物理竞赛光学经典练习题

1、（28届复赛）如图所示，L 是一焦距为2R 的薄凸透镜，MN 为其主光轴。在L 的右侧与它共轴地放置两个半径皆为R 的很薄的球面镜A 和B 。每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A 、B 顶点间的距离为

R 2

3

。在B 的顶点C 处开有一个透光的小圆孔（圆心为C ），圆孔的直径为h 。现于凸透镜L 左方距L 为6R 处放一与主轴垂直的高度也为h （h<

1、 像I 与透镜L 的距离等于___________。

2、 形成像I 的光线经A 反射，直接通过小孔后经L 所成的像I 1与透镜L 的距离等于_____________________。

3、 形成像I 的光线经A 反射，再经B 反射，再经A 反射，最后通过L 成像I2，将I2的有关信息填在下表中：

4、 物PQ 发出的光经L 后未进入B 上的小圆孔C 的那一部分最后通过L 成像I3，将I3的有关信息填在下表中：

答案与评分标准： 本题20分．

1． 3R (3分) 2． 6R (3分)

第1第3空格各2分；其余3个空格全对3分，有一个错则不给这3分．

2、（27届预赛，重大出题）

3、（26届复赛）内半径为R 的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z 与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r 与z 轴垂直，则液面的方程为，式中ω为旋转角速度，g 为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反

射式天文望远镜）。

观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。

参考解答：

旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为

． (1)

由(1)式，旋转抛物面方程可表示为

． (2)

停转后液面水平静止．由液体不可压缩性，知液面上升．以下求抛物液面最低点上升的高度．

的圆柱形中占

抛物液面最低点以上的水银，在半径

、高

据体积为的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为的部分无水银．体在高度处的水平截面为圆环，利用抛物

面方程，得处圆环面积

．

(3)

将体倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为

， (4)

其高度处的水平截面为圆面，面积为 ．

(5)

由此可知

， (6)

即停转后抛物液面最低点上升 22

2r g

z ω=

2

2g f ω=

2

4r z f

=R

24R f M V M z z ()()()222ππ4M S z R r R fz =-=-V Λ22

4R r z f

-=

z ()()()22ππ4M S z r R fz S z Λ==-=2

21π24R M V R

f

Λ===

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为．凹面镜成像时，物距即所求距离，像距v 与像长分别为

， (8)

． (9)

平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为

， (10)

像距与像长分别为 ， (11)

． (12)

两像视角相同要求 ， (13)

即

， (14)

此处利用了(8)—(12)诸式．由(14)式可解得所求距离

． (15)

评分标准：本题20分.

(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分． 0y u y f

-u fu

v =

00y u

f f y y -=-

=u v 2

8R u u h u f

'=-=-v 'y 'u -v '='00y y y ='

'

-

='u v v -u v '

''

=-y u y 22

11

224u u f u R f

=--2

R u =

4、（23届复赛）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为1f 、2f 和3f 的透镜1L ,2L ,3L ，

321f f f >=；观察屏P ，它是一块带有刻度的玻璃

片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 图1

分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S ，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。

已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相

交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D 线的折射率D n ＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D 线的折射率D n '=1.7200。

1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值。

图2

参考解答：

1． 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示．各元件的作用如下：

狭缝S ：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像．

透镜L 1：与狭缝的距离为f 1，使由狭缝射来的光束经L 1后成为与圆筒轴平行的平行光束． 分光棱镜：使由L 1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束． 透镜L 2：使各种单色平行光束经L 2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）． 观察屏P ：位于L 2焦平面上，光源的谱线即在此屏上．

透镜L 3：与P 的距离≤f 3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）．

2．已知钠黄光的谱线位于P 的中央，S 的像位于L 2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间

图1

次折射时的入射角和折射角，用n 1、n 2分别表示两块棱镜对D 线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，22i r >，表明21n n >，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有D n n =1=1.5170，D n n '=2=1.7200．

由几何关系可得

122

i r α

==

（1）

12r i α+=

（2） 由折射定律可得 111sin sin i n r =

（3）

1222sin sin n i n r =

（4）

从以上各式中消去1i 、2i 、1r 和2r 得

22212sin 2n n α?

?-= ??

?

（5）

解（5）式得

()()

22

12

22124142sin n n n n -+-=??

? ??α （6）

以5170.11=n ，7200.12=n 代入，得 123.6α= （7）

图2

图3

5、（27届复赛，重大出题）正午时太阳的入射光与水平面的夹角θ=450

． 有一座房子朝南的墙上有一个直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的 高度为 H ．试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口， 并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍

的平行光．可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜； 平面镜的反射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 % ，忽略透镜表面对光的反射． 要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置．试画出你所设计的采光装置 中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距 应满足的条件.

