离散数学课本习题
习题1.11、用列举法给出下列集合：a)小于5的非负整数的集合；b)10到20之间的素数的集合；c)不超过65的12之正整数倍数的集合。
2、用命题法给出下列集合：a)不超过100的自然数的集合；b)E v和O d；c)10的整倍数的集合。
3、用归纳定义法给出下列集合：a)允许有前0的十进制无符号整数的集合；b)不允许有前0的十进制无符号整数的集合；c)允许有前0和后0的有有限小数部分的十进制无符号实数的集合；d)不允许有前0的十进制无符号偶数的集合；e)E v和O d；f)集合{0，1，4，9，16，25，…}。
4、确定下列集合中哪些是相等的：A={x|x为偶数且x2为奇数}B={x|有y∈I使x=2y}C={1，2，3}D={0，2，-2，5，-3，4，-4}E={2x|x∈I}F={3，3，2，1，2}G={x|有x∈I且x3-6x2-7x-6=0}5、确定下列关系中哪些是正确的，并简单说明理由。
a)∅⊆∅b)∅∈∅c)∅{∅}d)∅{}e){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}f){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}g){a,b}{a,b,{a,b}}h){a,b}{a,b,{a,b}}6、设A、B和C为集合。
证明或用反例推翻以下的各个命题：a)若A∉B且B∉C，则A C。
b)若A∈B且B C，则A C。
c)若A⊆B且B C，则A C。
d)若A∈B且B∈C，则A C。
7、若A、B为集合，则A B与A∈B能同时成立吗？请证明你的结论。
8、列举出下列集合中每个集合的所有子集：a){1，2，3}b){1，{2，3}}c){{1，{2，3}}}d){∅}e){∅, {∅}}f){{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}}g){ {∅，2}，{2}}9、给出下列集合的幂集：a){a，{b}}b){1，∅}c){ x, y, z}d){∅，a,{a}}e)℘({∅})10、设℘ (A)= (B)。
证明A=B。
习题1.21.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。
试求下列集合：a) A ⋂ ~B；b)(A ⋂ B) ⋃ ~C；c)~ (A ⋂ B)；d)~A ⋃ ~B；e)(A – B) – C；f) A – (B – C)；g)(A ⊕ B) ⊕ C；h)(A ⊕ B)⊕(B⊕ C)2.设A={n|n∈I+且n<12},B={ n|n∈I+且n≤8},C={2n|n∈I+},D={3n|n∈I+}且E={ 2n-1|n∈I+ }试用A，B，C，D和E表达下列集合：a){2，4，6，8}；b){3，6，9}；c){10}；d){n|n为偶数且n>10}；e){n|n为正偶数且n≤10，或n为奇数且n≥9}。
3.证明：a)如果A⊆B且C⊆D，则A⋃C⊆B⋃D且A⋂C⊆B⋂D；b)A⋂(B-A)=∅;c)A⋃(B-A)=A⋃B;d) A – (B ⋃ C)= (A – B) ⋂ (A – C)；e) A – (B ⋂ C)= (A – B) ⋃(A – C)；f) A – (A – B) = A ⋂ B；g)A-(B-C)=(A-B)⋃(A⋂C)。
4.证明a)A=B当且仅当A⊕B=∅；b)A⊕B= B⊕A；c)(A⊕B)⊕C= A⊕(B ⊕C)；d)A⋂(B ⊕C)=(A⋂B)⊕(A⋂C)；e)(B ⊕C) ⋂A=(B⋂A)⊕(C⋂A)。
5. 判断一下结论是否成立，如果或成立，就给予证明，如果不成立，就用文氏图加以说明。
a) 若A ⋂C ⊆B ⋂C 且A ⋂~C ⊆B ⋂~C ，则A ⊆B ； b) 若A ⋂B=A ⋂C 且~A ⋂B=~A ⋂C ，则B=C ； c) 若A ⋃B=A ⋃C ，则B=C; d) 若A ⋂B=A ⋂C ，则B=C; e) A ⊕B=A ⊕C ，则B=C;f) 若A ⊆B ⋃C ，则A ⊆B 或A ⊆C ； g) 若B ⋂C ⊆A ，则B ⊆A 或C ⊆A 。
6. 给出下列各式成立的充分必要条件，并加以证明。
a) (A-B)⋃(A-C)=A; b) (A-B)⋃(A-C)=∅; c) (A-B)⋂(A-C)=A; d) (A-B)⋂(A-C)= A; e) (A-B)⊕(A-C)=A; f) (A-B)⊕(A-C)= ∅; g) A ⋂B=A ⋃B; h) A-B=B; i) A-B=B-A; j) A ⊕B=A ；k) ℘(A)⋃℘(B)=℘(A ⋃B);7. 设A ，B 为任意两个集合，证明：a) ℘(A)⋃℘(B)⊆℘(A ⋃B); b) ℘(A)⋂℘(B)=℘(A ⋂B)。
