从自然数到有理数讲义1讲课讲稿
从自然数到有理数详解课件
有理数的性质
有理数具有加法、减法、乘法和除法的封闭性，以及有序 性。
有理数具有加法、减法、乘法和除法的封闭性，即两个有 理数的和、差、积和商仍然是有理数。此外，有理数还具 有有序性，即可以比较大小和确定大小关系。例如， 3/2>1，-2<0等。
有理数的表示方法
有理数可以用分数情势、小数情势和比例情势表示。
有理数减法的性质
减去一个数等于加上这个数的相 反数。
有理数的乘法运算
1 2
有理数的乘法运算规则
正数乘以正数得正数，正数乘以负数得负数，负 数乘以正数得负数，负数乘以负数得正数。
举例
$2 times 3 = 6$，$-5 times 4 = -20$，$(-2) times (-5) = 10$。
3
从自然数到有理数详解课 件
CATALOGUE
目 录
• 自然数 • 有理数的定义 • 有理数的运算 • 有理数与实数的关系 • 特殊的有理数
01
CATALOGUE
自然数
自然数的定义
01
02
03
自然数的定义
自然数就是非负整数，即 用数码0，1，2，3， 4……所表示的数。
自然数的起源
自然数概念最早源自人类 对数量的认识，随着人类 文明的发展，自然数的范 围也不断扩大。
符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
举例
02
$(-5) + (-3) = -8$，$3 + (-5) = -2$，$(-7) + 7 = 0$。
有理数加法的交换律和结合律
03
交换两个有理数的位置，和不变；结合任意三个有理数，不影
响它们的和。
有理数的减法算
从自然数到有理数(第一课时)
结论：分数可以看做两个整数相除，分数都可以 化为小数。 分数在转化成小数时，结果可能是有限小数，也 可能是无限循环小数。
思考：反之成立吗？
做一做：
0.6=
3 5
31 1.31= 1 100
0.0062=
62 31 = 10000 5000
0.3 =
1 3
0.142857 =
1 7
π可以化成分数吗？ 结论：分数都可以化为小数；小学学过的小 数（π除外）都可以化为小数。
计数和测量
修造了2000余年 实际长度为5130千米
计数：个数 测量：长度、体积、质量、温度等
标号或排序
公元前7世纪
排序：年份、名次等 标号：学号、门牌号、邮编等
计数: 一般地,用数数的方法得到的数据, 具有“计数”的含义. 测量: 一般地,借助工具得到的数据具有 “测量” 的含义.测量的本质是比较. 排序: 为了表示某一种顺序的数据,具有 “排序”的含义.如年份、月份、名次 等. 标号: 像门牌号、学号、座位号、车牌号、 邮政编码、汽车路线等具有“标号”的含 义.
（1）小华和她的7位朋友一起过生日，要平均分享一块 生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？
1 8
0.125
（2）小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应 68 17 42 怎样表示？ 1 1.68 1 100 25 25
问：
分数可以转化为小数吗？怎样转化？ 分数可以看作两个整数相除，分子当被除数， 分母当除数，因此分数可以转化为小数。 小学里学过的小数怎样转化为分数？ π除外
2、商店里有单价分别为1元，1元5角，2元2角 三种贺年卡。小明每种先买了5张，为了凑成整 元，小明又买了1张贺年卡。 （1）用元作单位，各种贺年卡的单价应怎样表 示？ （2）小明一共支付了多少钱？
从自然数到有理数PPT课件
武汉5 ℃
哈尔滨-20 ℃
北京-10 ℃
广州10 ℃
上海0 ℃
武汉5 ℃
比较这一天下列两个城市间最低气温的高低：
广州
上海 上海
北京
北京
哈尔滨 哈尔滨 武汉
武汉
广州从自然数到有理数
哈尔滨-20 ℃ 广州10 ℃
北京-10 ℃
上海0 ℃
武汉5 ℃
哈尔滨
- 20 -15
北京
上海 武汉 广州
注意:解决本题的关键是求出一天中该修 检队汽车行驶的总里程.因为里程与行驶 的方向无关,所以总里程是7个数据绝对 值的和,而不是7个从自数然数到据有理和数 的绝对值.
