直线方程中的对称问题

直线方程中的对称问题

作者：王桂美

来源：《教育周报·教研版》2017年第30期

对称问题是高中数学的重要内容之一，函数的对称性是函数的一个基本性质，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美，直线的对称问题又是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，为使对称问题的知识系统化、条理化、规范化，我们可以把直线中的对称问题主要归纳为：点关于点对称点，线关于点对称，点关于线对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：

一、点关于点对称问题

解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础平面内两点，则的中点坐标设点关于点对称点为，由中点坐标公式可得∴平面内点关于对称点坐标为。

例：1求①点关于点的对称点的坐标；②关于点对称，求点坐标。

解：由题意知点是线段的中点。所以易求①，②。

二、线关于点对称问题

求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题。

例2：求直线关于点的对称直线的方程。

解法1：在直线上任取一点关于的对称点，。，，。

解法2：由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，求出直线方程。设对称直线方程为，，，。

解法3：在已知直线上取两点求出关于的对称点再求过这两点的直线方程即可。

三、点关于线对称问题

求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用：（1 ）两直线斜率互为负倒数，（2）中点坐标公式来求得。

例3：已知点，直线，求点P关于直线L的对称点的坐标。

解法：设，则的中点坐标为（），且满足直线L的方程，又∵与L垂直，且，L斜率都存在，∴即有，即，∴，∴。

四、线关于线的对称问题

求直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线对称问题，即在已知直线上任取两个不同点，求出这两点关于直线的对称点，再求出直线方程。

例4：求已知直线关于直线对称的直线方程。

解法1：在上任取一点，关于直线的对称点，∴的中点坐标满足直线方程∴。又∵的斜率，∴∴

∴∴代入，得，故所求直线方程为：

解法2：在上任取一点，∵直线的斜率为3，∴过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为，，得。所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上。由，得所以交点坐标为，过和的直线方程为，故所求直线方程为。当然在实际教学过程中线关于线对称的求解过程较复杂，计算量大，特别是遇到四个未知九，不知道把当成已知数，求，我在实际教学过程中为使对称问题的知识系统化，我在教学中特作以下归纳：（1）点关于原点对称的点为；（2）点关于轴对称的点为；（3 ）点关于轴对称的点为；（4）点关于直线对称的点为；（5）点关于直线对称的点为；（6）点关于直线对称的点为；（7）点关于直线对称的点为；（8）曲线关于点的对称曲线的方程；（9）曲线关于轴和轴对称的曲线方程分别是和；（10）曲线关于直线和对称的曲线方程分别是和；（11）关于直线和对称的曲线方程分别是和。当然我们在解此题时也可以在L上取一个特殊点，求此关于直线的对称的对称点，再求L与的交点，这样求出对称直线，当然为使对称问题的知识系统化，我在教学中特作以下归纳：①曲线关于点的对称曲线的方程是。②曲线关于直线对称的曲线方程是，。特别地曲线关于：①轴和轴对称的曲线方程分别是和；②关于直线和对称的曲线方程分别是和；③关于直线和对称的曲线方程分别是和