高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1
高中数学空间向量的线性运算知识点解析
向量：
→ (1)AP； → → → 解 AP＝AD1＋D1P
→ → 1→ ＝(AA1＋AD)＋2AB
1 ＝a＋c＋2b.
→ (2)A1N；
解 → → → A1N＝A1A＋AN
→ → 1→ ＝－AA1＋AB＋2AD
1 ＝－a＋b＋2c.
→ → (3)MP＋NC1.
→ → → — → → → → 解 MP＋NC1＝(MA1＋A1D1＋D1P)＋(NC＋CC1)
PART TWO
2
题型探究
题型一 空间向量的概念理解
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.空间向量不满足加法结合律
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 → → → → → → C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD 解析 A中，空间向量满足加法结合律； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
1 → → 1→ 1 → → ＝2AA1＋AD＋2AB＋2AD＋AA1
3 → 3 → 1→ ＝2AA1＋2AD＋2AB
3 1 3 ＝2a＋2b＋2c.
引申探究 C1P 1 若把本例中“P 是 C1D1 的中点”改为“P 在线段 C1D1 上，且PD ＝2”，其他 1 → 条件不变，如何表示AP？
2 → → → → → 2→ 解 AP＝AD1＋D1P＝AA1＋AD＋3AB＝a＋c＋3b.
— → — → — → — → — → B′B，CC′，C′C，DD′，D′D，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的 模均不为 1，故单位向量共有 8 个.
②试写出模为 5的所有向量.
— → 解 由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量有AD′， — → — → — → — → — → — → — → D′A，A′D，DA′，BC′，C′B，B′C，CB′.
高二数学 教案 3.1.1 空间向量及其线性运算_苏教版_选修2-1
§3.1.1 空间向量及其线性运算 编写：陶美霞 审核：赵太田一、知识要点1.空间向量定义及其记法；2.空间向量的线性运算OB OA AB a b =+=+BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈3.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++；⑶()()a b a b R λλλλ+=+∈4.共线向量(平行向量)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
规定：零向量与任意向量共线。
5.共线向量定律：对空间任意两个向量,(0)a b a ≠，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=二、典型例题例 1.如图，在三棱柱__111ABC A B C 中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
⑴1CB BA +；⑵112AC CB AA ++；⑶1AA AC CB --例2.如图，在长方体__OADB CA D B '''中，3,4,2,1OA OB OC OI OJ OK ======，点E F 、分别是,DB D B ''的中点，设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和OF 。
例3.设四面体ABCD 的三条棱,,AB b AC c AD d ===，求四面体其他各棱所对应的向量，以及面BCD ∆上的中线所对应的向量DM 和向量AQ ，其中M 是BC 的中点，Q 是三角形BCD 的重心。
三、巩固练习1.如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，2CF FD =，连结,,,EF CE AF BF ，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
⑴AC CB BD ++；⑵ AF BF AC --；⑶1223AB BC CD ++。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算
5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定 关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征 方向___相_同__或_相__反_____
特例 零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定 理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立 体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量 单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比 如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸 直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港 的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位 移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量的线性运算讲义 新人教B版选修2-1
【解析】
原式＝
1 2
a＋b－
3 2
c＋
10 3
a－
5 2
b＋
10 3
c－3a＋6b－3c＝
12＋130－3
a＋
1－52＋6b＋－32＋130－3c＝56a＋92b－76c.
