第二讲 一曲线的参数方程 第一课时
曲线的参数方程
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
y 500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
6 3t , 2 a 2 t 1.
训练1：
2 x 1 t 1、曲线 与x轴的交点坐标是( B ) ( t 为参数） y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
25 D、 ( , 0); 16
x sin (为参数） 所表示的曲线上一点的坐标是 2、方程 y cos
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
§2.1.1参数方程的概念-教案
课题：§2.1.1参数方程---参数方程的概念（第一课时）吴代军（恩施高中.恩施市445000 ）一、教学设计1．教学内容解析本课内容为北师大2003课标版《选修4-4》第二讲“参数方程”的起始课《参数方程的概念》，课本中给出的问题情境是“投铅球”，由于涉及投掷点的高度问题，对学生而言难度略大，从而构置学生熟悉的运动项目--“跳远”这一情景，层层深入的探究“跳远”这一运动项目的数学内涵，较为自然的生成“参数方程概念”，比较参数方程和普通方程在研究同一问题的数学直观与简洁美，通过学生生活问题数学抽象，再经过严密的逻辑推理，建立恰当的数学模型，进行合理的数学运算，进而培养学生良好的数学素养.2.2019年考试说明和教学大纲考试说明指出：要求学生“了解参数方程并了解参数方程参数的意义”，在对学生的能力层次要求上属于“了解”的程度，这就要求学生能根据问题的条件，学会引进恰当的参数建立参数方程，体会具体问题中参数的意义.f x y教学大纲指出：参数方程不仅可表示曲线，还可描绘事物运动变化的规律，对于较难建立(,)0的方程用参数方程描绘,x y间的联系更为方便，这就让我们感受到了学习参数方程的必要性。
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：根据问题情境和题设条件引入合适的参数，建立参数方程，并体会参数的意义.3．学生学情诊断课堂主体对象为湖北省重点中学、省级示范高中恩施高中，学生有较强的探究意识和学习能力，基于本节内容为学生对函数关系、运动变化、实际问题的建模已经有较为深刻的认知，已经学习了“曲线与方程”，探究动点轨迹方程有理性的认识，由此对本节课“参数方程的概念”的知识建构作了较好的铺垫.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：根据具体问题选取恰当的参数，建立曲线的参数方程，确定参数的范围.4．教学策略分析本课型为概念课，旨在通过实际情景问题的内涵挖掘，呼朋引伴式的合作与探究，从而达成对“参数方程的概念”新知的建构．在较强的生活背景下将本课时的帷幕渐渐拉开、循序渐进而又螺旋上升的感悟中生成知识，学生体会到数学源于生活，数学是有用的，展“为有源头活水来”之美．鉴于上述分析，本节课的教学策略确定为：情境教学法、发现式教学、启发式教学，为激发学生的学习兴趣，提升课堂效率,增强直观形象，需采用视频投放、实物投影仪、PPT.5．教学基本流程反思凝练)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧=-=αα二．课堂实录6.1 情境创设奥运会的田赛项目急行跳远起源于古希腊奥林匹克运动，首先，我们欣赏一个急行跳远的视频片段，请同学们猜想这样一个问题：若某运动员初速度0v 一定的情况下，以多大的倾斜角α起跳，会跳得更远呢？ 你能建构这一运动轨迹的函数关系(,)0f x y =吗？【设计意图】创设学生熟悉的运动项目“急行跳远”作为引入，从而激发学生兴趣；通过分析“急行跳远”这一运动项目，发现由于水平位移量x 和高度y 是两种不同的运动合成，因此直接建立,x y 所要满足的函数关系式很困难，从而可建立水平位移量x 和高度y 两个方向上的等量关系，比直接列出x ，y 的函数关系要方便得多，为引出“参数方程”的必要性做好铺垫.并为学生对北师大版习题2-1的第一题“摩托车飞跃黄河”这一实际问题的参数方程的刻画有了初步的认知.6.2 第一篇章 追本溯源直观想象 猜想验证为此，我们建立以起跳点为坐标原点的直角坐标系（如此建系较为直观），据物理学可知，以初速度0v ，与水平方向成α起跳后，其运动轨迹由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的反向重力加速度而合成，易得：同学能否验证自己的猜想呢？能否通过逻辑推理证明自己猜想的真伪？【设计意图】通过对“急行跳远”这一情景的挖掘，让同学们提出数学猜想、并通过逻辑推理验证自己的猜想，从而收获学习的乐趣，提升我们学生的数学核心素养；更为重要的是，从而为引出“参)(cos 21sin 020为重力加速度为参数，g t t v x gt t v y ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-⋅=αα数方程的概念”埋下伏笔.探中抽知 新知生成通过对“急行跳远”的探究，你能求它的普通方程么？通过对比研究我们发现了什么？参数方程的定义：如果曲线C 上任意一点P 的坐标y x ,都可以表示为变量t 的函数：{)()(t f x t g y ==， 反之，对于t 的每一个允许值，由函数式{)()(t f x t g y ==所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，则方程：{为参数）（t t f x t g y )()(==叫做曲线C 的参数方程,变量t 为参数.相比参数方程而言，直接给出坐标y x ,的关系称为普通方程.注：1、一般地，参数（...,,θαt ）是有条件限制的；2、参数是联系y x ,的桥梁，可有物理意义、几何意义，也可无明显的意义；3、对应关系.【设计意图】通过对特殊问题的研究，进而理性分析一般问题所蕴含的数学本质，培养学生归纳的数学能力，完成由感性到理性的新知识--“参数方程的概念”的认知建构，较为深刻的体会参数方程这一定义的函数本质.6.3 第二篇章 探究展示自主探究一：探求曲线的参数方程问题1：汶川地震，举国上下，万众一心，为灾区人民第一时间配给救援物资，某运输机在离灾区地面m 490的上空以h km /720匀速直线飞行，为使得救援物资准确投放灾区指定的安置点（不计空气阻)/8.9(2200214902s m g t t x gt y =⎪⎩⎪⎨⎧=-=为参数，力），飞行员如何确定投放时机？（重力加速度2/8.9s m g =）成果展示：剖析思维过程,并通过实物投影展示其解答过程！此处参数t 的意义是什么呢？范围如何选择？（追问：...）飞行员确定投放时机为：距离投放安置点水平距离2000米处投放物资可准确投放.【设计意图】将教材问题作适度的加工和处理，培养学生的数据处理能力，有利于学生对新知的理性认知，成果的展示让学生感受学习习得性成功的体验，与此同时，以地震作为问题背景，有利于培养学生的同情心、民族感，渗透数学学科的人文精神.合作探究二：参数方程概念辨析问题2-1：下列方程可看成参数方程的是（ ）)(012.)(02.22为参数为参数m mx y x B t t y x A =--+=-+{)(.)0(.cos 2cos 232为参数为参数，θθθ===-=>⎩⎨⎧x y a x a y D a a C 问题2-2：曲线的参数方程{为参数）ααα(sin 22cos ==x y ，则参数πα611=对应点的坐标是（ ） )21,1.(A )23,1.(-B )21,1.(-C )23,21.(-D 问题2-3：下列各点可能在方程{)232(2sin cos ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈==ππαααα，为参数，x y 所表示的曲线上的是（ ） )22,1.(A )21,1.(--B )21,23.(-C )23,21.(-D【设计意图】通过师生学生独立自主探究与合作探究相结合，使学生体验探究问题中比较、分析、推理、判断、辨析，使其对参数方程的概念有更进一步的深刻的理解，感受曲线的参数方程与点之间的对应关系，为后续圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程的学习谱写了序章.小组展示三：已知一个量求参数方程问题3（北师大版 选修4-428P 练习2 改编） 设2()cos y t t=为参数，曲线C ：229436y x -=. (1)求曲线C 的参数方程；(2)已知参数4t π=-对应的点(,)M a b 在曲线C 上，求a 的值.【设计意图】通过回归课本的典型问题及其对教材问题的深加工，让学生重视教材的问题原型，“饮水思源”，教材是我们研究问题和培养学生能力和核心素养的“根”，而枝繁叶茂、异彩纷呈的问题均源于此.6.4第三篇章 课堂小结 反思凝炼通过本节课的学习，你学习了那些知识？渗透了那些的数学思想？体现了什么样的数学核心素？ （请学生谈自己的学习体会）【设计意图】通过让学生畅所欲言的谈方法、谈收获、谈体验，使得学生学会学习，学会总结，学会反思，学会表达，进而养成学生良好的反思、小结的学习习惯，为学生的终生发展奠基.6.5课后作业 分层练习基础训练：完成对应章节的《课时作业》能力提升：（北师大课标版26P “问题提出”）一位铅球运动投掷铅球的瞬间铅球球心距离地面高度为h ，初速度为0v 且与水平方向成α角投掷铅球.(Ⅰ)请同学们探究该铅球的运动轨迹的参数方程；(Ⅱ)并研究以多大的倾斜角投掷时，铅球抛掷的水平距离最远？（忽略空气阻力）;(Ⅲ)试分析投掷铅球与急行跳远这两项运动的联系和区别？并举例说明我们身边还有哪些案例属于这类问题，并尝试给出最优化的研究方案.【设计意图】分层训练旨在尊重每一个学生的独立有个性化的发展，尊重他们的认知差异，在学生的最近发展区建构知识，给出能力提升这一问题，意在首尾呼应，让学生带着问题来，带着思考离，起到“言有尽而意无穷”的数学教学的延伸功能，与此同时，开放性问题的设计让学生充分发挥数学想象、通过逻辑推理、验证自己猜想的过程，完成由感性到理性的升华.6.6板书设计一览无余三、教后反思：①反思课前预案：②反思课堂活动：③反思教后改进：四、教学点评：。
