函数列与函数项级数

§3.2 函数列与函数项级数

一、主要知识点和方法

1、基本概念

函数列 收敛域 极限函数

设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列

{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。 {()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为

极限函数，记为()f x 。于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞

=，或记为

()()D

n f x f x ??→，称{()}

n f x 在D 上收敛于()f x 。 函数列一致收敛性

若0ε?>，N ?，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，

则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()D

n f x f x ???→一致。

函数列一致有界性

若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}

n f x 在D 上一致有界。 函数项级数 和函数

设{()}n u x 是E 上的函数列，称

1

()n n u x ∞

=∑为E 上的函数项级数。 若其

部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1

()

n n u x ∞

=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为

1

()()n n u x S x ∞

==

∑。

函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是

1

()n

n u x ∞

=∑的部分和函数列，若()()D

n

S x S x ???

→一致

，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。

柯西一致收敛准则

{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε?>，N ?，当

,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε?>，N ?，当

m n N ≥>时，对任意x D ∈都有

()m

k k n

u x ε=<∑。

1

()n

n u x ∞

=∑在D 上一致收敛的必要条件：()0D

n

u x ???

→一致

。 一致收敛确界判别法

()()D

n f x f x ???→一致

的充要条件是limsup ()()0n n x D

f x f x →∞∈-=。 1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是l i m s u p ()0n

n x D

R

x →∞∈=（其中

1

()()n k

k n R x u

x +∞

=+=

∑称为余和）

。 函数项级数一致收敛M 判别法

若存在数列{}n M ，使得对任意x D ∈都有()n n u x M ≤（1,2,n = ），并且

1

n

n M

∞

=∑收敛，则

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛。

函数项级数一致收敛狄利克雷判别法 若部分和函数列1

{

()}n

k k u x =∑在D 上一致有界；对每个固定的x D ∈，

{()}n v x 为单调数列，并且()0D

n v x ???→一致

。则()()n

n

u x v

x ∑在D 上一致收

敛。

函数项级数一致收敛阿贝尔判别法 若

1

()k

k u x ∞

=∑在D 上一致收敛；对每个固定的x D ∈，{()}n

v x 为单调

数列，函数列{()}n v x 在D 上一致有界。则

()()n

n

u x v x ∑在D 上一致收敛。

连续性定理 可积性定理

若()n f x 在D 上连续（1,2,n = ），并且()()D

n f x f x ???→一致

，则极限函数()f x 在D 上连续。

若()n u x 在D 上连续（1,2,n = ），并且

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛于

()S x ，则和函数()S x 在D 上连续。

当D 为闭区间[,]a b 时，在上述条件下成立等式：

lim ()d lim ()d ()d b b b

n n a a a

n n f x x f x x f x x →∞→∞==???（积分与极限可交换）

。 11()d ()d b

b n n a n n a u x x u x x ∞∞==??

=????

???∑∑?（可逐项积分）

。 关于逐项积分的条件可稍作减弱（范例27） 可微性定理

若1()[,]n f x C a b ∈（1,2,n = ）

，{()}n f x 在[,]a b 上收敛于()f x ，{()}n f x '在[,]a b 上一致收敛，则极限函数()f x 可微并且

()lim ()lim ()n n n n f x f x f x →∞→∞

'

??''==??（求导与极限可交换）

若1

()[,]n u x C a b ∈（1,2,n = ），

1

()n

n u x ∞=∑在[,]a b 收敛于()S x ，1

()

n

n u x ∞

='∑在[,]a b 一致收敛，则和函数()S x 可微并且

11

()()()n n n n S x u x u x ∞∞

=='??''== ???∑∑（可逐项求导）。

二、范例分析

1、讨论{()}{}nx

n f x n xe α

-=在[0,1]的收敛性和一致收敛性。

解：对任意实数

α都有l

i m ()0()n n f x f x →∞

== [0,1]x ∈，即对任意实数

α，{()}{}nx n f x n xe α-=在[0,1]都收敛，极限函数为()0f x ≡。

由于1

1[0,1][0,]

