关于贝特朗悖论
概率论的发展简介及在生活中的应用改
论文题目概率论的发展简介及在生活中的应用摘要概率论是一门研究不确定性和随机性等现象的一门数学，其发展过程从最初的研究赌博的随机性开始、最终形成了当代的概率理论这门重要的数学分支，研究概率论发展的历史，有助于更好的理解和学习概率论，并在实际的生活和诸多科技领域更好的应用这门数学科学。
对此本文通过收集相关的文献资料对概率论的发展历程进行了梳理，从概率论的起源到发展，再到成熟进行了全面的论述，最后从生活应用的角度来阐述概率论和现代生活紧密的联系，并从经济管理决策、中奖问题、优化选择以及抽签公平问题和食品质量设计方案中等角度进行了深入的剖析。
关键字：概率论；发展历程；应用Probability theory is a mathematical study of an uncertain and stochastic phenomenon, its development process begins, eventually forming probability of modern theory of this branch of mathematics from the randomness of gambling first, study the history of the development of probability theory, contribute to a better understanding and learning the theory of probability, application and better in real life and in many areas of science and technology of the mathematical sciences. In this paper, through the collection of relevant literature and summarizes the development history of probability theory, from the origin to the development of probability theory, and then to the mature are discussed in this paper, the application perspective of probability theory and modern life closely, and from the optimization selection and draw fairness and food quality design scheme of medium angle economic management decision, winning question, has carried on the thorough analysis.Keywords: Probability theory Development Application第一章引言.................................... 错误!未定义书签。
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。
作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣1 芝诺悖论在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。
巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。
但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。
芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。
其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。
作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。
限于篇幅, 在此只辑录其二。
二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑110千米, 然后让阿喀琉斯去追。
于是问题来了。
当阿喀琉斯追到110千米的地方, 乌龟又向前跑了1100千米, 当阿喀琉斯又追到1100千米时, 乌龟又向前跑了110000千米, … …, 这样一来, 一直追下去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗?之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。
数学思想方法介绍
◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、
函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人
文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲
学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、×
带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22 +1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内 容
一.前言
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法
三门问题
以上叙述是对Steve Selvin于1975年2月寄给American Statistician杂志的叙述的改编版本。[2]如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许参赛者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给Selvin的信中所写：
