例析非方程问题的方程解法
超越方程解法
超越方程解法超越方程是数学中的一个重要概念，它涉及到许多实际应用领域，如物理、工程、经济等。
因此，研究超越方程的解法具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将详细介绍超越方程的解法，包括数值解法和解析解法，并通过实例加以说明。
一、超越方程概述超越方程是指包含超越函数的方程，如指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的特点是无法通过有限次的加、减、乘、除和开方运算来表示。
因此，超越方程的解法通常比代数方程更为复杂。
二、数值解法数值解法是一种通过计算近似值来求解超越方程的方法。
这种方法适用于那些难以找到解析解或解析解过于复杂的超越方程。
数值解法的基本思想是利用迭代法、逼近法或插值法等数值计算方法，逐步逼近方程的解。
1二分法二分法是一种简单而有效的数值解法，适用于在给定区间内求解实函数的实根。
首先，确定解的存在区间，即找到一个区间[a, b]，使得函数在区间两端取值异号。
然后，将区间二等分，判断新的区间中点处的函数值与原区间两端函数值的符号关系，从而确定解所在的子区间。
重复这一过程，直到达到所需的精度要求。
二分法的优点是简单易行，收敛速度快。
但是，它要求解的存在区间已知，且在该区间内函数连续且单调。
对于不满足这些条件的超越方程，可能需要采用其他数值解法。
2牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于泰勒级数展开的数值解法，适用于求解非线性方程的根。
它的基本思想是利用泰勒级数展开式中的线性项来逼近原函数，并通过迭代法求解逼近方程的根。
对于超越方程f(x)=0，牛顿迭代法的迭代公式为：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)其中，x_n为第n次迭代得到的近似解，f'(x_n)为函数在x_n处的导数。
通过不断迭代，可以逐步逼近方程的解。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，具有较高的精度。
但是，它需要计算函数的导数，对于某些复杂的超越函数，导数的计算可能较为困难。
此外，牛顿迭代法的收敛性取决于初始值的选择，如果初始值选择不当，可能导致迭代过程发散。
(整理版)非线性回归问题
非线性回归问题两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
分析非线性回归问题的具体做法是：〔1〕假设问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换〔换元〕，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决． 〔2〕假设问题中没有给出经验公式，需要我们画出数据的散点图，通过与各种函数〔如指数函数、对数函数、幂函数等〕的图象作比拟，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式e b xy A =〔b <0〕表示，现测得实验数据如下：试求对的回归方程．分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为eb xy A =〔b <0〕类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．解：由题意可知，对于给定的公式e bxy A =〔b <0〕两边取自然对数，得ln ln b y A x=+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1u x=，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1u =，ln v y =变为如表所示的数据：由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-，0.548a =，∴v =0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得0.146ln 0.548y x=-， ∴0.1460.1460.1460.5480.548e1.73xxxy eee---===，∴回归曲线方程为0.1461.73exy -=．点评：解决此题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y612254995190〔1〕作出这些数据的散点图； 〔2〕求出y 对x 的回归方程． 解析：〔1〕作出散点图如图1所示．〔2〕由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bxy c =〔c ＞0〕的周围，那么ln ln y bx c =+．令ln ln z y a c ==，，那么z bx a =+．x1 2 3 4 5 6 z相应的散点图如图2． 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115z x =+．因此 细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为0.69 1.115e x y +=．点评：通过作散点图看出，此题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，此题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这说明确定性关系〔如公式、函数关系式〕和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间确实定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们确实定性关系．。
例析平面方程的解法
例析平面方程的解法平面方程是数学中相当重要的一类方程，有时也叫二元一次方程，它指的是在平面上只存在两个未知数的一次方程组。
在求解平面方程时，需要找出方程组中未知数的取值范围。
这是一个在数学中十分重要的问题，因此，要想掌握解决此类问题的技术，就应该了解平面方程的解法。
一、求解平面方程的四种方法（1）求解具体的数学解如果给定的平面方程可以归结为一元一次方程，那么可以通过一些简单的运算，如交换未知数、求公式等，得到方程的解。
（2）用图解法可以用图来求解平面方程，其基本原理是将平面方程化为两个一次方程的投影，根据图形的交点求出未知数的值。
