2018年高考数学一轮复习专题12函数模型及其应用教学案理!
【配套K12】2018届高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用教师用书理
第九节函数模型及其应用☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．三种函数模型性质比较微点提醒1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。
2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键。
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性。
小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P59A组T6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( ) A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)【解析】设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N)。
故选B。
【答案】 B2．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x【解析】根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意。
故选D。
【答案】 D二、双基查验1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【解析】由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)。
北京市2018届高三数学理一轮复习 2.9 函数模型及应用课件 精品
考点分类突破
②物体的温度总不低于 2 ℃，即 θ≥2 恒成立， 即 m·2t＋22t≥2 恒成立， 亦即 m≥221t－212t恒成立． 令21t＝x，则 0<x≤1， ∴m≥2(x－x2)， ∵x－x2＝－x－122＋14≤14，∴m≥12. 因此，当物体的温度总不低于 2 ℃时， m 的取值范围是12，＋∞.
【解析】 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000＝－210Q2＋30Q－2 000＝－210(Q －300)2＋2 500.
当 Q＝300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元． 【答案】 2 500
归纳升华
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 解决此类问题应注意三点： (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切 注意函数的定义域，否则极易出错． (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
名师点睛1．必会结论 形如 Nhomakorabea(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： ①该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，
在[－ a，0)和(0， a]上单调递减． ②当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
2．必知联系 关注实际问题的自变量的取值范围，分清与函数定义域的区别与联系，
【答案】 1.7%
跟踪训练
2.某医药研究所开发的一种新药，如果成 年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每 毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时) 之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时 治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
高考数学一轮复习 函数模型及其应用学案课件 新人教A版
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误区警示(jǐnɡ shì)
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规律(guīlǜ)探究
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即时(jíshí)巩固
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课后拔高(báɡāo)
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考点(kǎo diǎn)突破
考点(kǎo diǎn) 一
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点(kǎo diǎn) 二
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考点(kǎo diǎn) 三
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真题再现(zàixiàn)
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学案10 函数模型(móxíng) 及其应用
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考纲解读(jiě dú)
考向预测(yùcè)
课前热身
考点(kǎo diǎn)突破
高考数学第12讲函数模型及其应用学案理
第12讲函数模型及其应用1.三种函数模型的性质的比较函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调单调单调增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=b log a x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)常用结论1.函数f(x)=xx +xx(a>0,b>0,x>0)在区间(0,√xx]上单调递减,在区间[√xx,+∞)上单调递增.2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.题组一常识题1.[教材改编]函数模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是.(填关于y1,y2,y3的关系式)图2-12-12.[教材改编]在如图2-12-1所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是.3.[教材改编]某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是.4.[教材改编]已知某物体的温度Q(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律为Q=m·2t+21-t(t≥0,且m>0).若物体的温度总不低于2摄氏度,则m的取值范围是. 题组二常错题◆索引:审题不清致错;忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等;分段函数模型的分界把握不到位.5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域是.6.某物体一天中的温度T是关于时间t的函数,且T=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是℃,当t=0时表示中午12:00,其后t值为正,则上午8时该物体的温度是.7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火箭(除).当燃料质量是火箭质量的燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln(1+xx倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.8.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离S(千米)关于时间t(小时)的函数表达式是.探究点一一次、二次函数模型例1 某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人,则每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠,每多一人,培训费减少10元,但参加培训的员工人数最多为70.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式.(2)当公司参加培训的员工有多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.