曲线坐标计算

曲线坐标计算

一、 圆曲线

圆曲线要素：α---------------曲线转向角

R---------------曲线半径

根据α及R 可以求出以下要素：

T----------------切线长

L----------------曲线长

E----------------外矢距

q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）

各要素的计算公式为：

??=180π

αR L (弧长)

)12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）

圆曲线主点里程：ZY=JD －T

QZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2

YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －q

JD=QZ＋q／2（校核用）

1、基本知识

◆里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。

◆表示方法：DK26＋284.56。

“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。CK ——表示初测导线的里程。

DK ——表示定测中线的里程。

Ｋ——表示竣工后的连续里程。

铁路和公路计算方法略有不同。

2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）

已知条件：起点、终点及各交点的坐标。

1）计算ZY、YZ点坐标

通用公式：

2）计算曲线点坐标

①计算坐标方位角

i 点为曲线上任意一点。

li 为i 点与ZY点里程之差。

弧长所对的圆心角

弦切角

弦的方位角

当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。

②计算弦长

③计算曲线点坐标

此时的已知数据为：

ZY（x ZY，y ZY）、 ?ZY- i、 C。

根据坐标正算原理：

切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：

利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：

式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZY时，

“±”取“＋”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为YZ时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；

注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直

3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角

4、弧长公式

由 L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180

二、缓和曲线（回旋线）

缓和曲线主要有以下几类：

A：对称完整缓和曲线（基本形）------切线长、ls1与ls2都相等。

B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等

C: 非完整缓和曲线（卵形曲线）----连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线

D: 回头曲线------------回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其

转角接近、等于或大于180度。

1、基本形缓和曲线

基本公式：

ρ=A2/l A=√Rls

ρ为缓和曲线上任意点的曲率半径 A为回旋线参数

l为缓和曲线上任意点到起点（ZH）的距离（弧长）

ls为缓和曲线的全长

切线角公式：

缓和曲线直角坐标

任意一点 P 处取一微分弧段 ds ，其所对应的中心角为 d β x dx=dscos β x

dy=dssin β x

缓和曲线常数

主曲线的内移值 p 及切线增长值 q

内移值： p=Y

s -R(1-cosβ

s

)=l

s

2/24R

切线增长值： q=X

s -Rsinβ

s

=l

s

/2-ls3/240R2

缓和曲线的总偏角及总弦长

总偏角：β

s =l

s

/2R ? 180／Π

总弦长： C

s =l

s

-l

s

3/90R2

缓和曲线要素计算切线长

外距

曲线长

圆曲线长

切线差

平曲线五个基本桩号：

ZH —— HY —— QZ —— YH —— HZ

缓和曲线主点里程：

ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+Ls

QZ=ZH+L总/2=HZ-L总/2 JD=QZ+q/2（校核）

缓和曲线上任意点坐标计算

切线支距法：以缓和曲线起点ZH(HZ)点为坐标原点，起点的切线为x轴，过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系，则缓和曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：

利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：

“±”取“＋”，X0=X(ZH), 式中：α为ZH(HZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZH时，

Y0=Y(ZH), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为HZ时，“±”取“-”，X0=X(HZ), Y0=Y(HZ), 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；

曲线上任意点的方位角

α(i)=α（ZH或HZ）±ββ为切线角±为右转“﹢”左转“﹣”

当点位于圆曲线上，有：

其中，，为点到坐标原点的曲线长。

2、非对称完整缓和曲线

由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合，于是引入非对称缓和曲线型平曲线。非对称缓和曲线在计算时较困难，不能简单套用对称缓和曲线的公式。以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理。（1）计算原理

如图1所示，平曲线由非对称缓和曲线Ls1、Ls2及半径R的圆曲线组成，JD为平曲线切线交点，转角α。由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式。

