α-β)=169 120 , cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos (α+β)cos (α-β)+sin (α+β)sin (α-β)=-1. 例12 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且B C A cos 2 cos 1cos 1- =+，试求2cos C A -的值。 【解】 因为A =1200-C ，所以cos 2 C A -=cos (600-C )， 又由于)120cos(cos cos )120cos(cos 1)120cos(1cos 1cos 1000C C C C C C C A -+-= +-=+ = 222 1)2120cos() 60cos(2)]2120cos(120[cos 21)60cos(60cos 2000000-=---=-+-C C C C ， 所以232 cos 22cos 242 --+-C A C A =0。 解得2 2 2cos = -C A 或8232cos -=-C A 。 又2cos C A ->0，所以2 22cos = -C A 。 例13 求证：tan 20?+4cos 70?. 【解】 tan 20?+4cos 70?=? ?20 cos 20sin +4sin 20? ? ??????+=+=20 cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ? ???????+=++=20cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin 40sin 20sin .320cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin ==+=? ????? 三、基础训练题 1．已知锐角x 的终边上一点A 的坐标为(2sin 3, -2cos 3)，则x 的弧度数为___________。 2．适合 =+-+-+x x x x cos 1cos 1cos 1cos 1-2cscx 的角的集合为___________。 3．给出下列命题：（1）若α≠β，则sin α≠sin β；（2）若sin α≠sin β,则α≠β；（3）若sin α>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sin α>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。 4．已知sinx +cosx =5 1 (x ∈(0, π))，则cotx =___________。 5．简谐振动x 1=Asin ??? ??+3πωt 和x 2=Bsin ??? ? ? -6πωt 叠加后得到的合振动是x =___________。 6．已知3sinx -4cosx =5sin (x +θ1)=5sin (x -θ2)=5cos (x +θ3)=5cos (x -θ4)，则θ1，θ2，θ3，θ4分别是第________象限角。 7．满足sin (sinx +x )=cos (cosx-x )的锐角x 共有________个。 8．已知ππ22 3 < x cos 21212121++=___________。 9． ? ? ???+++40 cos 170sin ) 10tan 31(50sin 40cos =___________。 10．cot 15?cos 25?cot 35?cot 85?=___________。 11．已知α,β∈(0, π), tan 212=α, sin (α+β)=135 ，求cos β的值。 12．已知函数f (x )=x x m cos sin 2-在区间?? ? ??2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围。 四、高考水平训练题 1．已知一扇形中心角是a ,所在圆半径为R ，若其周长为定值c (c >0)，当扇形面积最大时，a =__________. 2. 函数f (x )=2sinx (sinx +cosx )的单调递减区间是__________. 3. 函数x x y cos 2sin 2--=的值域为__________. 4. 方程x x lg 62sin 2-??? ? ? +π=0的实根个数为__________. 5. 若sina+cosa =tana , a ?? ? ??∈2,0π，则3π__________a （填大小关系）. 6. (1+tan 1?)(1+tan 2?)…(1+tan 44?)(1+tan 45?)=__________. 7. 若0 π 且tanx =3tany ，则x -y 的最大值为__________. 8. ? ?????-++8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin =__________. 9. 11cos π·cos 112π·cos 113π·cos 114π·cos 11 5 π=__________. 10. cos 271?+cos 71?cos 49?+cos 249?=__________. 11. 解方程：sinx +2sin 2x =3+sin 3x . 12. 求满足sin (x +sinx )=cos (x -cosx )的所有锐角x . 13. 已知f (x )=? ? ? ??+?? ? ??35sin 21πx k A (kA ≠0, k ∈Z , 且A ∈R)，（1）试求f (x )的最大值和最小值；（2） 若A >0, k =-1，求f (x )的单调区间；（3）试求最小正整数k ，使得当x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f (x )至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一） 1．若x , y ∈R ，则z =cosx 2+cosy 2-cosxy 的取值范围是____________. 2．已知圆x 2+y 2=k 2至少盖住函数f (x )=k x πsin 3的一个最大值点与一个最小值点，则实数k 的取值范围是____________. 3．f (θ)=5+8cos θ+4cos 2θ+cos 3θ的最小值为____________. 4．方程sinx +3cosx +a =0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________. 5．函数f (x )=|tanx |+|cotx |的单调递增区间是____________. 6．设sina >0>cosa , 且sin 3a >cos 3a ，则3 a 的取值范围是____________. 7．方程tan 5x +tan 3x =0在[0，π]中有__________个解. 8．若x , y ∈R , 则M =cosx +cosy +2cos (x +y )的最小值为____________. 9．若0<θ<2π , m ∈N +, 比较大小：(2m +1)sin m θ(1-sin θ)__________1-sin 2m +1θ. 10．cot 70? +4cos 70?=____________. 11. 在方程组??? ??=?