(完整版)高一数学集合经典题型归纳总结
高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。 元素与集合之间的关系：属于-- 不属于-- 常有集合 N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1） 列举法：{a,b,c……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记
作AB(或BA) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，非空真子集个数2n-1 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作ACS，即
CSA=},|{AxSxx且 韦 恩 图 示
AB
图1 A
B
图2 性
质 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A
AΦ=A AB=BA ABＡ ABB
(CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ．
例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A=12xx，B=xxa，若AB，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
S A 第一节集合 一 元素互异性的考察 1由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．
2集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______． 3、已知集合S=cba,,中的三个元素分别是ABC的三边长，那么ABC一定不是（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
4由实数x,-x,|x|,2x,-33x所组成的集合，最多含有元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5、设a、b、c为非零实数，则x=abcabcccbbaa的所有值组成的集合为（ ） A.4 B. 4 C. 0 D. 4,4,0 二元素与集合之间的关系的考察 1对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______
2．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．
3设a、b∈Z，E＝{(x,y)|(x－a)2＋3b≤6y}，点(2，1)∈E，但(1，0)E，(3，2)E。求a、b的值。 4给出下列关系： （１）;R12
（２）2;Q （３）3;N （４）3.Q 其中正确的个数为 （ ） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
5若 ，求实数的值。
三一元二次方程与集合 1已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R ①若A是空集，求a的范围； ②若A中只有一个元素，求a的值； ③若A中至多只有一个元素，求a的范围．
2已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}． 3若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______． 4、集合02|2mxxx含有两个元素，则实数m满足的条件为＿＿
5若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______． 6设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042acb，则不等式ax2+bx+c0的解集为（ ） A、R B、 C、{abxx2} D、{ab2} 7、若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 8、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。
9已知集合A=.,0232RaxaxRx 1）若A是空集，求a的取值范围； 2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； 3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围
10若集合只有一个元素，则实数的值为 11M={x|x2＋2x－a=0，x∈R}≠φ，则实数a的取值范围是 ……………………………………（ ） (A)a≤－1 (B) a≤1 (C) a≥－1 (D) a≥1.
12已知集合A={x|x2－px＋15=0}，B={x|x2－5x＋q=0}，如果A∩B={3}，那么p＋q= .
四提示元素的考察，我们看集合的时候注意提示元素，提示元素决定了集合的元素 1用列举法把下列集合表示出来：
①A=};99|{NNxx
②B=};|99{NNxx ③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； ④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
⑤E＝*},,5,|{NNqpqpxqpx 2 A=**,,4|,NyNxyxyx;B=ZxZx|16 3设集合B=NxNx26| （1）试判断实数1、实数2与集合B的关系； （2）用列举法表示集合B。
2、方程组﹛13yxyx的解集是（ ） A. 1,2yx B. 1,2 C.1,2 D.2,1
3方程组﹛01022yxyx的解集是①0,1; ②0y1或x; ③0,1 ④0y1|yx且，x.其中正确表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
4方程x2-5x+6=0的解集可表示为 方程组的解集可表示为0231332yxyx
5已知全集ZaNaaM且56|,则M=( ) A、{2，3} B、{1，2，3，4} C、{1，2，3，6} D、{-1，2，3，4}
五对应下列的类型题最好取对应的一系列的值 1．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，
高一数学必修一题型总结
必修(一)题型总结-、集合的概念与表示：1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集⑺的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
3. 注意下列性质：集合9i, a2, , a n .的所有子集的个数是2n；4. 对于集合的元素是不等式的，画数轴确定两集合的关系例题：1. 满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合的个数是( )A: 4 B: 6 C: 8 D: 92 3 ：32. 以实数X , - x , |x|, x , - <x为元素所组成的集合最多含有( ) A: 2个元素B: 3个元素C: 4个元素D: 5个元素「k 1 ] f k 1 13. M=』x|x=—+ — ,k€Z],N=d x|x=—+—,k E Z 贝U ( )(A M =N (B) M N (C) N M (D) M』N4. 已知A={(x,y)|y=x 2-4x+3},B=[(x,y)|y=-x 2-2x+2}, A n B= ______________5. 某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的学生有38人，求：(1)语文、数学都优秀的学生人数(2)仅数学成绩优秀的学生人数2 2 26.设A={x|x -ax a -19=0} , B ={x| x-5x 6 =0},且A B,求实数a 的值.二、函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 如何比较两个函数是否相同？1. 定义域的求法：分母、开偶次方、对数(保证它们有意义)2 .值域的求法：①判断函数类型(一次、二次、反比例、指数、对数、幕函数)由函数的单调性与图像确定当x为何值时函数有最大值(最高点)和最小值(最低点) ，②对于一个没有学过的函数表达式，需要将它变成一个学过的函数来解决(换元法、图像变换法)3表达式的求法：O1已知函数类型待定系数法②已知f(x)求f(2x+1)整体代换法，已知f(2x+1)求f(x)换元法。