例5.比较下列各对数 的大小
(1) 6
7
和 7
8
(3) 0 和 -│-4│
(2) -π和 -3.14 (4) - (-3)和│ 3│41
你在这段报道中看到了哪些数？
他们都属于哪一类数？
它们哪些属于计数？哪些属于测量？ 哪些属于标号或排序？
从自然数到有理数
在解答下列问题时，你会选用哪一类数？
小华和她的7位朋友一起过生日， 要平均分享一块生日蛋糕，每人可得 多少蛋糕？
小明的身高是163厘米，如果改用 米作单位，应怎么表示？
从自然数到有理数
呢？点C呢？
B
（2）A，B，C三个点所表示的
温度哪个高？哪个低？
A
（3）温度计上的刻度是如何表
C
示温度的？
从自然数到有理数
请“法官”判决:
下列表示数轴的图正确吗?若不正确, 请你指出它的错误。
（1）
0
（2）
-1
1
（3） （4）
1.1.2从自然数到有理数：有理数的概念与分类(同步课件)(浙教版2024)
例2、在下列提供的数有- ，-16，75%， ，0.1010010001…（相
邻两个1之间依次增加一个0），3.14，0，-0.23333…中，属于分
数的有（ B ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
- 看起来像分数，但其实不是，
π是无限不循环小数，- 也是无限不循环小数；
=2，分数形式的数不一定是分数，整数也可以写成分数的形式。
负分数、有理数。你能梳理出它们之间的关系吗？
整数
有理数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
自然数
01
课堂引入
上述关系是先将有理数按定义（整数和分数统称为有理数）分类，
再将整数与分数按正负性分类。若是先按正负性，再按定义分类
呢？
正有理数
有理数
正整数
正分数
0
负有理数
负整数
负分数
02
有理数的分类
知识精讲
先定义
正分数
③ ， ， ，4.5，...，既是分数，又是正数，称为________；
负分数
④− ，− ，− ，4.5，...，既是分数，又是负数，称为________。
01
课堂引入
由此可知：整数与分数都可以按正负性进行分类。
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
02
知识精讲
02
知识精讲
有理数的概念
整数和分数统称为有理数，
即能够写成分数形式 (m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数。
1.1从自然数到有理数(1)PPT课件
数的扩展
1.小华和她的7位朋友一起过生日，要平分一块生日蛋 糕，每人可得多少蛋糕？
2.小明的身高时168cm，如果改用米作单位，应该怎样 表示？
由于测量和分配等实际需要，产生了分数和小数
合作学习
12..夏“硬令卧营中结”和束“后硬，卧小上慧”的还票有价多相少差钱多？少？请列算式
课堂小结
结束语
数的起源
数的产生与发展离不开 生活和注意到一只 羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异，随着 时间的推移慢慢的产生了数的概念.数的概念的形成可 能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对 于人类文明的意义也决不亚于火的使用.
最早人们利用自己的十个指头来 记数，当指头不敷应用时，人们 开始采用“石头记数”“结绳记 数”和“刻痕记数”.
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
请阅读节前文字
我国的长城始建于公元前7世纪，前后修造了2000余 年，明长城从山海关到嘉峪关，实际长度为5130千米 （合一万零二百六十里），故被称为万里长城. 你在这段文字中看到了哪些数？它们属于自然数吗？
自然数可以是用来技数和测量的，也可以用来给事物 标号或排序.
自然数的作用
解：报道中的数有：2008 , 5 , 1 , 6 , 8 , 100 , 36 , 100 表示计数和测量的有：6 ，8， 100， 36， 100 表示标号或排序的有：2008， 5， 1
第一章 从自然数到有理数复习(骨干教师展示课课件)
解：
-6
-6 -5 -4
-3
-3
-1.5
-2 -1 0 1
2
2
3
3 4 5
+6
6
思考：比较这些数的大小， 用“<”号连接起来
数与形的大碰撞——数轴
画出数轴、并用数轴上的点表示下列各数： -1.5 ， -6 ，2 ， +6 ，-3 ，3
+6
6
表示相反数的两点在数轴上的原点 两旁，且到原点的距离相等。
数与形的大碰撞——数轴
画出数轴、并用数轴上的点表示下列各数： -1.5 ， -6 ，2 ， +6 ，-3 ，3
解：
-6
-6 -5 -4
-3
-3
-1.5
-2 -1 0 1
2
2
3
3 4 5
+6
6
绝对值：表示这个数的点到原点的距离
数与形的大碰撞——数轴
4、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数____. 正数都___零，负数都___零，正数___负数.两个负 数，绝对值___的反而小.
