高一数学常考立体几何证明题及答案
高一数学常考立体几何证明题
1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。
2、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是
1
AA 的中点，
求证： 1//
A C 平面BDE 。
3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．
4、已知正方体
1111
ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C1O ∥面11
AB D ；(2)
1
AC ⊥面
11
AB D ．
5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：
''AC B D DB ⊥平面；
6、正方体ABCD —A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ；
(2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．
7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且
22EF AC =
，90BDC ∠=，
A
E D B
C
A
E D 1
C
B 1
D
C
B
A
S
D
C
B A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C A A B 1
B
C 1
C
D 1
D
G E
F
求证：BD ⊥平面ACD
8、如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、
11
C D 的中点.求证：平面
1D EF
∥平面BDG .
9、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是
1
AA 的中点.
（1）求证：
1//
A C 平面BDE ；
（2）求证：平面1A AC ⊥
平面BDE .
10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，
E 为BC 的中点．
求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．
11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．
12、如图1,在正方体
1111
ABCD A B C D -中，M 为
1
CC 的中点，AC 交BD
于点O ，求证：
1
AO ⊥平面MBD ．
13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．
14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH. 求证：截面EFGH 是平行四边形．
15．(12分)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为a ，M 、N 分别为A1B 和AC 上的点，A1M ＝AN ＝
2
3
a ，如图． (1)求证：MN ∥面BB1C1C ；
16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． (1)证明：PQ ∥平面ACD ；
17．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥面ACD. （2）平面EFC ⊥平面BCD .
20、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，
求证： 1//
A C 平面BDE 。
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
N M
P
C
B
A
25、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = 求证：MN AB ⊥；
26、如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、
AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .
27、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是
1
AA 的中点.
（1）求证：
1//
A C 平面BDE ；
（2）求证：平面
1A AC ⊥
平面BDE .
32、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
1、 证明：（1）BC AC CE AB
AE BE =⎫
⇒⊥⎬=⎭ 同理，AD BD DE AB
AE BE =⎫
⇒⊥⎬=⎭
又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE
（2）由（1）有AB ⊥平面CDE
又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 2、证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为
1
AA 的中点，O 为AC 的中点
∴EO 为三角形
1A AC
的中位线 ∴
1
//EO AC
又EO 在平面BDE 内，
1A C
在平面BDE 外 ∴
1//
A C 平面BDE 。
3、证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥
又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 4、证明：（1）连结11
A C ，设
11111
A C
B D O ⋂=，连结
1
AO
∵
1111
ABCD A B C D -是正方体 11
A ACC ∴是平行四边形
∴A1C1∥AC 且 11A C AC =
又
1,O O
分别是11,A C AC
的中点，∴O1C1∥AO 且
11O C AO
=
11
AOC O ∴是平行四边形
111,C O AO AO ∴⊂∥面
11
AB D ，
1C O ⊄
面
11
AB D ∴C1O ∥面
11
AB D
6、证明：(1)由B1B ∥DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD ， 又BD 平面B1D1C ，B1D1⊂平面B1D1C ， ∴BD ∥平面B1D1C ． 同理A1D ∥平面B1D1C ．
而A1D ∩BD ＝D ，∴平面A1BD ∥平面B1CD ．
(2)由BD ∥B1D1，得BD ∥平面EB1D1．取BB1中点G ，∴AE ∥B1G ．
从而得B1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD ．
7、证明：取CD 的中点G ，连 结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG
12
//AC =
12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，2222
12EG FG AC EF +==
∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂=
∴BD ⊥平面ACD
8、证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB
又
1D E ⊄
平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴
1D E
∥平面BDG
1EF D E E ⋂=，∴平面
1D EF
∥平面BDG
9、证明：（1）设AC BD O ⋂=， ∵E 、O 分别是1
AA 、AC 的中点，∴
1A C
∥EO
又
1A C ⊄
平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴
1A C
∥平面BDE
（2）∵
1AA ⊥
平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
1AA BD
⊥
又BD AC ⊥，1AC AA A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面1A AC
10、证明：在ADE ∆中，222
AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE = 在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴0
30DPE ∠=
11、证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD
（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，
PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥
12、证明：连结MO ，1A M
，∵DB ⊥
1A A
，DB ⊥AC ，
1A A AC A ⋂=，
∴DB ⊥平面
11
A ACC ，而
1A O ⊂
平面
11
A ACC ∴D
B ⊥
1A O
．
设正方体棱长为a ，则
22132A O a =
，2234MO a =．
在Rt △11A C M
中，22194A M a =
．∵222
11AO MO AM +=，
∴
1
AO OM ⊥．
∵OM ∩DB=O ，∴
1A O
⊥平面MBD ．
13、 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF
DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．
∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=， ∴ AH ⊥平面BCD ．
14．证明：∵SC ∥截面EFGH ，SC ⊄平面EFGH ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面EFGH ＝GH ， ∴SC ∥GH.