1s u p ()()m a x ()()n n n x x e f x f x f x f n n α--∈∈-===，所以由确界判别法，当1α≥时{}nx n xe α-在[0,1]收敛但不一致收敛，当1α<时{}nx n xe α-在[0,1]

一致收敛。

注：当极限函数容易求得时，通常可用确界法判断一致收敛性。 2、设()f x 在[0,1]上连续。求证：{()}n x f x 在[0,1]一致收敛的充要

条件是(1)0f =。

证：显然[0,1]x ?∈有0

01()(1)1n

n x x f x f x →∞≤

，因此当(1)0f ≠时极

限函数在[0,1]不连续，由连续性定理可知{()}n x f x 在[0,1]不一致收敛。必要性得证。

设(1)0f =，由连续性0ε?>，0δ?>，当11x δ-<≤时1n ?≥都有

()()n x f x f x ε≤<。

设[0,1]

max ()x M f x ∈=，则对任意[0,1]x δ∈-

有()(1)n n x f x M δ≤-，所以{()}n x f x 在[0,1]δ-上一致收敛于0。即N ?，当n N >时[0,1]x δ?∈-有

()n x f x ε<。

综上可知0ε?>，N ?，当n N >时[0,1]x ?∈有()n

x f x ε<，即

{()}n x f x 在[0,1]一致收敛。充分性得证。

3、设()n f x 可微（1,2,n = ），{()}n f x

在[,]a b 收敛，{()}n f x '在

[,]a b 一致有界。求证：{()}n f x 在[,]a b 一致收敛。

证：设()(1[,])n f x M n x a b '≤?≥∈、。

0ε?>，作[,]a b 的分割01l a x x x b =<<<= 使13k k x x M

ε

--<

，依条

件知N ?，当,m n N >时，对每个(0)k x k l ≤≤有()()3n k m k f x f x ε

-<

（柯

西准则）。[,]x a b ?∈，(1)k k l ?≤≤使1[,]k k x x x -∈，于是当,m n N >时

()()()()()()()()

m n m m k m k n k n k n f x f x f x f x f x f x f x f x -≤-+-+-123

k k M x x ε

ε-≤-+

=（微分中值定理）。即证。

注：柯西准则的优点是无须关注极限函数的具体形式和性质，直接由函数列本身作出一致收敛性判断。本题也可用反证法证明。

4、设{()}n f x 在(,)a b 一致收敛，lim ()n n x b

f x β-

→=（1,2,n = ）。则lim n

n β→∞

存在，并且lim ()lim n n x b

f x β-→∞

→=，或即lim lim ()lim lim ()n n n n x b x b

f x f x -

-→∞

→∞→→=。 证：0ε?>，N ?，当,m n N >时，(,)x a b ?∈有()()n m f x f x ε-<，令x b -

→得到

n m ββε-≤。所以lim

n n β→∞存在，记lim n n ββ→∞

=。 存在充分大的0n 使得0()()3

n

f x f x ε

-<（(,)x a b ?∈），03

n ε

ββ-<

。

而对0n 存在0δ>，当b x b δ-<<时00()3

n n f x ε

β-<

。因此有

0000()()()()n n n n f x f x f x f x ββββε-≤-+-+-< （b x b δ-<<）。

注：本题的一个推论：若(,]n f C a b ∈，(,)

()()a b n f x f x ???→一致

，则{()}n f b 收敛于(0)

()f b f b -=。因此{()}n f x 在(,]a b 一致收敛于连续函数()f x 。 5、判

断在(0,)π的收敛性和一致收敛性。

解：

1(0,)

()0n x f x x ππ∈?==?

=?