高一数学集合知识点总结(二篇)
高一数学集合知识点总结集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作dA。
有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R①列举法：{a,b,c……}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。
例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：____，A=B注意：该题有两组解。
(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。
高一数学集合知识点总结（二）集合的分类(1)按元素属性分类，如点集，数集。
(2)按元素的个数多少，分为有/无限集关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。
微专题06集合与常用逻辑用语12种常考题型总结(原卷版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题06 集合与常用逻辑用语12种常考题型总结题型1 集合的基本概念题型2 集合的基本关系题型3 子集、真子集的个数问题题型4 利用集合的包含关系求参数题型5 集合的交、并、补运算题型6 根据集合的交、并、补求参问题题型7 韦恩图的应用题型8 集合新定义问题题型9 充分必要条件的判断题型10 充分必要条件的求参问题题型11 全称量词与存在量词的否定题型12 根据含有量词命题的真假求参数1.集合中元素的三个性质确定性、互异性、无序性2.集合中元素与集合的关系属于∈或不属于∉若元素a 在集合A 中，记作A a ∈，若元素a 不在集合A 中，记作A a ∉3.常用数集及其符号名称自然数集（非负整数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N+N 或*N ZQR C4.子集与真子集的个数集合中有n 个元素，子集有n2个，真子集有12-n个，非空子集有12-n个，非空真子集有22-n个5.集合间的基本关系：（1）子集：对于两个集合A 、B，若集合A中的任意一个元素都在集合B 中，则A 是B 的子集；记作B A ⊆，读作A 包含于B（2）真子集：对于两个集合A 、B ，若集合A 中的任意一个元素都在集合B 中，集合B 中至少有一个元素不在集合A 中，则A 是B 的真子集；记作B A ≠⊂，读作A 真包含于B （3）相等：若B A ⊆，A B ⊆，则B A =6.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅规定：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集7.集合的基本运算文字语言图形表示符号语言集合的并集所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合{A x x B A ∈=⋃，或}B x ∈集合的交集所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{A x x B A ∈=⋂，且}B x ∈集合的补集全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U {U x x A ∈=，且}A x ∉8.集合的基本运算相关结论并集运算的相关结论交集运算的相关结论补集运算的相关结论BA B B A A A A AA A AB B A ⊆⇔==∅=∅== ()()分类讨论⎩⎨⎧∅≠∅=⇒∅≠∅=⊆⇔=∅=∅=∅==A A B B A BA AB A A A AA A AB B A()AA CC A C A UA C A U U U U =∅== 9.充分条件与必要条件若q p ⇒充分性成立，若p q ⇒必要性成立若q p ⇒，p q ⇒，则p 是q 的充要条件若q p ⇒，p q ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件若q p ⇒/，p q ⇒，则p 是q 的必要不充分条件对于若p 则q 类型中，p 为条件，q 为结论若q p ⇒/，p q ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件若B A ⊆，即q p ⇒，p 是q 的充分条件（充分性成立）若B A ⊇，即p q ⇒，p 是q 的必要条件（必要性成立）若B A ≠⊂，即q p ⇒，p q ⇒/，p 是q 的充分不必要条件若B A ≠⊃，即q p ⇒/，p q ⇒，p 是q 的必要不充分条件设命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B若B A =，即q p ⇒，p q ⇒，p 是q 的充要条件10.全称量词命题与存在量词命题全称量词：∀（任意，所有，全部），含有全称量词∀的命题，叫做全称量词命题存在量词：∃：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词∃的命题，叫做存在量词命题命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p ，否定为：M x ∈∃，()x p ⌝存在量词命题：M x ∈∃，()x p ，否定为：M x ∈∀，()x p ⌝题型1集合的基本概念【例1】下列命题中正确的有（ ）．①很小的实数可以构成集合；②R 表示一切实数组成的集合；③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式1】下列说法正确的是（ ）A ．0⊆NB ．{}0∅∈C ．{}1-⊆ZD ．13∉Q【变式2】已知非零实数a 、b ，代数式|a |a +|b |b+|ab |ab的值组成集合M ，则下列结论正确的是（ ）A ．0∈MB ．−1∈MC ．3∉MD ．−1∉M【变式3】若集合A ={2,4,8}，B =x ∈A,y ∈A ，则B 中所有元素的和为（ ）A ．274B ．314C ．394D ．494【变式4】已知集合A ={0,m,m 2−3m +2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3【变式5】【多选】已知集合{}31,A x x k k ==-∈Z ，{}31,B x x k k ==+∈Z ，{}3,C x x k k ==∈Z ，且a A ∈，b B ∈，c C ∈，则（ ）A ．2a B∈B ．2b A∈C ．b c A+∈D ．a b C+∈题型2 集合的基本关系【例2】设集合{}24A x y x ==-∣，{}24B y y x ==-∣，{}2(,)4C x y y x ==-∣，则下列关系中正确的是（ ）A ．A B =B ．B A ⊆C ．A C⊆D ．2C∈【变式1】有下列关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00.∈其中不正确的是（ ）A ．①③B ．②④⑤C ．③④D ．①②⑤⑥【变式2】集合{}|52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,Z P x x n n ==+∈，{}|103,Z S x x m m ==+∈的关系是（ ）A ．S P M ⊆⊆B ．S P M =⊆C ．S P M ⊆=D ．