同理可证SC ∥EF ，∴GH ∥EF. 同理可证HE ∥GF. ∴四边形EFGH 是平行四边形．
15．解：(1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP.NP ∥BC ，
∴AP AB ＝AN AC ＝A1M
A1B
，∴MP ∥AA1∥BB1，∴面MPN ∥面BB1C1C. MN ⊂面MPN ，∴MN ∥面BB1C1C.
16．解：(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB.又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD.
17．证明：(1)在△ABD 中，
∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD.
又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，∴直线EF ∥面ACD. (2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD. 在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD. ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ，
又∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD.
18.证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴
1//,2EH BD EH BD =
同理，1
//,2FG BD FG BD =
∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形
20证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为
1
AA 的中点，O 为AC 的中点
∴EO 为三角形
1A AC
的中位线 ∴
1
//EO AC
又EO 在平面BDE 内，1A C
在平面BDE 外
∴
1//
A C 平面BDE 。
考点：线面平行的判定
21证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥
又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC
考点：线面垂直的判定
25、证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，
∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =[来源:学§科§网]
∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥
26、证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD
又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB
又
1D E ⊄
平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴
1D E
∥平面BDG
1EF D E E ⋂=，∴平面
1D EF
∥平面BDG
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 27、证明：（1）设AC BD O ⋂=，
∵E 、O 分别是1
AA 、AC 的中点，∴
1A C
∥EO
又1A C ⊄
平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴
1A C
∥平面BDE
（2）∵
1AA ⊥
平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
1AA BD
⊥
又BD AC ⊥，1AC AA A ⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面1A AC 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
32、证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，
∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，
SO=22
a ，
AO2=AC2－OC2=a2－21a2=21
a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
高一数学常考立体几何证明题及答案
1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： （1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面. 6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC =，90BDC ∠=， 求证：BD ⊥平面ACD A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面 BDG . 9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ； （2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形， 侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1 AO ⊥平面MBD ． 13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ． 14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH .
高一数学立体几何考点例题(全章)
高一数学立体几何例题(全章) 考点一 空间向量及其运算 1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122 555 OP OA OB OC = ++， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解析：要判断点P 与,,A B C 是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对,x y 使 AP x AB y AC =+或对空间任一点O ，有OP OA x AB y AC =++。 答案：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面． 点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式， 然后对照形式将已知条件进行转化运算． 2. 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上， 且13BM BD = ，1 3 AN AE =．求证：//MN 平面CDE ． 解析：要证明//MN 平面CDE ，只要证明向量NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE 和DC 线性表示． 答案:证明：如图，因为M 在BD 上，且1 3 BM BD =，所以 111333 MB DB DA AB ==+．同理11 33AN AD DE =+，又 CD BA AB ==-，所以MN MB BA AN =++ 1111()()3333 DA AB BA AD DE =++++2133BA DE =+21 33CD DE =+．又CD 与DE 不共线，根 据共面向量定理，可知MN ，CD ，DE 共面．由于MN 不在平面CDE 内，所以//MN 平面CDE ． 点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开. 考点二 证明空间线面平行与垂直 3. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1； 解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC =3，BC =4AB =5， ∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E
(完整版)高中数学立体几何大题(有答案)
1．(2014•山东）如图,四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC 的中点． (Ⅰ）求证:AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证:BE⊥平面PAC． 解答：证明：（Ⅰ）连接CE,则 ∵AD∥BC，BC=AD,E为线段AD的中点， ∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形, 设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点， ∵F为线段PC的中点， ∴PA∥OF， ∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF， ∴AP∥平面BEF; (Ⅱ）∵BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD, ∵AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD， ∴AP⊥CD， ∴BE⊥AP， ∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形， ∴四边形ABCE是菱形， ∴BE⊥AC， ∵AP∩AC=A， ∴BE⊥平面PAC． 3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD; （Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．
解答：解：(Ⅰ)取PD的中点F，连接EF，AF, ∵E为PC中点，∴EF∥CD，且， 在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=1， ∴EF∥AB，EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形, ∴BE∥AF，∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD．（4分） （Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥AD．（5分) 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz． 则A(1，0，0），B（1,1，0)，C（0，2，0)，P(0，0，1）．（6分） ，, ∴，BC⊥DB,（8分） 又由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC， ∴BC⊥平面PBD．(9分） (Ⅲ）由（Ⅱ）知,平面PBD的法向量为,（10分） ∵，，且λ∈(0,1） ∴Q(0,2λ,1﹣λ），（11分） 设平面QBD的法向量为=(a，b，c），,，由，，得 ， ∴，（12分） ∴，(13分) 因λ∈（0，1），解得．（14分）
高一立体几何试卷及答案
立体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ ，BC//QR,则∠PQP 等于（ ） A 030 B 030 C 0150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n 在α内，则m 与n 的关系为（ ） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=⊂ D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )
高一寒假作业(8)——立体几何二面角专题(含答案)
高一寒假作业（8）—二面角专题 1、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （1）求证：A 1C //平面AB 1D ； （2）求二面角B —AB 1—D 的正切值； 2、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AD AA AB ===点E 在线段AB 上. （1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角； （2）若二面角1D EC D --的大小为45︒，求点B 到平面1D EC 的距离. 3. 如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ； （2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； （3）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的正切值。 4、 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。 （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1CC 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --的正弦值。
