单自由度系统的特殊频率 - 科学网—博客
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机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
单自由度系统
就是说
振动频率—系统固有频率
它取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的， 与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无 关）故把ω n称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架 飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于是 固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在 以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。
第二章
单自由度系统的振动
§2—1 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2—2 求固有频率的能量法 §2—3 §2—4 §2—5 §2—6
单自由度系统有阻尼的自由振动
单自由度系统有阻尼的强迫振动 基础振动——第二类振动问题 振动的隔离
§2—7 单自由度系统对任意激振力的响应 §2—8 本章习题
引
言
关于自由度的概念，前边已经讲述， 就是决定系统瞬时几何位置独立坐标 （或参数）。如果一个机械系统的几何 位置在任何瞬时都能只用一个独立的参 数来表达，那么该系统叫做具有一个自 由度的系统。
上式即一个自由度系统自由振动微分方程。这是个 二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：〔注：这是 d x f ( x) 型微分方程，其解法在高等数学中讲过，忘了 dt 的同学可以复习一下〕
2 2
x=c1sinω nt+c2cosω nt
其中常数c1 ，c2由初始条件确定。
三、初始条件引起的振动 v0 x x0 , x 设：当t＝0时
3EJ 〔悬臂梁等效刚度（弯曲）k g l 〕 3
l
bh3 2 4 cm ，故 其中惯性矩 J 12 3 10 603 980 c 0.54, n 42.弧度 7 /秒 2 0.54 3 2 106 3
n fn 6.8 2
机械振动单自由度系统
习题2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置， 另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T— 2.3所示，求其后的运动。
图 T—2.3
习题2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动， 圆心受到一弹簧k约束，如图T—2.4所示，求系统的固有频率。
习题2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位 置，如图T—2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周 期。
习题2.10 如图T—2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴 的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体， 绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。 半径R与a均已知，求微振动的周期。
图T—2.10
图T—2.12
2.2.3 有效质量 • 离散系统模型约定：系统的质量集中在惯性元件上，弹性 元件无质量。
第2章 单自由度系统
• • • • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 引言 无阻尼自由振动 阻尼自由振动 单自由度系统的简谐强迫振动 简谐强迫振动理论的应用 周期强迫振动 非周期强迫振动
§2.1 引言
• 单自由度系统：只有一个自由度的振动系统称为 单自由度振动系统。 单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二 阶线性常微分方程描述它的振动规律。
上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助 于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元件 为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示，忽 略阻尼。
图 2—3
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望 方程的解中只包括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原 点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。
第二章单自由度系统的自由振动
f=1/T。
n
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
8
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
重物匀速下降时处于静 平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0 x0 v
其振动规律为： x x0 cos nt
n
x0
sin nt
13
解：
x0 0 x0 v
根据：
x x0 cos nt
n
x0
sin nt
1 ( 3 M m) x 2 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
U k [( st 2 x) 2 st 2 ] ( M m) gx 2 2kx2 2k st x ( M m) gx
因平衡时
2k st x (M m) gx
O l C mg
16
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物 理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
O l C mg
sin
n
mgl , J0
J0 mgl 0
J0 Tn 2 mgl
mgl J0 2 Tn2 4
m Tn 2 n k 2
固有周期
k / m g / s
10
固有频率及固有周期
k g wn m s
单自由度系统的振动