P M S =⊆【变式3】已知a ∈R ，b ∈R ，若集合a,b a ,1={a 2,a +b,0}，则a2023+b 2024的值为 ．题型3 子集、真子集的个数问题【例3】设集合(){},1A x y x y =+=，(){}22,2B x y x y =+=，C A B = ，则集合C 的子集的个数是 ．【变式1】设集合12N |Z 3A x x ⎧ü=∈∈⎨ý+⎩þ，则集合A 的真子集个数为 ．【变式2】已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，则所有满足条件的集合M 的个数是（ ）A ．7B ．8C ．15D ．16【变式3】已知集合{}{}N 2,Z 22M x x N x x =∈<=∈-<<.(1)写出集合M 的子集、真子集;(2)求集合N 的子集数、真子集数和非空真子集数;(3)猜想:含n 个元素的集合{}12,,,n a a a L 的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?题型4 利用集合的包含关系求参数【例4】若集合{}1,3A =-，{}2|0B x x ax b =++=，且B A ⊆，求,a b 满足的条件．【变式1】设集合2{|320}A x x x =++=，()2{|10}B x x m x m =+++=.(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A ⊆求实数m 的值.【变式2】已知集合A ={x∣x 2−3x +2=0}，B ={x∣x <a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤2B ．a <2C ．a >2D ．a ≥2【变式3】已知集合A ={x |−2≤x ≤7 }，B ={x |m +1<x <2m−1 }，若A ∪B =A ，则（ ）A ．−2≤m ≤4B ．−2<m <4C ．m <4D ．m ≤4【变式4】已知集合M ={x |1<x <4 }，集合N ={x |3<x <5 }．(1)求M ∩N 和M ∪(∁R N )；(2)设A ={x |a ≤x ≤a +3 }，若A ∪(∁R N )=R ，求实数a 的取值范围．【变式5】已知集合{}16A x x =-££，{}121B x m x m =+<<-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围．题型5 集合的交、并、补运算【例5】设集合{}14A x x =<<，{}13B x x =-££，则A ∩∁R B ＝ ．【变式1】已知U R =，集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-<.则()U A B = ð .【变式2】【多选】已知集合{2,3,5,7,11,13,17},{2,5,7,13},{3,7,13,17},{7,13}U A B C ====，则下列关系正确的是（ ）A ．()()()⋂=⋃U U U AB A B ðððB ．()()U U U U A B =ððððC ．A C B C⋂=⋂D ．()U U A B C = ðð【变式3】已知集合 U ={−2,−1,0,1,2,3}，A ={1,2}，B ={−1,0,1}，则∁U (A ∪B )=（ ）A ．{−2,3}B ．{−2,2,3}C ．{−2,−1,0,3}D ．{−2,−1,0,2,3}【变式4】已知集合{}37A x x =£<，{}47B x x =<<，则()B A =R ð（ ）A ．{}34x x £<B ．{}34x x ££C ．{3x x £或}4x >D ．{3x x £或}4x ³题型6 根据集合的交、并、补求参问题【例6】已知集合{}02A x x =££，{}32B x a x a =££-．(1)若()A B =R R ð，求实数a 的取值范围；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合1=<<22A x x ⎧ü⎨ý⎩þ，{}=-2<<+2B x a x a .(1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈⋂，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A ⋂=；②()A B ⋂=∅R ð；③()B A ⋃=R R ð.【变式2】已知集合{|12},{|21}A x x B x a x =-££=<<.(1)若A B B = ，求实数a 的取值范围；(2)若()R A B ð中只有一个整数，求实数a 的取值范围.【变式3】已知集合{}220A xx px =--=∣，{}20B x x qx r =++=∣，且{2,1,5}A B ⋃=-，2{}A B =- ，则p q r ++=（ ）A ．12B ．6C ．14-D ．12-【变式4】已知集合{}14A x x =-<<，{}20B x x a =-<，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12a a ⎧ü>⎨ý⎩þB ．12a a ⎧ü<-⎨ý⎩þC ．12a a ⎧ü£-⎨ý⎩þD ．{}0a a <题型7 韦恩图的应用【例7】某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人．【变式1】某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下：优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为.【变式2】一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为 .【变式3】已知全集U =R ，集合A ={x|x <−1或x >4}，B ={x|−2≤x ≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|−2≤x <4}B ．{x|−1≤x ≤3}C ．{x|x ≤3或x ≥4}D ．{x|−2≤x ≤4}【变式4】如图所示，U 是全集，A,B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．A ∩BB ．A ∪BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )题型8 集合新定义问题【例8】已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{A B x x A -=∈，}x B ∉且，若集合11,103A y y x x x ⎧ü==-££≠⎨ý⎩þ且，且{}21,12B y y x x ==--££，则B A -=．【变式1】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|,0,1,2,3,4k n k n k =+∈=Z ．给出如下三个结论：①[]20222∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234=Z ．其中，正确结论的序号是．【变式2】约定W 与Å是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a ，b ，有a b ab =□，()221a b b a b Å=++．设22a b -<<<且a ，b ∈Z ，集合()2a b A x x a b b Å⎧ü==+⎨ý⎩þW ∣，则集合A = ．