5、 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。 （1）试确定PB P A 1的值，使得PC ⊥AB ； （2）若3 21=PB P A ，求二面角P —AC —B 的大小； （3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离。 6、如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的正弦值. 7、如图7-29，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，,32=BD ，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3。 （1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的正切值。 A B C E D P
高一数学立体几何解答题与答案详解
高一数学立体几何解答题与答案详解 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． （1）证明:连结BD .在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、 F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴. 11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. （2） 在长方体1 AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1. 又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 2．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。 （1）求三棱锥D PAC -的体积；（2）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC . 解：（1）1111 3326 D PAC P DAC DAC V V S PD DA DC PD --∆== ⋅=⨯⨯⨯⨯= （2）证明：设O 为AC 、BD 的交点，连接PO 在1D DB ∆，PO 是中位线，1//PO D B ∴ 又1D B ⊄平面PAC ，PO ⊂平面PAC 1//D B ∴平面PAC （3）证明： 1AB AD == ∴四边形ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥ 又1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴1B B ⊥AC 而1AC BB B = ∴ AC ⊥平面11BB D D 又1B P ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥1B P 连接1B O ，由条件知 22211113B P D P B D =+=，2223 2 PO DP DO =+= 2221192 B O BB BO =+= ， 显然 22211B O B P PO =+ ∴1B P PO ⊥ 又1B P AC O = P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 图6 C
高一立体几何试题及答案详解
潜山中学2 0 0 6 .高一立几阶段考试题 A.若 a// ，且 a 〃b,贝U b 或 b 〃 B.若 a//b ，且 a ,b ，则 // l , m , l m 点 A,l // ,m// 则〃 A.l 个 B.2个 C.3个 D.4个 7、设a 、b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面，则下列四个命题: ①若a b, a , b ，则b 〃 ；②若a// 一.选择题：（1 2*5 = 60) 1.设有两条直线 a 、 b 和两个平面 ,则下列命题中错误的是 C .若〃，且 a ,b ，则 a//b D .若 a b ,且 a// ，贝 1 J b 2 .有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 （ （A ）棱台 （B ）棱锥 （C ）棱柱 （D ）都不对 3、正三棱锥S — ABC 的侧棱长和底面边长相等， 如果E 、F 分别为SC, AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成角为 （） A. 90 0 B. 60 0 C. 45 0 D. 30 4.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确的是 （） A.①②③ B.②④ C.②③④ D.③④. 5、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 , 腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （） 1 2 A.- --- 2 2 B . D. 6、给出下列关于互不相同的直线 m,n, l 和平面， 的四个命题 (1)m ,l A, 点A m,则l 与m 不共面；（2 ） l 、m 是异面直线， l // ,m //，且 n l, n m,则 n l// ,m// // ，则 l 〃 m ③若a ，则 a// ;④若a b, a , b ，则 其中正确命题的个数为 A. 0 C. 2 D. 3 () ,其中为错误的命题是 )个.
高一立体几何解析几何练习及答案
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2 1．如果直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，那么a 的值等于 （A ）1； （B ）1-； （C ）2； （D ）2-. 2．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， M 、N 分别是 1BB 、BC 的中点，则图中阴影部分在平面11ADD A 上的 正投影为 3．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列四个命题中，不正确．．． 的是 （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 也共面； （B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 也是异面直线； （C ）若AB AC =，DB DC =，则AD BC =； （D ）若AB AC =，DB DC =，则AD BC ⊥. 4．长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）． A ．23 B ．32 C ．6 D ．6 5．若A （－2，3），B （3，－2），C （2 1 ，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） ． A ．21 B ．2 1 - C ．－2 D ．2 6．如图，正方体1111ABCD A BC D -中， AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角是 （A ）30°； （B ）45°； （C ）60°； （D ）90°. A 1 C 1 D 1 A C D B 1 B N
