高中数学必修一-函数模型的选择及简单应用

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高中数学人教A版必修《三角函数模型的简单应用》教案

1.6三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。

能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。

体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。

情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。

三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。

学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。

教学手段：运用多媒体辅助教学。

四、教学基本流程步骤师生活动作图观察得：函数y=|x-1|的图象是将y=x-1的图象_______________________________而得到。

２）画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。

作图观察得：函数y=|sinx|的图象是将y=sinx的图象______________而得到。

培养学生用类比学习的方法来解决问题。

让学生到黑板上画图并解答这两个问题，老师适当引导，适时给予鼓励与肯定，激发学生学习和探索新知的兴趣和热情。

三、释疑：问题（1）属于根据________模型求解_________模型问题。

问题（2）属于根据_________模型求解______模型，并根据______认识性质。

提高概括能力,体会数学中式和形两种不同数学模型互相转化解决问题的思想方法，提升对三角函数模型应用问题的认识和解决能力。

高中数学第三章函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

三角函数的应用-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为（月份）轴,以平均气温为轴.
（1）描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据.
[解析] 如图.
（2）估计这个正弦曲线的周期和振幅 .
[答案] 可以用三角函数模型 , ,其中 , 表示.
问题3：. 表示什么？
[答案] A是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离.
新知生成
描述简谐运动的物理量
（1）简谐运动的振幅就是____.
（2）简谐运动的周期 .
（3）简谐运动的频率 .
（4）_________称为相位.
4.一根长的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式为 ,其中是重力加速度,当小球摆动的周期是时,线长 _ _____ .
[解析] 由已知得 ,所以 ,即 ,解得 .
一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是 .
（1）画出它的图象.
[解析] 周期 .列表：
0
1
3
6
0
0
3
巩固训练
描点画图：
（2）回答以下问题：
问题3：依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

人教A版高中数学必修1第三章《函数的应用》思维导图

人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
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高中数学必修和选修课本共计13本，通常两年内学完，平均一年6本，每学期3本。

每本平均三到四章，每学期5个月，大约半月学完一章。

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当然，我们并不是说教材不重要，相反，教材非常重要。

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已经进入高三的同学，也不用担心，后续我们会持续更新，大家关注我们的文章即可，我们会帮大家梳理好，大家可以通过文章末尾留言免费获取。

本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。

主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。

下面我们逐一展开回忆下。

一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。

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高中数学必修一 (学案)三角函数的应用

三角函数的应用【学习目标】会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【学习重难点】三角函数的实际应用问题。