【答案】 56a＋92b－76c
4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同 一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
1．下列命题中，假命题是( ) A．向量A→B与B→A的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．单位向量都相等 【解析】 单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等 必须同时满足模相等，且方向相同，故D错误． 【答案】 D
2.如图3-1-8所示，空间四边形OABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，点M在OA 上，且O→M＝2M→A，N为BC中点，则M→N等于( )
＝－O→A＋12(O→D＋A→B) ＝－O→A＋12O→D＋12(O→B－O→A) ＝－32O→A＋12O→D＋12O→B， ∴x＝12，y＝－32.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
高中数学 3.1.1《空间向量及其线性运算》教学案 苏教版选修2-1
3.1.1空间向量及其线性运算班级 姓名一、教学目标1.运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；2.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3.理解空间向量共线的充要条件. 二、重难点空间向量及其线性运算，共线、共面定理、空间向量基本定理及其运用. 三、课前预习1. 的量称为向量.2. 叫做AB 的模，记作 .3. 向量叫做零向量.记作 .4. 向量叫做单位向量.5. 向量叫做平行向量.6.由于平行向量都可以平移到同一条直线上，故平行向量又称为 .7.向量加法的三角形法则、向量家法的平行四边形法则、向量减法法则.8.空间向量的加法和数乘运算律满足如下运算律：（1） ； （2） ； （3） .9.共线向量定理： . 四、典型例题例1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1CB BA +；（2）112AC CB AA ++； （3）1AA AC CB --.例2.如图，在长方体111OADB CA D B -中，OA=3，OB=4，OC=2，OI=OJ=OK=1，点E ，F 分别是DB ，11D B 的中点.设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和.OF五、随堂练习1.给出下面命题：①空间向量,,a b c ，若a b =，且.b c =则必有a c =.②,a b 为空间两个向量，若,a b =则a b =.③若a ∥b ，则表示a 与b 的有向线段所在直线平行.其中错误．．命题的序号是 .2.如图在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，CF=2FD,连接EF ，CE ，AF ，BF.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）AC CB BD ++； （2）AF BF AC --；（3）1223AB BC CD ++. （第2题）FE DA（第3题）C1B1A1FEDA3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是上底面1111A B C D 和侧面11CDD C 的中心，求下列各题中m ，n 的值：（1）1AE mAB nAD AA =++； （2）1AF mAB AD nAA =++.4.已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，,,,AB a AD b AP c ===E 为PC 的中点，试用,,a b c 表示向量CE .六、小结：1.共线向量； 2.共线向量定理.。
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1.1空间向量及其运算
（金戈铁骑 整理制作）
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
减法 运算
减平法 行:四三边角形向形对法法量则于则，空a间,b任,(a意≠0的）两，个b
运 算
加法交换律 a与 ba共b 线a 的充加法要交换条律件a 是b b a 加法结合律 存在实数λ，加法使结合b律= λ a
律 (a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
做共线向量(或平行向量),记作
a // b
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a +b = b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算(第1课时)课件
跟踪训练
A
归纳小结
归纳小结
2．熟练应用三角形法则和平行四边形法则 (1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连” 和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点． 进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点． (2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算． 注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边 表示向量的和与差．
第三章 空间向量与立体几何
3.1.1 空间向量的线性运算
引入课题
F1
F3
F2
已知|F1|=2000N, |F2|=2000N, |F3|=2000N, 这三个力两两之间的夹角 都为60°, 它们的合力的大小为多少N?
三个力的特点是： 三力既有大小又有方向， 但不在同一平面上. 所以解决这类问题， 需要空间知识.
C
向量的加减法统一 在平行四边形中
知识点五：数乘运算的概念
λ>0 方向
λ<0 大小 运算律
典例分析
[思路探索] 可根据向量相等的两个条件来进行判断， 任何一条不具备，则两向量不相等．
典例分析
【解析】 命题①，
据向量相等的定义，要保证两个向量相等， 不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错； 命题②符合两个向量相等的条件，②正确； 命题③正确； 命题④，任意两个单位向量只是模相等， 方向不一定相同，故④错． 【答案】 ②③
空间向量
知识点一：空间向量的概念
(1)定义：空间中具有 大小 和 方向 的量叫做向量．
(2)表示：
B
有向线段
向 量
几何表示
A
的 表 代数表示
示
知识点一：空间向量的概念
高中数学 第三章 3.1.1空间向量及其运算配套课件 苏教版选修2-1
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.1.1
1． 下列命题中是真命题的是________(填序号)．
①若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反； ②若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则 A→B>C→D； ③若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B ∥C→D； ④在四边形 ABCD 中，一定有A→B－A→D＝D→B.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.1
跟踪训练 4 如图所示，四边形 ABCD 是空间四
边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝ 23C→D.求证：四边形 EFGH 是梯形． 证明 因为 E，H 分别是 AB，AD 的中点， 所以A→E＝12A→B，A→H＝12A→D， 所以A→E－A→H＝12(A→B－A→D)，即H→E＝12D→B. 同理C→F－C→G＝23(C→B－C→D)，即G→F＝23D→B. 所以H→E＝34G→F，所以H→E∥G→F，且|H→E|≠|G→F|， 又 H，E，G，F 不共线，所以四边形 EFGH 是梯形．
例 3 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重
心．求证：A→G＝13(A→B＋A→C＋A→D)． 证明 连结BG，延长后交CD于点E，由G为 △BCD的重心，知B→G＝23B→E. 由题意知 E 为 CD 的中点， ∴B→E＝12B→C＋12B→D. A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E ＝A→B＋13(B→C＋B→D) ＝A→B＋13[(A→C－A→B)＋(A→D－A→B)]
研一研·问题探究、课堂更高效
例 4 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C.
