离散数学课本习题
离散数学-第2章 习题课
谓词的概念与表示
解：a) a:小张 W(x): x是工人。 W(a)
b)S(x):x是田径运动员, B(x):x是球类运动员, h:他 S(h)B(h) c) C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小莉 C(a) B(a) d) O(x):x是奇数。 O(m) O(2m)
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变元的约束
例15 如果论域是集合{a,b,c}，试消去下面公式 中的量词。 a) (x) P( x) P(a) P(b) P(c) b) (x) R( x) (x) S ( x)
R(a) R(b) R(c)S (a)S (b)S (c)
c) (x)( P( x) Q( x))
(x)( I ( x) ( R( x) N ( x)))
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命题函数与量词
例5 令P(x)，L(x)，R(x,y,z)和E(x,y)分别表示 “x是一个点”，“x是一条直线”，“z通过x和 ”和“x=y”。符号化下面得句子。 对每两个点有且仅有一条直线通过该两点。 解：
(x)(y)(( P( x) P( y ) E ( x, y)) (! z )( L( z ) R( x, y, z )))
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命题函数与量词
e) J(x): x是教练员, L(x): x是运动员。
(x)(L(x) J(x)) f) L(x): x是运动员, S(x): x是大学生,C(x):x是国家 选手。 (x)(S(x)L(x)C(x)) g) C(x):x是国家选手,V(x)：x是健壮的。 ( x)(C(x) V(x)) h) (x)(O(x) C(x) L(x))
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谓词公式与翻译
例6 利用谓词公式翻译下列命题 a)如果有限个数的乘积等于零，那么至少有一个因 子等于零。 b)对于每一个实数x,存在一个更大的实数y。 c)存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
离散数学习题
第一章习题1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。
（1）2是无理数。
（2）5能被2整除。
（3）现在开会吗？（4）x+5>0（5）这朵花真是好看！（6）2是素数当且仅当三角形有三条边。
（7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。
（8）2000年10月1日天气晴好。
（9）太阳系以外的星球上有生物。
（10）小李在宿舍里。
（11）全体起立。
（12）4是2的倍数或是3的倍数。
（13）4是偶数且是奇数。
（14）李明和王华是同学。
（15）蓝色和黄色可以调配成绿色。
1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。
1.3判断下列各命题的真值。
（1）若2+2=4，则3+3=6；（2）若2+2=4，则3+3≠6；（3）若2+2≠=4，则3+3=6；（4）若2+2≠=4，则3+3≠=6；（5）2+2=4，当且仅当3+3=6；（6）2+2=4，当且仅当3+3≠6；（7）2+2≠4，当且仅当3+3=6；（8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6；1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号；（2）如果今天是1号，则明天是3号；1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数不是素数；（2）小王不但聪明而且用功；（3）虽然天气冷。
老王还是来了；（4）他一边吃饭，一边看电视；（5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来；（6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来；（7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来；（8）不经一事，不长一智；1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r);（2）(p↔r)∧(⌝p∨s);（3）（p∧(q∨r)→((p∨q)∧(r∧s);(4)⌝(p∨(q→r∧⌝p)))→(r∨⌝s);设p：2+3=5。
q：大熊猫产在中国。
r：复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：（1）(p q)→r（2）(r→(p∧q))┐p （3）┐r→(┐p∨┐q∨r)（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)．用真值表判断下列公式的类型：方法不限。
离散数学第三版-屈婉玲-课后习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语p q解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是（9）只有天下大雨，他才乘班车上班q p解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是(p q)r15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：(p q r)((p q)r)（4）解：p=1，q=1，r=0，(p q r)(110)1，((p q)r)((11)0)(00)1 (p q r)((p q)r)111 19、用真值表判断下列公式的类型：(p p)q（2）解：列出公式的真值表，如下所示：p p qq(p p)(p p)q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）(p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：p0(p q) 1q0q0成真赋值有：01，10，11。