（3）矩阵运算法此方法将平面方程看作矩阵，通过对矩阵的简化运算求出未知数的取值范围。
（4）极坐标法将平面方程转换为极坐标表示，然后根据坐标图上的运算求出未知数的值即可。
二、例析（1）求解具体的数学解例1：求解方程组：x + 2y = 5，2x + 5y = 12解：首先将上面的方程组化简，写成：x + 2y = 52x + 5y = 12将第二个方程组中的系数，即2和5同乘以（-1），得到： x + 2y = 5-2x - 5y = - 12将两个方程组中x的系数相加，得：3y = -7故y = -7/3由第一个方程组算出x = 5 + 2(-7/3) = 5 - 14/3故未知数的值为：x = 5 - 14/3，y = -7/3 。
（2）用图解法例2：求解方程组：2x + y = 7，3x + 4y = 10解：将上面的方程组化简，写成：2x + y = 73x + 4y = 10将第一个方程组中的系数，即2和1同乘以（-3），得到： -6x - 3y = -213x + 4y = 10将2个方程组中y的系数相加，得：-3x = -11故x = 11/3由第一个方程组算出y = 7 + (-11/3) = 7 - 11/3故未知数的值为：x = 11/3，y = 7 - 11/3 。
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第38讲__不定方程
说明对于m个n元一次不定方程组(m<n)成的方程组，可以消去m－1个未知数，从而也消去了m－1个不定方程式，将方程组转化为一个n－m+1元的一次不定方程。
例4．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。
分析二次不定方程，常考虑分解因式或配方。
∵x02+y02≡0(mod3)，∴x02≡0(mod3)，y02≡0(mod3)，
∴x0≡0(mod3)，y0≡0(mod3)，∵∵
设x0=3x1，y0=3y1，则3(x12+y12)=z02+w02≡0(mod3)，
同理z0≡0(mod3)，w0≡0(mod3)，
设z0=3z1，w0=3w1，则可得x12+y12=3(z12+w12)，说明(x1，y1，z1，w1)也是方程x2+y2=3(z2+w2)的非负非零解，其中x1≥0，y1≥0，z1≥0，w1≥0，且x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞0；继续以上过程，可得到一系列的非负非零解，使得x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞…＞xn+yn+zn+wn＞…＞0。而且上述过程可以进行无限次，于是就有无限项的严格递减的正整数数列
当y=1时，由①，②解得＜u＜6，
故u=5,从而由2u+3y+z=15，z=2，故x=1。即有解x=1，y=1，z=2。
当y=2时，同理得u=4，x=2，z=1。即有解x=2，y=2，z=1。
当y=3或4时，满足①，②的整数u不存在。
于是不定方程的正整数解为：(1,1,2),(2,2,1)。
方程与不等式的解法例题和知识点总结
方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。
1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。
例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。
3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。
例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。
1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
超越方程解法
超越方程解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：超越方程解法是数学领域中一个重要而复杂的问题，涉及到超越函数和代数方程的结合。
超越函数是指不满足任何有理方程的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。
超越方程是指含有超越函数的方程，通常无法用有限次的代数运算解出其根。
解决超越方程需要运用一系列的数学方法和技巧，进行推导和化简，找到其解的近似值或特殊形式。
在数学中，解方程是一项基本的任务，从一次方程到高次方程，数学家们都提出了各种解法，例如直接代入法、配方法、求根公式等。
超越方程的解法却不那么直接和简单。
因为超越函数的性质决定了它们不会在有限的有理运算下得到解，因此需要运用更加复杂的方法来解决超越方程。
下面我们将介绍几种常用的超越方程解法。
一种常见的超越方程解法是利用级数展开法。
级数展开是将一个函数表示成无穷级数的形式，通过截断级数来近似表示原函数。
对于一些复杂的超越函数，可以通过级数展开来简化计算和解析。
当我们遇到指数函数或对数函数的方程时，可以尝试使用泰勒级数或泰勒-麦克劳林级数来将函数近似成一个无穷级数，然后通过截断级数来求解方程的近似解。
另一种常见的超越方程解法是利用变换和化简。
有些超越方程看似复杂，但通过适当的变换和化简可以得到简单的形式，从而更容易求解。
通过代换、换元、分式分解等方式，可以将原方程转化成更简单的形式，进而找到其解。
在这个过程中，需要灵活运用各种代数技巧，将原方程变形成更易处理的形式。
还有一些特殊的超越方程解法，例如利用积分和微分方程的方法。
有些超越方程可以转化成微分方程的形式，通过求解微分方程来得到原方程的解。
这种方法通常适用于一些特殊的超越方程，需要一定的数学知识和技能。
超越方程解法是一个复杂而又有趣的数学问题，需要数学家们不断探索和研究。
通过不断的实践和思考，我们可以运用各种数学方法和技巧来解决超越方程，挖掘其中的数学奥秘。
希望通过本文的介绍，读者能对超越方程解法有更深入的了解，并对数学问题更加感兴趣和热爱。
不定方程的一些常用解法
（ —１ Ｙ＝（ ｍ一１ ． ｍ ） ６ ）
口： ｐ＋ ） ｂ 幻 （ 印（ ｑ ， ＝ ｐ＋ｑ ． ）
由 （ ， ，） ， ｋ ． ａ ｂ Ｃ ：１ 得 ＝１
由（ 一１ ６ 一１ ｍ ，ｍ ）＝（ 一１ ５ ｍ ， ）＝１ ｍ （
的个 位数 字只能 为 ３ 故 （ ， ｍ一１ ５ ≠５ ， ， ） ） 得
ｒ ＝（ ｍ一１ ｆ ），
矗 口＋ｂ ｐ ｐ＋ ）＋ｑ ｐ＋ｑ ｉ ［ ＝（ ｇ （ ）＝（ ｑ Ｐ＋ ） 为完 全平方数 ．
【 ６ Ｙ＝（ ｍ一１ Ｚ ）．
【 说明】 证法 １ 利用 （ ，，） １ ａ ｂｃ ＝ 时常用