在(0,]π不连续

，()n f x =(0,]π都连续（1,2,n = ），由连续性定理

，在(0,]π收敛但不一

致收敛，因此在(0,)π不一致收敛。

注：若{()}n f x 在0D D 上收敛但不一致收敛，0D 是有限集，则

或等价地，若{()}n f x 在0D D 上收敛，在D 上一致收敛，0D 是有限集，则{()}n f x 在0D D 上一致收敛。

6、设()f x 在(,)-∞+∞处处连续，0x ≠时()f x x <，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=（1n ≥）。求证：对任意0A >，{()}n f x 在[,]A A -上一致收敛。

证：显然(0)0f =，x ?∈ 有()f x x ≤，其中等号仅当0x =时成立。

0ε?>，由于

()

f x x

在有界闭集x A ε≤≤上连续，所以存在01q ε≤<，使当

x A ε≤≤时

()

f x q x

ε≤，即()f x q x ε≤。而当x ε≤时()f x x ε≤≤。故在[,]A A -上()max{,}f x q x εε≤。

设()max{,}n

n f x q x εε≤（[,]x A A ∈-）

，考察1()n f x +：若()n f x ε≤，则1()(())()n n n f x f f x f x ε+=≤≤；若()n f x ε>，此时必有()n

n f x q x ε≤，于是11()(())

()n n n n

f x f f x q

f x q x

ε

ε++=

≤≤。 因此0ε?>，当[,]x A A ∈-时()max{,}max{,}n n n f x q x q A εεεε≤≤。由

于01q ε≤<，故可取N ，当n N >时n

q A εε<。所以只要n N >，对任意

[,]x A A ∈-都有()n f x ε≤，即{()}n f x 在[,]A A -上一致收敛于0。

7、设()f x 在(,)-∞+∞处处连续，1

01()()n n k k

f x f x n

n -==+∑。求证：{()}n f x 在[,]a b 一致收敛。

证：显然[,]x a b ?∈有1

lim ()()d n n f x f x t t →∞

=

+?

。

1

1

1

01()()d ()()d k n n

k n k n k f x f x t t f x f x t t n n +-=??-+=+-+????

∑?

?

1

1

0()()d k n n

k

k n

k f x f x t t n +-=??

=+-+???????∑，

由()f x 在[,1]a b +的一致连续性，0ε?>，N ?，当n N >时，[,]x a b ?∈，

1[,]k k t n n +∈(0)k n ≤≤都有()()k f x f x t n

ε+-+<。因此，当n N >时

[,]x a b ?∈有1

1

()()d n n k f x f x t t n

ε

ε-=-+<=∑

?，即{()}

n f x 在[,]a b 一致收敛。 8、设()(1,2,)n f x n = 和()f x 在[,]a b 可积，2

l i m

()()d 0

b

n a

n f x f x x →∞-=?

。求证：对[,]a b 上

任意可积函数()g x ，()()d x

n a

f t

g t t ?

在[,]a b 一致收敛于

()()d x

a

f t

g t t ?

。

证：

()()d ()()d [()()]()d

x

x x

n n a

a

a

f t

g t t f t g t t f t f t g t t -=-?

??

()()

1

12

2

2

2

()()()d ()()d ()d x

x

x

n n a

a

a

f t f t

g t t f t f t t

g t t ≤-≤

-??

?

()()

112

2

2

2

()()d ()d 0b

b

n a

a

n f t f t t

g t t

→∞

≤

-→?

?

，即证。

注：若x D ?∈，()()0n n n f x f x α→∞

-≤→（其中

n α与x 无关）

，则{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x 。

9、设{()}n f x 是[,]a b 的连续函数列，在[,]a b 上收敛于连续函数

()f x ，[,]x a b ?∈，数列{()}n f x 单调。求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛

于()f x 。

证：0ε?>，[,]x a b ?∈，x n ?，使()()

x n f x f x ε-<，由x n f 的连续性，0x δ?>，当(,)x x x x x δδ'∈-+时()()x n f x f x ε''-<。又因{()}n f x '单调趋于()f x '，故当x n n >时()()n f x f x ε''-<（(,)x x x x x δδ'∈-+）。

由于[,

]