【学习过程】一、自主学习知识点一：函数y＝A sin（ωx＋φ），A>0，ω>0中各参数的物理意义知识点二：三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．知识点三：三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．教材解难：教材P 248思考不对．因为这条船停止后还需0.4h ，若在P 点停止，再经0.4h 后船驶出安全水深．基础自测：1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F （t ）＝50＋4sin t2（t ≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F （t ）的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z ．当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C ．答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1（cm ）和s 2（cm ）分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π3．则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是（）A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2．答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C ．答案：C4．简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的频率和相位分别是________．解析：简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的周期是T ＝2π4＝π2，相位是4x ＋π6，频率f ＝1T ＝2π．答案：2π，4x ＋π6 二、素养提升题型一：三角函数在物理中的应用例1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位置）的距离h （cm ）与时间t （s ）的函数关系式为：h ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4．（1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；（3）经过多长时间小球往返振动一次？（4）每秒内小球能往返振动多少次？解析：（1）令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．（2）由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s ．当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s ．（3）T ＝2π2＝π，即经过约πs 小球往返振动一次．（4）f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次．令t ＝0解1 →令h ＝±3解2 →问题3即求周期T→问题4即求频率f T 的倒数方法归纳：处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s （cm ）随时间t （s ）的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞）．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：（1）小球在开始振动（t ＝0）时的位移是多少？（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？（3）经过多长时间小球往复振动一次？ t 0 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 32 1 0 －1 0 s234－4描点、连线，图象如图所示．（1）将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm ．（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm 和－4cm ．（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs ．解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．题型二：三角函数在实际生活中的应用[教材P 245例2]例2：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确0.001m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）某船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h 的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？解析：（1）以时间x （单位：h ）为横坐标，水深y （单位：m ）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）．根据图象，可以考虑用函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h＝5，T ＝12.4，φ＝0；由T ＝2πω＝12.4，得ω＝5π31．所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y ＝2.5sin 5π31x ＋5近似描述．（2）货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5m，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin5π31x＋5＝5.5，sin5π31x＝0.2．由计算器可得0.2013579208≈0.2014．如图2，在区间[0，12]内，函数y＝2.5sin5π31x＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此5π31x≈0.2014，或π－5π31x≈0.2014．解得x A≈0.3975，x B≈5.8025．由函数的周期性易得：x C≈12.4＋0.3975＝12.7975，x D≈12.4＋5.8025＝18.2025．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．（3）设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3（x－2）（x≥2）．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图3）．借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为（7.016，3.995），因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．状元随笔观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝A sin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，φ，h的值．教材反思：解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2：如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；（2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：（1）由已知可设y ＝40.5－40cos ωt （t ≥0），由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6．所以y ＝40.5－40cos π6t （t ≥0）．（2）令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20（分钟）．（1）由已知可得解析式．（2）利用y ＝60.5解t ．题型三：根据数据拟合函数例3：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y ＝f （t ），下面经长期观察，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象．（1）试根据以上数据，求出函数y ＝f （t ）的近似解析式．（2）一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？解析：（1）由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f （t ）的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10．（0≤t ≤24）（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12．①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π．②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6．化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17．∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt ＋b ．方法归纳：在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤（1）根据原始数据，绘出散点图；（2）通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3：已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （时）的函数，其中0≤t ≤24，记经长期观测，y ＝f （x ）的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象．（1）根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；（2）根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：（1）由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6．又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1（0≤t ≤24）．（2）因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0，2k π－π2<π6t <2k π＋π2（k ∈Z ），即12k －3<t <12k ＋3（k ∈Z ）．又0≤t ≤24．所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15．根据表格，确立y ＝A cos ωt ＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式．三、学业达标（一）选择题1．电流I （A ）随时间t （s ）变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞），则电流I 变化的周期是（）A ．150B ．50C ．1100D ．100解析：T ＝2π100π＝150．答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8．答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y （每平方米的价格，单位：元）与第x 季度之间近似满足y ＝500sin （ωx ＋φ）＋9500（ω>0），已知第1季度和第2则此楼群在第3季度的平均单价大约是（） A ．10000元B ．9500元C ．9000元D ．8500元解析：因为y ＝500sin （ωx ＋φ）＋9500（ω>0），所以当x ＝1时，500sin （ω＋φ）＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin （2ω＋φ）＋9500＝9500，即⎩⎨⎧sin 2ω＋φ＝0，sinω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ．又当x ＝3时，y ＝500sin （3ω＋φ）＋9500，所以y ＝9000．答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s （单位：cm ）和时间t （单位：s ）的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（）A ．2sB ．1sC ．12sD ．14s解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1（s ），从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s ．答案：C （二）填空题5．设某人的血压满足函数式p （t ）＝115＋25sin （160πt ），其中p （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180（分），f ＝1T ＝80（次/分）．答案：806．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s （单位：cm ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式是s ＝A sin （ωt ＋φ），0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________．解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34．所以T ＝1，则ω＝2πT ＝2π．因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6．答案：π67．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f （x ）＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6，周期T ＝2×（7－3）＝8，所以ω＝2πT＝π4．所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋φ＋6．又当x ＝3时，y ＝8，所以8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|<π2可得φ＝－π4，所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6．答案：f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6（三）解答题8．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20cm ，某时刻振子处在B 点，经0．5s 振子首次到达C 点，求：（1）振动的振幅、周期和频率；（2）弹簧振子在5s 内通过的路程及位移．解析：（1）设振幅为A ，则2A ＝20cm ，所以A ＝10cm ．设周期为T ，则T2＝0．5s ，所以T ＝1s ，所以f ＝1Hz ．（2）振子在1s 内通过的距离为4A ，故在5s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200（cm ）．5s 末物体处在B 点，所以它的位移为0cm ．9．交流电的电压E （单位：V ）与时间t （单位：s ）的关系可用E ＝2203sin （100πt ＋π6）来表示，求：（1）开始时电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解析：（1）当t ＝0时，E ＝1103（V ），即开始时的电压为1103V ．（2）T ＝2π100π＝150（s ），即时间间隔为0．02s ．（3）电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．尖子生题库：10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P （t ）＝115＋25sin （160πt ），其中P （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），试回答下列问题：（1）求函数P （t ）的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）画出函数P （t ）的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：（1）由于ω＝160π代入周期公式T＝2πω，可得T＝2π160π＝180（min），所以函数P（t）的周期为180min．（2）函数P（t）的频率f＝1T＝80（次/分），即此人每分钟心跳的次数为80．（3描点、连线并左右扩展得到函数P（t）的简图如图所示．（4）此人的收缩压为115＋25＝140（mmHg），舒张压为115－25＝90（mmHg），与标准值120/80mmHg相比较，此人血压偏高．。