第一次选的空门1（概率1/3），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。事件总概率1/3
第一次选的空门2（概率1/3），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。事件总概率1/3
第一次选的汽车（概率1/3），之后主持人开另一个空门1（概率1/2），不换门，得到汽车这个事件总概率
第一次选的汽车（概率1/3），之后主持人开另一个空门2（概率1/2），不换门，得到汽车这个事件总概率
这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。
中文名三门问题外文名Monty Hall problem别称蒙提霍尔问题提出者蒙提霍尔
1问题
▪由来
▪假设
2解答
▪解法一
▪解法二
▪补充说明
3回响
4相关讨论
5相关影片
问题编辑
由来
以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：
悖论与数学发展
悖论与数学发展作者：王铭阳来源：《中国科技纵横》2018年第20期摘要：悖论表示与人的直觉和经验相矛盾的结论或命题，主要分为语义学悖论和逻辑-数学悖論。
在数学史上，由于人们认识上的局限性，悖论的发生是不可避免的，并引发了多次数学危机。
本文先是介绍了悖论的定义，阐述了由悖论引发的三次数学危机，然后重点讨论了芝诺悖论和贝特朗奇论，最后给出了悖论的发展及其意义。
关键词：悖论；数学危机；芝诺悖论；贝特朗奇论中图分类号：O144.2 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）20-0220-02“悖论”一词最早源于古希腊，它表示与人的直觉和经验相矛盾的结论或命题，也被称为“逆论”或“反论”。
悖论的矛盾性主要体现在语义学和逻辑学上，前者称为语义学悖论，后者称为逻辑-数学悖论。
在数学的发展史上，由于不同时代的人们在认识上总是存在一定的局限性，悖论的发生是不可避免的，由此引发了数学史上的三次危机。
但是，悖论的发现客观上迫使人们转变了过去的思维方式，重新构建和完善了数学基础，从而极大地促进了数学的发展。
因此，悖论在数学认识史中具有重要的意义。
1 悖论与数学危机悖论通常可以描述为一种导致逻辑矛盾的命题。
即如果承认该命题是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的。
或者由它为真可以推出它为假，反过来由它为假又可以推出它为真。
关于悖论的准确定义，可以从以下几个方面来具体阐述[1]：（1）悖论总是相对于一定的理论系统而言的。
比如，贝克莱悖论是针对微积分体系提出的，罗素悖论则是在朴素集合论的框架下产生的。
（2）悖论的核心是逻辑矛盾。
根据逻辑矛盾的不同，悖论又分为语义学悖论和逻辑-数学悖论。
语义学悖论是通过语义学上的真假概念构成的，比如说谎者悖论；逻辑-数学悖论则是借助于数学和逻辑符号形成的，比如毕达哥拉斯悖论和贝特朗奇论等。
（3）悖论不同于诡辩。
诡辩是一种歪曲的论证，表面上运用了正确的推理手段，实际上却违反了逻辑规律，得出的结论似是而非，具有一定的迷惑性。
概率论的起源
概率论的起源及公理化概率论起源于博奕问题。
15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。
1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。
他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。
惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。
一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有P {|nm - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。
伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。
其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。
特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。
正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。
一个几何概率试题的题源探究
， 口
ｅｃ 一 ｅ ‘ 口 ／ ）＋ ，
ｙ
性质５ 设ＧＨ是双曲线 告： （＞，＞） ， 一 １ａＯ６０左
右准线与 轴 的交点 ， 曲线 半焦距 为 Ｃ离心 率是 ｅＰ 双 ， ， 是直线 ： 上 的动点 ， Ｐ ０ 则 ０为锐 角且 ｓ Ｏ ± ＬＧ Ｈ＝ ， ｉ ｎ
３ ２
一
中‘ ７ （１ 第 期・ 中 ） ７ 擞－ ２０ ６ 高 版 ０年
． 解题研究 ．
个 几 何 概 率 试 题 的 题 源 探 究
３２０ 福建 省惠安 高级 中学 ６ １０ 杨苍 洲
从不同方 面考虑上题 ， 可得不同结果 ：
解 法 １ 如 图 ２ 满 足 条 件 的 ，
由假设 ｙ Ｏ及上式 知 ｔ Ｏ Ｏ 所 以 ０为锐角 ， ＞ ａ ＞ ， ｎ 由基
本 不 等式 得
。 ａ ≤ ＜ｔ ｎ ２ ａ
丽 ／ ｅ
丽 ａ
，
２ √ ｙ
所 以 ，ｏ ≥ ｃｔ
“
≤
ｅ
（且 当 尸 双 线 轴 距 为 ｃ 当 仅 点 到 曲 实 的 离 ￡ ＿ “ 时
点 Ａ于 圆周 上 ， 另 一 个 端 点 设 则
为 Ｐ， Ｐ只能在弧 ｃ上运动 ， 点 故
所概 Ｐ 誊÷ 求率＝ ＝．
解法 ２ 如图 ３ 由对称性 ， ， 可 预先 固定直径 Ａ ， ， Ｂ Ｃ Ｄ为 四等分
