06 等位线问题(解析版)最新修正版

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专题06 等位线问题

若函数()hx在区间D上连续且存在最大值s和最小值t,则函数|()|yhxb最大值的最小值为
2
st
（当且仅当2stb时成立），此类问题一般在2stb时取到结果，简称等位线问题.

典例1. 命题p:存在0[1,2]x，使得020||xaxbc…，其中,,abcR，若无论,ab取何值时，命题P
都是真命题，则c的最大值是_____
【答案】18
【解析】
分析一：由题意知[1,2]x存在，使2()gxxaxb的最大值不小于c或2()gxxaxb的最小值不
大于c对任意的,ab均成立
（1） 当1,22aa时，不等式42abc或1abc恒成立24abc或
1abc
恒成立，即max{2,1}cabcab对任意的,ab均成立

①若241abab，则根据线性规划可得112422abc
②若241abab，则根据线性规划可得11122abc

（2） 当3122a时，不等式42abc或24abc„恒成立，即2max{2,}4acabcb对
任意的,ab均成立
③若2244aabb，222404aab„，则24,zab2112888azac…
④若2244aabb，同理可得18c
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其它情形类似可得18c，综上c的最大值是18
分析二：2317(),(1)(2)()3,28gxxaxbgggab,此时1|()|8gx，即c的最大值是18
分析三：令函数2(),[1,2]hxxaxx最大值s和最小值t, 2()||,[1,2]fxxaxbx的最大值为
(,)Mab
，

当2stb时，(,)()2stMabsb
当2stb时，(,)2stMabbt
当2stb时，(,)()2stMabsb
综上当2stb时，min(,)2stMab
因为2(),[1,2]hxxaxx在3a时st取到最小值14，所以min1(,),8Mab18c，
综上c的最大值是18

1. 已知aR，函数4()fxxaax在区间[1,4]上的最大值为5，则实数a的取值范围为______
【答案】92a
【解析】
设4()gxxx， ()gx在区间[1,4]上的最大值为5，最小值为4，所以549522aa…
2.设,km为实数，不等式21xkxm„对所有的[,]xab成立，则ba的取值范围是_____
【答案】022ba
【解析】设2()fxxkx，当()(b)faf，kab时，()fx最大值为ab，最小值为2()4ab，

所以22()()4128ababab…，即022ba
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3.已知[1,e]x，存在常数,ab使不等式|ln|xaxbc„恒成立，则实数c的取值范围是_________
【答案】
2ln(1)222eece



…

【解析】设()lnfxxax，当(1)(e)ff，11ae时，()fx最小值为11e，最大值为ln(1)1e，
所以
2ln(1)222eece



…