论文数学分析中证明不等式的若干方法

数学分析中证明不等式的若干方法 耿杰 （安徽师范大学 数学与应用数学专业 0707046）

摘要：本文主要应用数学分析中的单调性，微分中值定理，Taylor

公式，凸函数的定义，极值，极限以及积分等的相关知识来证明不等式，同时也通过应用一些著名的不等式证明不等式。通过以上方法的应用使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解，从而为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具。 关键词：数学分析 不等式 证明 方法

The mathematical analysis of several methods to testify inequality Gengjie （Anhui normal university mathematics and applied mathematics professional 0707046）

Abstract: In this paper, Monotonicity, differential mid-value theorem,

Taylor formula, convex function is defined, extremum, limit and integral related knowledge to testify inequality,also through the application of some famous inequation inequality. Through the above application of this method to make the inequation relevant knowledge more profound understanding of the system，thus for mathematics in many other content of study provides an important tool.

Key words：Mathematical analysis Inequation Method

1.引言 不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具。在数学领域中占有重要的地位，也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，方法也较多。通过不等式的证明，不仅可以检验基本的数学知识的掌握程度，而且也是衡量数学水平的一个重要标志。因此，掌握一些基本的证明不等式的方法是十分重要也是十分必要的。下面将对不等式的证明方法进行总结。

2.利用单调性证明不等式 利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要的方法，同时又是一种行之有效的方法。 要点：若0)(xf（或0)(xf），则当21xx时，有)()(21xfxf（或)()(21xfxf）。反之，若0)(xf（或0)(xf），则当21xx时，有)()(21xfxf（或)()(21xfxf）。由此便可获得不等式。 例2.1 证明： bbaababa111 证明：记xxxf1)(，则0)1(1)(2xxf，所以xxf11)(在定义域内单调递增函数。又由于baba可知

bbaababbaababababa111111 例2.2 设eab，证明：abba 分析：要证abba，只需证baablnln,也即证bbaalnln 证明：记xxxfln)(，则2ln1)(xxxf，所以当ex时，0)(xf；即xxxfln)(在时是单调减函ex数。又由于eab，所以bbaalnln ，即证abba。

3.利用微分中值定理证明不等式 用微分中值定理来证明不等式要熟记各个中值定理的应用条件，将原不等式通过变形找到一个辅助函数使其满足中值定理条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可证明得到结论。 要点：如果函数)(xf在区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，那么在ba,内至少存在一点，使得))(()()(axfafxf。由此可得(1)当0)(af，在ba,内)(xf0时，有)(xf0 ]).,(bax (2)在上述条件下，有bafabafbf其中),()()(。因此，若)(xf单调递减，有)()()()(bfabafbfaf。以上原理在证明不等式时经常采用。 例3.1 设21,0xx，平，qp,是正整数，1qp，证明：)sin(sinsin2121qxpxxqxp。 证明：当21xx时，不等式两边都等于1sinx，因而等号成立。 设21xx，为确定起见，设21xx，记213qxpxx，由于1qp，故

11213)(xxxqxx。同理23xx。 将原不等式改写为321sin)(sinsinxqpxqxp，即)sin(sin)sin(sin1332xxpxxq。令xpxgxqxfsin)(,sin)(，则xpxgxqxfcos)(,cos)(。根据积分中值定理： )(cos)(cos)sin(sin21132132qxpxxqxxqxxq=

;cos)(112xxpq )(cos)(cos)sin(sin121213213xqxpxpxxpxxp=

212cos)(xxpq。其中213210xxx，因而

21coscos。所以原不等式得证。

4.利用Taylor公式证明不等式 依据)(xf的情形，使其按照Taylor公式展开，然后根据已知条件来进行证明不等式。 要点：若)(xf在ba,上有连续n阶导数，则)),((0)(,0)()()1(时当）（baxxfafafnn

。则

)],((0)(!)()()(时当baxaxnfxfnn。利用此原理，可以对一些不等式

进行证明。 例4.1 证明：)2,0(,sintanxxxxx 证明：原式等价于0tansin)(2xxxxf，因为0)0()0(ff， 0secsin)1sec5(sin)(432xxbxxxf，所以0tansin)(2xxxxf ))2,0((时当x。故)2,0(,sintanxxxx

x。

5.利用凸（或凹）函数的定义来证明不等式 利用函数的凸凹性来对不等式进行证明的方法首要是找到辅助函数)(xf，利用辅助函数)(xf在区间ba,上的二阶导数来判定)(xf的凸凹性，然后根据凸函数或凹函数的性质来进行这证明。 要点：若0)(xf，则函数)(xf为凸函数即)1,0(,,,21baxx，有)()1()())1((2121xfxfxxf。 若0)(xf，则函数)(xf为凹函数即)1,0(,,,21baxx，有)()1()())1((2121xfxfxxf。 例5.1 证明：),0,0(,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证明：令01)(,1ln)(),0(ln)(ttfttfttttf，所以），在（0ln)(tttf是严格凸函数。于是)2()]()([21yxfyfxf也即

2ln)(lnln2ln2)]()([21yxyxyyxxyxyxyfxf即故得证。

类似的我们也可证明：)(,22yxeeeyxyx

6.用求极值的方法证明不等式 用求极值的方法来证明不等式最重要的也很就是构造相关函数，然后判断该函数的极值，这是证明不等式的一个最基本的方法。 要点：要证明)()(xgxf，只需求函数)()()(xgxfxF的极值，也就是证明0)(minxF。 例6.1 设n为自然数，试证： )()1(2时当ntentntetnt。 证明：原始可转化为ntentt2)1(1。所以只需证明 )(0])1(1[)(2ntentnttftn，])1()1()1[(2)(1nntntntenttf=])1(2[1ntnten

t。故我们用表示方程

0)1(21ntnte的根。则极值的可疑点为nttt及,,0。但

])1(1[)(,0)0(2ennffn=0)1()1()]1(21[2222nnnnn

，

.)(,01)(fnnf 由此)(0)0()(min)(时ntftftf。所以问题即得证。 类似的我们也可证明：设12lna为任意常数，试证：)0(122时当xeaxxx

7.利用单调极限证明不等式 利用单调极限来证明不等式主要的是求函数在某一点的极限值，然后根据单调函数的性质来进行判断。 要点：若bx时，)(xf在定义域上是单调增函数（或严格单调增函数），且)()(,)(0bxAxfAxfbx当则时（或)()(bxAxf当）。反之，对于递减或严格递减的函数，也有类似的的结论。利用该原理可以来证明一些不等式，从而使证明过程简洁易懂。 例7.1 证明：xtx,0时，0)1(xtxte。 证明：当xtt或0时不等式显然成立。故只需证明0,,0txtt