分块矩阵的方法,技巧与应用

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矩阵的求法技巧

矩阵的求法技巧矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、几何学、物理学等领域。

在矩阵的求法中，有许多技巧和方法可以帮助我们更高效地进行计算和解决问题。

下面将详细介绍一些常用的矩阵求法技巧。

1. 矩阵的加法和减法：两个矩阵可以进行加法和减法运算，只需要将对应位置的元素进行相加或相减。

例如，给定两个矩阵A和B：A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]B = [b11, b12, b13; b21, b22, b23; b31, b32, b33]则A + B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13; a21+b21, a22+b22,a23+b23; a31+b31, a32+b32, a33+b33]，A - B的计算方法类似。

2. 矩阵的数乘：矩阵也可以与一个标量进行数乘运算，即将矩阵中的每个元素都乘以这个标量。

例如，给定一个矩阵A和一个标量c：A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]则cA = [ca11, ca12, ca13; ca21, ca22, ca23; ca31, ca32, ca33]。

3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是一种较为复杂的操作，在实际应用中非常常见。

设A为m×n的矩阵，B为n×p的矩阵，则它们的乘积C = AB是一个m×p的矩阵。

矩阵乘法的运算规则如下：Cij = a1i ×b1j + a2i ×b2j + ... + ani ×bnj其中，A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和构成C的元素Cij。

4. 矩阵的转置：对于一个矩阵A，将A的行和列互换位置得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。

例如，对于一个矩阵A：A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]其转置矩阵为：AT = [a11, a21, a31; a12, a22, a32; a13, a23, a33]。

