“配方法”求解代数式的最值问题
初一下《配方法》
配方及应用配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．配方常用公式：(1)222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+(2)2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ (3)2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++±±±=±+±+±配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．〈一〉、用配方法解方程（略）〈二〉、用配方法分解因式（略）〈三〉、用配方法求解特殊方程解题思路：有一类特殊．．方程．．通过配方变形结合等式性质．．．．，可以变形为几个非负数的和等于零，由非负数性质则每个非负数都必须为零，从而求出未知数的值. 例1、求以下各方程的解①x 2+y 2+2x -4y +5=0 ②06434222=+-+-x y xy x ③423222-=---++c b ab c b a跟踪练习： ①已知0454—422=+++b a b a ，求a 、b 的值②06434222=+-+-x y xy x ，求x 、y 的值③已知4=-b a ，042=++c ab ，则c b a ++的值〈四〉、用配方法求代数式的最大（小）值解题思路：一般形式的代数式是无法确定其最大（小）值的，但对某些特殊代．．．数式．．可以通过配方变形为几个非负数及某个常数的和时，则可以确定其最值. 例2、求以下各代数式的最值.①a 2+2a -2 ②2x 2-3x -1 ③941012422+++-y y xy x ④91645422+-++-y x y xy x跟踪练习：求以下各代数式的最值. ①2x 2+10x +1 ； ②1212-+-x x③y x y xy x 446422--+- ④4248522+++-x y xy x〈五〉、用配方比较两个代数式的大小解题思路：比较两个代数式的大小，可以作差．．比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，通过判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．例3、试比较两个代数式3x 3—2x 2—4x +1与3x 3+4x +10的值的大小．。
初中数学方法篇一：配方法
初中数学方法篇一：配方法数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、二次根式322+-a a 中字母 a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中?==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。
例4、解方程052422=+-++y x y x 。
点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组=-=+010 2y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们求出所要求的最值。
例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。
初中数学竞赛指导-第二讲-配方法
第二讲 配方法一、 方法与技巧1、配方法：把代数式通过直接变形或分拆重组、添补重组、组合重组等手段，得到完全平方式，再利用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，从而求解出问题的结果，这重解题方法称之为配方法。
2、配方法的作用：配方法的作用在于改变代数式的原有结构形式，是代数变形的重要方式之一。
配方法的实质在于挖掘题设的隐含条件来创建非负数性质。
3、配方法的用途：①解一元二次方程；②二次函数；③因式分解；④二次根式化简求值；⑤有关最大或最小值。
4、常用的配方法：①直接配方；②分拆、填补、重组配方。
二、题型题型一 用配方法求值1、已知251,251+=-=b a ，则722++b a 的值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、32、已知21,19,20+=+=+=y c y b y a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、13、已知实数a 、b 、c 满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则c b a ++的值为（ ）A 、-8B 、-7C 、-6D 、-54、已知21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、85、已知实数a 、b 、x 、y 满足5,3=-=+bx ay by ax ，则代数式()()2222y x b a ++的值为（ ）A 、33B 、34C 、35D 、-35 题型二 用配方法解方程1、若062322322323=-+++++-b ab a ba b ab a ，则a= . 2、关于x 的方程()0112=+--x k kx 有有理根，则整数k 的值为 。
题型三 用配方法求最值1、已知1214522+---+=y x xy y x z ，则z 的最小值为 。
配方法的应用含答案
（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出 a、b 的值， 然后利用三角形的三边关系即可求解．
第 3页，共 3页
=（a+2）2-9.故选 D．
3. 设 A＝2a+3，B＝a2-a+7，则 A 与 B 的大小关系是（ ）
A. A＞B
B. A＜B
C. A≥B
D. A≤B
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式
a2±2ab+b2=（a±b）2，通过作差法和配方法比较 A 与 B 的大小．
D. (a＋2)2－9
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改
变式子的值．若二次项系数为 1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数
不为 1，则可先提取二次项系数，将其化为 1 后再计算．
【解答】
解：a2+4a-5
=a2+4a+4-4-5
配方法的应用
一、选择题
1. 不论 x、y 为什么实数，代数式
的值（ ）
A. 总不小于 2 B. 总不小于 7 C. 可为任何实数 D. 可能为负数
【答案】A
【解析】[分析]
把代数式 x2+y2+2x-4y+7 根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
[详解]
x2+y2+2x-4y+7=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，
人教版九年级数学上册一元二次方程的定义与解法(1)
(4)
y2
1 2
y
（_14_）_2 _
( y_1__)2 4
它们之间有什么关系?