所以公式的习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(p q)(q r)解：原式(p q)q r(p p)q rq r，此即公式的主析取范式，m m(p q r)(p q r)37所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p q)(p r)解：原式，此即公式的主合取范式，M(p p r)(p q r)(p q r)4所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p q)r解：原式p q(r r)((p p)(q q)r)(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(p q)r(pq r(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(pq r，此即主析取范式。
离散数学谓词逻辑练习题
离散数学谓词逻辑练习题1. 定义谓词逻辑中的谓词和量词，并给出一个包含谓词和量词的逻辑表达式的例子。
2. 写出以下命题的逻辑表达式：- 所有人都是学生。
- 有些学生不是书呆子。
- 如果今天是星期三，那么明天是星期四。
- 所有人都是学生，并且所有人都是书呆子。
3. 将以下逻辑表达式转换为等价的谓词逻辑表达式：- ∀x (P(x) → Q(x))- ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))- ∀x (P(x) ∨ Q(x))- ∃x (P(x) → Q(x))4. 判断以下命题的真值，并解释你的推理：- 存在一个整数x，使得x的平方加1等于x的立方。
- 对于所有实数x，如果x大于0，则x的平方也大于0。
5. 使用逻辑推理证明以下命题的等价性：- (P → Q) ≡ ¬P ∨ Q- (P ∧ Q) → R ≡ P → (Q → R)6. 给定以下谓词：- P(x): x是偶数- Q(x): x是素数- R(x): x是奇数- S(x): x是合数使用这些谓词构造逻辑表达式，描述以下情况：- 存在一个数x，它是偶数且是素数。
- 对于所有数x，如果x是偶数，则x不是素数。
- 所有数x，如果x是奇数，则x不是合数。
7. 将以下逻辑表达式转换为前束范式：- (P(x) ∧ Q(x)) → R(x)- ¬(P(x) ∨ Q(x)) → R(x)- (P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → R(x)) → (P(x) → R(x))8. 给定以下逻辑表达式：- P(x): x是人- Q(x): x是学生- R(x): x是教师- S(x): x是学生或者教师使用这些谓词，构造一个逻辑表达式，描述“所有人要么是学生要么是教师”。
9. 使用谓词逻辑表达以下条件语句：- 如果x是偶数，那么x是合数。
- 如果x是素数，那么x不是偶数。
10. 给定以下逻辑表达式：- ∀x (P(x) → Q(x))- ∃x P(x)- ¬Q(a)使用这些表达式，证明以下结论：- ∃x ¬Q(x)。
离散数学集合练习题
离散数学集合练习题
1. 集合的表示和运算
- 列出集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集、交集和差集。
- 给定集合C={x|x是小于10的正整数}，求集合C与集合A的交集。
2. 子集和幂集
- 确定集合D={a,b,c}的所有子集。
- 计算并列出集合D的幂集。
3. 集合的包含关系
- 判断集合E={1,2}是否是集合F={1,2,3,4}的子集。
- 若集合G={x|x是偶数}是集合H={2,4,6,8}的子集，求集合G和集合H的交集。
4. 集合的相等性
- 给定集合I={x|x是2的倍数且x<10}和集合J={2,4,6,8}，判断这两个集合是否相等。
5. 集合的笛卡尔积
- 计算集合K={1,2}和集合L={a,b}的笛卡尔积，并列出结果。
6. 集合的元素个数
- 确定集合M={x|x是5的倍数且1≤x≤20}中元素的个数。
7. 集合的运算性质
- 证明对于任意集合P和Q，有P∪(P∩Q)=P。
- 证明对于任意集合R和S，有R∩(R∪S)=R。
8. 集合的表示法
- 使用描述法表示集合T={x|x是3的倍数且x在10到30之间}。
- 使用列举法表示集合U={x|x是小于20的素数}。
9. 集合的划分
- 将集合V={1,2,3,4,5,6}划分为两个非空子集，使得每个子集中的元素之和相等。
10. 集合的闭包
- 给定集合W={x|x是小于7的正整数}，求集合W在模3同余关系下的闭包。
离散数学-第2章 习题课
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
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谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：
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谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
