1-4极限的基本性质1
数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续
第 函数 极限 连续第一节 函 数1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性定义：单调增： ).()(2121x f x f x x <⇒< 单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤⇒< 判定：（1）定义：(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则 a) )(0)(x f x f ⇔≥'单调不减； b) )(0)(x f x f ⇒>'单调增； 2)奇偶性定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义：(2）设)(x f 可导，则：a))(x f 是奇函数⇒ )(x f '是偶函数；b))(x f 是偶函数⇒ )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃则称)(x f 在I 上有界。
判定：（1）定义：（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ⇒在],[b a 上有界；（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ⇒在）（b a ,上有界；（4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ⇒在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数:常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。
了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.题型一 复合函数例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a(C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B)例1．2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==ϕ且,0)(≥x ϕ求)(x ϕ及其定义域。
1-1 常数项级数的概念、性质、收敛性
则 lim σ n = lim sn+ k − lim sk = s − sk . n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
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性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) + σ 1 = s2 , σ 2 = s5 , σ 3 = s9 , , σ m = sn ,
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例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n = a + aq + aq 2 + ∑
n= 0
∞
+ aq n +
( a ≠ 0)
的收敛性.
解 如果 q ≠ 1时
sn = a + aq + aq 2 +
n
+ aq n−1
a − aq a aq n = = − , 1− q 1− q 1− q
18
注：定理1.1的否定说法：级数发散的 充要条件是：存在某个 ε 0
> 0 ，对任
何自然数 N ， n。＞N及任意 的正整 ∃ 数P。，使
n + P0
k = n +1
∑u
k
≥ ε0
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1 例 3 证明调和级数 ∑ 发散。 n =1 n
【证】取
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第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限区间在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b [a，b]开区间a＜x＜b （a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数x (D为非空实数集)函数y=f(x)、y=F(x) DD为函数的定义域。
通常x叫做自变量，y叫做因变量。
函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义域中含有0，则F(0)=0。
f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
教师资格《(初中)数学》三色速记手册(1)
红色：表示重难点/蓝色：表示易错点/绿色：表示理解点第一部分数学学科知识第一章中学数学基础知识【考点一】集合集合的基本概念1、集合的含义：由一些对象组成的一个整体称为集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中的元素的三个特性确定性，互异性，无序性3、集合的表示列举法，描述法，Venn图集合的基本关系1、元素与集合的关系属于∈不属于2、集合与集合的关系集合的基本运算【考点二】简易逻辑逻辑联结词：或且非p命题：x=0，q命题：y=0简单命题+逻辑联结词=复合命题命题定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。
（根据命题可知一个命题不是真命题就是假命题）命题的四种形式与相互关系：注：互为逆否命题的两个命题同真同假。
互为逆命题或否命题的两个命题真假互不相关。
充要条件常用逻辑用语—量词“任意一个”“一切”等表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词，表示符号：。
含有全称量词的命题叫全称命题。
“存在一个”“至少有一个”等表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，表示符号：。
含有存在量词的命题叫特称命题。
所有正方形都是矩形。
每一个有理数都能写成分数的形式。
有些三角形是直角三角形。
存在一个实数x，使得x2+x-1=0。
全称命题与特称命题的否定（非否命题-注意区分）技巧：改量词，只否定结论写出下面命题的否命题【考点三】算法初步程序框图的三种基本逻辑结构顺序结构：是由若干个依次执行的步骤组成的。
条件结构：是指包含条件框，用来判断条件是否成立的结构。
循环结构：是指按照某种条件反复执行某些步骤的结构，在循环结构中反复执行的步骤为循环体，一般来说，循环结构中心包含有条件结构。
【考点四】函数的概念与性质一、函数的定义二、函数的基本性质奇偶性函数y=f（x）中，如果对于函数定义域内任意一个x，有f（-x）=－f（x），则称函数f（x）为奇函数。
若f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
判断方法：1、定义法：a.求出定义b.判断定义域是否关于原点对称c.求f（-x）并比较f（-x）与f（x）或f（-x）与-f（x）2、图形法：奇函数图形在其定义域内关于原点对称，偶函数图像在其定义域内关于y轴对称。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
重要极限的证明_1
重要极限的证明重要极限的证明极限是ea0在n比较大时，(1 (1-a)/n)^n=原式=(1 1/n)^n取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)由a的任意性，得极限为e利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
1112高等数学A(一)试题解答
等价无穷小， a ___ . 则
知识点：无穷小的比较，等价无穷小性质， 无穷小替换定理.
1 2
1 2 解 当x 0时，－cos x x ,ax sin x ax 2 1 2 1 2 x 1－ cos x 1 1 2 lim lim 2 1 a . x 0 ax sin x x 0 ax 2 2a
6
方法2 利用求导公式. 令g( x) ( x 1)( x 2)( x 3), 则y( x ) xg( x )
f ( x ) ( x) g( x) xg( x ) g( x) xg( x ) f (0) g(0) 0 ( 1) ( 2)( 3) 6
2. 设是可微函数，则df (cos2 x)=
D .
( A) 2 f (cos2 x)dx; ( B) 2 f (cos2 x)sin2 xd 2 x; (C ) 2 f (cos2 x)sin2 xdx; ( D) 2 f (cos2 x)sin2 xdx.
知识点：函数的微分，复合函数的微分法则.
四、应用:
1.证明不等式 : 利用lagrange定理.单调性凹凸性及最值等证法 . ; 2.研究方程根的问题 : 利用Rolle定理.单调性及介值定理等 ; 3.实际应用中的最值问题 （求驻点等） .
CH4-6 一元函数积分学
定义、性质(定)、意义、常用恒等式 一、基本概念: 二、计算:
基 本 积 分 公 式 凑微分 1.不 定 积 分 三 角 代 换 （注意结果中的常数C） 分部积分
( A) (C )
+
1 1
0
高数大一上第一章习题
反之不然.
例如 f (x ) = x cos x 在(− ∞,+∞ ) 无界, 而当 x → +∞时, f ( x ) 不是无穷大. M ∀M > 0, 取x1 = 2kπ ∈ (− ∞,+∞ ), k ∈ N , k > , 2π f ( x1 ) = 2kπ cos 2kπ = 2kπ > M . 故无界. 若取 x = 2kπ +
2. lim f ( x ) = f ( x 0 );
x → x0
3.ε − δ 形式: ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 x − x 0 < δ时 , 恒有 f ( x ) − f ( x0 ) < ε .
（三）间断点及其分类 满足以下三条之一 x0 为 f ( x ) 的间断点: （1）在x0 处没有定义; lim f ( x ) 不存在; （2） x →x
∞ (1 1.幂指函数 未定式)
+ [ ]) = e . 第二个重要极限 [lim(1 ]→ 0
1 []
2.代入法 3.等价无穷小替换 4.无穷小的运算性质 5.极限四则运算法则
(往往需要先作某些恒等式的变形或化简， 需要先作某些恒等式的变形或化简，比如使用某些求和公式， 比如使用某些求和公式，求
积公式， 积公式，公式的约分或通分， 公式的约分或通分，分子分母有理化， 分子分母有理化，三角函数的恒等 变形以及适当的变量代换等)
3.解 原式 = lim
x →∞
( x + 1 − x − 1)( x + 1 + x − 1) x +1 + x −1 1 x2 + 1 + x2 −1 =0
2 2
同济高等数学第一章习题课
f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以， 所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当 下列函数分别是x的几阶无穷小 时，下列函数分别是 的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习： 练习： P74，3（1） ， （ ）
求分段函数的极限， 三、求分段函数的极限，判断分段函数的 连续性， 连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0