磁聚焦与磁扩散
专题 磁聚焦与磁扩散
发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。
1.如图所示，一半径为r 的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B ，圆心O 1，OO 1=r ，在纸面内从O 点向x 轴上方各个方向发射出速率为v 、质量为m 、电量为q 的带
正电粒子（不计重力），已知速率v 满足v =qBr /m 。问所有从磁场边界射出的粒
子的速度有何特征？
2.如图所示，在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xoy 平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q 和速度v 的正电微粒。微粒分布在0< y < 2R 的区间内。已知重力加速度大小为g 。
（1）从A 点射出的粒子平行于x 轴从C 点进入有磁场区
域，并从坐标原点O 沿y 轴负方向离开，求电场强度E 和磁感应强度B 的大小和方向；
（2）请指出这束带电粒子与x 轴相交的区域，并说明理
由。
3.如图所示，ABCD 是边长为a 的正方形。质量m 、电荷量为e 的电子以大小为v 的速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形区域内适当区域中有匀强磁场。使电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和方向；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。
4.图中坐标原点O （0，0）处有一粒子源，向
y ≥0一侧沿Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v ，质量均是m ，电荷量均是q 。有人设计了一方向垂直于Oxy 平面，磁感应大小为B 的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正向运动。试求出此边界的方程，并画
出此边界线的示意图。
A ·
B
C O x y v
考点3 “磁聚焦”与“磁发散”
考点3 “磁聚焦”与“磁发散” 1．带电粒子的汇聚 如下左图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R ＝r ，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出． 平行四边形OAO ′B 为菱形，可得BO ′为轨迹圆的半径，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点． 2．带电粒子的发散 如上右图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B ，圆心O ，从P 点有大量质量为m ，电量为q 正离子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同． 【例题】如图所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上．在xOy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q (q >0)和初速度v 的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0 【专题关注】磁聚焦与磁扩散 【亮点】发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。 【结论】R 磁场=R 轨迹 【借鉴例题】（2012·临川一中4月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图(a )所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压，t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为U 0，反向值也为U 0，现有由质量为m 的带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ＇的速度v 0= dm T qU 30不断射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响。试求： （1）粒子打出电场时位置离O ＇点的距离范围 （2）粒子射出电场时的速度大小及方向 （3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大 【寒假作业五套卷5-25】（2008·南通二模）如图4所示的直角坐标系中,在直线x= -2L 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向,x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向.在电场左边界上A(-2L 0,-L 0)到C(-2L 0,0)区域内,连续分布着电荷量为+q 、质量为m 的粒子.从某时刻起由A 点到C 点间的粒子,依次连续以相同的速度v 0沿x 轴正方向射入电场.若从A 点射入的粒子恰好从y 轴上的A (0,L 0)， 沿x 轴正方向射出电场,其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求： (1)求匀强电场的电场强度E; “磁发散与磁聚焦”模型在高考中的应用 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律. 磁发散：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如图1所示. 磁聚集：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如图2所示. 图1图2这两条规律在近几年高考中频频出现，如能在平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题进行深入分析和研究，那么在考试中遇到类似题目就会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情. 一、突出对粒子运动径迹的考察 例1如图3，ABCD是边长为的正方形.质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场.不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积. 图3图4解析: （1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道.电子所受到的磁场的作用力大小为f =ev0B，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外.圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上. 依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有f=mv202,联立两式得B=mv0ea. （2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界. 为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设0≤θ≤π/2）的情形.该电子的运动轨迹qpA，如图4所示.