北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案及教学反思
北师大版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》 公开课教案_4
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计【教材分析】1.教材的地位与作用：本节课是北师大版义务教科书九年级上册第二章第五节内容，是在学习了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法之后引出的.作为选学内容，一方面，它深化了两根与系数之间的关系，是我们研究一元二次方程根的情况的重要工具；另一方面，它为今后二次函数的系数研究提供了方程思想.2.教学的重、难点：重点：一元二次方程两根之和、两根之积与方程系数之间的关系；难点：对一元二次方程的根与系数这一性质的灵活应用及应用时的条件△》0.【教学目标分析】知识目标：探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系.能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力，提高学生推理论证的能力.情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心；激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【教法、学法分析】课程中通过数学家故事的导入激发学生学习的兴趣，创设相关的问题情境，引导学生自己探索的想法，让学生参与一元二次方程根与系数的发现、验证及证明的整个数学思维过程.采用“导入——探索发现——应用不同类型题”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手，参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性.学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数的关系.从具体一元二次方程观察、发现开始，归纳出两根与原方程系数的关系，这种让学生自主探索、合作归纳的研讨式方法，充分培养了学生乐于思考、勤于动手、勇于表现的好习惯.【教学过程】这个结论称之为：“韦达定理”提升：一元二次方程的根与系数的关系是法国数学家韦达发现的，引领孩子体会他钻研的精神.问题解决1、回到刚才的问题：刚才的较量：已知一元二次方程x2-3x+k=0的一个根是另一个根的2倍，求k的值.2、通过不同例题总结不同类型的题型方法：例1.求方程的两根之和与两根之积：① 2x2-3x-2=0 ②3x2+5x=0 ③x2+7x=-6（学生回答）前后照应：让学生体会所学知识的用途例2.已知方程的一个根是3，求它的另一个根.（类型一、由方程的一根求另一根）巩固练习.已知方程5x2+kx-6=0 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.例3.已知x1,x2是方程x2-2x-2=0的两个根，不本题有五问，需要给学7322=--xx【作业布置】1、P51习题2.8的1、2、42、课后思考练习：（1）已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长.（2）已知方程x2-5x+2=0的两个实数根是x1,x2，求代数式x1+x2-x1x2的值.（3）关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.。
2014版北师大版九年级数学上2.5一元二次方程的根与系数的关系教案
第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系教学目标：知识技能目标1.能说出根与系数的关系；2.会利用根与系数的关系解有关的问题.过程性目标在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦.情感态度目标1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；难点：对根与系数这一性质进行应用.教学过程：一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x2－2x＝0；(2)x2＋3x－4＝0；(3)x2－5x＋6＝0.证明.3两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）探索过程qqp p q p p x x pqp p q p p x x qp p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---∙-+-=∙-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.三、实践应用例 1 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有．q p q p q p q p 03030)3()3(00022=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得解法二：由q x x p x x =∙-=+2121，，方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得．q p q p 03)3(0)3(0=-==-⨯，即得＝－－＋例2 写出下列方程的两根和与两根积：05)4(032)3(02114)2(017)1(2222=-+-=-+=-+=+-n nx x x x x x x x5)4(2321)3(2114)2(17)1(2121212121212121-=∙=+=∙-=+=∙-=+=∙=+n x x n x x x x x x x x x x x x x x ，－，－，，解课堂练习1.写出下列方程的两根和与两根积：3)4(0532)3(04411)2(025)1(2222=-+-=-+=-+=+-m mx x x x x x x x2.已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值. 四、交流反思1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系. 五、检测反馈1.已知关于x 的方程x 2－2x ＋m 2+m －2＝0的一个根是2，求方程的另一个根和m 的值. 2.写出下列方程的两根和与两根积：3)4(0152)3(0)2(047)1(2222=+-=+-=-+=+-m x x x x n mx x x x3.已知关于x 的方程2x 2－mx －m 2＝0有一个根是1，求m 的值. 六、布置作业 习题2.8。
初中数学公开课一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计及课后反思
初中数学公开课《一元二次方程的根与系数的关系》优秀教学设计及课后反思教材分析以求根公式为基础，教材通过求根公式求出的根x一、x2，得出一元二次方程根与系数的关系，和以求x一、x2为根的一元二次方程。
然后通过例题掌握利用根与系数的关系简化一些计算，和由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与某些字母系数的取值。