数与形的大碰撞——数轴
画出数轴、并用数轴上的点表示下列各数： -1.5 ， -6 ，2 ， +6 ，-3 ，3
解：
-6
-6 -5 -4
-3
-3
-1.5-2 -1 0 1源自-2 2 0-3.7
1 2
2 2 0 3.7
1 2
3.7
1 2
请将表格补充完整；
小荷才露尖尖角
a 2 -2 a的相反数 a的绝对值
1.1从自然数到有理数(1) 课件
挑战自我
某商场因季节因素，将某品牌的空调的 售价上涨了10%，后又因季节因素而重新下 调了10%。问下调后的空调售价与上涨前比 是贵了，还是便宜了？
368表示测量结果,70属于记数,1993属于排序,5属于排序.
4. 绍兴的区号是0575，邮编是312000;
0575,312000都属于标号.
计数：一般地,用数数的方法得到的数据.
排序：为了表示某一种顺序的数据。 如年份、月份、名次等.
标号：人为的编号，像门牌号、学号、 座位号、车牌号、邮政编码、城市的公 共汽车路线等.
做一做：
下列句子中用到的自然数，哪些属于计数？ 哪些表示测量结果？哪些属于标号或排序？
1、2002年全国共有高等学校2003所； 2002属于排序,2003属于记数.
2、小明哥哥乘1425次列车从北京到天津；
1425属于标号.
3、香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地 上70层，至1993年为止，是世界第5高楼。
去40-50分钟时间。
18： 25出
发
18时25分-4时-50分=13时35分
2、用分数列算式： 400 4(时） 100
18 5 4 5 13 7 (时） 12 6 12
夏令营结束后，小慧想买一张从北京直达温州 的火车票，车次和票价如下表：
车次 出发—到达 发时—到时 运行时间
参考票价
能否用小学里学过的自然数和分数来表示？
1、自然数可以用来计数、测量、标号或排序；分 数在实际应用中，起着分配和测量结果的作用
2、分数和这个分数化成的小数是同一种数，只是表示 方式不同而已，但小数的范围广,有些分数和小数之间 是可以互相转化的。
3、了解自然数和分数是由于人们生活和生产实践的 需要而产生的，但光有自然数和分数仍旧是不够的， 数还需作进一步的扩展。
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龙文教育学科教师辅导讲义
自然数0,1,2,……是人类历史上最早出现的数，他在计数和测量中有着广泛的应用，同时，自然数还常用来给事物标号或排序，而由于测量和分配的实际需要，便产生了分数和小数。
于是，我们便可以使用这些数进行运算，数的运算是分析、判断和解决实际问题的重要手段，但是，在某些算式中没用我们学过的自然数和分数时无法解答的，这就需要对数作进一步拓展。
命题角度：自然数、分数、小数的应用
例1：一根长为8米的竹竿，要从下端去掉竿长的10%，从上端去掉竿长的3/10，取中间的部分为有用部分，并分成相同的两段，问每段长为多少？
知识点二、正数和负数的意义
1、 正数：像123、36、3/5、1.31等大于零的数叫做正数
2、 负数：像-233,-60，-3
2，-0.5等在正数前面加上“—”号的数叫做负数 3、 零既不是正数，也不是负数 4、 正整数、负整数、正分数、负分数：把1,2,3,4……称为正整数，-1，-2，-3，-4……称为负整数，21
，32，1
32，4.5……称为正分数，-21，-32，-13
2，-4.5……称为负分数 要点精析：1、为了强调，正数前面有时也可以加上“+”读作正号，如4可写作+4
2、+2，+0.9，-13，-2
1前面的“+”号和“-”号不代表运算符号，是代表数的性质的的符号，分别读作“正号”“负号”
3、不能误认为带“+”号的就是正数，带“-”号的就一定是负数，如+（-3）就不是正数，-（-5）也不是负数
4、0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。
9的意义已不仅是表示没有，还有其丰富的内容，如温度计上，0℃不是表示没有，而是冰点，这是一个完全确定的温度
命题角度1、定义考查
例2：下列各数，哪些是正数，哪些是负数？
命题角度2：0的意义
例3：下列说法中，正确的有（ ）
A 、0℃是一个确定的温度
B 、0是偶数，也是自然数
C 、0是最小的正数
D 、不存在既不是正数也不是负数的数
E 、0是正数和负数的分界