总结归律:
p 2
p
x px ____ ( x __) 2 方 像程这（样m的－等1号)x两2＋边m都x是＋整1=式0为，关只于含x有的一一个元未二知次数方（程一则元m）的2，值为（
）
10×6x2=1500
22
课堂检测
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的 二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5x2 1 4x； 24x2 81；
1 5x2 1 4x
一般式：5x2 4x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
一般式：4x2 81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
x2－75x+350=0 ②
x2 x 56 ③
（１）这些方程的两边都是整式 （２）方程中只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
知识归纳
一元二次方程的概念 • 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未
x3 5 ， x3 5
或
解一次方程
x1 3 5 ，x2 3 5
新知探究
【例2】用配方法解方程：3x2+8x-3=0
解：两边除以3，
x2 8 x 1 0
3
得：
分析：配方法解一元二次方
移项，得： x2 8 x 1
程的一般步骤：
3
（1）把二次项的系数化为1； （2）把常数项移到等号的右 边；
配方法 重难点专项练习(三大题型)(原卷版)
21.2.1《配方法》分层练习考查题型一 利用直接开平方法解方程 1．（2023春·重庆长寿·九年级重庆市长寿中学校校考期中）解方程：()242136x -=2．（2023·广东广州·统考一模）解方程2(2)4x -=．3．解方程：2217x -=．4．解关于x 的方程：216490x -=5．解方程()2164x -=．6．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）解方程：22(1)180x --=．考查题型二 利用配方法解方程1．（2023·江苏徐州·校考二模）解方程：2410x x -+=；2．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）解方程：2810x x --＝3．（2023·江苏徐州·统考一模）解方程：2840x x -+=4．用配方法解23210x x ．5．解方程：(1)22410x x +-=；(2)()2121x x x -=-．6．（2023·辽宁大连·统考一模）解方程：(6)6x x -=．考查题型三 配方法的应用 1．（2022秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：小力：能求出243x x ++的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小强：能，求解过程如下：因为243x x ++24443x x =++-+()()24443x x =+++-+()221x =+-， 而()2211x +-≥-，所以243x x ++的最小值是1-．问题：你能否求出285x x -+的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．2．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）用配方法求解下列问题．(1)求代数式221x x --的最小值．(2)求代数式262y y --+的最大值．3．（2022春·广东深圳·八年级校考阶段练习）配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．例：已知代数式2a 6a 2++，当=a 时，它有最小值，是 ．解：()()2222a 6a 2a 6a 992a 392a 37++=++-+=+-+=+-因为()230a +≥，所以()2a 377+-≥-．(2)281x x -+-有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）．6．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x -+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∵()2224544121x x x x x -+=-++=-+，∵()220x -≥，∵()2211x -+≥当2x =时，()2211x -+=，∵当2x =时，()221x -+有最小值1，即245x x -+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∵(1)当x =___________时，代数式()2254x -+有最小值为___________(2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x -++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．1．综合题阅读下列材料：配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程2440x x -+=，则2(2)0x -=，∵2222450x x x y y =-+++=求x 、y ．则有()()2221440x x y y -++++=，∵22(1)(2)0x y -++=．解得1x =，2y =-．