参考解答：

方案一：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜L 1、L 2组成．透镜组置于平面镜M 后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示．

L 1、L 2的直径分别用D 1、D 2表示，其焦距的大小分别为f 1 、f 2．两透镜的距离

12d f f =+ （1）

直径与焦距应满足关系

1212

f f

D D = （2） 设射入透镜L 1的光强为10

I '，透过透镜L 1的光强为1I '，考虑到透镜L 1对光的吸收有 110

0.70I I ''=

（3） 从透镜L 1透出的光通量等于进入L 2的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L 2的光强用20I 表示，即

2

220112122I D f I f D ??== ?'??

故有

2

120

12f I I f ??

'= ???

（4）

L 22.5

图1

2

12

1020.49f I I f ??

''= ???

（5） 由于进入透镜L 1的光强10I '是平面镜M 的反射光的光强，反射光是入射光的80%，设射入装置的太阳光光强为0I ，

则

10

00.80I I '= 代入（5）式有

2

12

020.39f I I f ??

'= ???

（6） 按题设要求

2

02I I '= 代入（6）式得

2

100220.39f I I f ??= ???

从而可求得两透镜的焦距比为

1

2

2.26f f = （7） L 2的直径应等于圆形窗户的直径W ，即210cm D =，由（2）式得

1

12

2

22.6cm f D D f == （8） 由图可知，平面镜M 参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为

1/211.3cm b D == （9）

半长轴长度为

1(2sin 22.5)29.5cm a D == （10）

根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M 的中心等高，高度为H ． 评分标准：本题20分．

作图8分（含元件及其相对方位，光路），求得（7）、（8）两式共10分，（9）、（10）式共2分．

方案二：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜L 1、L 2组成，透镜组置于平面镜M 前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示．

对透镜的参数要求与方案一相同．

但反射镜M 的半短轴、半长轴的长度分别为

2/2 5.0cm b D == 和2(2sin 22.5)13.1cm a D ==

评分标准：参照方案一．

方案三、采光装置由平面镜M 和一个凸透镜L 1、一个凹透镜L 2组成，透镜组置于平面镜M 后面（也可在M 前面），装置中各元件的相对方位及光路图如图3所示．

有关参数与方案一相同，但两透镜的距离

12d f f =-

如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同．

评分标准：参照方案一．

1

L 22.5

图 3

22.5

图2

6、（24届复赛）图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz 平面。y 、z 轴的方向如图所示。线光源S 通过z 轴，双缝S 1、S 2对称分布在z 轴两侧，它们以及屏P 都垂直于纸面。双缝间的距离为d ，光源S 到双缝的距离为l ，双缝到屏的距离为D ，D d <<，l d <<。

图1

1.从z 轴上的线光源S 出发经S 1、S 2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S ′形成的另一套干涉条纹，S ′位于垂直于z 轴的方向上且与S 平行，两者相距s δ，则由线光源S ′出发分别经S 1、S 2产生的零级亮纹

'0P ，'

0P 与P 0的距离___________________________________=y δ

2.当光源宽度为ω的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为λ。当ω增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度______________________________=ω

3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角θ就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a 、 a ′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d 。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h 。双孔屏到观察屏之间的距离是D 。a 、 a ′和b 、 b ′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a 、 a ′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是λ，试导出星体上角直径θ的计算式。

注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为ω的矩形光源处理。

图2

参考解答：

1．

s l D δ 2．λd

l

附1、2两问的参考解法：

1．求S '经双缝产生的干涉图像的零级亮纹0P '的位置

设0P '点的坐标为0

y '，它也就是光源S '与S 分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即

000

00P P y y y δ'''==-= 由双缝到0P '点的光程差12010S P S P ''?=-，从1S 作20S P '的垂线交于H 点，三角形00OP

P '与三角形12S HS 相似，因D d >>， 则

10d d

y y D D

δ'?=

= （附1）

从2S 作1S S '的垂线交于G ，S '到双缝的光程差

三角形S S O '与三角形12S GS 相似，因l d >

>，则

()

2211S S d

S G GS GS s l

δ''?=-+=-=-

（附3）

对满足零光程差条件的0P '而言， 22011012S S 0d d s

S S P S S P y D l

δδ????''''+-+=?+?=-=???? 得

D

y s l δδ=

? （附4）

2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为

D y d

λ?= （附5）

s δ值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距y ?均如（5）式所示．宽

度为w 的扩展光源是由一系列s δ值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w 时，对于光源最边缘点有

s w δ=

（附6）

代入（4）式

S

若

y y δ?=

（附8）

则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距．由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨．由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度 l w d

