二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
来源：文都教育
在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析
通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02
=++q p λλ的特征根为12,λλ，则
1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e
λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x
y C e C xe λλ=+；
3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；
证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，
令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx
λλλ'-=?
=?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得
221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为
21212()121212
[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。 2）当12λλ=且为实数时，由（1）式得原方程的通解为2111221[]x x x y e c dx C y C e c xe λλλ=+==+?，即1212x x y C e C xe λλ=+；
3）当12,i λλαβ=±时，12λλ≠，由1）中结论知，原方程的通解形式也是
1212x x y C e C e λλ=+，但由于12λλ和都是复数，这个通解是复数，为了求出原方程的实数解，需要利用欧拉公式：cos sin i e i θ
θθ=+，由此得1()(cos sin )x i x x i x x e e e e e x i x λαβαβαββ+==?=+，同样有
2()(cos sin )x i x x e e e x i x λαβαββ-==-，于是
121212(cos sin )(cos sin )x x x x y C e C e C e x i x C e x i x λλααββββ=+=++-=
121212
[()cos ()sin ](cos sin )x x e C C x i C C x e C x C x ααββββ=++-=+，其中取12C C 和为互为共轭的复数，即 11221211=(),=()22
C C iC C C iC -+，按习惯，上式通常写成形式12(cos sin )x y e C x C x αββ=+.
二、典型例题分析
例1、设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()y x = .
解：∵在0x =处()y x 取得极值3，且()y x 二阶可导，∴(0)3,(0)0y y '==；
微分方程的特征方程为 022=-+λλ，特征值为1,221=-=λλ，
原方程的通解为x x e C e C y 221+=-，
由0)0(,3)0(='=y y 得???=+-=+0
232121C C C C ，解得2,121==C C ，故x x e e y 22+=-. 注：本题是考研数学2015年数二（12）和数三（12）题。
例2. 求二阶微分方程为'''0y y y ++=的通解。
解：特征方程为210λλ++=，特征根为1,2122
λ=-±，
因此齐次微分方程的通解为212(cos sin )22
x
Y e C x C x -=+. 微分方程中最主要的考点是一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程，大家对它们的各种求解方法和通解公式及特解求法一定要熟练掌握，而三阶微分方程则仅对数一和数二的考生有些要求，但仅限于三阶常系数线性齐次微分方程。关于可降阶的高阶微分方程实际上也仅限于二阶微分方程。另外，对于变量可分离的微分方程和齐次微分方程大家也要掌握其求解方法。文都网校的蔡老师衷心地期望各位考生能学好考好、金榜题名。
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
二阶常系数齐次线性微分方程求解方法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
第八节二阶常系数齐次线性微分方程
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种 情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 若 22()()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。 20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。 （1）当12r r ≠即240p q ->时，1 212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时， （3）只有一个解rx y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 求二阶常系数齐次线性微分方程 '''0y py qy ++= （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 2 0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 2230r r --= 其根121 ,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为 312x x y C e C e -=+ 例2 求方程222 0d s ds s dt dt ++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为 2210r r ++= 其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 ()12t s C C t e -=+ 将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而 ()24t s C t e -=+ 将上式对t 求导，得 ()224t s C C t e -'=-- 再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为 ()42t s t e -=+ 例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为
二阶线性微分方程解的结构
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
二阶非齐次线性微分方程的解法.
目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+
(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t - 。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ 其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++= 。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=- 也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+
一阶常系数线性齐次微分方程组的求解
一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x - 5y , 沿y 轴正向的速率为2x - 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程? 图31 虫子爬行的轨迹 【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )). 【模型构成】由已知条件和上述假设可知 d 45,d d 23,d x x y t y x y t ?=-????=-??而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程. 【模型求解】令A =4523-?? ?-?? , 则|λE -A | =4523λλ--+= (λ+1)(λ-2). 可见A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 2. (-E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ; (2E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T . 令P = (ξ1, ξ2), 则P -1AP =1002-?? ??? . 记X =x y ?? ???, Y =u v ?? ??? , 并且作线性变换X = PY , 则Y = P -1X , d d t Y = P -1d d t X = P -1AX = P -1APY =1002-?? ??? Y , 即 d d d d u t v t ?? ???=1002-?? ???u v ?? ??? , 故u = c 1e -t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e -?? ??? . 因而 12c c ?? ??? = Y |t =0 = P -1X |t =0 =2/35/31/31/3-?? ?-??10?? ???=2/31/3-?? ???. 于是 x y O 1 何去何从?
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)
一阶线性非齐次微分方程
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 132() 的通解。 解：] 23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++-?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()]x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常 系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
第二章 二阶线性偏微分方程的分类
第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
一阶线性微分方程及伯努利介绍
一阶线性微分方程及伯 努利介绍 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第三节 一阶线性微分方程 内容要点 一、一阶线性微分方程 形如 )()(x Q y x P dx dy =+ 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程成为 0)(=+y x P dx dy 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程称为一阶非齐次线性方程. 方程的通解 .)(?-=dx x P Ce y 其中C 为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程的通解为 [] ?-?+=?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( 二、伯努利方程：形如 n y x Q y x P dx dy )()(=+ 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n . 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程两端除以n y ，得 或 ),()()(1111x Q y x P y n n n =+'?--- 于是，令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程
)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解 雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli ，1654~1705) 伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。 雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。 雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何学讲义》。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。这次旅行，他在科学上
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02 =++q p λλ的特征根为12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为
二阶线性偏微分方程的分类与小结
二阶线性偏微分方程的分类与小结
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第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 １ 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中 f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数, 假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且 221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=，),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ ＝x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =，),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=,y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高,由变换的可逆性,方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为