（用列举法表示）【变式3】用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-³ï*=⎨-<ï⎩，若{}()(){}3212,20A B x x a x ax x ==+++=，，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S = （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1题型9 充分必要条件的判断【例9】若a ，R b ∈，则“1a >，且1b >”是“1ab >，且2a b +³”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】设x ∈R ，则“4<x <5”是“|x−2|>1”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】若:0p x <，则p 的一个充分不必要条件为（ ）A ．1x >-B ．1x <C ．11x -<<D ．1x <-【变式3】巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件题型10 充分必要条件的求参问题【例10】设p:12≤x ≤1，q:a ≤x ≤a +1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a |0≤aB ．a |0<a <C ．{a |a ≤0 或a ≥12}D ．{a |a <0 或a >12}【变式1】已知集合{}{}2,12A x x B x x m =<=<<-为非空集合．(1)若{}3A B x x ⋃=<，求m 的值；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【变式2】已知集合{|04}A x x =££，{}11B x a x a =-££+，是否存在实数a ，使得x A ∈是x B ∈成立的______？(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由？(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的a 存在，求出a 的取值范围，若问题中的a 不存在，请说明理由．【变式3】已知集合A ={x |−3<2x +1<7}，B ={x |x <−4 或x >2}，C ={x |3a−2<x <a +1}．(1)求A ∩(∁R B )；(2)若“p:x ∈∁R (A ∪B )”是“q:x ∈C ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．题型11 全称量词与存在量词的否定【例11】已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（ ）.A ．x ∀∈R ，01xx £-B ．x ∃∈R ，01xx £-C ．x ∀∈R ，01xx £-或10x -=D ．x ∃∈R ，01xx £-或10x -=【变式1】命题“∀x ∈R ，有x 2+2x +2≤0”的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，有x 2+2x +2>0B ．∃x ∈R ，有x 2+2x +2≤0C ．∃x ∈R ，有x 2+2x +2>0D ．∀x ∈R ，有x 2+2x +2≥0【变式2】命题“0x ∃>，210x x ++³”的否定是（ ）A ．0x ∀£，210x x ++<B ．0x ∀£，210xx ++³C ．0x ∀>，210x x ++<D ．0x ∃>，210x x ++<【变式3】存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（ ）A ．有的三角形的垂心在其内部.B ．任意三角形的垂心在其内部.C ．有的三角形的垂心在其内部或边上.D ．任意三角形的垂心在其内部或边上.题型12 根据含有量词命题的真假求参数【例12】已知命题“∀x ∈{x∣−3≤x ≤−2},mx >12”是假命题， 则m 的取值范围为（ ）A ．m >−4B ．m ≥−4C ．m >−6D ．m ≥−6【变式1】已知命题p ：“{|21},20x x x x m ∀∈-<<-£”，命题q ：“2R,(1)10x x m x m ∀∈+-+-≠”，若p是真命题，q 是假命题，求实数m 的取值范围．【变式2】已知集合{}27A xx =££∣，{}3421B x m x m =-+££-∣，且B ≠∅．(1)若:,p x A x B ∀∈∈是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若:,q x B x A ∃∈∈是真命题，求实数m 的取值范围．【变式3】已知命题2:23,0p x x a ∀££-³，命题2:R,220q x x ax a ∃∈++=.(1)若命题p ⌝为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围.。
高一数学集合及函数基本性质归纳总结
高一数学知识点归纳总结一——集合及函数基本性质集合及集合的应用1. 掌握集合的有关基本定义概念运用集合的概念解决问题2. 掌握集合的包含关系子集、真子集3. 掌握集合的运算(交、并、补)4. 在解决有关集合问题时要注意各种思想方法数形结合、补集思想、分类讨论的运用. 【知识梳理】一、集合的有关概念(一) 集合的含义(二) 集合中元素的三个特性1.元素的确定性2.元素的互异性3.元素的无序性如{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.(三) 集合的表示集合的表示方法列举法与描述法.常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作：N；正整数集：N*或N+整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.1列举法{a,b,c,…}2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法.如{x属于R| x-3>2},{x|x-3>2}.3语言描述法如{不是直角三角形的三角形}.4.Venn图.(四) 集合的分类1.有限集: 含有有限个元素的集合;2.无限集: 含有无限个元素的集合;3.空集: 不含任何元素的集合;如{x|x2=-5.二、集合间的基本关系1. “包含”关系——子集注意A∈B有两种可能1A是B的一部分2A与B是同一集合.2. “相等”关系A=B (5≥5且5≤5则5=5).实例设A={x|x2-1=0}B={-1,1}. 则A=B.元素相同则两集合相等,即①任何一个集合是它本身的子集②真子集:如果A∈B,且A≠B,那就说集合A是集合B的真子集③如果A∈B, B∈C ,那么A∈C④如果A∈B, 同时B∈A ,那么A=B.3. 不含任何元素的集合叫做空集规定: 空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合有2n个子集,2n-1个真子集.三、集合的运算运算类型交集、并集、补集【方法归纳】一、对于集合的问题要确定属于哪一类集合（数集点集或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.二、关于集合中的运算一般应把各参与运算的集合化到最简形式然后再进行运算.三、含参数的集合问题多根据集合的互异性处理有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知出发多从特殊点出发来寻找突破口. 课堂精讲练习题考点一集合的概念与表示{3x x22x}中x应满足的条件是___________.【解题思路】x≠1且x≠0且x≠3.难度分级A类函数的图象及基本性质1理解函数概念2了解构成函数的三个要素3会求一些简单函数的定义域与值域4理解函数图象的意义5能正确画出一些常见函数的图象6会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势7理解函数单调性概念8掌握判断函数单调性的方法会证明一些简单函数在某个区间上的单调性9会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性10能利用函数的单调性解决一些简单的问题11了解函数奇偶性的含义12熟练掌握判断函数奇偶性的方法13熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质14能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.