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谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
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变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
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《离散数学》部分习题答案
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p)) ⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1) (2) 主合取范式为： ⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1 ⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)xF∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学习题解答(耿素云屈婉玲)北京大学出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:错误！未找到引用源。
是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是无理数. p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.（2）25不是无理数.答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要错误！未找到引用源。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
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1 / 15 习题1.1 1、 用列举法给出下列集合： a) 小于5的非负整数的集合； b) 10到20之间的素数的集合； c) 不超过65的12之正整数倍数的集合。 2、 用命题法给出下列集合： a) 不超过100的自然数的集合； b) Ev和Od； c) 10的整倍数的集合。 3、 用归纳定义法给出下列集合： a) 允许有前0的十进制无符号整数的集合； b) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合； c) 允许有前0和后0的有有限小数部分的十进制无符号实数的集合； d) 不允许有前0的十进制无符号偶数的集合； e) Ev和Od； f) 集合{0，1，4，9，16，25，…}。 4、 确定下列集合中哪些是相等的： A={x|x为偶数且x2为奇数} B={x|有y∈I使x=2y} C={1，2，3} D={0，2，-2，5，-3，4，-4} E={2x|x∈I} F={3，3，2，1，2} G={x|有x∈I且x3-6x2-7x-6=0} 5、 确定下列关系中哪些是正确的，并简单说明理由。 a) b) c) {} d) {} e) {a,b}{a,b,c,{a,b,c}} f) {a,b}{a,b,c,{a,b,c}} g) {a,b}{a,b,{a,b}} h) {a,b}{a,b,{a,b}} 6、 设A、B和C为集合。证明或用反例推翻以下的各个命题： a) 若AB且BC，则AC。 b) 若AB且BC，则AC。 c) 若AB且BC，则AC。 d) 若AB且BC，则AC。 7、 若A、B为集合，则AB与AB能同时成立吗？请证明你的结论。 8、 列举出下列集合中每个集合的所有子集： a) {1，2，3} b) {1，{2，3}} c) {{1，{2，3}}} 2 / 15
d) {} e) {, {}} f) {{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}} g) { {，2}，{2}} 9、 给出下列集合的幂集： a) {a，{b}} b) {1，} c) {x, y, z} d) {，a,{a}} e) ({}) 10、设 (A)= (B)。证明A=B。
习题1.2 1. 设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。试求下列集合： a) A ~B； b) (A B) ~C； c) ~ (A B)； d) ~A ~B； e) (A – B) – C； f) A – (B – C)； g) (A B) C； h) (A B)(B C) 2. 设A={n|nI+且n<12},B={n|nI+且n8},C={2n|nI+},D={3n|nI+}且E={2n-1|nI+ }试用A，B，C，D和E表达下列集合： a) {2，4，6，8}； b) {3，6，9}； c) {10}； d) {n|n为偶数且n>10}； e) {n|n为正偶数且n10，或n为奇数且n9}。 3. 证明： a) 如果AB且CD，则ACBD且ACBD； b) A(B-A)=; c) A(B-A)=AB; d) A – (B C)= (A – B) (A – C)； e) A – (B C)= (A – B) (A – C)； f) A – (A – B) = A B； g) A-(B-C)=(A-B)(AC)。 4. 证明 a) A=B当且仅当AB=； b) AB= BA； c) (AB)C= A(B C)； d) A(B C)=(AB)(AC)； e) (B C) A=(BA)(CA)。 3 / 15