[,](,)x x x a b a b

x x δδ∈?-+ ，故存在m 个正整数k n 和开区间

(,)k k k k x x δδ-+(1)k m ≤≤，使得1[,](,)k k k k k m

a b x x δδ≤≤?-+ ，并且当k

n n ≥时在(,)k k k k x x δδ-+内有()()n f x f x ε-<(1)k m ≤≤。

0ε?>，取1max{}k k m

N n ≤≤=，考察n N >：[,]x a b ?∈，可取k {1,2,,}

m ∈ 使(,)k k k k x x x δδ∈-+，于是由k n N n >≥得到()()n f x f x ε-<。

注：上述命题称为狄尼定理。相应于函数项级数情形的狄尼定理

叙述如下：设()n u x 在[,]a b 连续且非负（1,2,n = ），

()n

u x ∑在[,]a b 收

敛于连续函数。则

()n

u x ∑在[,]a b 一致收敛。

10、证明：在任何闭区间[,]a b 上{(1)}n

x n

+一致收敛于x

e 。

证：当max{,0}n a >-时，[,]x a b ?∈有

10x

n

+>，所以成立不等式1

1

11111111n n n n x n x x x n n n n n ++????++ ????????

????

?

+=?+≤=+ ? ? ?++??????

??????

。又l i m 1n

x n x e n →+∞

??

+= ???

，

所以n →+∞时1n

x x e n ??

+ ???

。

1n

x n ??+ ???

、x

e 在[,]a b 连续，再由狄尼定理即证。

11、讨论

1

nx

n xn e

α∞

-=∑在(0,)+∞的收敛和一致收敛性。

解：设()nx

n u x xn e α-=。易知01x p ?>>、，当n →∞时()0p n n u x →，

所以

1

nx

n xn e

α∞

-=∑在(0,)+∞收敛。

1

110()n n e

u x u n n

α--??≤≤= ???，

所以当0α<时，由M 判别法可知1

nx

n xn e

α∞

-=∑在(0,)+∞一致收敛。

0α≥时，()nx

n u x xe

-≥，1

()()1

nx nx

n x k n x R x xe e r x e +∞

--=+≥

=

=-∑

，

故当n →∞时101sup ()0n x R x r e n ->??

≥→≠ ???

，由确界判别法可知

1

nx

n xn e

α∞

-=∑在(0,)+∞非一

致收敛。

12、设[,]x a b ?∈，数列{()}n u x 单调递减收敛于0；1n ?≥，()n u x 是

[,]a b 上单调函数。求证：

1

(1)()n

n

n u x ∞

=-∑在[,]a b 一致收敛。

证：设max{(),()}n n n w u a u b =，则0n w →且[,]x a b ?∈有0()n n u x w ≤≤，故[,]

()0a b n u x ???→一致

，又{()}n u x 单

调，1

(1)n

k

k =-∑在[,]a b 一致有界，所以由狄

利克雷判别法，

1

(1)()n

n

n u x ∞

=-∑在[,]a b 一致收敛。

注：()n u x 在[,]a b 上的单调性保证了函数列{()}n u x 收敛的一致性。 13、设0a >，判断1

(1)(12)(1)n nx

x x nx ∞

=+++∑ 在(0,)a 与(,)a +∞的一致收敛性。

解：由比式判别法可知，0x ?>，

1

(1)(12)(1)n nx

x x nx ∞

=+++∑ 收敛。1()(1)(12)(1)

n k n kx

R x x x kx ∞

=+=

+++∑ 111

(1)(12)(1(1))(1)(12)(1)k n x x k x x x kx ∞

=+??=

-??+++-+++??

∑

1

(1)(12)(1)x x nx =+++ 。 当n →∞时0sup ()10n x a

R x <<=→，sup ()()0n n a x R x R a <<+∞

=→。所以在(0,)a

不一致收敛，在(,)a +∞一致收敛。

注：上面的求和方法称为连锁消去法。

14、判断s i n

n

x x ?? ???

∑在(0,)π的收敛性和一致收敛性。

解：(0,)x π

?∈有sin 01x

x

<<，所以sin n

x x ?? ???

∑在(0,)π收敛。

由Ta ylo r 公式，22s i n 1()6x x o x x =-+

。取n x =，则(0,)n x π∈并且1

62s i n 111()06n

n

n n n x o e x n

n -→∞????