2230x x --=则有221130x x -+--=，∵2(1)4x -=．解得3x =或1x =-，根据以上材料解答下列各题：()1若2440a a ++=．求a 的值．()22246130x x y y -+++=．求2011()x y -+的值．()3若2280a a --=．求a 的值．()4若a ，b ，c 表示ABC 的三边，且2220a b c ac ab bc ++---=，试判断ABC 的形状，并说明理由．2．（2022秋·四川南充·九年级四川省营山中学校校考阶段练习）阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值. （3）若已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.3．阅读材料：把形如ax2+bx+c 的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下 a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1 ∵(a+3)2≥0∵(a+3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2= 可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k 的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p 的最大值；(3)已知a 、b 、c 是∵ABC 的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab -bc -ac 的值．。
把代数式通凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．1、配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。
解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。
所以a 的取值范围是全体实数。
点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2、配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例2、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式。
解：2)1(31)12(3)2(322222---=-++--=---=-+-x x x x x x x ∵0)1(2≤--x∴02)1(2<---x因此，无论x 取什么实数，322-+-x x 的值是个负数。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
3、配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们很跨求出所要求的最值。
例3、若x 为任意实数，求742++x x 的最小值。
分析：求742++x x 的最小值，可以先将它化成3)2(2++x ，根据0)2(2≥+x ，求得它的最小值为3。
研究论文：初中数学最值问题解题策略与技巧
数学论文初中数学最值问题解题策略与技巧最值问题是近年来中考数学热点之一，代数与几何问题中都有涉及，考查知识点丰富，形式多样，综合性强，是学生易错疑难点之一。
本文主要从代数与几何两个方面就具体例题对常见最值问题的解题策略与技巧给以简单的整合.其中，代数中最值求解主要运用配方、均值不等式、分类讨论、数形结合、函数增减性等方法，将陌生复杂的问题化为简单的熟悉的问题；几何最值问题又分为平面几何与立体几何最值，平面几何主要在三角形、四边形、圆中最值居多，复杂多变，通常利用轴对称变换、平移变换的性质，将复杂的几何问题转化为简单几何模型求解，立体几何最值主要通过化归思想，将立体图形沿侧棱展开成平面图形，再依据平面几何最值性质求解.一、代数中最值常见解题策略与技巧1、配方法主要依据完全平方项的非负性，利用恒等变形，将原代数式分组配成完全平方项与实数项和的形式即可求解最值问题.例1：设x，y为实数，代数式2x2+y2-2xy+2x+4 的最小值为_______.析：该代数式只需将 x2与y2-2xy 组合成完全平方，x2与2x+1组合成完全平方即可.2、分类讨论法含绝对值的函数最值通常含有不确定因素，对于这类问题一般需要依据绝对值零点意义对其分类讨论，再结合函数单调性求解最值.例2.求│x-1│+│x-2│的最小值.分析：此题只需要找到绝对值零点1，2，然后分段讨论利用函数单调性求解即可.3、数形结合法对于一些有明显几何意义或与几何图形相关联的题，我们采用数形结合的思想往往会起到事半功倍的效果.比如例2的式子可以看成是数轴上的x到1的距离与x到2的距离的和，只有当x在1与2之间时，它们的和最小.这样就少了像例2那样繁琐的讨论，反而显得明朗化、清晰化、简单化.这种解法对于像这样的式子" │x-1│+│x-2│+...+│x-10│求最小值"就显得更为直观简单，x取值只要在5与6之间即可.但此种方法常用于一次项系数为1的，对于那些系数不为1的（系数为整数或有理数），我们通常通过提取公因数将它的系数转化为1，再利用常规的做法即可.如对于下面的变式：变式1：求│2x-1│+│2x-2│的最小值.变式2：求│x-2│+│2x+7│的最小值.分析：对于变式1，一次项系数为2，故须提取整数2将原式变形为2（│x-│+│x-1│），再依据系数为1的绝对值函数最值法求解；对于变式2，一次项系数即含整数又含分数，故可将分数先转化为整数，再将整数转化为系数为1的绝对值函数.再者，如下面的例3可以化归为平面坐标系中"一动点到两定点的距离和最小的几何问题"，简单明了.