5. 判断一下结论是否成立，如果或成立，就给予证明，如果不成立，就用文氏图加以说明。 a) 若ACBC且ACBC，则AB； b) 若AB=AC且AB=AC，则B=C； c) 若AB=AC，则B=C; d) 若AB=AC，则B=C; e) AB=AC，则B=C; f) 若ABC，则AB或AC； g) 若BCA，则BA或CA。 6. 给出下列各式成立的充分必要条件，并加以证明。 a) (A-B)(A-C)=A; b) (A-B)(A-C)=; c) (A-B)(A-C)=A; d) (A-B)(A-C)= A; e) (A-B)(A-C)=A; f) (A-B)(A-C)= ; g) AB=AB; h) A-B=B; i) A-B=B-A; j) AB=A； k) (A)(B)=(AB); 7. 设A，B为任意两个集合，证明： a) (A)(B)(AB); b) (A)(B)=(AB)。 8. 试求出和，其中为： a) {{}}； b) {，{}}； c) {{a},{b},{a,b}}。
9. 设0{|RaaR且1}a，{|iRaaR且1(1)}ai，iI。证明01niiRR
10. 设{|nAxxR且}xn，nN，试求0nnA和0nnA 11. 设{|xAyyR且0},yxxR。试求1xxRxA和1xxRxA。
12. 设0imimAA，0imimAA，我们称A和A分别为集合序列012,,,AAA的上极限和下极限，证明： a) A为由一切属于无限多个iA的元素组成的集合；
b) A为由一切属于“几乎所有”的iA的元素组成的集合。 4 / 15
习题1.3 1、用归纳法证明： a)1)1(1321211•••nnnn；
b) 2+22+23+…+2n=2n+1-2； c) 2n=2n； d) 3|n3+2n;
e) 1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) =4321nnnn f) 任意三个相邻整数的立方和能被9整除； g)11n+2+122n+1是133的倍数；
h) 若nI+则nn12111。
2、设a0，a1，a2，…为由自然数组成的严格单调递增序列。证明：若nN，则n≤an。 3、斐波那契(Fibonacci)数列定义为 F0=0 F1=1 Fn+1=Fn+Fn-1，nI+
证明：若nI+，则12251251nnnF。 4、设n, mI+且n＞m。假定有n个直立的大头针，甲、乙两人轮流把这些直立的大头针扳倒。规定每人每次可扳倒1至m根，且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。试证明：如果甲先扳且(m+n)不能整除n，则甲总能获胜。 5、证明以下的二重归纳原理的正确性： 设i0,j0N。假定对任意自然数i≥i0及j≥j0，皆有一个命题P(i, j)满足： i)P(i0, j0)真； ii)对任意自然数k≥i0及l≥j0，若P(k, l)真，则P(k+1, l)和P(k, l+1)皆真。则对任意自然数i≥i0及j≥j0，P(i, j)皆真。 6、证明：若nN，则nn。 7、证明：若n,mN，则n m当且仅当n m。 8、证明：若n,mN，则n m当且仅当n+m+。 9、证明：若n,mN，则n＜m当且仅当有xN使m =n+x+。 10、证明：若nN，则不可能有mN使n＜m＜n+。
习题1.4
1、 设A={0,1}，B={1,2}。试确定下列集合： 5 / 15
a) A×{1}×B b) A2×B c) (B×A)2 2、证明或用反例推翻下列命题： a) (A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D) b) (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D) c) (A－B)×(C－D)=(A×C)－(B×D) d) (AB)×(CD)= (A×C)(B×D) 3、如果B∪CA，则(A×B)－(C×D)=(A－C)×(B－D)。这个命题对吗？如果对，则给予证明；如果不对，则举出反例。 f) 4、证明：若xC且yC，则((C))。 5、证明：a∪且b∪。 6、把三元偶定义为{{a },{a, b },{a, b, c }}合适吗？说明理由。 7、为了给出序偶的另一定义，选取两个不同集合A和B(例如取A=，B={})，并定义b>={{a, A },{b, B}}。证明这个定义的合理性。 第二章 二元关系
习题2.1 1、 列出从A到B的关系R中的所有序偶。 a) A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4}，R={| x, y A∩B } b)A={1, 2, 3, 4, 5}，B={1, 2, 3}，R={|xA, yB且x =y2} 2、设R1和R2都是从{1, 2, 3, 4}到{ 2, 3, 4}的二元关系，并且 R1={<1, 2>,<2, 4>,<3, 3> } R2={<1, 3>,<2, 4>,<4, 2> } 求R1∪R2, R1∩R2, domR1,domR2, ranR1, ranR2,dom(R1∪R2)和ran(R1∪R2)。
3、设1R和2R都是从集合A到集合B的二元关系。证明 dom(R1∪R2)= domR1∪domR2 ran(R1∩R2) ranR1∩ranR2 4、用L和D分别表示集合{1, 2, 3, 6}上的普通的小于关系和整除关系，试列出L, D和L∩D中的所有序偶。 5、给出满足下列要求的二元关系的实例： a) 既是自反的，又是反自反的； b) 既不是自反的，又不是反自反的； c) 既是对称的，又是反对称的； d) 既不是对称的，又不是反对称的。 6、试判断下面的论断正确与否。若正确，请加以证明；若不正确，请给出反例。 设R和S都是集合A上的二元关系。若R和S都是自反的(反自反的，对称的，反对称的，或传递的)，则R∩S，R∪S，R－S，RS也是自反的(反自反的，对称的，反对称的，或传递的)。 7、描述R上的下列二元关系S的性质： a) S={|x,yR且x·y＞0}； b) S={|x, yR，4整除|x－y|且|x－y|＜10}； c) S={|x, yR，x2 =1且y＞0}；