平曲线各要素计算：

注：第一式最后一项应 +q1

根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点（ZH或HZ）坐标：

X(ZH)=X(JD)+T1×COSα

Y(ZH)=Y(JD)+T1×Sinαα为JD～ZH方位角

X(HZ)=X(JD)+ T2×COSα

Y(ZH)=Y(JD)+T2×Sinαα为JD～HZ方位角

曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出。

3、非完整缓和曲线（卵形曲线）

卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线，即卵形曲线是缓和曲线的一段，在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段。

首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即ZH 或HZ点桩号、坐标和切线方位角。这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算。（1）卵形曲线参数

式中：R大，R小为卵形曲线相连的两圆曲线半径，为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度。

（2）与相对应的完整缓和曲线的长度为

（3）卵形曲线的起点Q（接大半径圆的点）至假设存在的完整缓和曲线起点ZH或HZ点的弧长为

或 =－

（4）与对应的弦长为

又因为

βQ-------切线角ΔQ-------切点Q至假设起点ZH(HZ)的弦切角

故可得，Q点至ZH点的方位角

ZH点的切线方位角

Q 点至HZ 点的方位角

HZ 点的切线方位角

求得卵形曲线起点Q 至ZH(HZ)的弦长和方位角后，则ZH(HZ)点的坐标为 求出假设的ZH(HZ)点的坐标后，就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标。

上面的公式（3）到（11）是以不完整缓和曲线的起点Q （接大圆点）来计算假设的完整缓和曲线起点ZH(HZ)的坐标。也可以以接小圆的缓和曲线终点YH(HY)来计算起点ZH(HZ)坐标。如下：

① 与相对应的完整缓和曲线的长度为

② 与对应的的弦长为 总弦长： C s = l s -l s 5/90R 2 l s 2= l s -l s 3/90R 2

③ 接小圆的YH(HY)点的切线角

总偏角： βs =l s /2R ? 180／Π

④ 接小圆的YH(HY)点到假设起点ZH(HZ)的弦切角

⑤ 设接小圆的YH(HY)点为Z ，则Z 点至ZH 点的方位角

α（Z-ZH ）=α(Z)＋180±R

l b s 3200==δ ⑥ ZH 点的切线方位角

α（ZH ）=α(Z)±β(Z)

⑦Z点至HZ点的方位角

α（Z-HZ）=α(Z)

⑧ HZ点的切线方位角

α（HZ）=α(Z)±β(Z)

⑨ZH(HZ)点的坐标为 (设接小圆的YH(HY)点为Z)

X(ZH或HZ)=X(Z)+ C

s cosα

Z-ZH(HZ)

Y(ZH或HZ)=Y(Z)+ C

s Sinα

Z-ZH(HZ)

C

s

为弦长

注：卵形曲线上大圆包含小圆，也就是说接小圆处的曲率半径为R小，沿大圆方向曲率半径渐大。假设的完整缓和曲线的起点ZH(HZ)在大圆那边。

4、回头曲线

什么是回头曲线

回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式，其转角接近、等于或大于180度。

在实际中，我们确实经常在山区道路碰到回头曲线，基本的感觉就是一个急弯，并且转了一百八十度，跟掉头差不多，也就是前面描述的：转角接近、等于或大于180度。下图是湘西“公路奇观”的连续回头曲线。

这里所讨论的回头曲线，主要是基于其平面坐标计算的特殊性而言的，它只有一个定义，就是：转角大于或等于180度，由于实际使用中很少有转角正好等于180度的情况，所以就是指转角大于180度这种情况了。

为什么这么定义呢，因为一般情况下，交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧，即便是转角接近180度，它的交点也在曲线外侧，如下图：

而当转角等于180度时，则成为两条平行线，没有交点，或者说无限远，其曲线位置不具有唯一性，这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于180度时，则交点的位置就比较特殊了，如下图：