[总结反思] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.变式题整改校园内一块长为15 m,宽为11 m的长方形草地(如图2-12-2),将长减少1 m,宽增加1 m,问草地面积是增加了还是减少了?假设长减少x m,宽增加x m(x>0),试研究以下问题:x取什么值时,草地面积减少?x取什么值时,草地面积增加?图2-12-2探究点二 指数、对数函数模型例2 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x ,研究中发现v 与log 3x 100(x ≥100)成正比,且当x=300时,v=12. (1)求出v 关于x 的函数解析式.(2)计算一条鲑鱼的游速是32 m/s 时耗氧量的单位数. (3)当鲑鱼的游速增加1 m/s 时,其耗氧量是原来的几倍?[总结反思] 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型.(1)在两类函数模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型.(2)在解决这两类函数模型时,一般先要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值问题.变式题 将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等,若再过m min 后甲桶中的水只有x4 L,则m的值为 ( ) A .5 B .8 C .9 D .10探究点三 分段函数模型例3 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x %(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间(单位:分钟)为f (x )={30,0<x ≤30,2x +1800x-90,30<x <100,而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式,讨论g (x )的单调性,并说明其实际意义.[总结反思] (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型;(2)构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏;(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).变式题 某科研小组研究发现:一棵水果树的产量w (单位:百千克)与肥料费用x (单位:百元)满足如下关系式:w={12x 2+1(0≤x ≤2),4-31+x (2<x ≤5).此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L (x )(单位:百元). (1)求L (x )的函数表达式.(2)当投入的肥料费用为多少时,该棵水果树获得的利润最大?最大利润是多少?第12讲 函数模型及其应用考试说明 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 【课前双基巩固】 知识聚焦1.递增 递增 递增 对点演练1.y 3>y 1>y 2 [解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得.2.[10,30] [解析] 设矩形的另一边长为y m,由相似三角形的性质可得x 40=40-x40(0<x<40),解得y=40-x (0<x<40),∴矩形的面积S=x (40-x ).∵矩形花园的面积不小于300 m 2,∴x (40-x )≥300,即(x-10)(x-30)≤0,解得10≤x ≤30,满足0<x<40,故其边长x (单位:m)的取值范围是[10,30].3.S=800x +x8 [解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是800x 元,仓储费用是(x8×1)元,所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=800x+x8.4.[12,+∞) [解析] 物体的温度总不低于2摄氏度,即Q ≥2恒成立, 即m ·2t+22x ≥2恒成立,即m ≥2(12x -12x)恒成立.令12x =x ,则0<x ≤1,m ≥2(x-x 2), 由于当0<x ≤1时,x-x 2≤14,所以m ≥12.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m 的取值范围是[12,+∞). 5.[0,26] [解析] 令h ≥0,解得0≤t ≤26,故所求定义域为[0,26].6.8 ℃ [解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4) 3-3×(-4)+60=8(℃). 7.e 6-1 [解析] 由题意可得12 000=2000ln (1+x x ),则ln (1+x x )=6,解得1+xx =e 6,所以x x=e 6-1,故填e 6-1.8.S={60x (0≤x ≤2.5),150(2.5<x ≤3.5),325-50x (3.5<x ≤6.5) [解析] 当0≤t ≤2.5时,S=60t ;当2.5<t ≤3.5时,S=150;当3.5<t ≤6.5时,S=150-50(t-3.5)=325-50t. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据题意,分0<x ≤30(x ∈N *)和30<x ≤60(x ∈N *)两种情况考虑;(2)利润是用每人的培训费用乘培训人数再减去成本,根据一次函数与二次函数的性质分别求得最大值,然后比较即可.解:(1)依题意得,当0<x ≤30时,y=850; 当30<x ≤60时,y=850-10(x-30)=-10x+1150. ∴y={850,0<x ≤30,x ∈N *,-10x +1150,30<x ≤60,x ∈N *.(2)当0<x ≤30,x ∈N *时,Q=850x-12 000, 当x=30时,Q 取得最大值,即Q max =13 500. 当30<x ≤60,x ∈N *时,Q=(-10x+1150)x-12 000=-10x 2+1150x-12 000 =-10(x -1152)2+42 1252,当x=57或58时,Q 取得最大值,即Q max =21 060.∵21 060>13 500,∴当公司参加培训的员工人数为57或58时,培训机构可获得最大利润21 060元.变式题 解:原草地面积S 1=11×15=165(m 2), 整改后草地面积为S=14×12=168(m 2),∵S>S 1,∴整改后草地面积增加了.研究:长减少x m,宽增加x m 后,草地面积为S 2=(11+x )(15-x ).∵S 1-S 2=165-(11+x )(15-x )=x 2-4x , ∴当0<x<4时,x 2-4x<0,即S 1<S 2;当x=4时,x 2-4x=0,即S 1=S 2; 当x>4时,x 2-4x>0,即S 1>S 2.综上所述,当0<x<4时,草地面积增加; 当x=4时,草地面积不变; 当x>4时,草地面积减少.例2 [思路点拨] (1)用待定系数法求解;(2)将v=32代入解析式,解方程求x 即可;(3)设原来的游速为v 0 m/s,耗氧量的单位数为x 0,游速增加1 m/s 后为(v 0+1) m/s,耗氧量的单位数为x ,分别代入解析式后,两式消去v 0,整理可得.解:(1)设v=k log 3x100(k ≠0), 当x=300时,v=12,解得k=12,∴v 关于x 的函数解析式为v=12log 3x100(x ≥100).(2)当游速为32 m/s 时,由解析式得32=12log 3x100,∴log 3x 100=3,∴x100=27,解得x=2700,即耗氧量的单位数为2700.(3)设原来的游速为v 0 m/s,耗氧量的单位数为x 0,游速增加1 m/s 后为(v 0+1) m/s,耗氧量的单位数为x , 则v 0=12log 3x 0100,①v 0+1=12log 3x100,②②-①得1=12log 3x 100-12log 3x 0100=12log 3xx 0,∴log 3x x 0=2,∴xx 0=32=9,∴耗氧量是原来的9倍.变式题 A [解析] ∵5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等,∴函数y=f (t )=a e nt 满足f (5)=a e 5n =12a ,可得n=15ln 12.设k min 后甲桶中的水只有x4L,则f (k )=14a ,即15ln 12·k=ln 14, 即15ln 12·k=2ln 12,解得k=10, 故m=10-5=5.故选A .例3 [思路点拨] (1)求出f (x )>40时x 的取值范围即可;(2)分段求出g (x )的解析式,判断g (x )的单调性,再说明其实际意义.解:(1)由题意知,当30<x<100时, 由f (x )=2x+1800x-90>40,即x 2-65x+900>0,解得x<20或x>45,∴当x ∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x ≤30时,g (x )=30·x %+40(1-x %)=40-x10;当30<x<100时,g (x )=(2x +1800x -90)·x %+40(1-x %)=x 250-1310x+58.