高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化学案新人教版
第2课时 参数方程和普通方程的互化学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．知识点 参数方程和普通方程的互化思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？ 答案 用普通方程比较方便．思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？ 答案 关键是消参数．梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．特别提醒：化参数方程为普通方程F (x ，y )＝0，在消参过程中注意变量x ，y 的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f (t )和g (t )的值域得x ，y 的取值范围.类型一 参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t1＋t，y ＝2t1＋t(t ≠－1，t 为参数)．解 (1)由x ＝t ＋1≥1，得t ＝x －1，代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14， ②①2＋②2，得x 225＋(y ＋1)216＝1，这是椭圆．(3)方法一 x ＋y ＝1－t 1＋t ＋2t 1＋t ＝1＋t1＋t ＝1，又x ＝1－t 1＋t ＝21＋t－1，故x ≠－1，y ＝2t 1＋t ＝2(1＋t )－21＋t ＝2－21＋t，故y ≠2， 所以所求的方程为x ＋y ＝1(x ≠－1，y ≠2)． 方程表示直线(去掉一点(－1,2))． 方法二 由x ＝1－t 1＋t ，所以x ＋xt ＝1－t ，所以(x ＋1)t ＝1－x ，即t ＝1－x1＋x，代入y 中得， y ＝2t 1＋t ＝2×1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝2(1－x )1＋x ＋1－x＝1－x ， 所以x ＋y ＝1(x ≠－1，y ≠2)． 方程表示直线(去掉一点(－1,2))． 反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ. 跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．解 (1)∵x ＝t ＋1t，∴x 2＝t 2＋1t2＋2，把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立；当t <0时，x ＝t ＋1t≤－2，当且仅当t ＝－1时等号成立．∴x ≥2或x ≤－2， ∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，两式平方相加得(x －2)2＋y 2＝9， 即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9. 类型二 普通方程化为参数方程例2 已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，根据下列条件，求圆C 的参数方程． (1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数； (2)设x ＝2m ，m 为参数．解 (1)过原点且倾斜角为θ的直线方程为y ＝x tan θ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x tan θ消去y ，得x 2＋x 2tan 2θ－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝21＋tan 2θ＝2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2cos 2θ. 当x ＝0时，y ＝0，当x ＝2cos 2θ时，y ＝x tan θ＝2cos θ·sin θ＝sin2θ.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0适合参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin2θ，∴所求圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin2θ(θ为参数，0≤θ<π)．(2)把x ＝2m 代入圆C 的普通方程，得4m 2＋y 2－4m ＝0， 可得y 2＝4m －4m 2，即y ＝±2m －m 2，∴所求圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2m ，y ＝±2m －m 2(m 为参数)．反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x 2＋y 2＝16. (1)若令y ＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16， 于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ(由θ的任意性可取x ＝2cos θ)． ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入普通方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24，∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22，y ＝t和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数)同理将x ＝2t 代入普通方程4x 2＋y 2＝16，得参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数)．类型三 参数方程与普通方程互化的应用例3 已知x ，y 满足圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的方程，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33t ，y ＝－t ＋5(t为参数)．(1)求3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)若P (x ，y )是圆C 上的点，求P 到直线l 的最小距离，并求此时点P 的坐标．解 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋1(θ为参数)，直线l 的普通方程为3x ＋y －5＝0.(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝5sin(θ＋φ)＋4，tan φ＝34，∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)P 到直线l 的距离为d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－42，当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，d min ＝1，此时，x ＝cos π6＝32，y ＝sin π6＋1＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程． (2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题．跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为(x ，y )，求x ＋2y 的最大值和最小值． 解 (1)直线l 的方程为x －y ＋4＝0， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0. 又曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. (2)由(1)知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，所以x ＋2y ＝(2＋2cos θ)＋2(2＋2sin θ)＝6＋2(cos θ＋2sin θ)＝6＋10sin(θ＋φ)，tan φ＝12.当sin(θ＋φ)＝－1时，x ＋2y 有最小值6－10， 当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 有最大值6＋10.1．若点P 在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤π4，ρ>0，则点P 的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝3B ．以(3,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(1,1)，(3,0)为端点的线段 答案 D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)答案 C解析 由x ＝2＋sin 2θ，得sin 2θ＝x －2，代入y ＝sin 2θ， ∴y ＝x －2.又sin 2θ＝x －2∈[0,1]，∴x ∈[2,3]． 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________． 答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1) 4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化成普通方程为____________________．答案 x 2－y ＝2(y ≥2)解析 由x ＝t ＋1t，得x 2＝t 2＋1t2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．答案 圆解析 x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标(x ，y )和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数． 2．同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1答案 A2．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( )A.π4，(1,0) B.π4，(－1,0) C.3π4，(1,0) D.3π4，(－1,0) 答案 C3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3] 答案 D解析 由条件可得cos2θ＝y ＋1＝1－2sin 2θ＝1－2(x －2)，化简可得2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]．4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)相切，则θ等于( )A.π6 B.5π6C.π6或5π6D.π3答案 C解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6. 5．下列参数方程中，与普通方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t(t 为参数)答案 D解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 消去参数t ，可得y 2＝x .又参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 满足x ≥0，y ∈R ，故选D.二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是____________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t1＋t2或x ＝0， 当x ＝0时，y ＝0，当x ＝4t 1＋t 2时，y ＝4t21＋t2，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0适合参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．7．若曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)，则其普通方程为________________．答案 4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)两式相除，得k ＝－4x y ，代入y ＝4k 2＋4，得4x 2＋y 2－y ＝0. 由于y ＝4k 2＋4∈(0,1]， 所以曲线的普通方程为4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1)．8．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直角l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________________． 答案 ρ(cos θ－sin θ)＝1解析 设倾斜角为π4的直线l 的方程为y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)到直线x －y ＋b ＝0的距离为d ＝|b ＋1|2，依题意，得|AB |＝2r 2－d 2＝2，即1－⎝⎛⎭⎪⎫|b ＋1|22＝1，解得b ＝－1，所以直线方程为x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1， 即ρ(cos θ－sin θ)＝1为所求．9．过点M (2,1)作曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________． 答案 2x ＋y －5＝0解析 由于曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ表示圆心在原点，半径为4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，因为k OM ＝12，所以弦所在直线的斜率是－2，故所求直线方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0为所求．10．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________． 答案 4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 三、解答题11．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (a ，b 为大于0的常数，t 为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状． 解 因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ， 所以t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方，可得 x 2＝a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，① 由y ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方，可得 y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，② ①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b 为大于0的常数)． 所以普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 所以方程表示焦点在x 轴上的双曲线．