=-

+→≠ ? ?????，通项s i n

n

x x ?? ???

在(0,)π不一致收敛于0，所以sin n

x x ??

???

∑在(0,)π不一致收敛。

注：若存在{}n x D ?使得()0n n f x →，则{()}n f x 在D 上不一致收敛于0（参见习题8）。

15、判断221

1

1n n n x x +∞

+=+∑在[0,)+∞的一致收敛性。 解：设221()1n

n n x

u x x +=

+，则21

21

21

0(2)

sup ()(2)12n

n n n n x n u x u n n ++≥??==

?+?

?

1

21

(2)

10112n n n

-

+=

→≠+()n →+∞，通项在[0,)+∞不

一致收敛于0，所以级数在[0,)+∞不一致收敛。

16、讨论2

21

1

(1)n n x x +∞

-=+∑在(,)-∞+∞的一致收敛性。 解：221

1200()10

(1)(1)n k k n n x x R x x x x +∞

-=+=??

==?≠+?+?

∑

11sup ()011n n n n x R x R e n →∞

-∞<<+∞

≥=→≠??

+ ???

所以2

21

1

(1)n n x x +∞

-=+∑在(,)-∞+∞的不一致收敛。 注：易知通项2(,)21

()0(1)

n n x u x x -∞+∞-=????→+一致，可见通项一致收敛于0，只是级数一致收敛的必要条件，不是充分条件。

17、证明(1)s i n n

x x nx +∞

-∑在[0,1]一致收敛。

证：在1[0,]2上，211()12n n

n n n

x u x x x x -≤≤≤+++ ，由M 判别法，级数在1[0,]2

上

一致收敛。 在1[,1]2上，1

{s i n }n

k kx =∑一致有界，221

(1)11n n

n n x x x x x x --=-+++ 一致收敛于0（极限函数为0，对固定的x 单调，满足狄尼定理条件）。由狄利克雷判别法，级数在1

[,1]2

上一致收敛。

综上可知21

(1)sin 1n

n

n x x nx x +∞

=--∑在[0,1]一致收敛。 注：1

121()s i n (c o s c o s )222sin

2

n

n k x n S x kx x x

=+=

=

-∑

，2()21n n S n →∞

→∞+，可见1

{

sin }n

k kx =∑在[0,1]不是一致有界。因此把[0,1]拆分成1[0,]2和1

[,1]2，再分别进行讨论。

若函数列{()}n f x 或函数项级数()n

u x ∑在1

D 和2

D 上都一致收敛，

则在12D D 上也一致收敛。

18、设0()f x 在D 上有界11

{()()}n

k k k f x f x +=-∑

在D 上一致有界。求证：

如果级数

1

n

n b

+∞

=∑收敛，则

1

()n

n n b

f x ∞

=∑在D 上一致收敛。

证：设1

n i

i k

k n S b

+=+=

∑，则0ε?>，N ?，当n N >时有1

n i

i k

k n S b

ε+=+=

<∑

(1,2,)i = 。通过阿贝尔变换可得：

1

11

1()()()()n p n p k

k k k k p n p k n k n b

f x S f x f x S f x ++-++=+=+≤

-+∑∑

1

11()()()n p k k n p k n f x f x f x ε

ε+-++=+≤-+∑

。

而1011

()()()()n p n p k k k n f x f x f x f x +-++=+≤+

-∑

，0()f x 有界，11{()()}

n

k k k f x f x +=-∑一致有界，所以由柯西准则即证。

19、证明

1

sin n nx

n ∞

=∑在点0的任何邻域内非一致收敛。 证： n +?∈ ，当3(

,

)48x n n ππ

∈、2n k n <≤时，3244nx kx nx ππ

<<≤≤，

sin kx ≥所

以

221

1sin 1n

n k n k n kx k k =+=+≥>∑∑由柯西准则即证。 20、证明：22

1

(1)n

n x n

n +∞