∴g (x )={40-x 10(0<x ≤30),x 250-1310x +58(30<x <100).当0<x<32.5时,g (x )单调递减; 当32.5<x<100时,g (x )单调递增.说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少. 变式题 解:(1)L (x )=16w-2x-x={8x 2+16-3x (0≤x ≤2),64-481+x-3x (2<x ≤5).(2)当0≤x ≤2时,L (x )max =L (2)=42;当2<x ≤5时,L (x )=67-[48x +1+3(x +1)]≤67-2√48x +1×3(x +1)=43,当且仅当48x +1=3(x+1),即x=3时等号成立.由于42<43,所以当投入的肥料费用为300元时,该棵水果树获得的利润最大,最大利润为4300元.【备选理由】 例1为一次函数与二次函数模型问题,需要分情况讨论求最值;例2是一道指数函数模型应用问题,需要两边取对数求解;例3为分段函数模型,需要对函数求导得最值,运算量较大.例1 [配合例1使用] 旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15 000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团人数不多于30,则飞机票每张收费900元;若旅游团人数多于30,则给予优惠,每多1人,机票费每张减少10元,但旅游团人数最多为75.(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数关系式. (2)旅游团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解:(1)设旅游团人数为x ,飞机票价格为y 元,依题意知,当1≤x ≤30,且x ∈N *时,y=900;当30<x ≤75,且x ∈N *时,y=900-10(x-30)=-10x+1200. 所以所求函数关系式为y={900,1≤x ≤30,x ∈N *,-10x +1200,30<x ≤75,x ∈N *. (2)设利润为f (x )元,则由(1)知f (x )=y ·x-15 000={900x -15 000,1≤x ≤30,x ∈N *,-10x 2+1200x -15 000,30<x ≤75,x ∈N *. 当1≤x ≤30,且x ∈N *时,f (x )max =f (30)=12 000;当30<x ≤75,且x ∈N *时,f (x )max =f (60)=21 000.因为21 000>12 000, 所以旅游团人数为60时,旅行社可获得最大利润.例2 [配合例2使用] 衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发,从而体积变小,若它的体积V 随时间t 的变化规律是V=V 0e 110x (e 为自然对数的底数),其中V 0为初始值.若V=x 03,则t 的值约为 .(运算结果保留整数,参考数据:lg 3≈0.477 1,lg e ≈0.434 3) [答案] 11[解析] 由题知V 0e 110x =x 03,即e 110x =13=3-1,所以-110t=ln 3-1=-ln 3,所以t=10ln 3=10×lg3lg e≈10×0.477 10.434 3≈11.例3 [配合例3使用] 某经销商计划销售一款新型的电子产品,经市场调研发现以下规律:当每台电子产品的利润为x (单位:元,x>0)时,销售量q (x )(单位:百台)与x 之间的关系满足:若x不超过25,则q(x)=√x+11;若x大于或等于225,则销售量为零;当25≤x≤225时,q(x)=a-b√x(a,b为实常数).(1)求函数q(x)的表达式.(2)当x为多少时,总利润(单位:元)最大?并求出该最大值.解:(1)当25≤x≤225时,由{x-x·√25=400,x-x·√225=0,得{x=600,x=40.故q(x)={√x+11<x≤25,600-40√x,25<x≤225, 0,x>225.(2)设总利润为f(x),则f(x)=100q(x)·x,由(1)得f(x)={√x+11<x≤25,60 000x-4000x√x,25<x≤225, 0,x>225.当0<x≤25时,f(x)=√x+11=240 000√x+11-√x+11,f(x)在(0,25]上单调递增,所以当x=25时,f(x)有最大值1 000 000.当25<x≤225时,f(x)=60 000x-4000x√x,f'(x)=60 000-6000√x,令f'(x)=0,得x=100,当25<x<100时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当100<x≤225时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=100时,f(x)有最大值2 000 000.当x>225时,f(x)=0.故当x为100时,总利润最大,为2 000 000元.11。
浙江专版高考数学一轮复习回扣主干知识提升学科素养函数模型及其应用教案文
浙江专版高考数学一轮复习回扣主干知识提升学科素养函数模型及其应用教案文一、教学目标1.理解函数模型的概念及其应用；2.掌握一些常见的函数模型及其特点；3.能够运用函数模型解决实际问题；4.培养学生对数学的思维能力和创造性思维。
二、教学重点1.函数模型的概念；2.常见的函数模型及其特点；3.函数模型的应用。
三、教学过程Step 1 引入1.引出函数模型的概念，通过图像、表格等形式，让学生感受函数的变化规律。
Step 2 函数模型的概念及其特点1.通过实例引出函数的定义及其特点，让学生理解函数的基本概念；2.总结函数的特点：定义域、值域、增减性、奇偶性、周期性等。
Step 3 常见的函数模型及其特点1.引导学生观察和总结常见的函数模型及其特点：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等；2.利用实例分析函数模型的定义域、值域、图像等特点，并探讨其应用。
Step 4 函数模型的应用1.实例分析：利用函数模型解决实际问题；2.引导学生自主思考并运用函数模型解决实际问题，提高学生的问题解决能力；3.总结常见的函数模型在实际问题中的应用，如经济学、物理学、生物学等。
四、教学方法1.演示法：通过实例演示，让学生感受函数的变化规律；2.归纳法：引导学生观察和总结函数模型的特点；3.实践法：让学生自主思考并运用函数模型解决实际问题。
五、教学评价1.收集学生解答问题的过程和结果，评价学生的分析和解决问题的能力；2.对学生进行小组讨论，互相评价和反馈，加强学生的合作意识和团队精神。
六、教学拓展1.将函数模型与其他学科进行结合，如物理学中的运动学模型、生物学中的增长模型等；2.通过案例分析，引导学生深入探究函数模型的应用领域。
七、教学反思函数模型是数学中一个重要的概念，也是高中数学的核心内容之一、教师在教学中要注重培养学生的数学思维能力和应用能力，通过合理设计的学习任务，激发学生的兴趣，引导学生主动探索，提高学生对数学的理解和应用能力。
高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)函数模型及其应用教学案
第十节函数模型及其应用[知识能否忆起]1．几种常见的函数模型[小题能否全取]1．(教材习题改编)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )答案：选B 由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )． 2．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y是经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成___________________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )． 答案：y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )5.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.答案：2 500 m21.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：2．解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．典题导入[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？[自主解答] 设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．由题悟法1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．以题试法1．(2012·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为CDEF ， 设CD ＝x ，CF ＝y ， 则AF ＝40－y .∵△AFE ∽△ACB ，∴AF AC ＝FEBC， 即40－y 40＝x60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．