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数，r 为常数，r >0)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2＝0.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求r 的值．解 由2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2＝0， 得ρcos θ－ρsin θ＋2＝0，即直线l 的方程为x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心坐标为(0,0)， 所以，圆心到直线的距离d ＝2， 由|AB |＝2r 2－d 2＝22，得r ＝2.13．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)， 得(x ＋2)2＋y 2＝10， ∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.(2)∵圆C 1的圆心为C 1(－2,0)，圆C 2的圆心为C 2(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210，∴两圆相交．设公共弦的长为d ，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C 1C 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2，解得d ＝22， ∴公共弦长为22. 四、探究与拓展14．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.答案 ±2或±5 2解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，半径长为2 2.圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.15．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围；(3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max . 解 (1)因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)因为x －y ＝35t －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45t ＝－15t －1， 又－1<t <1，所以－15<－15t <15， 所以－65<－15t －1<－45， 即x －y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45. (3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为4x －3y ＋3＝0，d ＝|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43，所以d max ＝1.。
第2章 1 参数方程的概念
§1参数方程的概念1.参数方程的概念(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数 ⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），① 并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.(2)在参数方程中，应明确参数t 的取值范围.对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的交集.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 【思维导图】【知能要点】 1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.题型一 参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 的单位：S)，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .【反思感悟】 以时间t 为参数，在图形中分别寻求动点M 的坐标和t 的关系.1.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P 的轨迹方程. 解 以O 点为原点，过点O 且与l 垂直的直线为x 轴，过点O 与l 平行的直线为y 轴建立直角坐标系.设点O 到直线l 的距离为d (为定值，且d >0)，取∠xOQ ＝θ为参数， θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 设动点P (x ，y ).在Rt △OQN 中， ∵|OQ |＝dcos θ，|OP |＝|OQ |， ∠xOP ＝θ＋π3， ∴x ＝|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝d cos θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32tan θ·d ， y ＝|OP |·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝d cos θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12tan θ·d . ∴点P 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32tan θd ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12tan θd ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2. 题型二 参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.【例2】 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.分析 本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M (5，4)在该曲线上，则点M 的坐标应适合曲线C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解 (1)由题意可知有⎩⎨⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1.∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2. 由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程，得 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求. 【反思感悟】 参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.2.把下列参数方程化为普通方程.⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ，解 由已知得⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y .由三角恒等式sin 2θ＋cos 2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1这就是所求的普通方程. 【例3】 选取适当的参数，把普通方程x 216＋y 29＝1化为参数方程. 解 设x ＝4cos φ，代入椭圆方程，得16cos 2φ16＋y 29＝1.∴y 2＝9(1－cos 2φ)＝9sin 2φ，即y ＝±3sin φ.由参数φ的任意性可知y ＝3sin φ.故所求参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数).【反思感悟】 选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性.3.选取适当参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程.解 选t ＝x ，则y ＝2t ＋3，由此得直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋3(t ∈R ).