第九章 电磁学压轴大题增分策略(三)——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点

第九章“冲刺双一流”深化内容

电磁学压轴大题增分策略(三)——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。

不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度方向都相同。

例如：当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。

[例1]真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方

向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O

点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用

忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？

[解析]如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，

入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组成边长

为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与电子射出

的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即

所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。

[答案]见解析

[例2]如图所示，真空中有一个半径r＝0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×10－3 T，方向垂直于纸面向外，在x＝1 m和x＝2 m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×103N/C。在x＝3 m处有一垂

直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷q

m＝1×10

9 C/kg，且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：

(1)沿y 轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间；

(2)速度方向与y 轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；

(3)(2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

[解析] (1)由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R ＝r ＝0.5 m ，由Bq v ＝m v 2

R ，可得粒子进入电场时的速度为

v ＝qBR m ＝1×109×2×10－

3×0.5 m/s ＝1×106 m/s 。 在磁场中运动的时间为

t 1＝14T ＝πm 2Bq ＝ 3.142×109

×2×10

－3 s ＝7.85×10－7 s 。 (2)粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O 、C 以及两圆的圆心O 1、O 2组成菱形，CO 2和y 轴平行，所以v 和x 轴平行向右，如图所示。

(3)粒子在磁场中转过120°角后从C 点离开磁场，速度方向和x 轴平行，做直线运动，再垂直电场线进入电场，如图所示：

在电场中的加速度大小为：

a ＝Eq

m ＝1.5×103×1×109 m/s 2＝1.5×1012 m/s 2。 粒子穿出电场时有：

v y ＝at 2＝a ×Δx

v ＝1.5×106 m/s ，

tan α＝v y

v x＝

1.5×106

1×106

＝1.5。

在磁场中y1＝1.5r＝1.5×0.5 m＝0.75 m。在电场中侧移为：

y2＝1

2at2

2＝1

2×1.5×10

12×

?

?

?

?

1

1×106

2 m＝0.75 m。

飞出电场后粒子做匀速直线运动

y3＝Δx tan α＝1×1.5 m＝1.5 m，

y＝y1＋y2＋y3＝0.75 m＋0.75 m＋1.5 m＝3 m。

则该发光点的坐标为(3 m,3 m)。

[答案](1)1×106 m/s7.85×10－7 s(2)与x轴平行向右(3)(3 m,3 m)

速度相同的不同带电粒子进入圆形匀强磁场后，汇聚于同一点。

例如：当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图所示。

[例3]真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向

垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示，速率相

同，方向都沿Ox方向的不同电子，在磁场中运动的圆周轨迹半径

也为r。进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开

磁场的位置有何特征？

[解析]由A点进入磁场的电子，其圆周轨道和圆形磁场的两交点以及两圆心组成边长为r的菱形，v0和AO1垂直，所以AO1的对边也和v0垂直，即AO1的对边和Ox方向垂直，所以AO1的对边即为O2O，电子从O点离开磁场，因此，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置都在O点。

[答案]见解析

[例4]如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0，现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向

O 1O 2的速度v 0＝

3qu 0T

3dm

射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响。求：

(1)粒子射出电场时位置离O 2点的距离范围及对应的速度；

(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

[解析] (1)当粒子由t ＝nT 时刻进入电场，向下侧移最大， 则：s 1＝qu 02dm ????2T 32＋qu 0dm ????2T 3????T 3－qu 02dm ????T 32＝7qu 0T 2

18dm 。

当粒子由t ＝nT ＋2T

3时刻进入电场，向上侧移最大，

则s 2＝qu 02dm ????T 32＝qu 0T 2

18dm

，

在距离O 2中点下方7qu 0T 218dm 至上方qu 0T 2

18dm 的范围内有粒子射出。

打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为 v y ＝

u 0q dm ·T 3＝u 0qT

3dm

。 所以射出速度大小为 v ＝v 02＋v y 2＝

????3u 0qT 3dm 2＋????u 0qT 3dm 2＝2u 0qT 3dm

。 设速度方向与v 0的夹角为θ， 则tan θ＝v y v 0＝1

3，

θ＝30°。

(2)要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，

粒子宽度

D ＝(s 1＋s 2)cos 30°，

即D ＝4qu 0T 29dm cos 30°＝23qu 0T 2

9dm

。

故磁场区域的最小半径为 r ＝D 2＝3qu 0T 29dm

。 而粒子在磁场中做圆周运动有 q v B ＝m v 2r 。 解得B ＝

23m

qT

。 [答案] (1)见解析 (2)3qu 0T 29dm 23m

qT

[提能增分集训] 1．电子质量为m 、电荷量为e ，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v 0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，求：