I
( M m) gR k st 2 R 0
st M m g
2k
在任意位置x 时：
F k ( st 2 x) M m g 2kx 2
应用动量矩定理x：
1 2 x R Mx R MR H I mx 2 R 3 ( M m) Rx 2 mI ( F ) (M m) gR F 2 R 4kxR
g
得n=0.4（1/s）
150 由2n 2nm 2 0.4 12.2 Ns / m m 9.8
§12-3 单自由度系统的受迫振动
自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很 多振动并不衰减，这时因为受到干扰力的作用。干扰力时 对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系 统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、 支撑点或悬挂点的运动等。 系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或强迫振 动。
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
4. 振动的分类：
按振动系统的自由度分类
单自由度系统的振动
多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类：
自由振动： 无阻尼的自由振动
有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
μ —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
二、振动微分方程及其解：
kx x x 质量—弹簧系统存在粘性阻尼： m
k 令 , 2n m m
2 n
2 则 x 2nx n x 0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
( M m) gR k st 2 R 0
st M m g
2k
在任意位置x 时：
F k ( st 2 x) M m g 2kx 2
应用动量矩定理x：
1 2 x R Mx R MR H I mx 2 R 3 ( M m) Rx 2 mI ( F ) (M m) gR F 2 R 4kxR
g
得n=0.4（1/s）
150 由2n 2nm 2 0.4 12.2 Ns / m m 9.8
§12-3 单自由度系统的受迫振动
自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很 多振动并不衰减，这时因为受到干扰力的作用。干扰力时 对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系 统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、 支撑点或悬挂点的运动等。 系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或强迫振 动。
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
4. 振动的分类：
按振动系统的自由度分类
单自由度系统的振动
多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类：
自由振动： 无阻尼的自由振动
有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
μ —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
二、振动微分方程及其解：
kx x x 质量—弹簧系统存在粘性阻尼： m
k 令 , 2n m m
2 n
2 则 x 2nx n x 0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
单自由度系统的振动(上课用)
48
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
k (t ) x(t ) 0 x m k (t ) x(t ) x(t ) x(t ) 0 x m 1 2 1 k 2 积分，有 x (t ) x (t ) C 2 2m 1 2 1 2 mx (t ) kx (t ) Cm
36
从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题
19
20
§4-1
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
21
1、自由振动微分方程及其解
m(t ) kx(t ) 0 x m g k st 0 m(t ) k ( st x) x
2 2 n k / m, 则(t ) n x(t ) 0 x 2 r 2 n 0
r1 i n , r2 i n x(t ) A1 cos nt A2 sin n t x(t ) A1 n sin nt A2 n cos nt
2 2 (t ) A1n cos nt A2n sin n t x
22
正弦和余弦函数是周期函数
sin(nt 2 ) sin[n (t 2 / n )] sin nt cos(nt 2 ) cos[n (t 2 / n )] cosnt
这表明物体的运动是振动，周期为
2 / n
记初始条件为 (0) x0 , x(0) v0 , 得 x A1 x0 , A2 v0 / n x(t ) x0 cosnt v0 / n sin nt x(t ) A cos(nt ) A x (
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
k (t ) x(t ) 0 x m k (t ) x(t ) x(t ) x(t ) 0 x m 1 2 1 k 2 积分，有 x (t ) x (t ) C 2 2m 1 2 1 2 mx (t ) kx (t ) Cm
36
从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题
19
20
§4-1
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念：
21
1、自由振动微分方程及其解
m(t ) kx(t ) 0 x m g k st 0 m(t ) k ( st x) x
2 2 n k / m, 则(t ) n x(t ) 0 x 2 r 2 n 0
r1 i n , r2 i n x(t ) A1 cos nt A2 sin n t x(t ) A1 n sin nt A2 n cos nt
2 2 (t ) A1n cos nt A2n sin n t x
22
正弦和余弦函数是周期函数