的变量代 换将 方 程进 行 等价 变 形 ， 用 因子 利 分析 的方法进 行研 究 ； 法 ２巧 妙 地将 方 程 证
２１ 年第 １ ０１ 期
７
正 整数 ｂ只可 能 为 ２或 ３ 易得 到两组 解 ，
【 分析】 显然 ， 不是一位数． ｎ
设 凡 是 ｋ＋ １位 数 ， ／ ＝ 即 ２ ， — … 戈 ０ ｌ １ ．
（ ） ＝（ ， ） （ ， ） ， ） ５ ２ 或 ５ ３ ． ， ຫໍສະໝຸດ （ ） ＝ ２若 ２测 Ｃ －
设 为 Ａ的前 ｎ位数 所对应 的正整数 ， Ｙ 为 的后 ｎ位 数所对 应的正整 数． 则
Ａ ＝ １ ＋Ｙ． ＝ １ ＋ ． ０ Ｂ ０Ｙ
例 ３ 求 正整数 ｘｙ使 得 ，， ＋ ｘｙ ＝ ｙ ，） Ｙ ＋（ ，） （ ， ． ，
【 分析 】 ｚ ，） ＝ ， ＝ ． 设 ＝（ ， ｙ 则
初 等数 论 的重 要 内容 之 一 ， 解 不 定 方 程 或 求 者分 析解 的性质 主要是 利用 初等数 论 中 的常 用思 想方法 和 不 等式 估 计 结 合枚 举 法 等 ． 本
常微分方程问题案例求解
常微分方程问题案例求解常微分方程是数学中一种非常重要的分支,广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面我们将介绍一些常见的常微分方程问题,并给出相应的求解方法。
1. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的数学方程系统。
其中,每个方程都是关于一些未知数的线性方程。
例如,下面是一个常微分方程组:begin{cases}x" = 2x - 3y" = 4y - 5end{cases}这个方程组有两个未知量x和y,并且每个方程都是关于这两个未知数的线性方程。
我们可以通过消元法或代入法求解这个方程组。
2. 非线性方程非线性方程是对于一组非线性方程的求解。
非线性方程的解法通常是很困难的,因此需要使用一些高级的数学工具和方法。
例如,下面是一个非线性方程: begin{cases}x"" + 2x" - 3x = 0y"" + 4y" - 5y = 0end{cases}这个方程对于两个未知量x和y是非线性的,因此我们需要使用一些非线性分析工具来求解。
我们可以使用偏微分方程的数值方法,如网格法或有限元法来求解这个方程组。
3. 热传导方程热传导方程描述了热量从高温物体传递到低温物体的数学方程。
热传导方程通常用以下形式表示:$$frac{partial u}{partial t} = kfrac{partial^2 u}{partial x^2}$$ 其中,u是温度的变化率,t是时间,k是热传导系数,x是物体之间的距离。
热传导方程可以使用数值方法来求解,例如有限差分法或有限体积法。
4. 波动方程波动方程描述了声波在空间中的传播。
波动方程通常用以下形式表示:$$frac{partial^2 u}{partial t^2} + (ablacdotmathbf{u}) = 0$$其中,u是声波的速度,t是时间,$ablacdotmathbf{u}$是速度散度。
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(0y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(0y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(0cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉 特解：)(3116125165是整数通解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x xy -∴-=16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75..16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧==.2,1,0718171804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-=【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-=将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a . ∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ， 又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x 因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为na . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值. 【分析】审清题中na 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为3x，由于+zy2=+≥zx得≤y≥.1,0≤,0当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.综上，a=6.3（2）当n=2001时，原方程为2001yx，由于+z+2=≥≥zyx得≤,0≤.,01000当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，a=2+4+6+…+2002=1003002.2001【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ）A. 一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.答案：1.D2.6733.5 4.121 5.27312。
北师大版2024新版七年级数学上册第五章考点例析3：一元一次方程的应用-相遇问题、追及问题、工程问题
考点三 一元一次方程的应用
例1.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车 从B站出发,每小时行驶80千米,问: (2)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
慢车
快车(2)解:设两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,
快车的路程 - 慢车的路程 = AB两站间的路程
出发后x小时快车追上慢车.