【知识梳理】1函数的定义设,AB是两个非空数集如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x在集合B 中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数记为y=f(x),其中输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域所有输出值y的取值集合叫做函数y=f(x)的值域.2函数的图象y=f(x)自变量的一个值x0作为横坐标相应的函数值作为纵坐标就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0))，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象3函数y=f(x)的图象与其定义域、值域的对应关系y=f(x)的图象在x轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域在y轴上的射影构成的集合对应着函数的值域4用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法(这个等式通常叫函数的解析表达式简称解析式),其优点是函数关系清楚容易从自变量求出其对应的函数值便于用解析式研究函数的性质用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势8偶函数的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数9奇函数的定义如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数10函数图象与单调性奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称一、求函数的定义域的常用求法(一）给出函数解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合常见类型有1. 分式的分母不为零.2. 偶次根式的被开方数大于或等于零.3. 对数的真数大于零,底数大于零且不等于1.4. 零次幂的底数不为零.5. 正切函数的定义域是x≠kπ+π/2（k属于Z）（二）已知fx的定义域求f(g(x))的定义域或已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域抓住两点1. 复合函数f(g(x))定义域都是指最内层函数即g(x)的x的取值范围.2. 内层函数的值域都应是外层函数定义域的子集.（三）实际问题中函数的定义域除了使式子本身有意义之外还应使实际问题有意义.二、函数的值域（一）弄清函数的类型几种常见函数类型1. 基本初等函数2. 有几个基本初等函数复合的函数(三)对于由几个初等函数复合而成的函数可以采用换元法求解.(四)处理复杂函数的值域问题可借助函数的单调性来处理.(五)处理分段函数的值域问题时分别求出每一段的值域然后取并集.四、函数的单调性（一）函数单调性的证明定义法是证明函数单调性的常用方法主要有以下步骤1. 根据题意在区间上设x1<x22. 比较f(x1)与f(x2)的大小3. 下结论“函数在某个区间上是单调增（或减）函数对于第二步常见的思路是作差，变形，定号其中变形主要指的是分解因式、通分、有理化等.（二）复合函数的单调性处理复合函数单调性问题的基本原则是同增异减.一般步骤：1. 写出符合函数的内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)2. 求出内外层函数的单调区间注意求外层函数的单调区间时要将t的范围转化成x的范围.3. 根据同增异减的原则利用取交集的方式求出复合函数的单调区间.三函数单调性的应用1. 比较大小若要比较大小的两个数结构、形式相同、可构造函数利用函数的单调性比较.2. 求函数的值域若函数的单调性可以求出则值域可求.3. 解不等式或方程若不等式方程的两边分别可以看出同一个函数的函数值可以利用单调性得出其自变量的大小关系从而得到简化的不等式方程.五、函数的奇偶性（一）函数奇偶性的判断:判断函数的奇偶性主要是定义法.一般步骤1.判断函数的定义域是否关于原点对称这是函数具有奇偶性的前提.2.判断f(x)和f(-x)是否相等或相反.（二）利用函数的奇偶性求函数的解析式已知函数在某区间解析式，要求其对称区间的解析式。
高一数学集合知识点归纳总结大全
高一数学集合知识点归纳总结大全集合是数学中的一个基本概念，也是高中数学中的一门重要内容。
在高一数学学习中，集合知识点的理解和掌握对于后续数学学习的成功至关重要。
本文将从集合的基本概念、常用运算、集合间的关系以及应用领域等方面，对高一数学集合知识点进行归纳总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
集合中的元素用花括号{}括起来，用逗号分隔。
例子1：集合A={1, 2, 3, 4}例子2：集合B={a, b, c, d}二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的元素列出来并用花括号{}括起来。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={a, b, c, d}2. 描述法：根据给定条件描述集合中的元素。
例如：A={x | x是整数，1≤x≤4}，B={y | y是英文字母，a≤y≤d}三、集合的分类1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 单元素集合：只包含一个元素的集合。
3. 有限集：元素个数有限的集合。
4. 无限集：元素个数无限的集合。
5. 并集：将两个集合的所有元素合并在一起形成的集合，用符号∪表示。
6. 交集：两个集合中共同具有的元素形成的集合，用符号∩表示。
7. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么称前一个集合是后一个集合的子集，用符号⊆表示。
四、集合的运算1. 并集运算：将两个集合的所有元素合并在一起形成的集合。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}2. 交集运算：两个集合中共同具有的元素形成的集合。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，则A∩B={3, 4}3. 差集运算：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素，所得到的元素组成的集合。
高一数学集合知识点归纳和习题
高一数学集合知识点归纳和习题很多人都觉得高中的数学很难学好，那是因为那些学生没有学好高一数学的集合知识点，这也是高一数学的核心知识点。
下面是店铺为您整理的高一数学集合知识点，希望对您有所帮助!高一数学集合知识点1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ;②若，，则 ;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。
4.有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
高一集合题数学知识点总结
高一集合题数学知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，高一的数学学习也是数学知识的初步积累和扎实基础的打下阶段。
在高一数学学习中，集合论是一个重要的知识点。
本文将总结高一集合题中常见的知识点和解题方法。
一、集合的基本概念在集合论中，集合是指具有共同性质的对象的整体，可以用大括号{}表示，其中每个对象称为集合的元素。
比如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A包含了元素1、2、3和4。