学情分析1．会找一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数a、b、c二、会利用求根公式求出一元二次方程的根x1，x23．出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上，掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标1、知识目标：在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系求某些代数式的值（例如两个根的倒数和与平方数，两根之差），由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与某些字母系数的取值。
2、能力目标：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动进程，发展推理能力，能有层次地、清楚地论述自己的观点，进一步培育学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生踊跃学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，成立自信心。
教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有必然的难度，是教学的难点。
教材分析以求根公式为基础，教材通过求根公式求出的根x一、x2，得出一元二次方程根与系数的关系，和以求x一、x2为根的一元二次方程。
然后通过例题掌握利用根与系数的关系简化一些计算，和由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与某些字母系数的取值。
学情分析1．会找一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数a、b、c二、会利用求根公式求出一元二次方程的根x1，x23．出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上，掌握一元二次方程根与系数的关系。
北师大版-数学-九年级上册-2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计
一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积.2、能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题.3、经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会.4、利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力.教学重点：一元二次方程根与系数的关系 教学难点：一元二次方程根与系数的关系的论证 教学过程：问题引入由求根公式可知，一元二次方程的根由系数a 、b 、c 确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系.解出下列各方程的两根1x 和2x ，并计算21x x +和21x x ⋅的值.2【答案】2知识新授谁能发现两根和、两根积与系数的关系？若0(02≠=++a c bx ax ，)042≥-ac b则a b x x -=+21，a cx x =21证明： 当△＞0时，由求根根式得：a acb b x 2421-+-=， a acb b x 2422---=∴a ba acb b ac b b x x -=----+-=+2442221 a caac a ac b b x x ==---=⋅222221444)4()( 小试牛刀：写出方程2760x x ++=和22320x x --=的两根和与两根积 解：设方程2760x x ++=的两根为1x ，2x 则127x x +=-126x x ⋅=设方程22320x x --=的两根为1x ，2x 则1232x x +=121x x ⋅=-巩固练习求出下列各方程的两根和与两根积1）0272=--x x 2）02=++q px x 3）01352=-+x x 4）0432=+x x【答案】 1）7 -2 2）-pq3）35-15-4）43-反思小结今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，刚才通过填空题我们小结了一下，知道这两个关系我们可以用来求两根和、两根积巩固作业习题.。
北师大版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》 赛课教案_2
北师大版九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系教材分析1.一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，课标要求通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
2.韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。
出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
学情分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较复杂一点的一元二次方程化为一元二次方程的一般形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数；或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式；2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
学习目标1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．学习重点根与系数的关系及运用．学习难点定理发现及运用．教学过程一、复习导入1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)．2.求根公式反映了一元二次方程的根与什么的关系？二、合作探究：（一）、探究根与系数的关系：1．活动一：求下列一元二次方程的根，并把两根之和与两根之积填入下表。
北师大版九年级上册数学《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿
说教学过程
（三）实例演示：通过实例演示，让学生具体感受一元二次方程根与 系数之间的关系，并进行分析和总结。例如，给出一个一元二次方程 x ² - 5x + 6 = 0，让学生计算方程的根，并观察根与系数之间的关系。 解这个方程可以通过因式分解或者使用求根公式来得到两个根：x = 2 和 x = 3。学生可以发现，根与系数之间存在着一定的关系：两个 根的和等于系数 b 的相反数，而两个根的乘积等于系数 c。
谢谢
说教学过程
（五）归纳总结：通过学生的讨论和分享，引导学 生总结一元二次方程根与系数之间的关系和性质。 可以让学生在黑板上进行总结，形成清晰的概念框 架。
07
说板书设计
一元二次方程的根与系数的关系
A
1. 一元二次 方程的根的 定义和表示
方法；
2. 一元二次
方程根与系
C
数之间的关
系；
3. 判别式的 定义和性质。