=+-∑在任何有限区间[,]a b 上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛。

证：[,]x a b ?∈，22

1

(1)n

n x n

n +∞

=+-∑为莱布尼兹型级数，因此收敛，并且当n →+∞时222222

1

11

()(1)0(1)(1)n

n k n x k x n M n R x k n n ∞

=++++++=-≤≤→++∑（其中m a x (,)M a b =），即余和一致收敛于0，所以级数在[,]a b 一致收敛。

由于22l i m 1n x n

n n

→∞+?=，1n ∑发散，故22x n

n +∑发散，即

221

(1)n

n x n n +∞

=+-∑不绝对收敛。

21、设()f x 在(,)-∞+∞存在任意阶导数，()()()n n F x f x =，在任何有限区间上{()}n F x 一致收敛于()x ?。求证：

()x x ce ?=。

证：(1)1()()()n n n F x f x F x ++'==，所以{()}n F x '一

致收敛于()x ?，并且由可微性定理得到1()lim ()lim ()()n n n n x F x F x x ??+→∞

→∞

''===。于是[()]0x

e x ?-'=，

因此()x

e

x c ?-=，即()x x ce ?=。

22、设0()f x 在[,]a b 连续，1()()d x

n n a

f x f t t -=?

（1n ≥）

，求证： [,]x a b ?∈有

01

()()d x

x t n a

n f x f t e t ∞

-==∑?。

证：设0()f x M ≤，由归纳法易证()()()!!

n n n M M

f x x a b a n n ≤

-≤-，

()!n M

b a n -∑收敛，由M 判别法知

1

()n

n f

x +∞

=∑在[,]a b 一致收敛，和函数记

为()g x 。

由于

10

1

1

1()()()()

()

()n n n

n n n f x f x f x f x f x g x +∞

+∞

+∞

-==='==

+=+∑∑

∑

，所以

1

()

n n f x +∞

='∑在[,]a b 一致收敛，且0

1

()()()()n n g x f x f x g x +∞

=''==+∑，即0[()]()x

x e

g x e f x --'=。

所以0()()

[()]d ()d x

x

x a

t t

a

a

e g x e g a e g t t e

f t t ----'-==?

?，注

意到()0g a =，所以01

()()()d x

x t n a

n g x f x f t e t ∞

-===∑?。

23、证明

2

1

()

n n x +∞

=-∞-∑当x ? 时收敛，和函数()f x 以1为周期，并且当x ? 时()f x 连续。

证：222

10111

()()()

n n n n x n x n x +∞

+∞+∞

=-∞===+----∑∑∑， 当x ? 时级数中各项都有意义，并且

22

11

()()n x n x ---、都与21n 同阶，所以x ? 时级数收敛，

即()f x 有定义。

222

111

(1)()((1))(1)()

n n n f x f x n x n x n x +∞

+∞+∞

=-∞=-∞=-∞+====-+---∑∑∑，对任何x ? 成立，即()f x 以1为周期。

由周期性只须考察()f x 在(0,1)内的连续性。(0,1)x ?∈，

当1n >时22110()(1)n x n ≤≤--、22

11

0()n x n ≤≤--，所以

2

1

()n n x +∞

=-∞

-∑在(0,1)一致收敛，各项

2

1

()

n x -在(0,1)都连续，所以()f x 在(0,1)连续，再由周期性知x ? 时()f x 连续。

24、设{}(0,1)n x ?，i j ≠时i j x x ≠，1

sgn()

()2n n

n x x f x +∞

=-=∑。讨论()f x 在(0,1)的连续性。

解；(0,1)x ?∈，1

()2

n n u x ≤，所以

1

sgn()

2n n

n x x +∞

=-∑在(0,1)一致收敛。 对每个1n ≥，sgn()