集合的元素可以是数、字母、符号，也可以是其他集合。
二、集合的关系1. 包含关系：若集合A的每个元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。
2. 相等关系：若集合A包含于集合B，且集合B包含于集合A，则称集合A和集合B相等，记作A=B。
例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2}，则A=B。
3. 并集：若一个元素属于集合A或者属于集合B（或同时属于两个集合），则称该元素属于集合A和集合B的并集，记作A∪B。
例如，集合A={1, 2}，集合B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
4. 交集：若一个元素同时属于集合A和集合B，则称该元素属于集合A和集合B的交集，记作A∩B。
例如，集合A={1, 2}，集合B={2, 3}，则A∩B={2}。
三、集合的运算除了并集和交集，集合还可以进行补集和差集的运算。
1. 补集：对于给定的全集U，若集合A中的元素不属于集合U，则称A关于U的补集，记作A'。
例如，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={2, 4}，则A'={1, 3, 5}。
2. 差集：若A是集合U的一个子集，B是集合U的另一个子集，且B中的元素不属于A，则称属于集合A但不属于集合B的元素构成的集合为集合A和集合B的差集，记作A-B。
例如，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4}，则A-B={1, 2}。
高一数学集合知识点归纳总结(精华版)
(每日一练)高一数学集合知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知M，N均为R的子集，且(∁R N)∩M=∅，则M∪N=（）A．N B．M C．∅D．R答案：A解析：根据题意可知M⊆N，进而求解即可.因为(∁R N)∩M=∅，所以M⊆N，所以M∪N=N.故选：A2、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D解析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.3、若P={x|x<1}，Q={x|x>1}，则A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P答案：D解析：利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆∁R P．解：∵P={x|x<1}，∴∁R P={x|x⩾1}，∵Q={x|x>1}，∴Q⊆∁R P，故选：D．小提示：本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．4、已知集合M={1,3}，N={1−a,3}，若M∪N={1,2,3}，则a的值是（）A．-2B．-1C．0D．1答案：B解析：根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.因为M∪N={1,2,3}，若1−a=1⇒a=0，经验证不满足题意；若1−a=2⇒a=−1，经验证满足题意.所以a=−1.故选：B.5、已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}答案：D解析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到结果.由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.。
人教版高一数学集合题型总结及解题方法
(每日一练)人教版高一数学集合题型总结及解题方法单选题1、已知集合A ={(x,y )|y 2=1 }，B ={(x,y )|y =x 2 }，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4答案：C解析：求出方程组{y 2=1y =x 2的公共解个数，即可得出A ∩B 中元素的个数. 解方程组{y 2=1y =x 2，得{x =1y =1 或{x =−1y =1 ，∴A ∩B ={(1,1),(−1,1)}， 故选：C.小提示：本题考查交集元素个数的计算，解题的关键就是求出方程组公共解的个数，考查计算能力，属于基础题.2、设集合A ={x|x 2−2x −8<0}，B ={x|−1<x <5}，则A ∩B =（ ）A ．{x|−2<x <5}B ．{x|−1<x <4}C ．{x|−1≤x <5}D ．{x|−2≤x <4}答案：B解析：先解不等式得集合A ，再根据交集定义求结果.由题意可得A={x|−2<x<4}，则A∩B={x|−1<x<4}.故选：B小提示：本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3、已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}答案：D解析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到结果.由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.填空题4、设集合U={1,2,3,4}，且A⊆U，B⊆U，若A∩B={1,3}，则称有序集合组(A,B)为集合{1，3}在U中的“关联集合组”，并规定：当A=B时，(A,B)与(B,A)是相同的“关联集合组”；当A≠B时，(A,B)与(B,A)是不相同的“关联集合组”，则集合{1，3}在U中的“关联集合组”共有______个.答案：9根据“关联集合组”的定义，分A={1,3}，A={1,2,3}，A={1,3，4}，A={1,2,3,4}四种情况，将集合B列举出来，即可得出答案.解：可枚举出集合{1，3}在U中所有的“关联集合组”，当A={1,3}时，可有B={1,3}，B={1,2,3}，B={1,3,4}，B={1,2,3,4}；当A={1,2,3}时，可有B={1,3}，B={1,3,4}；当A={1,3,4}时，可有B={1,3}，B={1,2,3}；当A={1,2,3,4}时，可有B={1,3}.综上所述，集合{1，3}在U中的“关联集合组”共有9个.所以答案是：9.5、已知p:−2≤x≤10，q:1−m≤x≤1+m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案：0<m≤3解析：利用集合法，将p是q的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．因为p:−2≤x≤10，q:1−m≤x≤1+m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，所以{x|1−m≤x≤1+m}是{x|−2≤x≤10}的真子集，且{x|1−m≤x≤1+m}不是空集.所以{1−m≥−21+m<10m>0或{1−m>−21+m≤10m>0，解得0<m≤3，所以实数m的取值范围是0<m≤3，故答案为:0<m≤3.解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.。
高一数学-集合-章末复习及题型汇总