这个图中，JD1和JD3是普通情况下的交点，均在曲线的外侧，而JD2的转角大于180度，其位置在曲线的内侧，这种情况，才是本此讨论的回头曲线。

回头曲线的计算

（1）曲线要素的计算

先看一个案例，邵怀高速公路溆浦连接线（二级公路），有一个回头曲线，其曲线设计参数如下：

JD5，交点坐标X=3046429.812，Y=450083.958，转角224°08′21.8″（左转），半径60m，缓和曲线长35m，曲线ZH点桩号K49+302.600，切线方位角359°23′17.9″，平面图形如下所示：

交点桩号：ZH点桩号K49+302.600加上切线长T，结果为K49+169.972。

从这个计算结果来看，我们发现与一般曲线要素不同的地方是：

1．切线长T和外距E为负值；

2．交点桩号比ZH点桩号小。

设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：

（2）中桩坐标的计算

虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方，但现在我们更关心的是，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能否计算出准确的结果。答案肯定是不能的，否则我也不会写这篇文章，在这里白费神了。

中间具体的计算过程我就不展示了，按照普通平曲线的中桩坐标计算公式，能够计算出各个桩号的坐标，只可惜是错误的结果。按照这个错误的结果，展示该回头曲线的图形如下：

回头曲线的处理

回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果，原因在于它的交点实际在曲线内侧，而程序则把它当作普通曲线来处理，从上面那个图形即可看出。处理的方法很简单，就是把回头曲线一分为二，分成两个普通曲线，如下图所示，将JD5对称地分为JD5a 和JD5b。

这样，只要把JD5 a和JD5b当作普通曲线交点进行计算就行了。首先需要确定JD5 a和JD5b的相关参数，

先看JD5a。

1）计算终点。显然，JD5a的计算终点就是回头曲线的曲中点，从设计文件直曲表上可查得，是K49+437.459；

2）本交点桩号。JD5a的桩号嘛，应该是回头曲线的ZH点加上JD5a曲线的第一切线长。回头曲线的ZH点在直曲表上有，K49+302.600，而JD5a曲线的第一切线长，那就需要计算一下了。

根据示意图，由于图形的对称性，JD5a和JD5b的切线长有两个：T1和T2，

JD5a的曲线要素为：半径R=60m，第一缓和曲线Ls1=35m，第二缓和曲线Ls2=0m，交点转角是回头曲线转角的一半，即224°08′21.8″/2=112°04′10.9″，可计算得：

T1=106.865m，T2=89.986m。

则JD5a的桩号= 49302.600+106.865=49409.465

3）本交点X/Y坐标。根据坐标正算原理，按照几何关系，已知JD5的坐标为X=3046429.812，Y=450083.958，JD5-JD5a的距离=106.865+132.628=239.493m，JD5-JD5a的坐标方位角359°23′17.9″，容易得出JD5a的坐标为：X=3046669.291，Y=450081.401。

4）交点之前直线方位角，就是JD5-JD5a的坐标方位角359°23′17.9″（也是JD5ZH点的方位角）。

5）交点转角。交点转角是回头曲线转角的一半，即224°08′21.8″/2=112°04′10.9″，左转。

6）平曲线半径及缓和曲线长度。半径R=60m，第一缓和曲线Ls1=35m，第二缓和曲线Ls2=0m。

7）交点计算起终点桩号。就是曲线的起终点桩号，49302.600~49437.459

到此，JD5a数据搞定。

JD5b的数据，计算方法和前面基本一致，结果如下：

计算终点：49572.318；交点桩号：49527.445；交点坐标：X=3046599.893，Y=449915.348；交点之前直线方位角：247°19′07″；交点转角：112°04′10.9″，左转；半径R=60m，Ls1=0m，第二缓和曲线Ls2=35m；交点计算起终点桩号：49437.459~49572.318。

参数数据计算出来后，就可以按普通平曲线的计算方法来计算出回头曲线上任意点的坐标。

案例当中回头曲线逐桩坐标表：