01
说教材
说教材
本节课的教材来源于北师大版九年级上册数学教材。 通过这一节的学习，学生将深入了解一元二次方程 的根与系数之间的关系，掌握求解一元二次方程的 根的方法和技巧。
02
说学情
说学情
本节课是初中九年级学生学习数学的一部分。在前 几节的学习中，学生已经学习了一元二次方程的基 本概念、解法和性质。他们对一元二次方程有一定 的了解和掌握。本节课的内容是对前面学习内容的 巩固和扩展，有助于学生深入理解一元二次方程的 根与系数之间的关系。
北师大版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》 优质课教学设计_1
一元二次方程根与系数[教学目标]：1.知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2.过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
3.情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
[教学重点]：根与系数关系及运用 [教学难点]：定理的发现及运用。
[教学过程]：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：1.抛出的重物总会落下----万有引力定律（牛顿）2.电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：RUI ----欧姆定律（欧姆）而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：3.直角三角形的三边a,b,c 满足关系：2a +2b =2c ----勾股定理（毕达哥拉斯定理）那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道。
二、探究规律思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？三、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x =ab-1x ∙2x =c a特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x ∙2x =q证明此处略（师生合作完成）四、运用定理解决问题例1. 求下列方程的两根之和与两根之积. (1)2x -6x-15=0 (2)5x-1= 42x (3)2x =4 (4)22x =3x(5)2x -(k+1)x+2k-1=0(x 是未知数，k 是常数)例2. 若一元二次方程2x -4 x+2=0的两根是1x 、2x ，求下列各式的值： （1）11x +12x （2）21x +22x例3. 若一元二次方程2x +ax+2=0的两根满足：21x +22x =12，求a 的值。
北师大版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》 优质课教案_0
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计
希望学生在这节课中，开动大脑、认真思考、积极讨论、课堂氛围深刻。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个等腰三角形的边长。
3、已知关于x的方程x2－3x-8=0的两根分别是x1、x2，求：
（1）x1 - x2的值；（2）x12 + x22的值
1.有的学生很快就利用最简易的方法——十字相乘法求出了x2-5x+6=0的两个根，也可以利用公式法解出此方程和“问题3”中的两个方程的根并在表中写出两个的和与积；2.学生写出了方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，并再进一步计算，求出用系数表示的两根之和与两根之积。3.由此得出一元二次方程的根与系数的关系，教师进一步引导，让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。1.学生交流探讨
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较繁复一点的一元二次方程化为一元二次方程的大凡形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数；或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案及教学反思
教学目标
1.能够掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的一
般形式；
2.理解一元二次方程的根的含义；
3.掌握一元二次方程根与系数之间的关系。
教学重点和难点
1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系；
2.教学难点：如何让学生理解一元二次方程的根的含
义。
教学方法
1.课堂讲授法：通过讲解一元二次方程的定义、根的
含义以及根与系数的关系来引导学生进行思考；
2.实验探究法：通过让学生尝试不同的系数，并求解
相应的根，来发现根与系数之间的关系；
3.案例研究法：通过引入实际案例，来引导学生理解
一元二次方程的实际应用。
教学过程
第一步：引入
1.1 导入概念
首先，老师可以向学生引入一元二次方程的定义，并解释方程的根是什么。
在引入概念的同时，老师可以呈现一些基本的例子，以便于学生理解。
1.2 引入主题
接下来，老师可以向学生介绍今天的主题：一元二次方程
的根与系数的关系。
老师可以简单地解释一下，为什么掌握这个主题对于学生来说是有用的。
第二步：教学设计
2.1 正式讲解
•第一步：一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0
老师应该提前准备好一些例子来用来讲解。
解释方程中不
同的系数的含义，让学生理解一元二次方程的一般形式。
•第二步：方程的根
老师应该提前准备好一些例子来用来讲解。
解释方程的根
的含义，让学生理解方程的根是什么，如何利用公式求根。
•第三步：根与系数的关系
接下来，老师可以主要讲解根与系数之间的关系。
可以用
各种方式让学生理解这个关系，例如：
- 随机生成一个一元二次方程，并随机生成一些系数，让
学生求解根，并发现根与系数之间的关系；
- 聚焦于发现系数与根之间的常见规律，例如二次项系数是正的，根的符号相同，等等。
2.2 实验探究
老师可以让学生进行一些实验来探究根与系数之间的关系。
例如，让学生改变不同的系数，观察根的变化。
老师可以
安排一个实验室，让学生到实验室去进行实验。
2.3 案例分析
为了让学生更好地理解根与系数之间的关系，老师可以引入一些实际案例，例如投掷物体等等。
通过案例分析，学生可以更加深入地理解这个关系。
第三步：教学反思
在教学过程中，老师需要注意以下几点：
1.学生的基础不同，有的学生可能会对根和系数的概
念十分陌生。
因此，老师要根据学生的基础情况来进行引导，让学生更好地理解概念；
2.对于根与系数之间的关系，学生可能需要花费一定
的时间来理解。
因此，老师需要耐心地引导，让学生自己想出关系的规律；
3.在引入实际案例时，老师需要注意案例的具体性和
代表性。
案例要能够引出学生的兴趣，也要能够代表一类问题。
通过本节课的教学，学生应该掌握一元二次方程的根的含义、根与系数之间的关系，从而能够应用一元二次方程解决一些实际问题。