也可选t ＝x ＋1，则y ＝2t ＋1，参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1.1.已知曲线C 的参数方程是：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数). (1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.解 (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得：⎩⎨⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1 解得：t ＝0.∴点M 1在曲线C 上.同理，可知点M 2不在曲线C 上. (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎨⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得：t ＝2，a ＝9.∴a ＝9. 2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a >b >0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a 、b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，它表示的曲线是椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝yb ，由1cos 2φ＝1＋tan 2φ，有x 2a 2－y 2b 2＝1，它表示的曲线是双曲线. (3)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px 它表示的曲线是抛物线.3.两曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和⎩⎨⎧x ＝－3t 2，y ＝－4t 2(t 为参数)，求它们的交点坐标.解 将两曲线的参数方程化为普通方程， 得x 29＋y 216＝1，y ＝43x (x ≤0).联立解得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22. 4.△ABC 是圆x 2＋y 2＝r 2的内接三角形，已知A (r ，0)为定点，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心G 的轨迹方程.解 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°，于是可设B (r cos θ，r sin θ)，C (r cos(θ＋120°)，r sin(θ＋120°))，重心坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos θ＋r cos （θ＋120°）3，y ＝r sin θ＋r sin （θ＋120°）3，消去θ得(3x －r )2＋(3y )2＝r 2，所以△ABC 重心G 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 32＋y 2＝r29 (0≤x ≤r 2).[P 28思考交流]把引例中求出的铅球运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用.答⎩⎨⎧x ＝v 0t cos α，y ＝h ＋v 0t sin α－12gt2其中v 0、α，h 和g 都是常数.这里的g 是重力加速度.h 是运动员出手时铅球的高度.消去参数t 整理得：y ＝－g2v 20cos 2αx 2＋x ·tan x ＋h .参数方程的作用：当参数t 每取一个允许值，就可以相应地确定一个x 值和一个y 值.这样铅球的位置就相应的确定了.这样建立的t 与x ，y 之间的关系不仅方便，而且清晰地反映了变数的实际意义.如x ＝v 0t cos α反映了铅球飞行的水平距离. y ＝h ＋v 0t sin α－12gt 2反映了铅球的高度与飞行时间的关系.总之它是物理学中弹道曲线的方程. 【规律方法总结】1.求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数，建立参数方程.2.曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便.一、选择题1.下列各点在方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ是参数)所表示曲线上的点是( )A.(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.(1，0)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ，将选项代入上式即可.∴x ＝12时，y ＝12.故应选C. 答案 C2.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2 (2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C. 答案 C3.曲线(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A.(－1＋cos θ，sin θ) B.(1＋sin θ，cos θ) C.(－1＋2cos θ，2sin θ)D.(1＋2cos θ，2sin θ)解析 可设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ，∴曲线x 的点可表示为(1＋2cos θ，2sin θ). 答案 D4.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( ) A.|t 1| B.2|t 1| C.2|t 1|D.22|t 1|解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)， ∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.答案 C5.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2t ＋3y ＝t 2＋2t ＋2表示的曲线是( ) A.双曲线x 2－y 2＝1 B.双曲线x 2－y 2＝1的右支 C.双曲线x 2－y 2＝1，但x ≥0，y ≥0 D.以上结论都不对解析 平方相减得x 2－y 2＝1，但x ≥2，y ≥1. 答案 D 二、填空题6.已知曲线⎩⎨⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π).下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________.解析 曲线方程可化为x －2y ＋5＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入曲线的参数方程可知只有A 符合. 答案 A7.物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________.解析 设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体作平抛运动，依题意，得⎩⎨⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2，这就是物体所经路线的参数方程. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)8.以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数，将方程4x 2＋y 2＝16化成参数方程是__________.解析 设直线为y ＝kx ＋4，代入4x 2＋y 2＝16化简即可.答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝16－4k 24＋k 29.将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θy ＝sin θcos θ化成普通方程为__________.解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2. 答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题10.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围. 解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.11.