图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由B=mv0ea知，圆弧AP的半径仍为a，在以A为原点、AB为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标(x,y)为x=asin θ,y=a-acosθ. 消去参数θ得x2+(y-a)2=a2. 这意味着，在范围0≤θ≤π/2内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周AFC，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界.因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以AEC和AFC为圆心、为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的，其面积为S=2(14πa2-12a2)=π-22a2. 点评:这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹.从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力， 二、突出对粒子运动“汇聚点”的考察 磁聚焦和磁发散 一、带电粒子的汇聚 特点：①磁场是圆形磁场②磁场圆的半径和轨迹圆的半径相等③大量带正电的粒子平行入射。 结论：这些粒子会汇聚一点射出磁场。 几何关系：磁场圆的两条半径，轨迹圆的两条半径组成的四边形是菱形。 因为O O '是角平分线，所以∠1=∠2，因为B O OB '=所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，四边形O AOB '是菱形。 如图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R ＝r ，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出． 平行四边形OAO ′B 为菱形，可得BO ′为轨迹圆的半径，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点． 1、如图所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上．在xOy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q (q >0)和初速度v 的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0 精品文档 . 专题 磁聚焦与磁扩散 发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。 1.如图所示，一半径为r 的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B ，圆心O 1，OO 1=r ，在纸面内从O 点向x 轴上方各个方向发射出速率为v 、质量为m 、电量为q 的带 正电粒子（不计重力），已知速率v 满足v =qBr /m 。问所有从磁场边界射出的粒 子的速度有何特征？ 2.如图所示，在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xoy 平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q 和速度v 的正电微粒。微粒分布在0< y < 2R 的区间内。已知重力加速度大小为g 。 （1）从A 点射出的粒子平行于x 轴从C 点进入有磁场区 域，并从坐标原点O 沿y 轴负方向离开，求电场强度E 和磁感应强度B 的大小和方向； （2）请指出这束带电粒子与x 轴相交的区域，并说明理 由。 3.如图所示，ABCD 是边长为a 的正方形。质量m 、电荷量为e 的电子以大小为v 的速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形区域内适当区域中有匀强磁场。使电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和方向； （2）此匀强磁场区域的最小面积。 4.图中坐标原点O （0，0）处有一粒子源，向 y ≥0一侧沿Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v ，质量均是m ，电荷量均是q 。有人设计了一方向垂直于Oxy 平面，磁感应大小为B 的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正向运动。试求出此边界的方程，并画 出此边界线的示意图。 A · B C O x y v 关注：高考物理新题型 【补充例题1】 （2013·黄冈模拟）地球周围存在磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场的运动称为“磁漂移”，以下是描述的一种假设的磁漂移运动，一带正电的粒子(质量为m ，带电量为q)在x=0，y=0处沿y 方向以某一速度v 0运动，空间存在垂直于图中向外的匀强磁场，在y>0的区域中，磁感应强度为B 1，在y<0的区域中，磁感应强度为B 2，B 2>B 1，如图所示，若把粒子出发点x=0处作为第0次过x 轴。求： (1)粒子第一次过x 轴时的坐标和所经历的时间。 (2)粒子第n 次过x 轴时的坐标和所经历的时间。 (3)第0次过z 轴至第n 次过x 轴的整个过程中，在x 轴方向的平均 速度v 与v 0之比。 (4)若B 2：B 1=2：1，当n 很大时，v ：v 0趋于何值 【补充例题2】 （2012·临川一中4月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图 (a )所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压，t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为U 0，反向值也为U 0，现有由质量为m 的带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ＇的速度v 0=dm T qU 30不断射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响。试求： （1）粒子打出电场时位置离O ＇点的距离范围 （2）粒子射出电场时的速度大小及方向 （3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大 第九章“冲刺双一流”深化内容 电磁学压轴大题增分策略(三)——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。 不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度方向都相同。 例如：当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。 [例1]真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方 向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O 点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用 忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？ [解析]如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值， 入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组成边长 为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与电子射出 的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即 所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。 [答案]见解析 [例2]如图所示，真空中有一个半径r＝0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×10－3 T，方向垂直于纸面向外，在x＝1 m和x＝2 m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×103N/C。在x＝3 m处有一垂 直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷q m＝1×10 9 C/kg，且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求： 专题 磁聚焦与磁扩散 发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。 1.如图所示，一半径为r 的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B ，圆心O 1，OO 1=r ，在纸面内从O 点向x 轴上方各个方向发射出速率为v 、质量为m 、电量为q 的带正电粒子（不计重力），已知速率v 满足v=qBr/m 。问所有从磁场边界射出的粒子的速度有何特征？ 2.如图所示，在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xoy 平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q 和速度v 的正电微粒。微粒分布在0< y < 2R 的区间内。已知重力加速度大小为g 。 （1）从A 点射出的粒子平行于x 轴从C 点进入有磁场区域，并从坐标原点O 沿y 轴负方向离开，求电场强度E 和磁感应强度B 的大小和方向； （2）请指出这束带电粒子与x 轴相交的区域，并说明理由。 3.如图所示，ABCD 是边长为a 的正方形。质量m 、电荷量为e 的电子以大小为v 的速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形区域内适当区域中有匀强磁场。使电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小和方向； （2）此匀强磁场区域的最小面积。 4.图中坐标原点O （0，0）处有一粒子源，向y ≥0一侧沿Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v ，质量均是m ，电荷量均是q 。有人设计了一方向垂直于Oxy 平面，磁感应大小为B 的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正向运动。试求出此边界的方程，并画出此边界线的示意图。 A · B C O x y v 【专题关注】磁聚焦与磁扩散 【亮点】发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。 【结论】 R 磁场 =R 轨迹 【借鉴例题】 （ 2012·临川一中 4 月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图 (a) 所示，平行金属板 A 和 B 间的距离为 d ，现在 A 、 B 板上加上如图（ b ）所示的方波形电压， t=0 时 A 板比 B 板的电势高，电压的正向值为 U 0，反向值也为 U 0，现有由质量为 m 的带正电且电荷量为 q 的粒子组成的粒 子束，从 AB 的中点 O 以平行于金属板方向 OO ＇的速度 v 0= qU 0T 不断射入，所有粒子在 AB 间的飞行时间 3dm 均为 T ，不计重力影响。试求： （ 1）粒子打出电场时位置离 O ＇点的距离范围 （ 2）粒子射出电场时的速度大小及方向 （ 3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大 【寒假作业五套卷 5-25 】（ 2008·南通二模）如图 4 所示的直角坐标系中 ,在直线 x= -2L 0 到 y 轴区域内存在着 两个大小相等、方向相反的有界匀强电场 ,其中 x 轴上方的电场方向沿 y 轴负方向 ,x 轴下方的电场方向沿 y 轴 正方向 .在电场左边界上 A(-2L 0 ,0)区域内 ,连续分布着电荷量为 +q 、质量为 m 的粒子 .从某时刻起由 ,-L )到 C(-2L A 点到 C 点间的粒子 ,依次连续以相同的速度 v 沿 x 轴正方向射入电场 .若从 A 点射入的粒子恰好从 y 轴上的 0 A (0,L 0)， 沿 x 轴正方向射出电场 ,其轨迹如图中虚线所示 .不计粒子的重力及粒子间的相互作用 .求： (1) 求匀强电场的电场强度 E; 关注：高考物理新题型(磁聚焦、磁扩散、 磁漂移) 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 关注：高考物理新题型 【补充例题1】 （2013·黄冈模拟）地球周围存在磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场的运动称为“磁漂移”，以下是描述的一种假设的磁漂移运动，一带正电的粒子(质量为m ，带电量为q)在x=0，y=0处沿y 方向以某一速度v 0运动，空间存在垂直于图中向外的匀强磁场，在y>0的区域中，磁感应强度为B 1，在y<0的区域中，磁感应强度为B 2，B 2>B 1，如图所示，若把粒子出发点x=0处作为第0次过x 轴。求： (1)粒子第一次过x 轴时的坐标和所经历的时间。 (2)粒子第n 次过x 轴时的坐标和所经历的时间。 (3)第0次过z 轴至第n 次过x 轴的整个过程中，在x 轴方向的平均 速度v 与v 0之比。 (4)若B 2：B 1=2：1，当n 很大时，v ：v 0趋于何值? 【补充例题2】 （2012·临川一中4月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图(a )所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压，t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为U 0，反向值也为U 0，现有由质量为m 的带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ＇的速度v 0=dm T qU 30不断射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响。试求： （1）粒子打出电场时位置离O ＇点的距离范围 （2）粒子射出电场时的速度大小及方向 （3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大？专题关注】磁聚焦与磁扩散(含答案)
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第九章 电磁学压轴大题增分策略(三)——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点
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