高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型

12/9/2021
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数据如下表
2.四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 的变化的
x 1 5 10 15
20
25
y1 2 y2 2
26 101 226 401 1.05×
32 1 024 32 768 106
626 3.36×
107
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644
第十六页，共三十九页。
解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
1
x2，曲线 C3 对应的函数是 g(x)＝ln x＋1. 由题图知，当 0<x<1 时，f(x)>h(x)>g(x)；当 1<x<e 时，f(x)>g(x)>h(x)；当 e<x<a 时，g(x)>f(x)>h(x)；当 a<x<b 时，g(x)>h(x)>f(x)；当 b<x<c 时，h(x)>g(x)>f(x)；当 c<x<d 时，h(x)>f(x)>g(x)；当 x>d 时，f(x)>h(x)>g(x)．
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【解】建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1， 8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，

高一数学必修一所有模型知识点

高一数学必修一所有模型知识点导语：高一数学必修一课程是高中数学学科的基础，具有重要的理论和实践价值。

其中，模型是数学知识和实际问题之间的桥梁，通过建立数学模型，可以解决现实生活中的各种问题。

本文将从各个方面介绍高一数学必修一所有的模型知识点。

一、函数模型函数模型是高中数学中最基础的模型之一，它描述了变量之间的依赖关系。

在高一数学必修一中，函数模型主要涉及到一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

通过对实际问题进行数学建模，学生可以将实际问题转化为函数表达式，并通过函数的图像和性质来解决问题。

二、几何模型几何模型是描述空间形状和位置关系的数学模型。

在高一数学必修一中，几何模型主要涉及到平面几何和空间几何。

平面几何模型常见的有平面直角坐标系、三角形、平行四边形等，通过建立几何模型，可以解决各种形状和位置相关的问题。

三、数据统计模型数据统计模型是通过对数据进行分析和处理，得到相应的数学模型。

在高一数学必修一中，数据统计模型主要涉及到数据的收集、整理、描述和分析等。

通过应用统计学的方法，可以对数据进行合理的解读和分析，进而得出结论。

四、概率模型概率模型是描述随机实验结果的数学模型。

在高一数学必修一中，概率模型主要涉及到随机事件、概率计算、条件概率和独立性等概念。

通过建立概率模型，可以确定某个事件发生的可能性，从而进行合理的决策。

五、三角模型三角模型是描述角度之间关系的数学模型。

在高一数学必修一中，三角模型主要涉及到角的三角函数、三角恒等式、解三角形等。

通过建立三角模型，可以解决各种角度和边长相关的问题，应用广泛。

六、微分模型微分模型是描述变化率的数学模型。

在高一数学必修一中，微分模型主要涉及到函数的导数和导数的应用。

通过建立微分模型，可以解决各种变化率相关的问题，具有重要的应用价值。

七、积分模型积分模型是描述累积量的数学模型。

在高一数学必修一中，积分模型主要涉及到不定积分、定积分以及积分的应用。

通过建立积分模型，可以解决各种面积、物理量、曲线长度等相关问题，具有重要的应用价值。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.7三角函数的应用

解（1）由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交 ON于点M.
当π2<θ≤π 时，∠BOM＝θ－π2. h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8 sinθ－π2；当 0≤θ≤π2，π<θ≤2π 时，上述解析式也适合. 则 h 与 θ 间的函数解析式为 h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
解析设 y＝Asin（ωt＋φ）（A>0，ω>0），则从表中数据可以得到 A＝4，ω＝2Tπ ＝02.π8＝52π，又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2，即 y＝－4cos52πt. 答案 y＝－4cos52πt
一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养. 2.三角函数模型构建的步骤：
解（1）由题图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180，
则周期 T＝2（t2－t1）＝21180＋9100＝715. ∴ω＝2Tπ＝150π. 又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.
故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
【训练4】一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组
对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个
三角函数式为
.
t0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1φ
（3）简谐运动的频率由公式___f=__T_=__2_π_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.4函数的应用(一)含解析