8. 试求出⋃℘和⋂℘，其中℘为：a) {{∅}}； b) {∅，{∅}}；c) {{a},{b},{a,b}}。
9. 设0{|R a a R =∈且1}a ≤，{|i R a a R =∈且1(1)}a i <+，i I +∈。
证明01ni i R R ==10. 设{|n A x x R =∈且}x n >，n N ∈，试求n n A ∞=和0n n A ∞=11. 设{|x A y y R =∈且0},y x x R ≤≤∈。
试求1x x Rx A ∈>和1x x R x A ∈>。
12. 设0i m i mA A ∞∞===，0i m i mA A ∞∞===，我们称A 和A 分别为集合序列012,,,A A A 的上极限和下极限，证明：a) A 为由一切属于无限多个i A 的元素组成的集合； b) A 为由一切属于“几乎所有”的i A 的元素组成的集合。
习题1.3 1、 用归纳法证明：a)1)1(1321211+=+•++•+•n nn n ； b) 2+22+23+…+2n =2n +1-2； c) 2n =2n ； d) 3|n 3+2n ;e) 1·2·3+2·3·4+…+n (n +1)(n +2) =()()()4321+++n n n nf) 任意三个相邻整数的立方和能被9整除； g)11n +2+122n +1是133的倍数； h) 若n ∈I +则n n≥+++12111 。
2、设a 0，a 1，a 2，…为由自然数组成的严格单调递增序列。
证明：若n ∈N ，则n ≤a n 。
3、斐波那契(Fibonacci)数列定义为 F 0=0 F 1=1F n +1=F n +F n -1，n ∈I +证明：若n ∈I +，则12251251--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n n n F 。
4、设n , m ∈I +且n ＞m 。
假定有n 个直立的大头针，甲、乙两人轮流把这些直立的大头针扳倒。
规定每人每次可扳倒1至m 根，且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。
试证明：如果甲先扳且(m +n )不能整除n ，则甲总能获胜。
5、证明以下的二重归纳原理的正确性： 设i 0,j 0∈N 。
假定对任意自然数i ≥i 0及j ≥j 0，皆有一个命题P (i , j )满足： i)P (i 0, j 0)真； ii)对任意自然数k ≥i 0及l ≥j 0，若P (k , l )真，则P (k +1, l )和P (k , l +1)皆真。
则对任意自然数i ≥i 0及j ≥j 0，P (i , j )皆真。
6、证明：若n ∈N ，则n ∉n 。
7、证明：若n ,m ∈N ，则n ⊂ m 当且仅当n ∈ m 。
8、证明：若n ,m ∈N ，则n ∈ m 当且仅当n +∈m +。
9、证明：若n ,m ∈N ，则n ＜m 当且仅当有x ∈N 使m = n +x +。
10、证明：若n ∈N ，则不可能有m N 使n ＜m ＜n +。
习题1.41、 设A ={0,1}，B ={1,2}。
试确定下列集合：a) A ×{1}×B b) A 2×B c) (B ×A )22、证明或用反例推翻下列命题：a) (A ∪B )×(C ∪D )= (A ×C )∪(B ×D ) b) (A ∩B )×(C ∩D )= (A ×C )∩(B ×D ) c) (A －B )×(C －D )= (A ×C )－(B ×D ) d) (A ⊕B )×(C ⊕D )= (A ×C )⊕(B ×D )3、如果B ∪C ⊆A ，则(A ×B ) －(C ×D )= (A －C )×(B －D )。
这个命题对吗？如果对，则给予证明；如果不对，则举出反例。
f) 4、证明：若x ∈C 且y ∈C ，则<x , y >∈℘(℘(C ))。
5、证明：a ∈∪<a , b >且b ∈∪<a , b >。
6、把三元偶<a , b , c >定义为{{ a },{ a , b },{ a , b , c }}合适吗？说明理由。
7、为了给出序偶的另一定义，选取两个不同集合A 和B (例如取A =∅，B ={∅})，并定义<a , b >={{ a , A },{b , B }}。
证明这个定义的合理性。
第二章 二元关系习题2.11、 列出从A 到B 的关系R 中的所有序偶。
a) A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4}，R ={<x , y >| x , y ∈ A ∩B }b)A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={1, 2, 3}，R ={<x , y >|x ∈A , y ∈B 且x =y 2} 2、设R 1和R 2都是从{1, 2, 3, 4}到{ 2, 3, 4}的二元关系，并且 R 1={<1, 2>,<2, 4>,<3, 3> } R 2={<1, 3>,<2, 4>,<4, 2> }求R 1∪R 2, R 1∩R 2, domR 1,domR 2, ranR 1,ranR 2,dom(R 1∪R 2)和ran(R 1∪R 2)。
