最好的集合题型归纳

第1讲 集合

一、知识梳理

1.集合、子集、空集的概念；两个集合相等的概念.

2.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．

4.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

5.若A B B C ??，，则A C ?

6.,,.A A B A B A A B A B ???

7.A B A B B ??= ;A B A B A ??= .

8.交集：{|A B x x A =∈ 且}x B ∈；

并集：{|A B x x A =∈ 或}x B ∈；

补集：若B U ?,则{|U C B x x U =∈且}x B ?；

9.,A A A ?=??= ,,A A A A A A == ；

10.A B A A B =?? ．A B A A B =?? ；

11.()()()U U U C A B C A C B = ，()()()U U U C A B C A C B = （德·摩根律）

二、典例精析

【例1】下列八个关系式①{0}=φ；②φ=0；③φ={φ}；④φ∈{φ}；⑤{0}?φ；⑥0?φ；⑦φ≠{0}；⑧φ≠{φ}其中正确的个数（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

【练习】设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( )

A ．M 、N 、P

B ．M 、P 、Q

C ．N 、P 、Q

D ．M 、N 、Q

【例2】下列各式中，正确的是（ ） A.2}2{≤?x x B.{}≠<>12x x x 且φ C.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠ D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}

【练习】1、集合A={x Z k k x ∈=,2}；B={Z k k x x ∈+=,12}；C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有（ ）

A.（a+b ）∈A

B.(a+b)∈B

C.(a+b)∈C

D.(a+b)∈A 、B 、C 任一个

2、设集合M =},2

14|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M N = B.M ?N C ．M ≠?N D ．M ≠?N

【例3】1、设全集{}010,*U x x x N =<<∈，若{}3A B = ，{}1,5,7U A C B = ，()()U U C A C B ={}9,求A 、B

2、已知集合{1A x x =<-或2}x >，{40}B x x p =+<，当A B A = 时，求p 范围

【练习】已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2

y B x y x -==-，则A B = ，A B =

【例4】 已知(){}011=+=x m x A —，{}

0322==——x x x A ，若A B ?，则m 的值为______________

【练习】已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围．

【例5】A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围.

【练习】已知集合A={x|—2＜x ＜—1或x ＞0}，集合B={ x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0＜x≤2}，

A ∪B={x|x ＞—2}，求a 、b 的值

【例6】已知集合A=｛x|x 2-4mx+2m+6=0｝,B=｛x|x<0｝,且有A∩B≠?，求实数m 的取值范围。

【练习】若下列三个方程：03442=++a ax x —,()012

2=++a x a x —, 0222=+a ax x —中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。

【例7】设集合A = {x | x 2＋4x = 0，x ∈R}，B = {x | x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1= 0，a ∈R ，x ∈R }，若A B ?，求实数a 的取值范围。

【练习】已知集合A=｛x|x 2-2x-8=0｝,B=｛x|x 2+ax+a 2-12=0｝且有A ∪B=A ，求实数a 的取值集合。

【例8】已知集合{}0342=+-=x x x A ，{}

012=+-=mx x x C ，C C A = ，求m 的取值范围．

【练习】已知集合M={x|x2+px-2=0}，N={x|x2-2x+q=0}，且M ∪N={-1，0，2}，求p ，q 的值．

【例9】已知集合{}

2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈， {}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．

【练习】用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，y=min{2

x ,x+2,10-x}(x ≥0),则y 的取值范围为___________________

【例10】定义集合运算：A ⊙B=｛z ︳z= xy(x+y)，x ∈A ，y ∈B ｝，设 集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ）

A 0

B 6

C 12

D 18 【练习】在集合｛a,b,c,d ｝上定义两种运算⊕?和如下)d a c ?

⊕那么（等于（ ） A. a B b

C c

D d

三、课后练习

一、选择题

1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）

A ．0X ?

B ．{}0X ∈

C ．X φ∈

D ．{}0X ?

2．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（ ）

A ．35

B ．25

C ．28

D ．15

3．已知集合{}2|10,A x x mx A R φ=++== 若，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．4

B ．4>m

C ．40<≤m

D ．40≤≤m

4．下列说法中，正确的是（ ）

A ． 任何一个集合必有两个子集；

B ． 若,A B φ= 则,A B 中至少有一个为φ

C ． 任何集合必有一个真子集；

D ． 若S 为全集，且,A B S = 则,A B S ==

5．若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）

（1）若()()U B C A C B A U U == 则,φ

（2）若()()φ==B C A C U B A U U 则,

（3）若φφ===B A B A ，则

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B = （ ）

A ．0

B ．{}0

C ．φ

D ．{}1,0,1-

二、填空题

7．已知{}R x x x y y M ∈+-==,34|2，{}R x x x y y N ∈++-==,82|2则

__________=N M 。

8．用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}10

1= 。

9．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = 。

10．设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===则A B = （）C 。

11．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ?

+?==??-??，{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U C M C N 等于________________。

三、解答题

12．若{}{}{}.,,|,,M C A M A x x B b a A B 求=?==

13．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}

2|,C z z x x A ==∈,且C B ?,求a 的取值范围。

14．全集{}321,3,32S x x x =++，{}

1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由。

15.若集合A 具有以下性质：

①A ∈0，A ∈1；

②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，

A x

∈1. 则称集合A 是“好集”.

（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；

（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+；