集合一、考点、热点回顾及典型例题知识点一：集合的基本概念(1) 集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.(2) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(3) 元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(4) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(5)考点一：集合的基本概念【例1】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数学必修1 课本中所有的难题可以构成一个集合（）(2) 3 ⊆R ( )(3)设a,b∈R ，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则b－a 等于2．( )(4)若集合A ={x ∈R | ax2+ax +1 = 0}中只有一个元素，则a =0 或4. （）(5)集合{x|63x-∈N，x∈N}用列举法表示为{0，1，2}．( )(6)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(7) 已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为9. ( )变式训练1-1.下列集合中，不同于另外三个集合的是（）（A）{1}(B){y∈R | (y -1)2= 0}(C){x = 1}(D){x | x -1 = 0}变式训练1-2.已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34∉A变式训练1-3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m 的值为________．变式训练1-4. 已知集合A = {1, 2,3, 4,5} ,B ={(x, y) x∈A, y∈A, x -y∈A},则B 中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8D．10变式训练1-5. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝Φ ，则实数a 的取值范围为________．变式训练1-6. 现有三个实数的集合，既可以表示为{ a,ba,1}，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2 017＋b2 017＝________.子集集合A 中所有元素都在集合 B 中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合 A 中A⫋B(或B⫌ A)集合相等集合A，B 中的元素相同或集合A，B 互为子集A＝B考点二、集合间的基本关系【例2】 1. 已知M＝{x|x≥2√2，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π} ⫋M；③π⫋M；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)2. 已知集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q 的所有真子集的个数为( )．A．32 B．31 C．30 D．以上都不对3. 已知集合A={x| x2-3x +2 =0 ，x∈R}，B={x|0<x<5，x∈N},则满足条件A⊆C⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.44．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是( ) A．S⫋ P⫋ M B．S＝P ⫋MC．S ⫋P＝M D．P＝M⫋ S5. 已知集合A={x|ax =1}，B={x| x2 -1=0}，若A⊆B，则a 的取值构成的集合是( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}6. 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m 的取值范围是________．变式训练2-1.下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③Φ ⊆{0,1,2}；④Φ ＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2-2．满足条件{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是( )A．3 B．6 C．7 D．8变式训练2-3.已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{y|y＝2n＋1，n∈Z}，C＝{s|s＝2k±1，k∈Z}，D＝{t|t＝4k±1，k∈Z}，则四者间的关系是( )．A．A＝B⊆C＝D B．A＝B⊇C＝DC．A⊆B⊆C⊆D D．A＝B＝C＝D变式训练2-4.设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A 且x∈B}并集由所有属于集合A 或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合C U A＝{x|x∈U 且x∉A}知识点四：集合问题中的几个基本结论(1)交集：A∩B ⊆A, A∩A =A, A∩Φ =Φ, A∩B =B ∩A, A∩B =A ⇔A ⊆B ；(2)并集：A∩B ⊆A, A∪A =A, A∪Φ =Φ, A∪B =B ∪A, A∪B =A ⇔B ⊆A；(3)补集：A ∩（C U A）=Φ, A ∪（C U A）= U ；(4)空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集；(5) 若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个，非空真子集有2n- 2 个.考点三：集合的基本运算【例3】1.已知集合 A = {1,2,3,4},B = {y | y = 3x - 2，x ∈A}, 则 A ∩B =（）（A）{1} （B）{4} （C）{1,3} （D）{1,4}2.设集合A = {1, 2,6}, B = {2, 4},C = {x∈R | -1≤x ≤ 5}，则(A∪B) ∩ C =（）（A）{2} （B）{1,2,4} （C）{1,2,4,6} （D）{x∈R | -1≤x ≤ 5}3.（2016 年浙江卷）已知集合P ={x∈R | 1≤x ≤ 3},Q ={x∈R | x2≥ 4}, 则P∪(C R Q) =（）A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．(-∞,-2]⋃[1,+∞)变式训练3-1.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ={2,3,5,6}，集合B ={1,3, 4,6,7}，则集合A∩ (C U B) =（）（A）{2,5}（B）{3,6}（C）{2,5,6}（D）{2,3,5,6,8}变式训练3-2. 已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪(C R B)＝( )A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)变式训练3-3. （2017 年高考课标II 卷）设集合A={1,2,4}，B={x|x2- 4x +m = 0}.若A∩B={1}，则B=（）A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}变式训练3-4. 已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝. [题点发散1] 若集合A 变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B.[题点发散2] 若集合A、B 中元素都为整数，求A∩B.[题点发散3] 若集合A、B 不变，试求C R A∪C R B.[题点发散4] 若集合A、B 变为：A＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.考点四、数形结合思想在集合中的应用【例4】 1. 已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016＜0}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则实数m 的取值范围是_______．