点． 垂 直 于 直 径 Ａ 的 弦 ， 弦 长 作 曰 若 要 大 于 内接 正 三 角形 边 长 ， 半 弦长 则 ＞ ， 以 弦 心距 ≤ １ 即 （ｌ年 ６ 高 版 ７幺 ？ ２ｏ 第 期・ 中 ） ｏ
２ ２ 源 于课 本 ．
３ ３
解法３ 如图 ４ 弦长要 大于内接 ， 正三角形边 长 ， 半 弦长 ＞ ， 以 则 所
必修3数学§89
作业：
资料P：125 Ex7 Ex8 Ex9
预习：
随机数与随机模拟
P( A B C ) P( A B C )
一、古典概型与几何概型的关联
1.相同点：等可能性 2.不同点：有限性与无限性 3.个别问题两法均可
练习1.古典概型与几何概型的关联：
①古典概型与几何概型的区分： 资料P：77 左下 Ex1 ②个别问题两法均可： 若向图中随机地投点，则投到阴影区域中的概率为
3.故无限性和等可能性，是运用几何概型的必要条件
练习2.事件域的构造(将事件图形化)：
(1).一维区域： ①课本P：136 例1 1 ②已知函数f(x)=log2x,x∈［ 2 ，2］，在区间[ 上任取一点x0 .则使f(x0)≥0的概率为 （A ） 1 （B）
1 2 1 2
，2］
【C 】
（C ）
2 3
3 （D ） 4
2-1 2 = 由 f (x )≥0得 解析： 1≤x0≤2, 故所求P= 1 3 0 22
(2).二维区域： ①课本P：137 例2
②从区间（0,2）中随机地取两个数，求这两数之和小 于0.8的概率为
②从区间（0,2）中随机地取两个数，求这两数之和小 于0.8的概率为
解:设这两个数为x,y. 则Ω ={(x,y)｜0＜x＜2,0＜y＜2}
统计定义法
频率是概率的估计；频率的稳定值是概率 统计定义法是随机试验法的基础
古典(等可能)概型
一分二算三相除 有限等分是前提
几何概型
一变二算三相除 无限等分是前提
概率常用的性质
①范围性
0 P( A) 1
注：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,反之则不然
“样本空间的选择”在古典、几何及条件概型中的应用
解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空
排在一直线上的 a+b 个位置上作为一个基本事件。一次试验是指随机地 间 Ω1。
一只只不放回地摸出所有的球，则这 a+b 个球所有的可能的不同排列，
解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本
就构成了我们考虑的一个样本空间，有利事件可依乘法原理构造如下：在 空间 Ω2。
从 52 张扑克牌中随机抽出一张，一个可能的样本空间是数字（A 到 K），
（1）如图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通
另外一个可能的样本空间是花色（黑桃，红桃，梅花，方块）. 如果要完 过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点
整地描述一张牌，就需要同时给出数字和花色，这时的样本空间可以通过 构建上述两个样本空间的笛卡儿乘积来得到。
学术研讨
Academic research
“样本空间的选择”在古典、几何及条件概型中的应用
■ 左亦丹 1 刘丽蓉 2
摘要：在随机实验中，由于实验的结果和我们所关心的结果在较复 可能性，从而丧失了原问题的本质。
杂的实验中情况繁多，且很多情况是无法一一验证。我们通过将实验的样 本空间适当缩小，使在缩小后的样本空间中的思路简化、清晰及易于理解， 以便得到简捷、新颖的解法 .
（3）在不影响题意本质的前提下 , 还可以把样本空间继续缩小 :
数 . 则易见 , 当 x ≤ -R 时 ,F(x)=0; 当 x ≥ -R 时 ,F(x)=1; 而当 -R<x<R 时 ,
因为我们关心的是第 k 次摸球的结果 , 故可取样本空间为第 k 次摸出 由于 ξ 服从圆周上的均匀分布 , 故 P(ξ<x) 等于满足横坐标小于 x 的弧长
基于名题背景的高考题赏析
“ 体现数学的文化价值” 是新课标的基本理念之 一，那数学试题的命制也应该体现新课标的理念， 命制以名题为背景的试题在创新题中最能体现数学 文化，这种类型的试题一般是以著名的数学问题， 著名的公式，定理，图形为落脚点，虽然试题观点 高，但试题的知识点却源于初等数学的内容，解题 方法一般也是中学中较常用的，下面就近几年以名 题为背景的高考题进行赏析．[1] 题 1 （2014 年高考湖北卷·理 8） 《算数书》竹 简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，
解析 先取对数，然后借助函数 f ( x)
f ( x) ln x ax 的零x ax 0 ，则分离参数得 a
推广为等式 a b b a ．
基于名题背景的高考题赏析
王海东 江苏省丹阳市第五中学（212300） 这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载 有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之， 三十六成一． 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 v L2 h / 36 它实际 上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3．那么 近似公式 v 2 L2 h / 75 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为（ ） 355 22 25 157 A． B． C． D． 113 7 8 50 解析 设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，依题意
a5 1 ．