MATLAB中的矩阵分解与求逆技巧

MATLAB中的矩阵分解与求逆技巧Matlab作为一种强大的数学软件，提供了许多用于矩阵运算的函数和工具包。

其中，矩阵的分解和求逆操作在很多数学和工程领域中非常常见且重要。

本文将介绍一些在Matlab中进行矩阵分解和求逆的技巧和方法。

1. 矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵表示为其他几个矩阵乘积的形式。

在Matlab中，常用的矩阵分解方法有LU分解、QR分解、奇异值分解（SVD）等。

这些分解方法在求解线性方程组、矩阵近似和特征值计算等问题中有广泛的应用。

LU分解是一种将矩阵表示为下三角和上三角矩阵乘积的分解方法。

在Matlab 中，可以使用lu函数来进行LU分解。

例如，对于一个矩阵A，可以使用[l,u] =lu(A)来进行LU分解。

分解后的下三角矩阵可以通过l进行访问，上三角矩阵可以通过u进行访问。

QR分解是将矩阵表示为正交矩阵和上三角矩阵乘积的分解方法。

在Matlab中，可以使用qr函数来进行QR分解。

例如，对于一个矩阵A，可以使用[q,r] = qr(A)进行QR分解。

分解后的正交矩阵可以通过q进行访问，上三角矩阵可以通过r进行访问。

奇异值分解（SVD）是将矩阵表示为三个特殊矩阵乘积的分解方法。

在Matlab 中，可以使用svd函数来进行SVD分解。

例如，对于一个矩阵A，可以使用[U,S,V] = svd(A)进行SVD分解。

分解后得到的矩阵U、S和V可以分别通过U、S 和V进行访问。

这些矩阵分解方法在Matlab中的应用非常广泛。

通过对矩阵的分解，可以更好地理解矩阵的结构和性质，并为相关问题的求解提供便利。

2. 矩阵求逆矩阵求逆是将一个矩阵转化为其逆矩阵的操作。

在Matlab中，可以使用inv函数来进行矩阵求逆。

例如，对于一个矩阵A，可以使用A_inv = inv(A)来求得其逆矩阵。

然而，需要注意的是，并非所有矩阵都是可逆的。

可逆矩阵必须满足矩阵的行列式不为零。

在实际应用中，可以使用det函数来计算矩阵的行列式。

矩阵的广义初等变换及应用

设 A, B, C , D ∈ M n ( F ) ,证明
A B C D B A D C C D A B D C B A
M =
=
1 8 2 0 −2 14 2 − 2 11 = 1 ⋅ 14 − 20 11 8 − ⋅ [0 − 20 2 2] −2 = 14 −5 = 118 − 24
−
1 B, 2
A 0
0 A B → B 0 B
→
A 0
A + B B
万方数据
芜湖职业技术学院学报 2005 年第 7 卷第 2 期
57
A 0 A A + B ∴ r ≥ r(A+B) 0 B =r 0 B
对此分块矩阵
则
A B C D
实施一次广义初等变换后得到的矩阵称为广义初等矩阵广义初等矩阵有下面三种形式 1
0 E n Em 0
B A 广义初等变换 → −1 0 D − CA B
由行列式的性质知在此变换过程中矩阵 M 作成的行列式的值不变,即
→
−E E
− ( A − B) ( A − B) 1 1 [( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ] [( A + B ) −1 + ( A − B ) −1 ] 2 2
−1 −1
r(A)+r(B) ≤ n 证明构造分块矩阵
E B E 0 E → → → B E A − AB 0 0 0 0 0
B −1 = 1 B B = 1 A − B −1 4 B − B 4

第4章_矩阵的分解 2 矩阵分析简明教程曾祥金张亮

➢ U1 的列向量是R（A）的标准正交基。右奇异向量 ➢ U2的列向量是R （A）的标准正交基。
例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解
计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。
转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一
个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵
矩阵的分块
常见的矩阵标准形与分解
常见的标准形
等价标准形相似标准形合同标准形
本节分解：
Amn
pmm
Ir
0
0 0Qnn
Ann PJAP1
Ann CCT
AT=A
三角分解
满秩分解
等价标准形
可对角化矩阵的谱分解
相似标准形
4.1 LU分解(图灵Turing, 1948)
LU分解：AFnn，存在下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
Remark: 这样的分解称之为QR分解。
Application: 可以求最小二乘解
实施步骤
A (1,2,...,n) 1, 2 ,..., n 1, 2,..., n
G-S正交化单位化
1
A
(1,2
,...,
n
)
(
1,
2
,...,
n
)
QR
(1, 1 ) 2
... ...
( n , ( n ,
Problem: 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分
解: AC m×n，酉矩阵UC m×m, VC
n×n ,使得A=U VH。
d1
矩阵A等价于=
D
0
0 0mn
D
d2
d
r

矩阵的秩——精选推荐

课程：高等代数第2.6.1页课程：高等代数第2.6.2页课程：高等代数第2.6.3页课程：高等代数第2.6.4页课程：高等代数第2.6.5页编者按：大地涵藏万物，孕育生命，被誉为人类的母亲。

但是，近年来，伴随我国工业化的快速发展，大地不断遭到各种污染的伤害。

仅仅因土壤污染防治不足、环境监管乏力，导致的食品药品安全事件就频频发生，2008年以来，全国已发生百余起重大污染事故。

目前我国大地污染现状严峻，成因十分复杂，形成令人扼腕的“大地之殇”。

《经济参考报》以此为主题，探寻大地污染背后所触及的我国农业、工业、城市化进程中关于生存与发展的一系列深层矛盾与两难抉择，并以“大地之殇”系列报道的形式在“深度”版推出，敬请关注。

大地之殇一·黑土地之悲占全国粮食总产五分之一的东北黑土区是我国最重要的商品粮基地，但一个并不为多数人了解的严峻事实是，支撑粮食产量的黑土层却在过去半个多世纪里减少了50%，并在继续变薄，几百年才形成一厘米的黑土层正以每年近一厘米的速度消失。

照此速度，部分黑土层或将在几十年后消失殆尽，东北这一中国最大粮仓的产能也将遭受无法挽回的损失。

□记者孙彬管建涛连振祥吉哲鹏娄辰李松南京哈尔滨兰州昆明济南重庆报道毒土：GDP至上的恶果当前，我国土壤污染出现了有毒化工和重金属污染由工业向农业转移、由城区向农村转移、由地表向地下转移、由上游向下游转移、由水土污染向食品链转移的趋势，逐步积累的污染正在演变成污染事故的频繁爆发。