()n x x u x -=

，仅在点x 不连续，所以(0,1)x ?∈，

当0n x x ≠(1,2,)n = 时，每个()n u x 都在点0x 连续，又1

()n n u x +∞

=∑在点0

x

的

邻域内一致收敛，所以()f x 在点0x 连续。

当0{}k n x x x =∈时，只有()k u x 在点0x 不连续，其余的()n u x 都在点0

x 连续()n k ≠，所以()()()n

k n k

f x u

x u x ≠=

+∑在点0x 不连续。

综上可知，()f x 只在点列{}n x 中的点处不连续，而在(0,1)内其他的点处都连续。

注：{}n x 是有界点列，因此必有聚点，本题说明间断点集的聚点可以是连续点。例如，11{}{}(0,1)22n x n =+

?+，则1

(0,1)2

n x →∈，按本题构造的函数()f x 在每点n x 间断，但在点

1

2

连续。 25、设(1)0

1()10n

n nx x x x e

x ??-≤≤?=?-≤

（1）求l i m

()n n x ?→∞

，并讨论()n x ?在[1,1]-的一致收敛性；

（2）求1

1

l i m

()()d n

n f x x x ?-→∞?

； （3）若()f x 还在点0连续，求证1

1

lim

()()d (0)2n n n f x x x f ?-→∞=?。

解：（1）001

()lim ()10

n n x x x x ??→∞

?<≤?==?

=??，由于()n x ?连续，()x ?不连

续（或1

1

sup ()()sup ()(0)10n n n x x x x x ????≤≤-===→），所以{()}n x ?在[1,1]-收

敛但不一致收敛。

（2）0δ?>，1

sup

()max{,(1)}0n n n n x x e δδ?δ-→∞

≤≤≤-→，故1

()0x n x δ?≤≤???→一致

，1

1lim

()()d [lim ()()]d 0n n n n x x f x x x f x x x δ

δ

??→∞

→∞

≤≤≤≤=

=??，又

()()d 2n

x f x x x M δ?δ

≤

≤?（其中()f x M ≤），所以1

l i m

()()d f x x x ??

=0。

（3）因11lim ()d 12n n n x x ?-→∞=?，故只须证1

1

lim [()(0)]()d 02n n n f x f x x ?-→∞-=?。

由于()f x 在点0连续，所以0ε?>，0δ?>，当x δ<时()(0)f x f ε-<。由于1

s u p

()m a x {,(1)}

022

n n n n x n n x e δ

δ?δ-→∞

≤≤≤-→

，即1

()02

x n n x δ?≤≤???→一致。所以11

lim

[()(0)]()d [lim (()(0))()]d 022n n n n x x n n

f x f x x f x f x x δδ??→∞→∞≤≤≤≤-=-=??。再由11()()()()(0)d d d 222n n n

x x n x n x n x f x f

x x x δ

δ

???εε-≤≤-≤≤?

??，11()lim d 12n

n n x x ?-→∞=?以及

ε的任意性，得到1

1l

i m [()(0)]()d 02

n n n f x f x x ?-→∞

-=

?。 26、设{}n a 是(0,1)内任一数列，各项互不相同，证明级数

1

2n n

n x a ∞

=-∑

在(0,1)内确定了一个连续函数()f x ，()f x 只在点n x a =（1,2,n = ）处不可微，而在(0,1)的其它点处都可微。

证：设()n n

n n n n

x a x a u x x a a x x a ->?=-=?

-≤?，则()n u x 在(0,1)处处连续，只

在点n a 处不可微在(0,1)的其它点处都可微，并且当(0,1)x ∈时()2n u x ≤（1,2,n = ）。由M 判别法可知级数在(0,1)一致收敛，所以和函数()f x 在(0,1)连续。

当0{}n x a ?时，每个()n u x 都在点0x 可微（1,2,n = ），考察级数

00001

()()2n n

n

n x h a x a f x h f x h h ∞=+---+-=∑，由于00n n x h a x a h +---≤，故此级数关于h 一致收敛（M 判别法），因此可以逐项取极限，既有

0000000011

()()()()lim lim 22n n n

n n h h n n x h a x a f x h f x u x f x h h ∞∞

→→==+---'+-'===∑∑。 当0{}k n x a a =∈时，()

()()2n k n n k

u x f x u x ≠=+∑，其中第一项在k a 处可微，

而第二项在k a 处不可微，所以()f x 在点k a 处不可微。

注：由于级数1

()2n

n

n u x ∞

='∑在(0,1)的一个无限子集{}n a 上没有定义（更谈不上在这些点处收敛），因此不能应用逐项求导定理。

27、设{()}n f x 是[,]a b 上连续函数列，在[,)a b 上内闭一致收敛于

()f x ，又

[,]

()d ()x

a b n a

f t t

g x ???→?