典题导入[例2] (2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？ [自主解答] (1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．由题悟法1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．以题试法2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．典题导入[例3] (2012·广州模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[自主解答] (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．由题悟法增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n(其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．以题试法3．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690,1＋x ＝1310，因此2013年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 3001．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．(2012·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,100%]解析：选A 根据题意得，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为( )A ．2 000元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 000元解析：选B 设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400.4．(2013·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2.于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 6．(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．7．(2012·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为______．解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋x －500×0.7，x >500.当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．答案：546.6元8．(2012·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.答案：30 cm,20 cm9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：2010．(2012·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．解：对于函数模型y ＝f (x )＝x150＋2， 当x ∈[10,1 000]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9， 所以f (x )≤9恒成立．但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，即f (x )≤x5不恒成立．故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6 000(1＋x )－4 500]．即y ＝1 500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1 500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0，得6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝9 000(元)．故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大． 12.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S .(1)用x ，y ，a ，b 表示S ；(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值．解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x >0，y >0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay ≥22bx ·2ay ，从而S ≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．令t ＝xy ，则t >0，上述不等式可化为4t 2＋4ab ·t ＋ab －S ≤0， 解得－S －ab 2≤t ≤S －ab 2.因为t >0，所以0＜t ≤S －ab2，从而xy ≤ab ＋S －2abS4.由⎩⎪⎨⎪⎧bx ＝ay ，S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝abS －ab2b ，y ＝abS －ab2a.所以当x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab ＋S －2abS .1．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )A ．90万m 2B ．87万m 2C ．85万m 2D ．80万m 2解析：选B 由题意500×1＋1%10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)．2.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②3．(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．(2012·浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．解：(1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由图知f (1)＝14，故k 1＝14.又g (4)＝52，故k 2＝54.从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元， 则B 产品投入(10－x )万元， 设企业利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝14x ＋5410－x (0≤x ≤10)． 令t ＝10－x ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)．当t ＝52时，y max ＝6516，此时x ＝3.75,10－x ＝6.25.即当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516万元．。
高考数学一轮复习-函数-第10课时-函数模型及其应用教学案
第10课时 函数模型及其应用1．x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示是：（b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF.S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ），∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}.又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4b a +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;若4b a +＞b,即a ＞3b 时，S （x ）在（0,b ］上是增函数，此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,综上可知，当a ≤3b 时，x=4b a +时， 四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积S max =ab-b 2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元，进货总额为8（100-10x ）元，显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y=（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x ＜10).