3.4函数的应用(一)【素养目标】1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)【学法解读】1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．必备知识·探新知基础知识知识点1一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.知识点2二次函数模型(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(a≠0)．(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．知识点3幂函数型模型(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．基础自测1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(B)A．30元B．45元C．54元D．越高越好[解析]设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450，所以当x ＝45时，日销售利润最大．2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地．(1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，x ∈[0，52]，150，x ∈(52，72]，150－50(x －72)，x ∈(72，132]. (2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝92时汽车距离A 地100千米．关键能力·攻重难题型探究题型一一次函数模型例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？[分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x 份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x ≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x ×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x －250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x －250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．[解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x ≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得：y ＝0.5x ×20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35x ×30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数，所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．[归纳提升] 建立一次函数模型，常设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法求出k ，b 的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是( D )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)[解析] 因为90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是y ＝120t (t ≥0)．题型二二次函数模型例2 A ，B 两城相距100 km ，拟在两城之间距A 城x km 处建一发电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A 城供电20亿度，每月向B 城供电10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；(3)发电站建在距A 城多远处，能使供电总费用y 最少？[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km 确定x 的取值范围，然后根据正比例关系确定y 关于x 的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．[解析] (1)x 的取值范围为{x |10≤x ≤90}．(2)y ＝0.25×x 2×20＋0.25×(100－x )2×10＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)由于y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003，则当x ＝1003时，y 取得最小值，y min ＝50 0003. 故发电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最小． [归纳提升] 二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是年产量(单位：百台)．(1)将利润表示为关于年产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？[解析] (1)依题意得，利润函数G (x )＝(5x －12x 2)－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)．(2)利润函数G (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，当x ＝4.75时，G (x )有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．题型三幂函数模型例 3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解析] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0)，结合已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20－x )万元，依题意得获得收益为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)，令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则x ＝20－t 2，所以y ＝20－t 28＋t 2＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2时，即x ＝16时，y 取得最大值，y max ＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．[归纳提升] 幂函数模型有两个：y ＝kx n (k ，n 是常数)，y ＝a (1＋x )n (a ，n 是常数)，其中y ＝a (1＋x )n 也常常写作y ＝N (1＋p )x (N ，p 为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中，流量速率为400 cm 3/s.求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量速率R 的解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm ，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)[解析] (1)由题意，得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400.所以k ＝40081，流量速率的解析式为R ＝40081r 4. (3)因为R ＝40081r 4，所以当r ＝5 cm 时，R ＝40081×54≈3 086(cm 3/s)．题型四分段函数模型例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的产量(单位：台)． (1)将利润f (x )(单位：元)表示为产量x 的函数(利润＝总收益－总成本)；(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？[分析] (1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x ≤400和x >400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．[解析] (1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000；当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000，当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000.所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．[归纳提升] 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．【对点练习】❹ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t 时，每吨3元，当用水量超过4 t 时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．[解析] (1)当甲户用水量不超过4 t ，即5x ≤4时，乙户用水量也不超过4 t ，y ＝(5x ＋3x )×3＝24x ；当甲户的用水量超过4 t 而乙户的用水量不超过4 t ，即5x >4且3x ≤4时，y ＝4×3＋3x ×3＋4×(5x －4)＝29x －4；当甲、乙两户的用水量均超过4 t ，即3x >4时，y ＝4×3×2＋(5x －4)×4＋(3x －4)×4＝32x －8.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 24x ，0≤x ≤45，29x －4，45<x ≤43，32x －8，x >43.(2)由于函数y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)＝19.2<40. 当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)＝3423<40. 故x ∈(43，＋∞)．令32x －8＝40，解得x ＝1.5，所以5x ＝7.5，甲户用水量为7.5 t ，应付水费y 1＝4×3＋(7.5－4)×4＝26(元)；3x ＝4.5，乙户用水量为4.5 t ，应付水费y 2＝4×3＋(4.5－4)×4＝14(元)．误区警示忽视实际问题中的定义域例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？[错解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 所以当x ＝52时，y max ＝1 125. [错因分析] 本题忽略了变量参数的实际意义x ∈N ＋.[正解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 因为x ∈N ＋，所以当x ＝2或x ＝3时，y max ＝1 120.当x ＝2时，需租出客床80张；当x ＝3时，需租出客床70张．因为x ＝3时的投资小于x ＝2时的投资，所以取x ＝3，此时2x ＝6.即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．[方法点拨] 解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．学科素养数学建模——函数模型的选择例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.29a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b (1－c )＋c ＝1.2b 2(1－c )＋c ＝1.3，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1.2－b 1－b c ＝1.3－b 21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0.5c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8. 所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．[归纳提升] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．课堂检测·固双基1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(D)A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套[解析]设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(D)A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二[解析]由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A．3 m B．4 mC ．6 mD ．12 m[解析] 设矩形的长为x ，则宽为14(24－2x )，则矩形的面积为 S ＝14(24－2x )x ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18，所以当x ＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( D )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[解析] 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.。