3 7．已知点(0, 1)M -，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线 032=-+y x ，则N 点的坐标是 （A ）(2, 3)--； （B ）(2, 3)； （C ）(2, 1)--； （D ）(2, 1). 8．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面面积为S ，那么圆柱的体积是 （A ） S S 2； （B ）πS S 2； （C ）S S 4； （D ） π S S 4. 9．两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则 （A ）12a -<<； （B ）1a >-； （C ）2a <； （D ）1a <-或2a >. 10．已知直线1l α⊥平面，直线2l β⊂平面，以下四个命题： ①12//l l αβ⇒⊥，②12//l l αβ⊥⇒，③12//l l αβ⇒⊥，④ 12l l αβ⊥⇒⊥. 其中正确的命题是 （A ）①、②； （B ）①、③； （C ）②、④； （D ）③、④. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 。 12．已知球的内接正方体的棱长为1，那么球的体积等于 . 13．直线1 2 y x = 关于直线1x =对称的直线方程是 . 14．如图所示，侧棱长均为1的三棱锥V —ABC 中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝30°，过点A 作截面AEF ，则截面三角形AEF 周长的最小值是 . 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． V A B C E F
高中立体几何典型50题及解析
高中立体几何典型500题及解析(一) 1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则 （A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C 分别作两条与二面角的交线垂直的线，则 ∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2ABO ∴∠>∠1902190 ABO ∠+∠=∴∠+∠≤ 2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面． 的一个图是 P P Q Q R S S P P P Q Q R R R S S S P P P Q Q Q R R S S S P P Q Q R R R S S （A ） （B ） （C ） （D ） D 解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形 B 项： 如图
C 项：是个平行四边形 D 项：是异面直线。 3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是 （A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ （C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D 解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。 C 项：如图 4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 1 1 1 1 C 解析：11 B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图： 点到定点B 的距离与到定 直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。 5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 （A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）
高中数学必修立体几何考题附答案
高中数学必修2立体几何考题13．如图所示;正方体ABCD－A1B1C1D1中;M、N分别是A1B1;B1C1的中点．问： 1AM和CN是否是异面直线说明理由； 2D1B和CC1是否是异面直线说明理由． 解析：1由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点;可证明MN∥AC;因此AM与CN不是异面直线．2由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大;判断的方法可用反证法． 探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法即由条件入手;经过推理、演算、变形等;如第1问;还有假设法;特例法;有时证明两直线异面用直线法较难说明问题;这时可用反证法;即假设两直线共面;由这个假设出发;来推证错误;从而否定假设;则两直线是异面的．解：1不是异面直线．理由如下： ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点;∴MN∥A1C1. 又∵A1A∥D1D;而D1D綊C1C; ∴A1A綊C1C;∴四边形A1ACC1为平行四边形． ∴A1A∥AC;得到MN∥AC; ∴A、M、N、C在同一个平面内;故AM和CN不是异面直线． 2是异面直线．理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内; 则B∈平面CC1D1;C∈平面CC1D1. ∴BC平面CC1D1;这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾; ∴假设不成立;故D1B与CC1是异面直线． 14．如下图所示;在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中;M为AB的中点;N为BB1的中点;O为面BCC1B1的中心． 1过O作一直线与AN交于P;与CM交于Q只写作法;不必证明； 2求PQ的长不必证明． 解析：1由ON∥AD知;AD与ON确定一个平面α.又O、C、M 三点确定一个平面β如下图所示． ∵三个平面α;β和ABCD两两相交;有三条交线OP、CM、DA;其中交线DA与交线CM不平行且共面． ∴DA与CM必相交;记交点为Q. ∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P;与CM交于Q; 故OPQ即为所作的直线． 2解三角形APQ可得PQ＝错误!. 15．如图;在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB＝BC＝B1B＝ a;∠ABC＝90°;D、E分别为BB1、AC1的中点．
高一数学立体几何综合试题答案及解析
高一数学立体几何综合试题答案及解析 1.等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为_______． 【答案】 【解析】 如上图，，，，因为，所以 ，所以，在直观图中， 【考点】斜二测画法 2.在四边形中，∥，，将沿折起，使平面 平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（） A．平面平面B．平面平面 C．平面平面D．平面平面 【答案】D 【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°,∴BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD. 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB, 故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC． 故选D． 【考点】折叠问题，垂直关系。 点评：中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。 3.已知、是不同的平面，、是不同的直线，则下列命题不正确的（） A．若∥则B．若∥,则∥ C．若∥，，则D．若则∥ 【答案】B 【解析】A项中∥；B项中直线，可能平行可能异面；C项依据线面垂直的判定定理可知成立；D项依据垂直于同一直线的两平面平行可知结论正确【考点】空间线面间平行垂直的判定 点评：本题用到了判定定理有：一个平面经过另一平面的一条垂线则两面垂直，两条平行直线中的一条垂直于平面则另一条也垂直于平面，垂直于同一直线的两平面平行