3、设1R 和2R 都是从集合A 到集合B 的二元关系。
证明dom(R 1∪R 2)= domR 1∪domR 2 ran(R 1∩R 2)⊆ ranR 1∩ranR 2 4、用L 和D 分别表示集合{1, 2, 3, 6}上的普通的小于关系和整除关系，试列出L , D 和L ∩D 中的所有序偶。
5、给出满足下列要求的二元关系的实例： a) 既是自反的，又是反自反的； b) 既不是自反的，又不是反自反的； c) 既是对称的，又是反对称的； d) 既不是对称的，又不是反对称的。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学-习题集
离散数学-习题集《离散数学》习题集第⼀部分判断题⼀、第⼀章—集合1、（）已知集合A的元素个数为10，则集合A的幂集的基=102。
2、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
2、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
3、( ) 已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B={Ф}。
4、（）已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B=Ф。
5、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
6、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
7、（）已知集合A的元素个数为n，则A×A的幂集的元素个数为n2。
8、（）已知两个集合A、B，则A-B是由属于B但不属于A的元素构成的集合。
⼆、第⼆章—⼆元关系1、（）若R是A上的⼆元关系，I A是A上的恒等关系，则当且仅当I A∈R时，R是A上的⾃反关系。
2、（√）若R是集合A上的⼆元关系，且当（a，b）∈R且（a，c）∈R时，就有（b，c）∈R，则R是A 上的可传递关系。
3、（）设A是集合，A1、A2、．．．A n都是A的⾮空⼦集，令S={A1，A2，．．．,A n}，则如果S是集合A的⼀个划分，那么S⼀定是集合A的⼀个完全覆盖；反之亦然。
5、（）R是⾮空集合A上的等价⼆元关系，则A关于R的商集A/R是集合A的⼀个划分，但不是A的⼀个完全覆盖。
6、（）已知集合A有4元素，易知集合A共有24个互不相同的⼦集合，所以在集合A上⼀共可定义24个互不相同的⼆元关系。
7、（）若R1和R2都是集合A上的可传递⼆元关系，则R1∪R2也是A上的传递关系。
8、（）设R是有限的⾮空集合A上的偏序关系，则A必有极⼤（⼩）元和最⼤（⼩）元。
9、（）若R1和R2都是集合A上的相容关系，则R1∩R2也是A上的相容关系。
10、（）若R1和R2都是集合A的可传递⼆元关系，则R1∩R2也是A上的传递关系。
《离散数学》典型例题
《离散数学》典型例题一、选择题1. 图1哈斯图所示的偏序集为格的是（）。
2. 设有无向图如图2，则（）是一条哈密顿回路。
A．gabcdefg B．abcdefg C．cfabcdeg D．efgabcd3. 哪个顶点可成为图3的割点？（）A. aB. bC. cD. d4. 图4中（）是欧拉图。
5.下列（）是满2元树。
二、填空题1. 设A={1,2},B={2,3},C={a,b,c}，则|(A∪B)×C|=______________________________。
2．无向完全图Kn的边数为_______________ 。
3. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是_________________________。
4. 设A ={a,b,c }，F 是A 上的二元关系，F ={<a,a >,<b,b >,<c,c >}，则其自反闭包为r (F )=______________________________。
5. 设A 和B 是有穷集合，|A |=m ，|B |=n ，A 到B 有_______多少个不同一对一映射。
三、判断题1．每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
（ ）2．集合X 上的关系R 如果是自反的、反对称的、传递的则称此关系为相容关系。
（ ）3．一条基本回路一定是简单回路，但一条简单回路不一定是基本回路。