例3：求 y=+的最小值4、均值不等式法形如a2+b2≥2ab（a，b∈R）的均值不等式，一方面可以应用有明显不等式形式的代数式、分式中，如求（x2++4）的最小值，一方面在几何面积最值求解中也有应用，如2011陕西中考填空题第16题，在构造辅助线平移线段中出现直角三角形，且直角边未知，斜边已知时，这时我们可以利用勾股定理表示三边关系，此时出现两个未知量平方和的关系，要求两个未知量积的最值即可用均值不等式.5、函数模型函数模型一方面在实际的应用题型中应用广泛，主要是一些盈利、分配、用料最省等问题，解决这类题先要分清题中已知量与未知量，将实际问题转化为代数问题，找准等量关系，列出函数关系式，再利用函数的相关性质求解.另一方面它在几何面积最值中也有应用，通常是先通过构造，利用相似或解直角三角形将图形面积用二次函数表示，再在实际变量限制范围内利用函数单调性取最值即可.二、几何最值问题解题策略与技巧几何最值问题，主要以简单的几何模型为依托，通过化归思想，化繁为简，化动为定，结合轴对称变换、平移变换，巧用特定图形的性质来解决.1、平面几何中最值问题平面几何最值，最简单的模型是"两条线段差最大，和最小"问题，其特点是"一定直线-两定点-一动点"，在解决三角形、四边形、圆中线段、周长、面积最值问题时，可利用图形本身的性质以及几何变换将其转化为简单的几何模型求解即可.特别的在圆中会用到"过圆内一点的弦中，垂直于该点所在直径的弦最短"求最小值。
专题21.4 解一元二次方程—配方法(拓展提高)(原卷版)
专题21.4 解一元二次方程—配方法（拓展提高）一、单选题1．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．236x x x ⋅=B ．2211124x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭C ．211x x x x ⎛⎫-÷=- ⎪⎝⎭D ||x = 2．已知2732,55M t N t t =-=-（t 为任意实数），则,M N 的大小关系为（ ） A ．M N > B ．M N < C ．M N D ．不能确定3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为()21100x -=B ．2890x x +-=化为2(4)25x +=C ．2240t t --=化为2781()416t -= D ．23420x x --=化为2210()39x -= 4．方程2680x x +-=的左边配成完全平方后，得到的方程为（ ）A ．()2317x -=B ．()2317x +=C ．()231x +=D ．以上都不对 5．已知方程240x x n ++=可以配方成()23x m +=，则()2015m n -=（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．46．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023二、填空题 7．在实数范围内分解因式：2225x x --=____．8．若2310a a -+=，则221+=a a________． 9．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．10．已知()222181x y ++=，则22x y +=_________．11．当x 满足()()133114423x x x x +<-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，方程x 2﹣2x ﹣5＝0的根是__． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 12．小刚在解关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 时，只抄对了14a b ==、，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄c 的值比原方程的c 值小1．则原方程的根为________．13．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____． 14．对于有理数a ，b ，定义{}min ,a b ：当a b ≥时，{}min ,a b b =；当a b ≤时，{}min ,a b a =．若{}22min 40,12440m n m n -+--=，则n m 的值为______．三、解答题15．解方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)(x －2)2＝2x －4．(3)2x 2－4x －9＝0．(配方法)16．解方程：（1）2410x x -++=（2）221233x x += 17．若a为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值． 18．阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式223b b +中b 却可以取任意实数，理由是b 2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：（1）多项式x 2+2x ﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；（2）已知关于x 的多项式A ＝4x 2﹣3x +a 2（a 为常数）和多项式B ＝3x 2+5x ﹣17，试比较A 和B 的大小，并说明理由；（3）已知关于x 的二次三项式﹣x 2﹣4mx +4m +3（m 为常数）的最大值为2，求x 和m 的值．19．