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值.解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数).(2)由上述可知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，已知动点P 满足PQ ⊥OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程. 解 设点P 坐标为(x ，y )， 则B (2a ，y )，D (x ，0). 在Rt △OAB 中，tan θ＝AB OA ， ∴AB ＝OA ·tan θ，即y ＝2a ·tan θ. 在Rt △OAQ 中，cos θ＝OQ OA ，∴OQ ＝OA ·cos θ，在Rt △OQD 中，cos θ＝ODOQ ， ∴OD ＝OQ ·cos θ，∴OD ＝OA ·cos 2θ，即x ＝2a · cos 2θ.即有⎩⎨⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，化为普通方程为：xy 2＋4a 2x ＝8a 3.13.在长为a 的线段AB 上有一个动点E ，在AB 的同侧以AE 和EB 为斜边，分别作等腰直角三角形AEC 和EBD ，点P 是CD 的定比分点，且CP ∶PD ＝2∶1，求点P 的轨迹.解 建立如图所示坐标系(设C ，D 在x 轴上方).设E (t ，0)(t 为参数，t ∈[0，a ])，B (a ，0)，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋t 2，a －t 2.∵CP ∶PD ＝2∶1，即λ＝2.由定比分点公式，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2·12（a ＋t ）1＋2＝16（2a ＋3t ），y ＝t 2＋2·12（a －t ）1＋2＝16（2a －t ）t ∈[0，a ]，这就是点P 运动轨迹的参数方程.。
1_第二讲参数方程与直角方程转化_20190113085649
2、（09
广东理
14）（坐标系与参数方程选做题）若直线
y
2
3t
（t
为参数）与直线
4x ky 1 垂直，则常数 k =
.
3、(天津理 13)
设直线
l1
的参数方程为
x y
1 1
t 3t
（t 为参数），直线 l2 的方程为 y=3x+4
则 l1 与 l2 的距离为_______
练习
2-2．下列在曲线
x y
sin 2 cos
sin
(
为参数)
上的点是（
）
A． (1 , 2) B． ( 3 , 1) C． (2, 3) D． (1, 3)
2
42
x sin
练习
2-3：求曲线
y
cos
2
过点
(0,2)
的切线方程.
题型二：参数方程的直接应用一
例 3：已知点 P(x, y) 是圆 x2 y2 2y 上的动点， （1）求 2x y 的取值范围；（2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
7、直线 标为
为参数 和圆
交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐
8、直线
上与点
的距离等于 的点的坐标是
9、已知椭圆 C：
经过点
，则 ______ ，离心率 e ______ ．
10 、 已 知 曲 线 ______．
为参数 与曲线
为参数 的交点为 A，B，则
11 椭圆
为参数 的右焦点坐标为______
练习 3-1：在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x,y)是椭圆 x 2 y 2 1上的一个动点， 3
曲线的参数方程和与普通方程的互化
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，
并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP,则圆的参数方程为：
xy22csoins.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
为（2cos,2sin）,由中点公式可得：
x 2 c o 6 s c o 3 s ,y 2 s i n s in
解： 椭圆的参数方程为：
xy 42csoins.,(为参数）
设点M的坐标为x（ , y),则点P的坐标
为（4cos,2sin）,由中点公式可得：
x 4 co 6 s 2 co 3 ,y s 2 si n 2 si 1 n
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
xy2scinos1.3（ , 为参数）
求 M到 直 线 x+2y-10=0的 最 小 距 离 。
双曲线的参数方程
a x2 2-y b2 2=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 ：
xyabstaenc(为参数)
说明：
双se曲c2线的参1 数t方an程2可相以比由较方而程得到，ax 22所 以by 22双曲1 线与的三参角数恒方等程式
（2） xy53csionstt(t为参数）
(3)x1 3cos (为参数） y2 5sin
椭圆的参数方程：
x轴：x2 a2
y2 b2
1,
x a cos y bsin
y轴：x2 b2
y2 a2
1,
x b cos y a sin
中心在 C(x0, y0)的椭圆的
参数方程是 yx
x0 y0
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t
且以
10.03.01高二文科数学《第二讲 参数方程 1.参数方程的概念》
y
500 A
v=100m/s
x
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O
复习引入
如图，一架救援飞机在离灾地面 如图，一架救援飞机在离灾地面500m 高处以100 m/s的速度作水平直线飞行 为使 的速度作水平直线飞行.为使 高处以 的速度作水平直线飞行 投放的救援物资准确落于灾区指定的底面 (不计空气阻力 ，飞行员应如何确定投放时 不计空气阻力)， 不计空气阻力 机呢？ 机呢？
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讲授新课
2. 参数方程化为普通方程 (1)代入消参法； 代入消参法； 代入消参法 (2)加减消参法： 加减消参法： 加减消参法 sin2α＋cos2α＝1; cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α; ＝ － sin2α＝2sinαcosα. 注意:普通方程中 注意 普通方程中 (x,y)的范围应该 的范围应该 符合参数方程的限制条件. 符合参数方程的限制条件
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课堂练习
练习1.把下列参数方程化为普通方程 练习 把下列参数方程化为普通方程. 把下列参数方程化为普通方程
π x = 3cosθ , (1) ( 0 ≤θ ≤ ) 2 y = 3sinθ , x = 1 + 4cos t , (2) ( t 为参数 ) y = −2 + 4sin t , 1 x = t + t , (3) ( t 为参数 ) 1 2Βιβλιοθήκη y = t + 2 . t
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讲授新课
1. 参数方程 参数是联系变数x， 的桥梁 的桥梁， 参数是联系变数 ，y的桥梁，可以是 一个与物理意义或几何意义的变数， 一个与物理意义或几何意义的变数，也可 以是没有明显实际意义的变数. 以是没有明显实际意义的变数
第二讲 一、参数方程的概念