（4）题 4 （2012 年高考上海卷·文 14）已知 各项均为正数的数列 an 满足 a1 1 ， f ( x) 1/ (1 x) ， 若 a2010 a2012 ， 则 a20 a11 的值是_____． an 2 f (an ) ， 解析 据题 f ( x) 1/ (1 x) ，并且 an 2 f (an ) ，得 到 an 2 1/ (1 an ) ， a1 1 ， a3 1/ 2 ， a2010 a2012 ， 得到 1/ (1 a2010 ) a2010 ，解得 a2010 ( 5 1) / 2 （负值 舍去） ．依次往前推得到 a20 a11 (3 13 5) / 26 ． 点评 本题设计巧妙，以函数不动点、斐波那契 数列为背景，考查一元二次方程的求解，归纳推理、 分类处理问题的技能．13 世纪初意大利数学家斐波 那契在《算盘书》中提出了一个有趣的数列，人们 称之为斐波那契数列．斐波那契数列源于兔子的繁 殖问题：兔子出生后 2 个月就能每月生小兔，若每 月不多不少恰好生一对（一雌一雄） ，假如养了初生 的小兔子一对，试问一年后共有多少对兔子？依此 类推，该问题产生的数列为：1，1，2，3，5，8， 13，21，…… 这个数列有个十分明显的特点：前面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗(Joseph Bertrand)提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。
在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。
人们往往这样来解释:得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设:在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布;在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。
这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。
三个结果都正确～——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。
显然这样的解释是不正确的。
上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意:因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦(或是从圆内任取一条弦)，所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。
找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心:第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦(与相应的直径垂直)对应，即一一对应。
但是，圆心却与无数条弦(即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意)对应。
这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。
有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。
而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。
由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型.二者的共同点就是每个基本事件发生的概率都是等可能的;然而前者的基本事件个数只有有限个,后者却是无限的.正是由于几何概型的基本事件有无限多个,人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化,意在建构较简单的基本事件,以期简化概率计算过程.不可否认,有些正确的转化必然达到"事半功倍"的效果;然而,有些看似"等价"的转化,最终却得到了不同的答案,使人们产生困惑.本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析,总结出几何概型的转化应注意的若干问题.N贝特朗问题:在单位圆的圆周上,任意选取两点M、,连结成弦.记事件为弦长,求事件发生的概率. AMN,3A1. 由原始条件出发,通法求解解法一:该圆的周长为2.在圆上任取一点,规定它的位置是0,而圆上其,余各点的位置按顺时针方向在内相应增长.设,在圆周上的位[0,2),NM24MN,3,,,,,置分别是,则.又如图1所示, 当且仅当. xy,xyxy,[0,2),,33如图2,用表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域,(,)xy其中阴影部分为事件构成的区域,符合几何概型条件,故 A2242,,,,,,,,,,,S133,,,,阴 P().A,,,2S43,正评注:解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件,从而以面积作为测度,应用几何概型理论得出答案.此法是从题目中的原始条件出发,没有进行等价转化,不易出错,算作一种通法.然而用通法解题往往比较复杂,况且本题中还涉及到两个变元,计算过程显得不够简便.2. 适当进行等价转化,化繁为简解法二:由于圆是具有高度对称性的图形,可认为圆内等长的弦有且只有一条.于是不失一般性,假设MN,3点就在图1所示位置,问题就转化为另一点在半圆周上随机选取时,弦长的概率.那么,基NMN本事件构成的区域为半圆周,事件构成的区域为从到的劣弧长.根据几何概型原理得, AP11P(A),. 3解法三:与解法二思想一致,认为圆内等长的弦只有一条,进一步地,等长弦所对的圆心角也是相等的.，MON同时注意到,固定点在图1位置,点在自到的半圆周上均匀地运动时,圆心角也均匀NPMMON,地从0增加到.因此,我们可以把问题转化为图1中,过圆心,在直径的右侧任意做射线交圆OMP2，MON周于点,求超过的概率.