苏教版高中数学必修1第8章8.2.1几个函数模型的比较课件

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6.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1， f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，以下说法正确的是 A.当x>1时，乙走在最前面
指数函数增长的特点指数函数y＝ax(a＞1)是增函数，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”.
跟踪训练1 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的
函数模型是
A.一次函数
B.二次函数
√C.指数型函数
D.对数型函数
x3
4
5
6
7
y 3.38 5.06 7.59 11.39 67.09
画出图形，如图所示.
随着自变量x的增加，函数值y以“爆炸”式的速度增长，故为指数型函数模型.
二
函数模型增长差异的比较(图象)
问题把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异. 提示
一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x 增长最慢.
例1 四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26
101
226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10

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函数模型的选择及简单应用知识集结知识元函数的单调性及单调区间知识讲解1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．例题精讲函数的单调性及单调区间例1.已知函数f（x）=x|x|-2x的单调增区间为________________。

例2.'（1）求函数f（x）=x-的值域；（2）求函数y=（-x2+2x+1）的单调区间．'例3.函数f（x）=的单调递减区间为_______．例4.'已知函数f（x）=．（1）求函数的单调区间（2）当m∈（-2，2）时，有f（-2m+3）>f（m2），求m的范围．'根据实际问题选择函数类型知识讲解1．根据实际问题选择函数类型【知识点的知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝m log a x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c （a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．例题精讲根据实际问题选择函数类型例1.'铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液，这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛的应用．但是由于在实际生活中使用方法不当，电池能量未被完全使用，导致了能源的浪费，因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中亟待解决的问题。

研究发现，当电池以某恒定电流放电时，电压U关于放电时间t的变化率y满足y=ae bt+（其中a，b为常数，无理数e=2.71828…）实验数据显示，当时间t的值为0和5时，电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752，求a，b的值．'例2.'已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=k log a v+b。

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．'例3.某公司一年购买某种货物480吨，每次购买x吨，运费为10万元/次，一年的总存储费用为3x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是____．例4.'经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且日销售量满足函数g（t）=80-2t（件），而日销售价格满足于函数（元）（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0<t≤20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．'当堂练习单选题练习1.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）=11-3t+（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A．4+25ln5B．C．D．练习2.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（）A．1500元B．1550元C．1750元D．1800元练习3.团体购买公园门票，票价如表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（）A．20 B．30 C．35 D．40练习4.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.08≈0.033，lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023填空题练习1.已知f（x）是定义在[-1，+∞）上的单调递增函数，则不等式f（e x-2）≥f（2-）的解集是_______．练习2.已知函数f（x）=（）|x-1|，则f（x）的单调递增区间是________．练习3.函数的单调递增区间为________________，值域为__________________．练习4.已知函数y=-x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是________．练习5._____．函数f（x）=|2x-1|-|3x+2|的单调递减区间为____解答题练习1.'已知函数f（x）=，（Ⅰ）画出f（x）的图象；（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．'练习2.'已知函数f（x）=x2-4x+2．g（x）=f（x）-mx在[2，6]上是单调函数，求m的取值范围．'练习3.'（1）已知f（2x-1）=4x，求f（x）在[0，1]上的值域；（2）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））=f（x）+2，求g（x）=的值域及单调区间．'练习4.'设a为实数，函数f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性．'。