课题：参数方程的概念知识与能力：1、弄清曲线参数方程的概念2、能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程过程与方法：会解决简单证明问题培养学生的逻辑推理能力和思维能力情感、态度、价值观：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神.教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：曲线参数方程的定义及方法教学流程与教学内容：一、新课引入：设炝弹发射角为α，发射初速度为o v ，怎样求弹道曲线的方程（空气阻力不计）？二、讲授新课：1、参数方程的定义：一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.2、关于参数几点说明：（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义.（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样.（3） 在实际问题中要确定参数的取值范围.3、参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标.4、参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程5、关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单. 与运动有关的问题选取时间t 做参数与旋转的有关问题选取角θ做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等.二、 典型例题： （学生尝试先做，A 层帮助C 层理解）例1．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，（1）求子弹弹道典线的参数方程（不计空气阻力）（2）若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时， ① 求炮弹高度② 求出炮弹的射程例2. 课本上22页 例1三、课后作业。
第二讲参数方程
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
(t
)
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)确 定的点M(x,y)，都在这条曲线上，那么方程 组(1)就叫做这条曲线的参数方程。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间 关系的方程叫做普通方程
第二讲 参数方程
参数方程的概念与圆的参数方程 高州市第一中学
复习引入
2x y 4 0 x2 y2 1 y2 2x
上述方程的共同特点是： 方程直接表示了曲线上任一点x,y之间的关系
曲线的方程 某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的 实数解建立了如下关系： 1、曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么，这个方程叫做曲线的方程。
y
P M(x,y) Q
o
24
6x
习题
1、思考题
2、设点M(x0,y0)在圆 x2 y2 1上移动，求
1)求x0+y0的最值
2)求点P(x0+y0,x0y0)的轨迹方程 3)求点Q(x0(x0+y0),y0(x0+y0))的轨迹方程
小结＆作业
本节课引入了参数方程的概念。对于不易直接 发现变量x，y之间关系的问题，引入辅助变数 (参数)是行之有效的。 同时为我们求曲线(轨 迹)方程又提供了一种方法， 拓宽了我们解题 的思路。
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高 处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放 的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空 气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？
解：设时间t，点M(x,y) y
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(t 为参数 ) 表示的 图形为
( C ) A．直线 C．线段(但不包含右端点) 6．点 B．圆 D．椭圆
－5或3 上，则 b＝________.
2 x＝ t ＋1， P(3，b)在曲线 y＝－2t－1
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2 x ＝ cos θ， 7．参数方程 2 y ＝ sin θ
与运动有关的问题选取时间t作为参数；
与旋转有关的问题选取角θ作为参数；
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率 等． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞 行高度h＝588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度)． (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程． (2)试问：飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中 目标？ 分析：这是物理学中的平抛运动，选择合适的参变量将 炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
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1 x＝x0＋2t， 3 y＝y0－ 2 t
3． 若一直线的参数方程为 此直线的倾斜角为( B ) A．60° C．300°
(t 为参数)， 则
B．120° D．150° π 4 ． 直 线 xsin θ ＋ y － 1 ＝ 0 θ≠2＋2kπ，k∈Z 与曲线
9．边长为a的等边△ABC的两个端点A，B分别在x轴和y 轴两正半轴上移动，顶点C和原点O分别在AB两侧，记∠CAx ＝α，求顶点C的轨迹方程．
解析： 如图所示，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，设点 C 坐标 C(x，y)，则由 x＝OA＋AD， 得 y＝DC，
o x＝acos 120 －α＋acosα， y＝asin α，
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2.将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法. (1)代入法.先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变 量表示），再代入另一个方程. (2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参 如果t是常数，θ是参数，那么可
数方程
以利用公式sin2θ+cos2θ=1消参；如果θ是常数，t是参数， 那么适当变形后可以利用（m+n）2-（m-n）2=4mn消参. 金品质•高追求 我们让你更放心！
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1．当参数 θ 变化时，由点 P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲 线过点( D ) A．(2,3) B．(1,5) π C.0，2 D．(2,0) 2 x ＝ sin θ， 2．在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上一个点 y＝cos 2θ 的坐标是( D ) 1 2 ， A．(2,7) B. 3 3 1 1 ， C. D．(1，－1) 2 2
1 x ＝ 2sin t， 1 y＝ cos t 2 A．相离 C．相交
(t 为参数)的位置关系是( A ) B．相切 D．相切或相离
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5 ．参数方程
3 t2 x＝1＋t2， 5 －t y＝ 2 1 ＋ t
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1．参数方程的定义 一般地，在取定的坐标中，如果曲线 C 上任一点 P 的坐 x＝ft， 标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数 反过来， y＝gt， 对于 t
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一 曲线的参数方程
第一课时 参数方程的概念
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1．弄清曲线参数方程的概念．理解参数在方程中的意义. 2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程．
x＝ft， 的每个允许值，由函数式 y＝gt x＝ft， 上，那么方程 y＝gt
所确定的点 P(x，
y)都在曲线 C
叫做曲线 C 的参数方
程，变量 t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直 接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以 转化为普通方程.