先阅读后解题：若2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：等式可变形为：2221690m m n n +++-+=即22(1)(3)0m n ++-=因为2(1)0m +≥，2(3)0n -≥，所以10m +=，30n -=即1m =-，3n =．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知22410290x y x y ++-+=，求x y 的值； （2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22246110a b a b +--+=，则ABC 的周长是________；（3）在实数范围内，请比较多项式2223x x +-与234x x +-的大小，并说明理由．20．我们己学完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，观察下列式子：()22242442(2)2x x x x x ++=++-=+-，2(2)0x +≥，2242(2)22x x x ∴++=+-≥-，原式有最小值是-2；()22223212(1)2x x x x x -+-=--+-=--，2(1)0x --≤，2223(1)22x x x ∴-+-=---≤-，原式有最大值是-2；并完成下列问题：（1）求代数式2241x x -+的最值；（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x 米，完成下列任务．①用含x的式子表示花圃的面积；②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米?。
初中数学竞赛中最值问题的常用解法
数学竞赛中最值问题的常用解法姓名___________一.配方法例1.(第21届江苏初中数学竞赛题)设x,y 为实数,代数式 的最小值为____________.解:配方,得显然,当x=y=－1时,原式有最小值为3.二.消元法例2. a,b,c 是非负实数,并且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,设m=3a+b-7c,记x 为m 的最小值, y 的m 最大值,则xy=__________.解: 视c 为主元,由已知,求得a=7c-3,b=7-11c.由于是非负实数,则有:从而有 ,又m=3a+b-7c=3c-2于是三.估算法例3.五个互不相等自然数的平均数是15,中位数是18,这五个数中最大数的最大值为( )A.35B.36C.37D.38解:设这五个数中其余四个数分别为a,b,c,d, 且a ＜b ＜c ＜d,则a+b+c+d=15×5-18=57.故当a=0,b=1,c=19时,d 取最大值37.四.判别式法例4.(第17届江苏初中竞赛题)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, ， 5x 2+4y 2-8xy+2x+4a 2+b 2+c 2=6 原式=4(x 2-2xy+y 2)+x 2+2x+4=4(x-y)2+(x+1)2+3x=-57,y=-111, xy=577则a 的最大值为___________.解:由已知a+b+c=0,得c= －(a+b)从而因为b 是实数,故⊿≥0,即 当a=2时,有b=c=-1,满足题设.因此,a 的最大值为2.五.数形结合例5.函数 的最小值是________.解：设 A （0，-1），B （4，-2），取A 点关于x 轴对称点C 的坐标为（0，1），则线段AC 的长即为所求。
AC=六.换元法例6.设x,y 都是正整数,且使116-x +100+x =y, 则y 的最大值是________. 解：设116-x -100+x =m ，与已知等式相乘，得my=-216由y 为正整数，知m 为有理数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“配方法”求解代数式的最值问题
初一整式运算中涉及运用“配方法”来求解整式运算，特别是求解代数式的最值问题。
方法介绍：
配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。
初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。
范例精讲：
例1. 计算：
例2.不论x取何数，代数式x*2-6x+10的值均为（）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
点评：把常数项10拆分为9+1，其中9与前两项正好组成一个完全平方式，再利用平方的“非负性”来判别代数式的值。
例3. 不论x、y为什么实数，代数式x*2+y*2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
点评：把常数项7拆分为1+4+2，其中1和4与前四项正好组成两个完全平方式，再利用两个平方式的“非负性”解题。
例 4.若a，b为有理数，且2a*2-2ab+b*2+4a+4，则a*2b+ab*2=__________
例5.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
解析：材料阅读题型，考查完全平方公式、平方的非负性及数学理解能力，解题方法：配方法求最值。
例6.（1）求多项式3x*2-6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式-x*2+2x+4的最大值，并写出对应的x的值；
（3）试说明：不管x和y取何值，多项式x*2+2x+y*2-4y+9总为正；解析：考查完全平方公式的拓展和平方的非负性，解题方法是：配方法；。