当x=4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）.（1）当t=4时，求s函数模型的的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t ≤10时，s=21·t ·3t=23t 2，当10＜t ≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t ≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t 2+70t-550.综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t (3)∵t ∈［0，10］时，s max =23×102=150＜650.t ∈（10，20］时，s max =30×20-150=450＜650.∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650.解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台；当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ） =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x (2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元.当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台).∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x ）× 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x(2)由于y=f(x)在各段区间 当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4; 当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4; 当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lgN0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解：（1）设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y，则y ·(1+x)n =60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg （1+x ）=402lg =0.007 525，∴1+x ≈1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y ≤12.48（1+1%）10得lgy ≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。
高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用文
第十二节函数模型及其应用一、基础知识批注——理解深一点1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝kx(k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x(a >0)．(1)形如f (x )＝x ＋a x(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x(a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大，逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n<a x幂函数模型y ＝xnn >0可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小n ≤1时，增长较慢；当n 值较大n >1时，增长较快.二、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(3)幂函数增长比直线增长更快．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (二)选一选1．在某个物理实验中，测量后得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 由x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；由x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. (三)填一填4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500考点一 二次函数、分段函数模型[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0<x ≤75(x ∈N *)，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－10x －30，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30<x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10x －602＋21 000，30<x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000. 又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30,75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润． [解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 34元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5. 2．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000 ＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003 km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二 指数函数、对数函数模型[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解] (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 以上过程用框图表示如下：[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ 解：(1)当声强为10－6W/m 2时， 由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12， 得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12， 得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0. ∴I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A 型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－40⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1722＋1 210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．15立方米D ．16立方米解析：选 C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，30＋5x －10，x >10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2x10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e－kt，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e－kt，即0.01＝e－kt，得－kt ＝ln 0.01，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10. ∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， 当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．11。
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 函数模型及其应用课件
|x-01|+
2
|1-y|
= 1 -1 (y-x),又y-x1> ,∴|f(x)-f(y1)|<1 -1 1× = .