4.①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中为真命题的是（） A．①和②B．②和④C．③和④D．②和③ 【答案】B 【解析】解：因为 ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；可能平行，因此错误。 ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；成立 ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能相交，错误 ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．成立故选B 5.如图，正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为． （1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值． 【答案】（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD， ∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=． 设AB=1，则PO=AOtan∠PAO =． 设F为AD中点，连FO、PF， 易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PAO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角． 在Rt中，， ∴，即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为； （2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以． ∴就是异面直线PD与AE所成的角． 在Rt中，．∴． 由，可知面．所以， 在Rt中，， 即异面直线PD与AE所成角的正切值为． 【解析】略 6.（本小题满分16分） 如图，多面体中,两两垂直，平面平面， 平面平面，. (1)证明四边形是正方形； (2)判断点是否四点共面，并说明为什么？
新人教版高一年级数学下学期期末高频考点专题突破：立体几何中的证明问题(解析版)
立体几何中的证明问题 题型一：位置关系的判定 典例1、已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是 A ．若//,,//l m l m αα⊂则 B ．若//,//,//l m l m αα则 C ．若,,l m m l αα⊥⊂⊥则 D ．若,//,l l m m αα⊥⊥则 答案： D 解析： 由题意，A 中，若//,l m αα⊂，则//l m 或l 与m 异面，所以不正确； B 中，若//,//l m αα，则//l m 或l 与m 相交或异面，所以不正确； C 中，若,l m m α⊥⊂，则l α⊥或l 与平面α斜交或平行，所以不正确； D 中，若,//l l m α⊥，则m α⊥是正确的，故选D. 典例2、若a 是空间中的一条直线，则在平面α内一定存在直线b 与直线a （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面 答案： C 解析： 对直线a 与平面α分三种情况讨论：一是在面α内，二是与面α平行，三是与面α相交，均可得到存在直线与a 垂直. 【详解】 如图所示的正方体中：取平面α为平面ABCD ， （1）取直线a 为AB ，显然存在直线BC a ⊥； （2）取直线a 为11A B ，显然存在直线BC a ⊥； （3）取直线a 为1AA ，显然存在直线BC a ⊥； 故选：C 【点睛】 本题考查空间中线面、线线位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体模型. 典例3、在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）
高中数学必修2立体几何考题(附答案)
高中数学必修2立体几何考题 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法． 探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的． 解：(1)不是异面直线．理由如下： ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A∥D1D，而D1D綊C1C， ∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形． ∴A1A∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线． (2)是异面直线．理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1. ∴BC?平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾， ∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线． 14．如下图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心． (1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)； (2)求PQ的长(不必证明)． 解析：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如下图所示)． ∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q. ∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P，与CM交于Q， 故OPQ即为所作的直线． (2)解三角形APQ可得PQ＝. 15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB1、AC1的中点． (1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值； (2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线； (3)求异面直线BB1与AC1的距离． 解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角． 又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°， 所以A1C1＝a，tan∠A1AC1＝， 即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为. (2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1. 又D、E分别是BB1、MM1的中点， 可得DE綊BM. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 由条件AB＝BC得BM⊥AC， 所以BM⊥平面ACC1A1， 故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1， 即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线． 解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B 是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DE∥AF. 在△ACF中，由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.