日益加剧的污染趋势可能还要持续30年“目前，我国土壤污染呈日趋加剧的态势，防治形势十分严峻。

”多年来，中国土壤学会副理事长、中国农业科学院研究员张维理教授一直关注我国土壤污染问题“我国土壤污染呈现一种十分复杂的特点，呈现新老污染物并存、无机有机污染混合的局面。

”“现在我国土壤污染比各国都要严重，日益加剧的污染趋势可能还要持续30年。

”中国土壤学专家，南京农业大学教授潘根兴告诉《经济参考报》记者，这些污染包括随经济发展日益普遍的重金属污染、以点状为主的化工污染、塑料电子废弃物污染及农业污染等。

矩阵求解问题及解题技巧

矩阵求解问题及解题技巧矩阵求解问题是线性代数中一个非常重要的研究内容，它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有广泛的应用。

本文将介绍矩阵求解问题的基本概念和解题技巧。

一、矩阵求解问题的基本概念：1. 线性方程组：矩阵求解问题通常涉及线性方程组。

线性方程组是一组形如：A*x = b的方程组，其中A是一个已知的矩阵，x是未知的变量向量，b是已知的常数向量。

2. 矩阵的行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值。

对于一个n×n的矩阵A，它的行列式记为det(A)或|A|。

3. 逆矩阵：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个方阵B，使得A*B=B*A=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记为A的逆矩阵。

二、矩阵求解问题的解题技巧：1. 克拉默法则：克拉默法则是一种求解线性方程组的方法。

对于一个n 阶方程组，如果其系数矩阵A的行列式不为零，那么方程组有唯一解，并且这个解可以用克拉默法则求得。

克拉默法则的具体步骤是：- 计算矩阵A的行列式det(A)；- 将矩阵A的第i列替换为方程组的常数向量b，得到矩阵Ai；- 计算Ai的行列式det(Ai)；- 第i个未知量的解xi等于det(Ai)除以det(A)。

克拉默法则的优点是简单易懂，但计算量大，不适用于大规模的线性方程组求解。

2. LU分解法：LU分解法是一种将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法。

具体步骤如下：- 首先将A分解为L+U，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；- 解得方程Ly=b，求得y；- 解得方程Ux=y，求得x。

LU分解法的优点是计算量小，适用于大规模的线性方程组求解。

3. 矩阵的逆：如果一个方阵A可逆，那么可以通过计算其逆矩阵A^{-1}来求解线性方程组。

具体步骤如下：- 计算A的逆矩阵A^{-1}；- 解得方程A*x=b，求得x，即x=A^{-1}*b。

矩阵的逆法求解线性方程组的优点是简单快速，但仅适用于A可逆的情况。

高等数学期末终极复习指南(复旦整理)

高等数学期末复习指南综述：以历年考题为导向，梳理高数复习脉络，总结各部分内容的方法技巧。

适用范围：高等数学期末考试的备考，包括文科高等数学。

基本内容极限与函数微分与导数一元函数积分学矩阵与线性方程组解析几何初步微分方程常用公式、技巧一、极限与函数基本概念：函数的定义域、值域，数列极限的概念、性质、运算法则、判定方法，无穷大量、无穷小量的比较，初等函数与其反函数，函数连续性备考重点：无穷小量与无穷大量，极限判定、运算法则，函数极限（尤其初等函数组合的极限）。

常见题型：对这章的直接考察，基本上是在试卷的头两道题。

方法与技巧1.熟练掌握初等函数的等价无穷大量、等价无穷小量2.熟练进行适当的变形i. 将sec(x) cot(x) 等化成 sin(x) cos(x) tan(x) 将三角函数的幂次利用降阶公式进行适当降阶对于二倍角、三倍角一般不必化简直接利用等价量进行代换掌握三角函数和差化积ii. 考虑多项式的等价无穷大，一般只用看最高幂次考虑多项式的等价无穷小，只看最小幂次，有常数的看常数。

iii. 许多含1/x的函数，等价无穷小与等价无穷大是可以灵活转换的，如sin(1/x),e^(1/x)以x的幂次为自变量的函数，把幂次看做整体，如ln(1+x^2),sin(x^2)iv. 指数含有x的，利用对数函数把指数上的x拿下来，再利用指数函数连续性直接求指数的极限v. 对于根式，利用平方差公式寻找适当变形vi.熟练掌握与e指数定义有关的常见极限及其变形3.利用L’Hospital法则（洛必达法则）、求导公式：对于分式形式，0/0型常用洛必达法则上下同时求导，但注意前提是求导之后应有极限。

