2019年安徽高考文科数学真题及答案

2019年安徽高考文科数学真题及答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1．设3i

12i

z -=+，则z = A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则

A ．{}1,6

B ．{}1,7

C ．{}6,7

D ．{}1,6,7

3．已知0.20.3

2log 0.2,2,0.2a b c ===，则

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

51-（

51

2

-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2

-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是

A ．165 cm

B ．175 cm

C ．185 cm

D ．190cm

5．函数f (x )=

2

sin cos x x

x x

++在[-π，π]的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生

C ．616号学生

D ．815号学生

7．tan255°= A ．-2-3

B ．-2+3

C ．2-3

D ．2+3

8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．

π6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

9．如图是求

112122

+

+的程序框图，图中空白框中应填入

A ．A =

12A

+ B ．A =12A

+

C ．A =

1

12A

+

D ．A =112A

+

10．双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为

A ．2sin40°

B ．2cos40°

C ．

1

sin50?

D ．

1

cos50?

11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14

，则

b c

=

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，

1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2212x y +=

B ．22132x y +=

C ．22

143x y +=

D ．22

154

x y +=

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2

)3(e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．

14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133

1

4

a S ==，，则S 4=___________． 15．函数3π

()sin(2)3cos 2

f x x x =+

-的最小值为___________．

16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平

面ABC 的距离为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

．

P（K2≥k）0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

18．（12分）

记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5．

（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．

19．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

20．（12分）

已知函数f（x）=2sin x-x cos x-x，f′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

21.（12分）

已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22

21141t x t t y t ?-=??+??=?+?

，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）3

3

3

()()()24a b b c c a +++≥++．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B

5．D

6．C 7．D

8．B

9．A

10．D 11．A

12．B

二、填空题

13．y =3x 14．

58

15．?4

16

三、解答题 17．解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40

0.850

=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为

30

0.650

=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）2

2

100(40203010) 4.76250507030

K ??-?=

≈???． 由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：

（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．

因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．

（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2

n n n n d

a n d S -=-=

. 由10a >知0d <，故n n S a …

等价于2

11100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟

． 19．解：

（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11

2

ME B C =

.又因为N

为1A D 的中点，所以11

2

ND A D =

. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，

因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .

由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故417

CH =

. 从而点C 到平面1C DE 的距离为

417

.

20．解：

（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2

x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ??∈ ???时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2??

???

单

调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ??

=>=-

???

，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.

所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.

（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.

由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，

()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.

又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.

21．解：（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关

于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.

由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得22

24(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .

故M e 的半径=2r 或=6r .

（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：

设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .

由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为2

4y x =.

因为曲线2

:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .

22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()

2

2

2

22

222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+，所以C 的直角坐标方程为2

2

1(1)4

y x x +=≠-.

l

的直角坐标方程为2110x +=.

（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?（α为参数，ππα-<<）.

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=.

当2π3α=-

时，π4cos 113α?

?-+ ??

?取得最小值7，故C 上的点到l

.

23．解：（1）因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有

222111

ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++.

所以

222111

a b c a b c

++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有

333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥???

=24.

所以3

3

3

()()()24a b b c c a +++++≥.