22
2
22 2 4
综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|< 1 .因此,k≥1 ,即k的最小值为1 .
4
4
4
3.(2013课标全国Ⅰ理,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过 点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
t3
,B
3t 2
,.0
0,
3
000 t2
故f(t)=
32=t 2
3
,t0t20∈0 [52 ,2032].
t2
4 106 t4
②设g(t)=t2+ 41,则06 g'(t)=2t- .1令6g1'(0t6)=0,解得t=10 .
t4
t5
2
当t∈(5,10 2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;
解得n> 24 ,
5
又∵n∈N*, ∴n≥5, ∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
5.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e
=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜
2018版高考数学一轮复习课件：第2章 第9节 函数模型及其应用
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2．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动 物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．100 只
B.200 只
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B [由表格知当 x＝3 时，y＝1.59，而 A 中 y＝23＝8，不合要求，B 中 y＝log23 ∈(1,2)，C 中 y＝12(32－1)＝4，不合要求，D 中 y＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选 B.]
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在(0，＋∞) 单调递增 上的增减性
单调递增
单调递增
增长速度 越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随 x 的增大逐
渐表现为 与 y轴 平行
随 x 的增大逐 渐表现为 与 x轴 平行
随 n 值变化而 各有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
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(1)A (2)D [(1)前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故 选 A.
(2)依题意知当 0≤x≤4 时，f(x)＝2x；当 4<x≤8 时，f(x)＝8；当 8<x≤12 时， f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选 D.]
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专题12 函数模型及其应用 1.综合考查函数的性质； 2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题； 3.考查函数的最值．
1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，
a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) (2)三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1) y＝
xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
【疑点清源】 1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
高频考点一、用函数图象刻画变化过程 例1、(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
答案 D 解析 依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＝24－2x，观察四个选项知，选D. 高频考点二 已知函数模型的实际问题 例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s. (1)求出a、b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组 a＋b＝0，a＋2b＝1，得 a＝－1，b＝1. (2)由(1)知，v＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3
Q
10
≥2，即log3Q10≥3，解得Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位． 【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.
答案 19 解析 由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. 高频考点三 构造函数模型的实际问题 例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元 答案 C 【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( ) A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8% (2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况 答案 (1)C (2)B 解析 (1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝lg240≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%. (2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)
n
＝0. 99n·a【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km. 答案 9 【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时) (2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A．10B．11C．13D．21 答案 (1)5 (2)A 解析 (1)设经过x小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09， ∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x， 设备年平均费用为y， 则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)， 所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋xx＋1x ＝x＋100x＋1.5， 由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5 ＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号，所以选A. 高频考点四、函数应用问题 例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ 400－6x，040. (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0＝－6x2＋384x－40， 当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－40000x－16x＋7360.
所以W＝ －6x2＋384x－40，040. (2)①当0所以Wmax＝W(32)＝6104； ②当x>40时，W＝－40000x－16x＋7360， 由于40000x＋16x≥240000x×16x＝1600， 当且仅当40000x＝16x， 即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W取最大值为5760. 综合①②知， 当x＝32时，W取得最大值6104万元。 【特别提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 【方法技巧】 1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础． 2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．