设经过x小时快车追上慢车,
60x
根据题意得,80x-60x=448,
慢车的路程 解得x=22.4 .
80x-60x=448
解方程得x=22.4 答:两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发
经检验, x=22.4是该实际问题的解.
C
A 后22.4小时快车追上慢车.B 快车的路程
列方程为( B )
A.
x 5
+
x+1 8
=1
B.
x 5
+
x-1 8ຫໍສະໝຸດ =1C.x 5
-
x+1 8
=1
D.
x 5
-
x-1 8
=1
甲的工作效率为
1 5
工作1总量
=
工作效率
×
工作乙时的间工作效率为
1 8
1天
甲
甲做了x天 乙做了(x-1)天 甲的工作总51量x+乙81 的(x工-1作) 总量= 1
乙
工作总量=工作效率 × 工作时间
出发后22.4小时,快车追上慢车.
80x
考点三 一元一次方程的应用
例1.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60 千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米,问: (1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? (2)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
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例析非方程问题的方程解法
非方程问题的方程解法是指将一个非方程问题转化为数学方程，通过
解方程来求解问题的方法。
通常来说，非方程问题的方程解法可以分为以下几个步骤：
1.理解问题：首先，我们要对问题进行仔细的阅读和理解，确定问题
的条件和要求。
2.引入变量：接下来，我们要引入一个或多个变量，并根据问题条件
建立数学方程。
变量的选择应该与问题的要求和条件相符，同时方程的解
应该能够得到问题的答案。
3.建立方程：根据问题的条件和要求，我们可以使用代数表达式、几
何定理或者物理公式等建立相应的数学方程。
4.解方程：利用代数运算的规则，将方程进行化简和整理，然后用解
方程的方法求出方程的解。
5.验证答案：最后，我们应该将求得的解代入原问题，验证解是否符
合问题的条件和要求。
下面我们通过一些例子来具体说明非方程问题的方程解法。
例1：甲、乙两个人上班，甲比乙速度快4千米/小时，早15分钟到。
若甲和乙同时上班，则乙比平时提前了多少时间到？
解法：
1.首先，我们引入变量，设乙平时的速度为v千米/小时，那么甲平
时的速度为(v+4)千米/小时。
设乙平时到达的时间为t小时。
2.根据问题条件，我们可以建立如下方程：(v+4)*(t-15/60)=v*t
方程左边表示甲比乙提前15分钟到达的距离，右边表示甲和乙同时
上班的距离。
3. 将方程进行化简和整理，得到：(v+4)t - 15(v+4)/60 = vt
4.解方程，可以得到t=1，即乙平时提前1小时到达。
例2：一个数的百分之一加上这个数的百分之十等于15，求这个数。
解法：
1.引入变量，设这个数为x。
2.根据问题条件，我们可以建立如下方程：x/100+x/10=15
方程左边表示x的百分之一加上x的百分之十，右边表示15
3.将方程进行化简和整理，得到：x/100+10x/100=15
4.解方程，可以得到x=100。
5.验证答案，将x=100代入原问题，得到：100/100+100/10=1+10=11，与题目中的条件15不符，因此这个方程无解。
例3：甲、乙两人一起种地，甲单独种完一块地需要20小时，乙单
独种完同样大小的地需要25小时。
如果甲和乙一起种地，则需要多少小时？
解法：
1.引入变量，设甲和乙一起种地需要的小时数为x。
2.根据问题条件，我们可以建立如下方程：20/x+25/x=1
方程左边表示甲和乙在x小时内种地的效率之和，右边表示完成一块地的效率。
3.将方程进行化简和整理，得到：(20+25)/x=1
4.解方程，可以得到x=45
5.验证答案，将x=45代入原问题，得到：20/45+25/45=45/45=1，符合题目中的条件。
通过以上几个例子，我们可以看到非方程问题的方程解法可以将问题转化为数学方程，通过解方程来求解问题的答案。
在解题时，我们需要仔细阅读问题，合理引入变量，并根据问题的条件和要求建立合适的方程。
最后，我们应该将求得的解代入原问题，验证答案的正确性。