=+=+c y x b y x a y x cot cot cos cos sin sin 中消去x , y ，求出关于a , b , c 的关系式。 12．已知α，β，γ?? ? ??∈2,0π，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，求tan αtan βtan γ的最小值。 13．关于x , y 的方程组?? ? ??=+=+=+a y x a y x a y x γγββααsin 3sin sin 3sin sin 3sin 有唯一一组解，且sin α, sin β, sin γ互不相等，求 sin α+sin β+sin γ的值。 14．求满足等式sinxy =sinx +siny 的所有实数对（x , y ）, x , y ?? ? ??∈2,0π. 联赛一试水平训练题（二） 1．在平面直角坐标系中，函数f (x )=asinax +cosax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图象与 函数g (x )=12+a 的图象所围成的封闭图形的面积是__________. 2．若??????--∈3,125ππx ，则y =tan ??? ??+32πx -tan ??? ??+6πx +cos ??? ? ? +6πx 的最大值是__________. 3．在△ABC 中，记BC =a , CA =b , AB =c , 若9a 2+9b 2-19c 2=0，则B A C cot cot cot +=__________. 4．设f (x )=x 2-πx , α=a r csin 31, β=a r ctan 45, γ=a r ccos ??? ??-31, δ=a r ccot ?? ? ??-45, 将f (α), f (β), f (γ), f (δ) 从小到大排列为__________. 5．log sin 1cos 1=a , log sin 1tan 1=b , log cos 1sin 1=c , log cos 1tan 1=d 。将a , b , c , d 从小到大排列为__________. 6．在锐角△ABC 中，cosA =cos αsin β, cosB =cos βsin γ, cosC =cos γsin α，则tan α·tan β·tan γ=__________. 7．已知矩形的两边长分别为tan 2 θ 和1+cos θ(0<θ<π)，且对任何x ∈R , f (x )=sin θ·x 2+43·x +cos θ≥0，则此矩形面积的取值范围是__________. 8．在锐角△ABC 中，sinA +sinB +sinC 的取值范围是__________. 9．已知当x ∈[0, 1]，不等式x 2cos θ-x (1-x )+(1-x )2sin θ>0恒成立，则θ的取值范围是__________. 10．已知sinx +siny +sinz =cosx +cosy +cosz =0，则cos 2x + cos 2y + cos 2z =__________. 11．已知a 1, a 2, …,a n 是n 个实常数，考虑关于x 的函数：f (x )=cos (a 1+x )+2 1 cos (a 2+x ) +… +12 1 -n cos (a n +x )。求证：若实数x 1, x 2满足f (x 1)=f (x 2)=0，则存在整数m ，使得x 2-x 1=m π. 12．在△ABC 中，已知 3cos cos cos sin sin sin =++++C B A C B A ，求证：此三角形中有一个内角为3 π 。 13．求证：对任意自然数n , 均有|sin 1|+|sin 2|+…+|sin (3n -1)|+|sin 3n |>5 8n . 六、联赛二试水平训练题 1．已知x >0, y >0, 且x +y <π，求证：w(w-1)sin (x +y )+w(sinx -siny )+siny >0①（w ∈R ）. 2. 已知a 为锐角，n ≥2, n ∈N +，求证：?? ? ??-??? ??-1cos 11sin 1a a n n ≥2n -212 +n +1. 3. 设x 1, x 2,…, x n ,…, y 1, y 2,…, y n ,…满足x 1=y 1=3, x n +1=x n +2 1n x +, y n +1=2 11n n y y ++，求证： 2 4．已知α，β，γ为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，求证； 43 π<α+β+γ<π. 5．求实数a 的取值范围，使得对任意实数x 和任意θ?? ? ???∈2,0π，恒有 (x +3+2sin θcos θ)2+(x +asin θ+asin θ)2≥.8 1 6. 设n , m 都是正整数，并且n >m ，求证：对一切x ?? ? ??∈2,0π都有2|sin n x -cos n x |≤3|sin n x -cos n x |. 7．在△ABC 中，求sinA +sinB +sinC -cosA -cosB -cosC 的最大值。 8．求的有的实数a , 使cosa , cos 2a , cos 4a , …, cos 2n a , …中的每一项均为负数。 9．已知θi ?? ? ??∈2,0π，tan θ1tan θ2…tan θn =22n , n ∈N +, 若对任意一组满足上述条件的 θ1，θ2，…，θn 都有cos θ1+cos θ2+…+cos θn ≤λ，求λ的最小值。 三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）. 三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 锐角三角函数 锐角三角函数 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边 正割（sec)等于斜边比邻边 余割(csc)等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ?积的关系： sinα=tanα?cosα cosα=cotα?sinα tanα=sinα?secα cotα=cosα?cscα secα=tanα?cscα cscα=secα?cotα ?倒数关系： tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. 特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinα 1 √3/ 2 √2/2 1/2 0 ←cosα 0 √3/3 1 √3 None ←tanα None √3 1 √3/3 0 ←cotα 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式： R 4、扇形面积公式： S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=） _______ sin r y =α，________cos r x =α，_____tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k （Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：2 2 sin cos 1αα+=.2、 商数关系：sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??