此时,基本事件构成的区域为,而事件构成的区域为[0,,]N,A32,故 (,,,]32,,,13 P(A),,.,3，MOP评注:解法二和解法三是通过合理的等价转化,分别将在半圆周上选取一点和过点在内任OON意做射线视为等可能事件,使得两个变元的问题变成了一个变元的问题,大大简化了概率计算.3. 转化不慎,陷入误区然而,贝特朗奇论就告诉我们,有些转化却得到了错误的答案.问题究竟出现在哪里呢?下文中我们就两种错解的原因给予分析., 忽视等可能性的保持解法四:视圆上等长的弦为唯一的.不妨假设长度不同的弦的中点OP都分布在单位圆的某条半径上,如图3所示.OPMN3其中为的中点,故弦在位置时,长度刚好为.而此QMN11时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的.因此,问题就转MNOP化为弦的中点在半径上随机选取时,中点处于线段上的OQ概率.从而求得OQ1PA(),,. OP2辨析:此种解法,在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点.此时,二者确实是一一对应的.然而,解题过程却忽视了另一个考虑要素:当弦的两个端点分别在从M,NOPNM到和从到的劣弧上等可能地选取时,弦的中点并不会相应等可能地落在半径上.事实上,PP22NMN如果N,在图3所示位置,不妨设,则到的劣弧长即为,而，NON,,22,二者并不成正比. OE,sin，NON,sin,2因此,此类错误转化的特点是:虽然保证了研究对象的一一对应,但是忽视了等可能性的保持,所以转化是不等价的.我们再举两个类似的例子.C,ACB，ACBCP例1 如图4,是一个等腰直角三角形.过顶点,在直角的内部任意引射线交斜边AP,AC于点,求的概率. PAB，ACB错解:内部的任一射线与射线在边的交点是一一对应ABAP,AC的.如图4中,当交点点处于位置时,故问题可转化为点PD在边上随机选取时, PAB2AP,AC的概率.于是所求概率为. 2CP，ACB辨析:由题意,射线在内部等可能地选取,而此时对应的交点并不会在边上等可能PAB地分布.因此,所犯错误与贝特朗问题的解法四相似.正确的做法应是采用角度作为测,,,334度.,故所求概率为. ,，ACD,,842,ABC例2 如图5,是一个直角三角形,,DGAB,3.现以A为圆心,2为半径做圆弧,且平行于,.，CAB,DEAB3DG在弧上随机地取点,连结,问直线与相交的概率是多少? PAPAPBEDGBC 错解:在弧上取点与连结成直线的效果和在线段上取点与AABC连结成直线的效果是一样.那么,问题可以转化为在线段上任意取点,与A连结所成的直线与相交的概率.因为BC,33,因此结果就为BE,3,BE1. 3辨析:所犯错误与上例一样,转化过程中忽视了等可能性的保持.正确解法应该采用弧长或角度作为1.测度,答案为 2, 忽视研究对象转化的等价MN,3解法五:以圆内任一点为中点,可以确定一条弦.要使弦长,只需该弦的中点落在图6中的MNMN,3阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦,使得的概率.1OMN,3通过计算可知, 当,即位于图6中位置时,中点到的距离为,于是 BDE221,,,,12,,. P()A,,214辨析:此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象.我们看到,圆内除圆心外的任意一点的确唯一地确定了一条弦.但是,以圆心为中点的弦,即直径,却有无数条.当然相应地,也有无数对的端点.因此,这个对象的转化是不等价的.以下例3的解法也是步入了这个误区.例3 甲,乙,丙三人玩游戏,游戏规则为:在不远处有一小方块,要将一枚铜3板扔到这张方块上,已知铜板的直径是方块边长的,谁能将铜板完整地扔到这块方块上就可以晋级下4一轮.现在甲一扔,铜板落在小方块上,且没有掉下来,问他能晋级下一轮的概率有多大?C错解:记"甲能晋级下一轮"这个事件为,假设小方块的边长为1.过铜板中心OOBOBd,向最近的小方块的边做垂线,设.依题意得,甲已将铜板扔到了131d,[0,]d,[,]小方块上,故.而要使铜板完整地落入方块,如图7,应使.因282此,13,128P()C,,14. 2辨析: 由已知,铜板的中心等可能地分布在小方块上的任一处.上面解法中, 将研究对象铜板的中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离.如图7, 为小A 方块的中心.我们知道,当OBd,时,铜板的中心位于以为中心, 12,d为边长A 1d的正方形的边上,随着从0增大到,铜板中心分布的区域长度也呈线性的递2 减.所以,该转化显然是不合理的.本题正确的思路应该是,如图8,当铜板中心位于图中阴影的正方形时,甲能晋级下一轮.而铜板的中心在小方块内的分布是等可能的,属于几何概型,故21,,,,14,,. P()C,,2116综上,在进行几何概型的概率计算时,要明确原始条件,必要时在遵循研究对象合理替换、保持等可能性的原则下,进行等价转化,实现解题过程的简化,优化.参考文献:[1] 普通高中课程标准实验教科书?数学3(必修)[M].北京:人民教育出版社,2007. [2] 三维设计2010新课标高考总复习.数学理科(人教A版)[M].北京:光明日报出版社,2009. [3] 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983. [4] 徐明. "几何概型"教学释疑—兼谈"贝特朗悖论" [J].数学通讯,2009(6)(下半月).对“贝特朗悖论”的思考几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，它的出现使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身。
贝特朗悖论:在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
从不同方面考虑，可得不同结果:1(由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。
2.由于对称性，可预先固定弦的一端。