对于求导比较难算的根式、复合函数，建议先考虑其他方法。

使用洛必达法则之前，有时需要先适当变形，变成容易上下求导的形式。

对于分式形式，且已经化成了类似于求导的形式，可以变形之后利用导函数来求极限。

4.对于数列极限，还可以考虑夹逼法例如这个考题，解答如下大家注意如果把问题中的k换成k平方，就不一样了，需要用到积分的定义来理解。

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分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的

一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。这就是矩阵的分块。设A是一个m*n矩阵

111212122212nn

mmmn

aaaaaaAaaa





用若干横线将它分成s块，若干竖线将它分成r块,于是有*rs的分块矩阵 111212121212ss

rrrs

AAAAAAAAAA





其中ijA表示一个矩阵。关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵

1. 导言

在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。 2. 1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块 ABCD

，

其中A为*mm矩阵块，D为*nn矩阵块。例:在矩阵

212

10000010012101101EAAE









中,2E代表2级单位矩阵,而

11211A



,0000O

在矩阵

11122122

1032120124111153BBBBB









中,

111012B

,123201B,

211011B ,224120B.

在计算AB时,把A,B都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是

2111211121221221112111222

0EBBBB

ABAEBBABBABB

 其中 11121121010111211341024021111ABB











11222123241110120304111332053ABB











把上述计算结果作为小块的元素代入,得到 1032120124011153AB





通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。下面具体讨论矩阵分块方法。 2.分块矩阵的加法和乘法

设(),iksnkjnmAaBb,把,AB分成一些小矩阵: 1211112122122212=lll

ttttl

nnnsAAAsAAAA

sAAA



, (1) 1211112122122212B=rrr

ltttr

mmmnBBBnBBB

nBBB



, (2)

其中每个ijA是*ijsn小矩阵.于是有 1211112122122212C=rrr

ttttr

mmmsCCCsCCC

sCCC



, (3)

其中 1122110011,2,,;1,2,,r.pqpqpqpllqlpkkqkCABABABABptq









 再讨论矩阵线性运算的分块加法. 设(),iksnkjnmAaBb,把,AB分成一些小矩阵: 1211121121222212=ttt

rrrtr

nnnAAAm

AAAm





 1211121121222212B=trr

tttrr

nnnBBBm

BBBm







其中每个ijA是*ijsn小矩阵.设,,klP有 1211121121222212C=kA+B=tll

tttlr

nnnCCCm

CCCm







， (4)

其中， 1,2,,;1,2,,.pqpqpqCkAlBprqt

注意:在分块(1),(2)中矩阵A的列的分发必须与矩阵B的行的分发相同。可以看到，分块矩阵有许多方便之处。常常在分块之后，矩阵间的相互关系会看的更清楚。 3.利用矩阵分块求逆矩阵

1111111111110000kkkkkr

rrkrrr

aaaaAO

DccbbCBccbc









其中，,AB分别是k级和r级可逆矩阵，C是*rk矩阵，0是*kr零矩阵. 首先，因为 DAB，所以当A,B可逆时，D也可逆.设 111212122XXDXX





，

于是 11122122kr

XXEOAO

XXOECB







，

这里kE，rE分别表示k级和r级单位矩阵.乘出并比较等式两边，得 111211211222,,,,k

rAXEAXOCXBXOCXBXE









由第一,二式得 -111112XAXAOO，,

代入第四式,得 122XB,

代入第三式,得 11211121,BXCXCAXBCA

因此 11111AODBCAB







特别的,当CO时有 -111AOAOOBOB









一般的，形式为

000000sA





分块矩阵的方法,技巧与应用

矩阵的求法技巧

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