2. 设集合A＝{x|(x－a)2<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若A∩B＝Φ ，则实数a 的取值范围是( ) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2 或a≥4}C．{a|a≤0 或a≥6} D．{a|2≤a≤4}3. （高考上海卷）设常数a ∈R，集合A ={x |(x -1)(x -a)≥0}，B ={x | x ≥a -1}.若A ∪ B =R ，则a 的取值范围为（）A．{x x <2} B．{x x ≤2} C．{x x >2} D．{x x ≥2}4. 已知M，N 为集合I 的非空真子集，且M，N 不相等，若N∩ (C I M ) = Φ ，则M∪N＝( ) A．M B．N C．I D．Φ5. 已知A，B 均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(C U B)∩A＝{1}，(C U A)∩(C U B)＝{2,4}，则B∩(C U A)＝( )A．{1} B．{3,4} C．{5,6} D．{3,6}变式训练4-1.已知集合A={x ∈R||x+2|<3}，集合B={x ∈R|(x -m)(x -2)<0},且A∩ B ={x -1<x <n}，则m= , n= .变式训练4-2.设A＝{x|－2＜x＜－1，或x＞1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，则a＝________，b＝________.变式训练4-3.设A、B、U 均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是( )A．(C U A)∪B＝U B．(C U A)∪(C U B)＝U C．A∩(C U B)＝Φ D．(C U A)∩(C U B)＝C U B变式训练4-4. 设全集U ={x | 0 <x <10, x ∈N +}, 若A ∩ B ={3}， A ∩ C U B ={1，5，7}，C U A ∩ C U B ={9}，求集合A 、B考点五、分类讨论思想在集合中的应用【例5】1. 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且A∪B＝A，求实数 a 的取值范围．2. 已知集合 A ＝{x |1＜x ＜3}， 集合 B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当 m ＝－1 时， 求 A ∪B ；(2)若 A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若 A ∩B ＝ Φ ，求实数m 的取值范围．变式训练5 设集合 A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R}．若 A ∩ B = B ，则实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪{1}考点六、集合中的新定义问题【例 6】 1. 若 x ∈A ， 则1x ∈ A ， 就称 A 是伙伴关系集合， 集合 M ＝{-1,0, 12 ,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ． 1B ． 3C ． 7D ． 312. 对于集合 M ，N ，定义 M －N ＝{x |x ∈M ，且 x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设 A ＝94x x ,x R ⎧⎫≥-∈⎨⎬⎩⎭,B ＝{x |x <0，x ∈R}， 则 A ⊕B ＝( ) A. 904x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B. 904x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C. {}904x x x x ⎧⎫<-⋃≥⎨⎬⎩⎭D. {}904x x x x ⎧⎫≤-⋃>⎨⎬⎩⎭变式训练6-1. 设 A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉ A ，且 k ＋1∉ A ， 那么称 k 是 A 的一个“孤立元”．给定 S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．变式训练6-2. 设 P ,Q 是两个集合， 定义集合 P -Q = {x | x ∈ P , x ∉Q } 为 P ,Q 的“差集”， 已知 P= {x|1-2x <0}，Q ={x | |x - 2 |<1}， 那么Q - P 等于（ ）A. {x | 0 < x < 1}B. {x | 0 < x ≤ 1}C. {x |1≤ x < 2}D. {x | 2 ≤ x < 3}变式训练6-3. 设集合S n ={1,2,3,…,n},若 X ⊆S n ,把 X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若 X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0).若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 S n 的奇(偶)子集.则 S 4 的所有奇子集的容量之和为 .二、课后练习1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B答案 C解析 由题意知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3}答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x －3≤0}，B ＝{0,1}，则∁A B 等于( ) A ．{－3，－2，－1} B ．{－1,2,3} C ．{－1,0,1,2,3} D ．{0,1} 答案 B解析 由题意可知A ＝{－1,0,1,2,3}，则∁A B ＝{－1,2,3}．故选B.6．(2018·长沙四校联考)已知全集U ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}，集合A ＝{x ∈N |－2<x ≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A )∩BC．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A.7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．(2018·郑州模拟)已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为ln x<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁U B)＝________________.答案{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．11．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．答案－2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2.16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－x x －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 [5，＋∞)解析 由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5. ∴实数a 的取值范围是[5，＋∞)．。