（ ）4．树是不包含回路的连通图，在（n ，m ）树中必有m=n+1（ ）5．一个有限群<G ，*>的阶n 一定被它的任一个子群的阶m 所等分。
（ ）四 、综合题1． 求公式(～P →Q) →(Q →～P)的主析取范式和主合取范式。
2. 6个人一起吃饭，围绕圆桌就餐，有多少种就座方式？如果要从4种不同的菜系中点足6道菜，问有多少种点法？3. 一个面包店里有5种不同口味的面包，要挑选8个面包，并且至少有2个奶油味面包和不超过2个咸味面包。
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后题目及答案魏雪莉
离散数学课后题目及答案魏雪莉一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、在由3个元素共同组成的子集上，可以存有 ( ) 种相同的'关系。
[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB( )。
[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、若X就是Y的子集，则一定存有( )。
[A]X不属于Y [B]X∈Y[C]X真涵盖于Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的是( )。
[A]左右关系 [B]空关系[C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从子集A至子集B的态射，以下定义中错误的就是( )。
[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象[C]对B的每个元素都存有原象 [D] 对B的元素可以存有远不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为( )。
[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有( )。
[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点( )。
[A] G没奇数度结点 [B] G存有1个奇数度结点[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点9、设立〈G,*〉就是群，且|G|>1，则以下命题不设立的就是( )。
[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的[C] G中任一元素存有逆元 [D] G中除了幺元外并无其他幂等元10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为( )[A] p→┐q [B] p∨┐q[C] p∧q [D] p∧┐q11、设G=的结点集是V={v1,v2,v3},边集是E={,}.则G的割去(点)集是( )。
离散数学习题1
，则在代数< S , max >中，S关于max运算的幺元是______，零元是 ______。 6. 谓词公式 xF(x)∧xG(x) 的前束范式为______。 7. 设Z6={0,1,2,3,4,5}，为模6加法，即x,y Z6，xy=(x+y)mod 6，若有 方程：1 x 3=2，则x =______。 8. 设p：我努力学习，q：我取得好成绩，命题“除非我努力学习，否则
《离散数学》习题1
一、单项选择题
1．设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正
确的是( )。A、{2Fra bibliotekAB、{a}A
C、{{a}}BE
D、{{a},1,3,4}B
2. 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),
B、任一无向图的点连通度都不超过它的边连通度
C、在一n阶圈Cn(n≥4)上任意去掉两个顶点得到得图都有2个连通分
支
D、n阶无向完全图的点连通度为n
8．下列语句中是真命题的是（
）。
A.我正在说谎
B.严禁吸烟
C.如果1+2=3，那么雪是黑的
D.如果1+2=5，那
么雪是黑的 “若m是奇数，则2m是偶数”符号化为（ ），设是奇数，是
②p ③ p→(qr) ④ qr ⑤ s→r
前提引入 ①化简
前提引入 ②③假言推理 前提引入
⑥s
①化简
⑦r
⑤⑥假言推理
⑧q
④⑦析取三段论
2. 解： (p→q) (q→r)
(p q) (q r)
((p q) (r r)) ((pp) (qr))
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。