知识点3：具有相反意义的量
把0以外的数分为正数和负数，他们表示具有相反意义的量，对于具有相反意义的量，我们规定其中的一个量为“正”的，则与她相反的量就是“负”的，如若盈利3万元表示为+3,则亏损4万元表示为-4万元；若向东走80米表示为80米，则向西走60米表示为-60米等
常见的表示相反意义的量有：上升和下降、前进和后退、收入和支出、零上和零下、买进和卖出、增加和减少、节约和浪费等
命题角度：用正数和负数表示相反意义的量
例4：1、零上13℃记作+13℃，则零下5℃记作（ ）℃
2、如果水位下降2米时水位变化记作-2米，那么水位升高3米时水位记作（ ）米
3、某地区的平均海拔高度高于海平面348米记作海拔+348米，则海拔为-154米表示（ ）
易错提示：1、正数和负数表示实际问题中具有相反意义的量时，应注意：他们的意义相反，且都是同类量，如向东走3千米，记作+3千米，那么向南走5千米就不能记作-5千米
2、正与负是相对的，如盈利-300元，其实质表示亏损300元，亏损-700元，其实实质表示盈利700元 知识点4：有理数的概念分类
1、 有理数的概念：正数和分数统称为有理数
正数包括正整数、零、负整数
分数包括正分数和负分数
有有理数的分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或 ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 要点精析：1、有理数分类的标准不一样，结果页相应地变化
2、 因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都属于分数，即属于有理数
3、 习惯上将正有理数和零称为非负有理数；将负有理数和零称为非正有理数；将正整数和零称为非负整数‘将
负整数和零称为非正整数
命题角度：按一定标准将有理数分类
例5把下列各数填入相应的横线内
π、-41、-3、2、-1、-0.58、0、-3.14、9
13、0.618、10 整数 分数
负数 非负数
题型拓展
题型一：数在实际问题中的应用
例1：如图是小波从家A 到学校B 的路线图，每段路上的数字表示该段路的路程（单位：千米），小波的速度是0.1千米/分，则从小波从家到学校最快需要多少分钟？
题型2：正数和负数的综合运用
例2：抽查了某班10名学生一次数学考试成绩，以80分为标准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录结果如下（单位：分），+8、+12、-3、-10、-7、+4、-8、-4、+1、+10
1） 这10名学生的成绩，最高分式多少分？最低是多少分？
2） 这10名同学中，不够80分的占百分之多少？
3） 这10名学生的平均成绩是多少？
题型3：有理数概念的灵活应用
例3：a 为不超过121的正整数，b 为不超过121的非负整数，而b a 为最简分数，求b
a 的值
题型4：有理数的分类问题
例4：任意写出五个负数，五个整数，五个正分数，五个有理数，并分别把写出的数填入下面它所对应的横线内
负数 整数
正分数 有理数
题型5：探索规律问题
例5：观察下面依次排列的一列数，他的排列有什么规律？你能说出这列数的第50个数，第101个数、第2012个数分别是什么吗？
1）-1、
21、-3、41、-5、6
1、-7、81…… 2）31、0、-31、0、31、0、-31、0、3
1、0…… 例6：已知一列数：-1、-21、-2
2、-21、-31、-32、-33，-32、-31、-41、-42、-4
3、-4
4、-43、-42、-41 1）
2） 请按照这列数的特点写出接下去的第九个数
3） -
8
5是这列数的第几个数？并作简要说明
题型6：创新思维题
例7：如图的两个圈分别表示非正数和整数，请在每个圈内填入六个数，其中有三个数既在非正数内又在正数内，你能用一个合适的语气来表示两个圈重叠部分的意义吗？
非正数 整数
填在下面各正方形中四个数之间都有相同的的规律，根据此规律m 的值是（ ）。
常见误区：1、对数进行分类时，易出现0为正数的错误
-6，34、9.8、+71、0、-1、2
1
2、对用正数和负数表示相反意义的量理解不透，造成错误
如果规定向东走30米记作+30米，那么-20米表示什么意义？
3、误认为有限小数是小数，而不是分数导致错误
整数分数
注意：有限小数和无限循环小数都看做分数同步练习：。