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4 解法二：由 y＝－4－ 2 ，知 y≠－4. k －1， y 2 ∴可解得 k ＝ .代入 x2 的表达式，得 y＋4 y 16· y＋4 2 2 2 x ＝ ，整理，得 x － y －4y＝0(y≠－4)． y 2 1－ y ＋ 4 则方程所表示的曲线是双曲线 x2－y2－4y＝0,除去点(0,－4)． 2 2 4 k 4 k 2 2 2 解法三：∵x ＝1－k2 ，y ＝1－k2 ， 2 2 4 k · 1 － k 2 2 两式相减，并整理，得 x －y ＝ . 1－k22 2 4 k ∵1－k2≠0，∴x2－y2＝ ＝4y， 1－k2 即 x2－y2－4y＝0 ∴方程表示双曲线 x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
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1＋2t＝5， 解析：(1)由题意，可知 2 at ＝4，
t＝2， 故 a＝1，
所以 a
＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C
x＝1＋2t， 的方程为 2 y ＝ t .
由第
x－1 x－1 2 一个方程，得 t＝ ，代入第二个方程，得 y＝ 2 ，即 2 (x－1)2＝4y 为所求．
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x 1 2t， 已知某条曲线C的参数方程为 2 y at (其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．
(1)求常数a. (2)求曲线C的普通方程． 分析：点M(5,4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C 的方程，从而可求得其中的特定系数，进而消去参数得到普 通方程． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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4k x ， 2 1 k 把参数方程 (k为参数)化为普通方 2 4 k y ， 2 1 k 程，并说明它表示什么曲线．
y 解析：解法一：若 x≠0，两式相除，得 k＝ ， x 4k 代入 x＝ ，整理，得 x2－y2－4y＝0(x≠0)． 2 1－ k ， 若 x＝0，则 k＝0，可得 y＝0. 显然点(0,0)在曲线 x2－y2－4y＝0 上． 4k2 4 又由 y＝ ＝－4－ 2 ，可知 y≠－4. 1－k2 k －1 则方程的曲线是双曲线 x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．
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x＝v0t， 1 2 2 y ＝ 588 － gt g ＝ 9.8 m/s ， 2
x＝150t， 即 2 y ＝ 588 － 4.9 t .
这是炸弹飞行曲线的参数方程．
(2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y＝0， 即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此可得，x0＝150×2 30＝300 30≈1643(m)． 即飞机在离目标 1643 m(水平距离)处投弹才能击中目 标．
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4．参数方程求法
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)
(2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点 P的坐标与参数的函数式． (4)证明这个参数方程就是所求的曲线的方程． 5．关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比明 显关系相对简单．
(θ 为参数)表示的曲线是( C ) B．圆 D．射线 (θ 为参数)上，则 x2
A．直线 C．线段
x＝3＋2cos θ， 8．若点(x，y)在圆 y＝－4＋2sin θ
38－2 145 ． ＋y2＋3x 的最小值是__________
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2．关于参数几点说明 (1)参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也 可以没有明显意义． (2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也 不一样． (3)在实际问题中要确定参数的取值范围． 3．参数方程的意义 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助 于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来， 参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上 是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵 坐标． 金品质•高追求 我们让你更放心！
解析：(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为 目标，坐标为(x0,0)．记炸弹飞行的时间为t，在点A时t＝0.设 M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0 ＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路 程，得