立体几何常考证明题及答案
立体几何常考证明题 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形，E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,DA 的中点 (1) 求证：EFGH 是平行四边形 (2) 若BD=2j3，AC=2 EG=2求异面直线 AC BD 所成的角和 EG BD 所成的角。 1 证明：在 ABD 中，••• E, H 分别是AB, AD 的中点二EH //BD ,EH 二 BD 2 1 同理，FG//BD,FG BD /• EH //FG ,EH = FG 二四边形EFGH 是平行四边形。 2 ⑵ 90 ° 30 ° 考点：证平行(利用三角形中位线) ，异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC =AC,AD =BD , E 是AB 的中点。 同理，AD —BD =. DE _ AB AE =BE J 又CE ' DE 二 E AB _ 平面 CDE (2)由(1)有AB _平面CDE 又AB 平面ABC , •••平面CDE _平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 求证： (1) AB _ 平面 CDE; (2) 平面CDE _平面ABC 。 证 明： BC 二 AC | — (1) CE 丄 AB AE =BE C
3、如图，在正方体 ABCD —中，E 是AA 的中点, 求证：AC 〃平面BDE 。 证明：连接 AC 交BD 于O ，连接EO , ••• E 为AA 的中点，O 为AC 的中点 ••• EO 为三角形A AC 的中位线••• E0〃 AC 又E0在平面BDE 内，AC 在平面BDE 外 •- AC // 平面 BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知 MBC 中 N ACB =90",SA 丄面 ABC , AD 丄 SC ,求证：AD 丄面 SBC . 证明：T ACB =90 ° . BC _ AC 又 SA_ 面 ABC SA_ BC .BC _ 面 SAC .BC _ AD 又 SC — AD,SC 「BC =C AD —面 SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD - A,B]C 1D 1, 0是底ABCD 对角线的交点. 求证：(1 ) C i O // 面 ABD , ； (2) AC _ 面 AB 1D 1 . 证明：(1)连结 A 1C 1，设 AC 1 BlDi 二。1，连结 AO ••• ABCD -ABC J D ,是正方体 • AACG 是平行四边形 • A i C i // AC 且 AC , = AC 又 0i ,0分别是 AC i ，AC 的中点，• O l C i / AO 且 O i C i 二 AO AOC i O i 是平行四边形 G°// AOi ，AO1 面 ABp , CQ 二面 AB ,D , • C i O /面 ABP (2)T CG _ 面 A ^GU CC — BD 又；AG —BP , B I D I —面 A i c i c 即 AC _ BD 同理可证AC 丄AD i ,又DiB c AD i = D i AC —面 AB ,D , 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定 B C C C i C
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析 1. ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 是正方体，O是B 1 D 1 的中点，直线A 1 C交平面AB 1 D 1 于点M，则下列结论 中错误的是 A．A、M、O三点共线 B．M、O、A 1 、A四点共面 C．A、O、C、M四点共面 D．B、B 1 、O、M四点共面【答案】D 【解析】平面A 1C∩平面AB 1 D 1 =AO， ∵直线A 1C交平面AB 1 D 1 于点M， ∴M∈AO，即A，O，M三点共线； 根据A，O，M三点共线，知A 1A∩AO=A， ∴M，O，A 1 ，A四点共面； 同理M，O，C 1 ，C四点共面； OM，B 1D是异面直线，故O，M，B 1 ，D四点共面是错误的， 故选D。 【考点】本题主要考查正方体的几何特征、空间点线面的位置。 点评：基础题．重在基础知识的记忆与理解。 2.两等角的一组对应边平行，则 A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边也不可能垂直 D．以上都不对 【答案】D 【解析】两个等角的一组对边平行， 另外一组边可以具有各种位置关系， 并且不能确定是哪一种关系， 故选D． 【考点】本题主要考查空间图形平行关系。 点评：易错题的基础题，需要认真分析题目所叙述的命题是否正确。 3.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是 A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定 【答案】A 【解析】若AB∥CD，易得EF与α、β均平行 若AB与CD相交，则EF与α、β均平行 若AB与CD异面，则 设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示： 且使G，F，H在一直线上． 因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且 CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH， 因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以
立体几何常考证明题及答案