- 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数知识点 考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan = 考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图 高中数学必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ； 第四象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3 α所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零； 任一角α的弧度数的绝对值r l =||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 （6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（22cm ） 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0） 练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。 II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切 线； 练习： （1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<） （2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α ★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限） 三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如 (； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？ 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 2 三角函数知识点 1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角 的变 换、两角与其和差角的变换 . 如 （ ） 2 ( ) ( ) ， （1） 平方关 系： 2 sin cos 2 1,1 tan 2 2 sec ,1 cot 22 csc （2） 倒数关系： sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1, （ 3） 商数关 系： tan sin ,cot cos cos sin 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式及倍角公式 ： sin sin cos cos sin 令 sin2 2sin cos cos cos cos m sin sin 令 cos2 2 cos 2 1 1 2sin 2 tan 1mtan tan 2 sin ＝ 1 cos2 tan2 2tan 1 tan 2 （2） 三角函数次数的降升 （降幂公式： 2 1 cos2 2 cos ， sin 1 cos2 2 与升幂 2 2 等）， 3 、 2 cos ＝ 1+cos2 2 2cos tan tan sin 2 公式：1 cos2 2cos2，1 cos2 2sin 2 2 (3) 常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 sin 2 x cos 2 x tan 4 sin 2 L 等)， 4)周期性 ：① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；② f ( x) A sin( x )和 f ( x) A cos( x )的最小正周期都是 T | 2 | 。如 5 )单 调 性 ： y sin x 在 2k , 2k 2 kZ 2 上单 调递增， 在 2k ,2k 3 k Z 单调递减； y cos x 在 2k ,2 k kZ 上单调递减， 在 2 2 2k ,2k 2 k Z 上单调递 特别提别忘了 k Z ！ (6) 、形如 y A sin( x ) 的函数： 1 几个物理量 ： A ―振幅；f 1 ―频率(周期的倒数)； 相位； ―初相； 2 函数 y A sin( x ) 表达式的确定 ：A 由最值确定； 期 确 定 ； 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 ， 如 f (x) Asin( x )(A 0, 0，| | ) 的图象如图所示， 2 3 函数 y Asin( x ) 图象的画法 ：①“五点法”――设 X x ，令 X ＝0 ， , , ,2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法： 22 这是作函数简图常用方法。 4 函数 y A sin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：①函数 y sin x 的图象 纵 坐标不变，横坐标向左( >0 )或向右( <0 )平移 | | 个单位得 y sin x 的图 象； ②函数 y sin x 图 象的纵坐 标不 变， 横坐标变为原 来的 1 ，得到函 数 y sin x 的图象；③函数 y sin x 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍， 得到函数 y A sin( x ) 的图象；④函数 y Asin( x ) 图象的横坐标不变，纵坐 标向上( k 0 )或向下( k 0 )，得到 y Asin x k 的图象。要 特别注意 ， 若由 y sin x 得到 y sin x 的图象，则向左或向右平移应平移 | | 个单位， 如 1 )函数 y 2sin( 2 x ) 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象？ (； 22 sec x tan x tan x cot x 2sin(15x 2 由周 则 f ( x) f ( x)0， 所以co s(s inx )>s in (co s x ).1，三角函数知识点及题型归纳
高中文科数学三角函数知识点总结
高中数学公式三角函数公式大全
【全】初中数学 三角函数知识点总结
三角函数知识点及典型例题
高中数学三角函数知识点归纳总结
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数知识点汇总
三角函数知识点总结及练习题
初中三角函数知识点总结(中考复习)
高中部分三角函数知识点总结
三角函数知识点及例题讲解
高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)
高一三角函数知识点梳理总结
最全高中数学三角函数公式
三角函数知识点汇总
三角函数知识点及例题讲解