课件1：3.1.1 空间向量及其加减运算
【解】 (1)A→B＋B→C＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)∵E、F、G 分别为 BC，CD，DB 的中点， ∴B→E＝E→C，E→F＝G→D. ∴A→B＋G→D＋E→C＝A→B＋E→F＋B→E＝A→F. 故所求向量A→D，A→F，如图所示．
变式训练 下列命题是假命题的为________． (1)空间向量中的两个单位向量必相等； (2)若空间向量满足 a∥b，b∥c，则 a∥c； (3)空间向量 a、b 满足 a＝b，则|a|＝|b|； (4)若空间向量 a，b，c 满足 a＝b，b＝c，则 a＝c.
【解析】 (1)单位向量模相等，方向不一定相同， 故两单位向量不一定相等．(2)若 b＝0，则结论不成立， (3)正确，(4)正确，相等向量满足传递性．
2．空间向量的数乘运算
定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ仍a 然是一个 向量，称为 向量的数乘运算．
3．空间向量的运算律
(1)加法交换律： a＋b＝b＋a ；
(2)加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
；
(3)分配律： (λ＋μ)a＝λa＋μa ； λ(a＋b)＝λa＋λb .
互动探究
其是利用三角形法则和平行四边形法则合并向量．
【自主解答】 (1) AB BC CC1 AC1 (运用“封口向
量”)．
(2) AA1 ＋12 AB ＋21 AD＝ AA1 ＋12( AB＋ AD) ＝ AA1 ＋21( A1B1 ＋ A1D1 )＝ AA1 ＋21 A1C1 ＝ AA1 ＋ A1E ＝ AE . 向量 AC1 、 AE 如图所示．
【错解】 在正方体中，因为 AB 与 CD 平行，故不 是共线向量，故①正确；因平行向量的方向相同或相反， 故②正确；因A→B与C→D同向，故由|A→B|＞|C→D|可得到A→B＞C→D， 故③正确；根据向量相等的定义知④正确．
2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算课件新人教B版选修2_1
等于
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 对于①A→B与C—1D→1，③A→D1与C→1B长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于②A→C1与B→D1长度相等，方向不相反； 对于④A→1D与B→1C长度相等，方向相同.故互为相反向量的有 2 对.
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3， AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终 点的向量中： ①单位向量共有多少个？ 解 由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量A—A→′，A—′→A，B—B→′，
(1)A—A→′－C→B； 解 A—A→′－C→B＝A—A→′－D→A＝A—A→′＋A→D＝A—D→′.
(2)A—A→′＋A→B＋B—′—C→′.
解 A—A→′＋A→B＋B—′—C→′＝(A—A→′＋A→B)＋B—′—C→′＝A—B→′＋B—′—C→′＝A—C→′. 向量A—D→′，A—C→′如图所示.
＝12a＋23[－12a＋c＋21(b－c)] ＝16a＋13b＋31c.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量A→B，C→D满足|A→B|＝|C→D|，A→B与C→D同向，则A→B>C→D；
＝(A→A1＋A→D)＋12A→B
＝a＋c＋12b.
(2)A→1N； 解 A→1N＝A→1A＋A→N
＝－A→A1＋A→B＋12A→D ＝－a＋b＋21c.
