数学悖论与三次数学危机

数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。

历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。

数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。

危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。

悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1] 。

数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。

数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。

本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2] 。

他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数(即分数，两个整数的比)，除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3] ，也就是我们所说的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即 a2 =b2 +c 2，a 和 b 分别代表直角三角形的两条直角边， c 表示斜边。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。

他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。

假设正方形边长为 1 ，并设其对角线长为 d ，依勾股定理应有 d2 =12 +12 =2，即 d2 =2 ，那么 d 是多少呢？显然 d 不是整数，那它必是两整数之比。

希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设 Rt△ABC，两直角边为 a=b，则由勾股定理有 c2 =2a2 ，设已将 a 和 c 中的公约数约去，即 a、c 已经互素，于是 c 为偶数， a 为奇数，不妨令 c=2m，则有(2m) 2 =2a2，a2 =2m2，于是 a 为偶数，这与前面已证a 为奇数矛盾。

这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。

毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，数“即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。

第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。

首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5] ，为数学分析的发展奠定了基础。

再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。

欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。

第一次数学危机极大地促进了几何学的发展 ,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。

公元 17 世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。

然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。

例如牛顿当时是这样求函数 y＝x n 的导数的[7]：(x＋△x) n＝x n＋n ·x n-1 · △x＋ [n ( n+1 ) /2] ·x n-2 · (△x)2 ＋……＋(△x) n ，然后用自变量的增量△ x 除以函数的增量△y ，△y/△x＝ [ ( x ＋△x) n－x n ]/△x＝n ·x n-1＋ [n ( n-1 )/2] ·x n-2 · △x＋……＋n·x· ( △x) n-2 ＋(△x) n-1 ，最后，扔掉其中含有无穷小量△ x 的项，即得函数 y=x n 的导数为 y′=nx n-1。

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x 为除数除以△y ，说明△x 不等于零，而后又扔掉含有△ x 的项，则又说明△x 等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是逝“去的量的鬼魂” ，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是分“明的诡辩” 。

[8]这就是著名的“贝克莱悖论”。

确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为 0 ，有时又异于 0 的做法，不得不让人怀疑。

无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。

第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△ x ，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。

在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从 19 世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。

微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。

在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。

而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以 0 为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。

后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。

极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。

极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。

后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。

这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。

在前两次数学危机解决后不到 30 年即 19 世纪 70 年代,德国数学家康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论 ,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。

1900 年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布[9]：我“们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。

”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时 ,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安 ,其中英国数学家罗素 1902 年提出的悖论影响最大, 罗“素悖论”的内容是这样的：设集合 B 是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B 是否属于 B？若 B 属于 B，则 B 是 B 的元素，于是 B 不属于自身，即 B 不属于 B ；反之，若 B 不属于 B ，则 B 不是 B 的元素，于是 B 属于自己，即 B 属于 B。

这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合 B 不属于 B 当且仅当集合 B 属于 B 时成立的悖论。

之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论[10] 。

理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。

那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。

如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。

同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。

这就是历史上著名的罗素悖论。

罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。

罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。

罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。

罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。

数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道[11]：对“一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。

在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。

”可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。

然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。

为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。

如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[12] ，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系( ZFC 系统) [5]，在 ZFC 系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。

ZFC 系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。

尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理集合论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续[7] 。