立体几何常考证明题 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E, F , G, H 分别是边 AB, BC , CD , DA 的中点 （ 1）求证：EFGH是平行四边形 （ 2）若BD=2 3 ，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、 BD所成的角。 A E H B D F G C 证明：在ABD 中，∵E, H分别是AB, AD的中点∴EH // BD , EH 1 BD 2 同理， FG // BD , FG 1 BD ∴ EH // FG ,EH FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。2 (2) 90 ° 30° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中， BC AC,AD BD ，E是AB的中点。求证：（ 1）AB平面 CDE; （ 2）平面CDE平面 ABC 。A BC AC CE AB 证明：（ 1） BE E AE AD BD DE AB B C 同理， BE AE 又∵ CE DE E∴ AB平面 CDE D （ 2）由（ 1）有AB平面 CDE 又∵ AB 平面 ABC ，∴平面 CDE平面 ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定
3、如图，在正方体 ABCD A 1 BC 1 1D 1 中， E 是 AA 1 的中点， 求证： AC 1 // 平面 BDE 。 A D 1 证明：连接 AC 交 BD 于 O ，连接 EO ， B 1 C E ∵ E 为 AA 1的中点， O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 A D 又 EO 在平面 BDE 内， AC 1 在平面 BDE 外 ∴ AC //平面 BDE 。 B C 1 考点：线面平行的判定 4 、已知 ABC 中 ACB 90 ,SA 面 ABC , AD SC 求证： AD , 证明： ∵ ACB 90 ° BC AC 又 SA 面 ABC S A B C BC 面 SAC BC AD 又 SC AD, SC BC C AD 面 SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD A 1BC 11 D 1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证： (１ ) C 1O ∥面 1 1 ；(2) 1 面 1 1 ． ABD AC AB D 证明：（ 1）连结 AC 1 1 ，设 AC B D O ，连结 AO 1 1 1 1 1 1 ∵ ABCD ABC D 1 是正方体 A ACC 是平行四边形 1 1 1 1 1 ∴ A 1C 1∥ AC 且 AC 1 AC 1 又O ,O 分别是 AC 1 , AC 的中点，∴ O 1C 1∥ AO 且 O C AO 1 1 1 1 AOC 1O 1 是平行四边形 C 1O ∥ AO 1 , AO 1 面 AB D ，CO 面 ABD 1 ∴C 1O ∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 （ 2） CC 1 面ABCD CC BD ∵ AC 1 1 1 1 1 1 ! 又 1 B D B D 面ACC 即AC BD 1 1 1 ， 同理可证 AC 1 AD 1 ， 1 1 1 1 1 1 1 又 D 1 B 1 AD 1 D 1 AC 1 面 AB 1D 1 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定 面 SBC ． S D A B C D 1 C 1 B 1 A 1 D C O A B
高一数学立体几何试题答案及解析
高一数学立体几何试题答案及解析 1.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】略 2.在正方体ABCD–A 1B 1 C 1 D 1 中，已知E是棱C 1 D 1 的中点，则异面直线B 1 D 1 与CE所成角的余 弦值的大小是（） A．B．C．D． 【答案】Ｄ 【解析】略 3.如图1，正方体中，、是的三等分点，、是的三等分点，、 分别是、的中点，则四棱锥的侧视图为（） 【答案】C 【解析】侧视图从左向右投影，对应，对应，对应，对应，因此侧视图为C项【考点】三视图 4.已知直线，平面，下列命题正确的是（） A． B． C．
D． 【答案】D 【解析】根据两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行，符号表示为：； 【考点】空间中两个平面平行的判定定理； 5.（本小题满分13分）如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中 点． （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到AD⊥BB 1 ，并且AD⊥BC，从而由线面 垂直的判定定理可得到AD⊥平面BCC 1B 1 ；（2）连接C 1 D，从而可得到∠AC 1 D为直线AC 1 和 平面BCC 1B 1 所成角，在Rt△AC 1 D中，容易求出AD，AC 1 ，从而sin∠AC 1 D=． 试题解析：（1）直三棱柱中， ，又， D是BC的中点，， 平面； （2）连接，由（1）平面， 则即为直线与面所成角， 在直角中，，， ，． 即直线与面所成角的正弦值为． 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 6.正方体的表面积为24，则该正方体的内切球的体积为____________．【答案】 【解析】正方形边长设为，内切球的直径为2，所以体积为【考点】正方体与球的基本知识 7.在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，二面角C 1 －AB－C的平面角等于（） A．30°B．45°C．60°D．90° 【答案】B 【解析】根据二面角的定义，是所求二面角的平面角，易得：．【考点】二面角