(3)M→P＋N→C1. 解 M→P＋N→C1＝(M→A1＋A—1D→1＋D→1P)＋(N→C＋C→C1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1] 下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。
1．下列命题中正确的个数是________．(1)如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(3)同向且等长的有向线段表示同一向量；(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．解析：(1)、(3)、(4)正确，(2)不正确．答案：32．给出下列命题：①若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间向量的模是一个正实数．其中假命题的个数是________．解析：①假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a与b的方向不一定相同；②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝；③真命题．向量的相等满足传递规律；④假命题．零向量的模为0，不是正实数．答案：2[例2] 化简：(－)－(－)．[思路点拨] 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算．[精解详析] 法一：将减法转化为加法进行化简．∵－＝＋，∴(－)－(－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.法二：利用－＝，－＝化简．(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.法三：∵＝－，＝－，＝－，＝－，∴(－)－(－)＝(－－＋)－(－－＋)＝－－＋－＋＋－＝0.[一点通]1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：(1)三角形法则和平行四边形法则；(2)正确使用运算律；(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是________．(1)－－；(2)＋－；(3)－－；(4)－＋.解析：(1)－－＝－＝； (2)＋－＝＋＝； (3)－－＝－ ＝－＝≠； (4)－＋＝＋＋ ＝＋≠. 故(1)(2)正确． 答案：(1)(2)4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝________.(用a 、b 、c 表示)解析：＝＋ ＝＋12(＋)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .答案：－12a ＋12b ＋c[例3] 如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：＝13(＋＋)．[思路点拨] 利用空间向量的线性运算和共线向量定理，用、、表示，即可得出要证的结果．[精解详析]连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知＝23.∵E 为CD 的中点， ∴＝12＋12.＝＋＝＋23＝＋13(＋)＝＋13[(－)＋(－)]＝13(＋＋)． [一点通]1．在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中，从而可以建立已知向量与未知向量之间的关系式．2．在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换，把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解．5．在本例中，若E 为CD 的中点，且＝m ＋n ＋p ，试求实数m ，n ，p 的值． 解：∵＝13＝13(＋)＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤BA ＋12( AD ＋AC ) ＝－13＋16＋16＝m ＋n ＋p ，∴m ＝－13，n ＝16，p ＝16.6.如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且＝23，＝23.求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴＝12，＝12，则＝－＝12－12＝12(－)＝12＝12(－) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32 CG －32 CF →＝34(－)＝34，∴∥且||＝34||≠||.又F 不在直线EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．在对向量进行加、减运算时，一定要运用其运算法则及运算律来化简，特别要注意的是将某些向量进行平移，将其转化到同一平面中去求解．解题时应结合已知和所求，观察图形，作一些必要的辅助线，联想相关的运算法则和公式等，就近表示出所需要的向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量做出新的调整，如此反复，直到所有的向量都符合要求为止．[对应课时跟踪训练(十八)]1．有下列命题：(1)单位向量一定相等；(2)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (3)相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； (4)方向相反的两个单位向量互为相反向量； (5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为________个．解析：(1)不正确，因为忽略方向；(2)方向相同，模相等的向量是相等向量，与起点无关，故(2)正确．(3)、(4)正确；(5)不正确，轨迹是个球面．答案：32．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝________. 解析：如图，＝－＝－＝－－(－)＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b3．在下列命题中，错误命题的序号是________． ①若a ≠λb ，则a 与b 不共线(λ∈R )； ②若a ＝2b ，则a 与b 共线；③若m ＝a －2b ＋3c ，n ＝－2a ＋4b －6c ，则m ∥n ； ④若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c .解析：①错，当a ≠0，b ＝0，λ≠0时，a 与b 共线，②③④均正确． 答案：①4．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知＝2e 1＋k e 2，＝e 1＋3e 2，＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：∵＝＋＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2， 又∵A ，B ，D 三点共线，∴＝λ， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.答案：－85．如图，已知空间四边形ABCD 中，＝a －2c ，＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则＝________.(用向量a ，b ，c 表示)解析：设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则＝＋＝12＋12＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c 答案：3a ＋3b －5c6．如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简＋13－12，并在图中标出化简结果的向量．解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴＝13.又∵12＝12(－)＝12－12＝－＝， ∴＋13－12＝＋－＝(如图所示)．7．已知正四棱锥P －ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1)＝＋y ＋z ； (2)＝x ＋y ＋.解：如图：(1)∵＝－＝－12(＋)＝－12－12，∴y ＝z ＝－12.(2)∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴＋＝2，＋＝2， ∴＝2－，＝2－， ∴＝2－2＋， ∴x ＝2，y ＝－2.8．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12＋＋23，并在图上以A 1A 的中点为起点标出计算结果；(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且BN ∶NC 1＝3∶1，试用向量，，来表示向量.解：(1)先在图中标出12，为此可取AA 1的中点E ，则12＝.∵＝，在D 1C 1上取点F ，使D 1F ＝23D 1C 1，因此23＝23＝，又＝，从而12＋＋23＝＋＋＝.计算结果如图所示．(2)＝＋＝12＋34＝12(＋)＋34(＋)＝12(－＋)＋34(＋)＝12＋14＋34.。