(1)荧光屏上光斑的长度； (2)所加磁场范围的最小面积。

解析：(1)如图所示，初速度沿x 轴正方向的电子，沿弧OB 运

动到P 点，为荧光屏上光斑的最高点，初速度沿y 轴正方向的电子，沿弧OC 运动到Q 点，为荧光屏上光斑的最低点，

电子在磁场中，由e v 0B ＝m v 02R 得R ＝m v 0

eB ， 光斑长度PQ ＝R ＝m v 0

eB 。

(2)所加磁场的最小面积是以O ′为圆心、R 为半径的斜线部分，其面积大小为 S ＝34πR 2＋R 2－14πR 2＝π

2＋1???

?m v 0eB 2。

答案：(1)m v 0eB (2)????π2＋1????m v 0eB 2

2.如图所示，质量m ＝8.0×10

－25

kg 、电荷量q ＝1.6×10

－15

C 的带

正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v 0＝2.0×107 m/s 。现在某一区域内加一垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.1 T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平

行的荧光屏MN 上，并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。求：(π＝3.14)

(1)粒子从y 轴穿过的范围； (2)荧光屏上光斑的长度；

(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN 上的粒子运动的时间差； (4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示)。 解析：设粒子在磁场中运动的半径为R ， 由牛顿第二定律得 q v 0B ＝m v 02R ，

即R ＝m v 0

qB 解得R ＝0.1 m

当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行，且都沿－x 方向，所加磁场为圆形，半径为R ＝0.1 m 。

(1)如图所示，初速度沿y 轴正方向的粒子直接过y 轴。

速度方向与x 轴正方向成30°角的粒子，转过的圆心角∠OO 2B 为150°，

则∠OO 2A ＝120°

粒子从y 轴穿过的范围为0～3R ， 即0～0.17 m 。

(2)初速度沿y 轴正方向的粒子，y C ＝R 由(1)知∠O 2OA ＝θ＝30° y B ＝R ＋R cos θ 则荧光屏上光斑的长度 l ＝y B －y C ＝0.09 m 。 (3)粒子运动的周期 T ＝

2πR v 0

＝2πm qB ＝π×10－

8 s

从B 点和C 点射出的粒子在磁场中运动的时间差 t 1＝

512T －14T ＝16

T 出磁场后，打到荧光屏上的时间差 t 2＝R 2v 0

从最高点和最低点打到荧光屏MN 上的粒子运动的时间差 t ＝t 1＋t 2＝7.7×10－

9 s 。

(4)如图阴影部分所示。

答案：(1)0～0.17 m (2)0.09 m (3)7.7×10－

9 s

(4)见解析

3．设在某一平面内有P 1、P 2两点，由P 1点向平面内各个方向发射速率均为v 0的电子。请设计一种匀强磁场分布，使得由P 1点发出的所有电子都能够汇集到P 2点。电子电量为e ，质量为m 。

解析：如图所示，过P 1点做2个圆，和直线P 1P 2相切于P 1点，圆的半径都是R 。圆内分布有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于圆平面，由P 1点向平面内各个方向发射速率均为v 0的电子，电子做匀速圆周运动的半径也是R ，即满足R ＝m v 0

Be ，则电子离开圆形磁场时速度方向和直线P 1P 2平行。过P 2点做2个圆，和直线P 1P 2相切于P 2点。圆周半径也是R ，圆内分布有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于圆平面。电子进入这2个圆形磁场区域后，将汇聚到P 2点，其电子运动轨迹如图所示。

答案：见解析