λ=

（附9）

3． 解法一

如图2所示，

aa '是由扩展光源上端边缘发出的平行光，bb '是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设ab 光

线交

于1M 点，a b ''光线交于2M 点．aa '光束中的光线a 经过131M M S P 到达观察屏上P 点；光线a '经过242M M S P

到达观察屏上P 点，两相干光波产生干涉，在

观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束bb '在观察

屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在0和θ之间不同角度入射的平行光束，经迈

克尔

逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光aa '与

bb '分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度．

由对称性考虑，平行光束aa '中两条光线a 和a '在观察屏上0P 的光程差为0，即平行光aa '产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在0P 处．现讨论以倾角θ斜入射的平行光束bb '通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束bb '中的光线b 入射M 1的光线经M 3反射到达1S ，光线b 从1M 点算起，所经光程为1331M M M S +；光线b '入射M 2的光线经M 4反射到达2S ，光线b '从2M 点算起，所经光程为2442M M M S +．由对称性可得

13324421M M M S M M M S +=+

（1）

也就是说从M 1和M 2算起，光线b 和b '到达1S 与2S 的光程是相等的，但是光线b 和b '在到达M 1和M 2时，二者的相位却不同．由2M 作斜入射光线1bM 的垂线交H 点，2M 与H 相位相等，因此，斜入射的两条平行光线b 和b '到达S 1 和S 2时的相位差是光程差1HM 引起的

[][]1

2421311M M S HM M S HM h θ'?=-=-=- （2）

从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y （坐标原点取在0P 上）的P 点上引起的光程差

1

1d

h y D

θ'?=?+?≈-+ （3）

其零级亮纹所在位置0P '对应的光程差0?=，故0P '的坐标

D

y h d θ'=? （4）

这也就是平行光aa '与bb '产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离

D y h d

δθ=? （5）

P

P

D

y d

λ?=

（6） 当二者错开一个条纹间隔时，即y y δ?=，代入（6）式（星光波长采用），得

h

λ

θ=

（7）

远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M 1、M 2距离h ，当屏幕上条纹消失时，记下此时h 的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径θ的大小．

注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h 使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径 1.22h

λ

θ=．

解法二

如图3所示，对M 1、M 3而言，找出1S 对3M 的中间像1S ''和对1M 所成的像1

S '以及光线a 在M 1、M 3的反射点F 和G ．由物像的对称性可知11GS GS ''=，11FS FS '''=，故

11FS FG GS '=+

即从光线a 上一点到

1S '和到1S 的光程相

等．同理可证，从光线b 上一点到1S '和到1S 的光程相等；对M 2、M 4（未画出）而言，

从光线a '上一点到2

S '和到2S 的光程相等；

从光线b '上一点到2

S '和到2S 的光程相等．

因此，光线a 到1S 处与光线a '到2S 处引起的光程差a l ?与没有反射镜M 1、M 2时两光线到1S '、2

S '处的光程相等．因a 、a '垂直双孔屏，故 a 0l ?= （1） 通过双孔1S 、2S 后，光线a 、a '在0P 的光程差

a

0l '?= （2）

平行光束b b '斜入射时，可从1S '、2

S '处求b 、b '两光线到达1S 、2S 处的光程差b l ?．由2S '作1bS '的垂线2S H '（见图4），

1sin b l HS h h θθ'?==≈

（3）

说明光线b '超前于光线b ．

1S '

11' 图3

图4

0'

通过双孔1S 、2S 后光线b 、b '射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于0P 处，因为二者到达双孔前光线b '已超前了光线b ，如图5所示，光线b '经过2S 孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b 在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹．该点所对应的b '经过2S 孔后多走的光程

2010sin b l S P S P d d ??'''?=-=≈

（4）

从b b

l l '?=?可求得平行光束bb '经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置0P '．由（3）式和（4）式，得

h

d

?θ=

（5）

0P '的位置坐标

tan y D D ??'=≈ （6）

由小到大调节反射镜M 1、M 2之间的距离（也就是1S '、2

S '之间的距离）h ，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h 的值.这时相干光bb '在屏幕上零级亮纹位置0P '与0P 的距离

0000P P y y D δ?''=-==

（7）

当00P P '等于条纹间隔y ?，即

00D

P P d

λ'=

（8） 代入（7）式得

d

λ

?=

（9）

由（5）、（9）两式，得 h

λ

θ=

（10）

解法三

根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为λd

l

w =，从而扩展光源对双缝中心的张角为

d

l w λ

θ==

' （1）

如图3所示，对M 1、M 3而言，找出1S 对3M 的中间像1S ''和对1M 所成的像'1S 以及光线a 在M 1、M 3的反射点F 和G ．由物像的对称性可知11GS GS ''=，11FS FS '''=，故