sin(nt 2 ) sin[n (t 2 / n )] sin nt cos(nt 2 ) cos[n (t 2 / n )] cosnt
这表明物体的运动是振动，周期为
2 / n
记初始条件为 (0) x0 , x(0) v0 , 得 x A1 x0 , A2 v0 / n x(t ) x0 cosnt v0 / n sin nt x(t ) A cos(nt ) A x (
第1章单自由度系统的振动分析
第1章单自由度系统的振动分析在物理学中，振动是指物体沿着一些路径来回运动，且运动是有规律的。
振动在自然界中广泛存在，例如弹簧振子、摆锤等等。
而振动分析则是研究物体在振动过程中的运动规律，以及相关的物理量和性质。
单自由度系统是振动分析中最简单且常见的一种情况，它假设系统仅受到一个力的作用，且一个自由度足以描述系统的运动。
单自由度系统的振动分析可以通过牛顿第二定律和弹簧定律进行推导。
首先考虑一个弹簧振子，它由一个质点和一个弹性体构成。
当质点从平衡位置偏离时，弹性体产生弹力使质点受到一个恢复力。
根据胡克定律，弹力与偏离位移成正比，即F = -kx，其中F是恢复力，k是弹簧的劲度系数，x是质点与平衡位置的偏离量。
根据牛顿第二定律，F = ma，其中m是质点的质量，a是质点的加速度。
将恢复力代入上式，得到ma = -kx，即质点的加速度与它的位移成反比。
这是一个二阶线性常微分方程，即质点的位置随时间的变化满足x'' + (k/m)x = 0。
解这个方程得到的解为x = Asin(ωt +φ)，其中A是振幅，ω是角速度，φ是初始相位。
这个解描述了质点随时间的振动。
振动的特性可以通过振动的频率和周期来描述。
频率表示单位时间内振动的次数，即1/ω，单位是赫兹(Hz)；周期表示振动经过一个完整循环所需的时间，即2π/ω，单位是秒。
振动系统的能量可以分为动能和势能。
动能与质点的速度成正比，而势能与质点的位移成正比。
在振动过程中，动能和势能不断地相互转化，但系统的总能量保持不变。
为了进一步研究振动系统的性质，可以引入阻尼和激励。
阻尼是指振动系统受到的阻力，它会减弱振动系统的振幅。
激励是指外力对振动系统的施加，它可以改变系统的运动规律。
在振动分析中，还可以研究振动系统的共振现象。
共振是指当外力的频率接近振动系统的固有频率时，系统会出现明显的振幅增大现象。
共振会对系统产生不利的影响，因此在实际工程中需要避免共振的发生。
单自由度系统振动
常见几种非粘性阻尼的等效阻尼 1．干摩擦阻尼
ce 4 Fc B We 8 aB B 2 3
ce 2．流体粘性阻尼
3．结构阻尼
ce
W
B 2
1.6 非谐周期激励的响应
对于工程中常见的线性系统，任何周期激励 函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函 数之和
F (t ) a0 a1 cos 0 t a 2 cos 2 0 t b1 sin 0 t b2 sin 2 0 t 2 F (t ) A0
注意希腊字母 Ξ[ksi];ζ[zta]
通解为：x e t (c1 c2t )
c1 x0 , c2 V0 n x0
3.有阻尼受迫振动解
振动方程为 mx cx kx f ( x)
f ( x) F0 sin t 时，为谐迫振动。其解为
n t 2
相位
瞬态响应的振幅 频率比 稳态响应的振幅
x Ae sin( 1 nt ) B sin(t ) 2 x 1 tan 1 ( 0 n ) V0 n x0 2 (V0 n x0 ) 2 x0 2n (1 2 ) A 2 2 n (1 ) n n 2 F0 / k F0 B 2 2 2 2 2 2 2 (n ) (2n ) k (1 ) (2 )
注意希腊字母 ξ(ksi)
4.MATLAB数值仿真
MATLAB是Matrix Laboratory的缩写，是一种直译式 的语言，易学（相比C语言）
特点：强大的数值运算功能
丰富的工具箱 数学计算 数字信号处理 自动控制 动态分析 数据处理 2D与3D绘图功能
第二章-单自由度系统的自由振动-yyt
x(t ) A sin(nt )
振幅： A
arctan 初相位：
固有频率
x 0 x n n x0
2 0
2
x 0
n
k m
21
2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例2 提升机系统。重物W=1.47x105N，钢丝刚度k=5.78x104N/cm。重物以 v=15m/min的速度匀速下降，求绳的上端突然卡住时， （1）重物的振动频率；（2）绳中最大张力。 gk 解：振动（自然）频率 n 19.6 rad / s W
证明：动能 T 1 mx 2
2
势能 V mgx k ( x )dx mgx k x
0
x
1 2 1 2 kx kx 2 2
T V const
2 kx2 const mx
两边求导并整理： (m kx) x 0 x
不恒等于0： x
Tmax Vmax
29
零平衡位置
能量方法：
解：广义坐标θ，平衡位置设置零坐标如图
显然，系统的振动方程为： (t ) cos(nt ) θ
(t ) sin( t ) 则，角速度为： n n
有 max 最大动能 Tmax
max n
弹簧-质量-阻尼系统
4
2.1 基本概念(实际结构简化)
m
m
5
2.1 基本概念
振动方式：自由振动
系统在初始时只受到一个外界扰动，此后并不受其他 力的作用而发生的振动。
O
θ l
mg
6
7
2.1 单自由度系统的自由振动
第二章 单自由度系统20120306
e jt cos t j sin t
实际解取复数解的虚部
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
假定方程的特解为 xs (t ) Xe jt 式中 X 为复振幅。代入振动微分方程
m x c x kx Fe jt
( 2 m jc k ) Xe jt Fe jt
x Ae nt sin(d t )
0 tg x0
1
0 tg x0
1
例1
建立如图所示系统的运动方程，试确定临界阻尼系数和有阻尼固有频率。
解
ml ka ca
2 2 2
2
ca 2 a k 2 0 l m l m
x
v
tm 0.3( s )
xmax
v
d
entm sin d tm 0.529(cm)
d
e
n
2d
0.526(cm)
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
F： 激振力幅值 ω：激振力频率 通解＝齐次方程通解＋非齐次方程特解
x(t ) xh (t ) xs (t )
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
齐次方程
m x c x kx 0
齐次方程通解
xh (t ) Aent sin(d t )
Fsint
A：振幅
d 1 2 n
单自由度有阻尼自由振动
x e nt B1 B2 cos d t j B1 B2 sin d t