11FS FG GS '=+

即从光线a 上一点到1S '和到1S 的光程相等．同理可证，从光线b 上一点到1S '和到1S 的光程相等；对M 2、M 4（未画

出）而言，从光线a '上一点到2

S '和到2S 的光程相等；从光线b '上一点到2S '和到2S 的光程相等．从分析可知，1S '为1S 经M 3、M 1反射的等效像点，2

S '为2S 经M 4、M 2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔1S '、2S '的等效杨氏双缝干涉，其缝距为

h S S =''21

（2）

由小到大调节反射镜M 1、M 2之间的距离（也就是1S '、2

S '之间的距离）h ，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h 直接替换（1）式中的d ，可得计算星体角直径的公式

h

λ

θ=

（3）

得到与前两种解法相同的结果．

7、（21届复赛）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．

如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan ()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对

透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．

2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．

答案：1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z 轴，三个光心O 1、O 2、O 3的连线平行于3个光源的连线，O 2位于z 轴上，如图1所示．图中M M '表示组合透镜的平面，1S '、2

S '、3

S '为三个光束中心光线与该平面的交点． 22O S ＝ u 就是物距．根据透镜成像公式

f

u L u 1

11=-+

(1) 可解得

]4[2

1

2fL L L u -±=

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有 2u tan α ≤h ，即u ≤2h ．在上式中取“－”号，代入f 和L 的值，算得

h u )236(-=≈1.757h (2)

此解满足上面的条件．

分别作3个点光源与P 点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P 点，3个透镜的光心O 1、O 2、O 3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 h h h L u L O O O O 854.0)24

1

21(3221≈+=-=

= (3)

即光心O 1的位置应在1

S '之下与1S '的距离为 h O O h O S 146.02111

=-='

同理，O 3的位置应在3

S '之上与3S '的距离为0.146h 处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h ，才能使S 1、S 2、S 3都能成像于P 点．

2．现在讨论如何把三个透镜L 1、L 2、L 3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h ，将它们的光心分别放置到O 1、O 2、O 3处时，由于21O O ＝32O O ＝0.854h <2r ，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起

来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部h h

为M M '平面）．图中C 1、C 2表示L 1、L 2的边缘，1

S '、2S '为光束中心光线与透镜的交点，W 1、W 2分别为C 1、C 2与O 1O 2的交点．

1

S '为圆心的圆1和以2S '（与O 2重合）为圆心的圆2分别是光源S 1和S 2投射到L 1和L 2时产生的光斑的边缘，其半径均为

h u 439.0tan ==αρ (5)

根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K 点（见图2）是否落在L 1上？由几何关系可知

()h r h h S O K O 75.0585.0146.0439.01

11=<=+='+=ρ (6) 故从S 1发出的光束能全部进入L 1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L 1和L 2进行加工时必须保留圆1和圆2

内的透镜部分．

下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O 1和O 2之间作垂直于O 1O 2且分别与圆1和圆2相切的切线Q Q '和N N '．若沿位于Q Q '和N N '之间且与它们平行的任意直线T T '对透镜L 1和L 2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L 2的下半部和L 3进行切割，然后将L 2的下半部和L 3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S 1、S 2、S 3发出的全部光线都会聚到P 点．

现在计算Q Q '和N N '的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L 1被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 1，透镜L 2被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 2，如图2所示，则对任意一条切割线T T '， x 1、x 2之和为

h O O r x x d 646.022121=-=+=

（7）

由于T T '必须在Q Q '和N N '之间，从图2可看出，沿Q Q '切割时，x 1达最大值(x 1M )，x 2达最小值(x 2m )，

ρ-'+=11

1O S r x M 代入r ，ρ 和11

O S '的值，得

h x M 457.01=

(8) 代入(7)式，得

h x d x M m 189.012=-=

(9)

由图2可看出，沿N N '切割时，x 2达最大值(x 2M )，x 1达最小值(x 1m )， ρ-=r x M 2

代入r 和ρ 的值，得

h x M 311.02= (10) h x d x M m 335.021=-=

（11） 由对称性，对L 3的加工与对L 1相同，对L 2下半部的加工与对上半部的加工相同．

评分标准：

本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，

第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．

如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O 1O 2=O 1O 2=0.854h ，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．

8、（32届预赛）如示意图所示，一垂直放置的高为15.0 cm的圆柱形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A 点到容器底平面中心B点的距离为8.0 cm，底部上沿为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75 cm．已知空气和玻璃容器的折射率分别是n0＝1.0和n1＝1.56．只考虑近轴光线成像．已知：当λ＜＜1时，sinλ≈λ．

（1）当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上

所成的像的位置，并判断像的虚实；

（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面

折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实．