一致

。求证：lim ()d ()()d b b

n a a

n f t t g b f t t →∞==??。 证：[,)x a b ?∈，{()}n f t 在[,]a x 一致收敛，极限与积分运算可换，既()lim

()d lim ()d ()d x

x x

n n a

a a

n n g x f t t f t t f t t →∞→∞

===?

??。

[,]

()d ()x

a b n a

f t t

g x ???→?

一致

，()d x

n a

f t t ?

在[,]a b 连续(1,2

,)n = ，故()g x 在[,]a b 连续，从而l i m ()d l i m ()()l i m x

b

n a

a

n x b

x b

f t t

g x g b f t t --

→∞→→===?

?，所以()d b

a

f t t

?

存在，并且

()d lim ()d b

b

n a

a

n f t t f t t →∞=?

?。即证。

注：在级数

1

()n

n u x +∞

=∑情形，上述命题可叙述如下：{()}n

u x 是[,]a b 上

连续函数列，1

()n n u x +∞

=∑在[,)a b 上内闭一致收敛，1()d x

n a

n u t t ∞

=∑?在[,]a b 一致

收敛。则

1

1

()d [()]d b

b

n n a

a

n n u t t u t t ∞

∞===∑∑?

?（理解为1

lim [()]d x

n a

x b

n u t t -∞

→=∑?

）。 28、求证：

（1）000

sin sin d (01)1x

x n

n t t t t dt x t ππ∞

==≤<-???∑?；

（2）

sin d x

n n t t t π∞

=∑?

在[0,1]一致收敛；

（3）1

1

000

sin sin d d n

n t

t t t t t ππ∞

==???∑?。 证：（1）显然

sin n

n t

t π∞

=∑在[0,]x 一致收敛，故积分与极限可交换。

（2）通过分部积分得

1

1

10

sin d sin d cos d 1x

n n n t t t t t t t t t n π

πππ+≤

=

+?

?

?

1

10

d 1(1)(2)

n t t n n n π

π

+≤

=

+++?

，由M 判别法即证。

10001110000sin sin d lim sin d lim sin d lim d 1x

x x n

n

n

x x x n n n t t t t t t t t t t t t ππππ---∞

∞

∞

→→→======-???∑∑∑??? 11

100sin sin d d 1u t t u t u t u

ππ=-==-??????。

注：本题是范例27的特殊情形。

sin n

n t

t π∞

=∑在[0,1]不一致收敛（事

实上0101

s i n s i n 1s u p ()s u p (1)01n n n t t t n R t t t n e

n

π

ππ

≤≤≤<≥≥

-→≠-），所以范例27中的条

件比逐项积分定理中的条件要弱。

三、习题

1、设(l n )

()n x

x n f x n α=(2)n ≥，讨论{()}n f x 在[0,)+∞的一致收敛性。 提示：先求极限函数，再用确界方法。 2、设1

()l n (1)nx n f x e n

-=

+，判断{()}n f x 在(,0)-∞的一致收敛性。 提示：ln(1)ln(1)nx nx e nx e -+=-++，极限函数()f x x =-，用确界方法讨论之。

3、设函数()f x 在(,)-∞+∞有连续的导数，数列{}n α收敛于0，

1

()[()()]n n n

f x f x f x αα=

+-。求证：在任何有限区间[,]a b 上{()}n f x 一致

收敛于()f x '。

4、设()()D

n f x f x ???→一致，求证：

（1）若()f x 在D 上有界，则至多除有限项外，{()}n f x 在D 上一致有界。

（2）若对每个n ，()n f x 在D 上有界，则()f x 在D 上有界，并且

{()}n f x 在D 上一致有界。

5、设{()}n f x 是(,)-∞+∞上一致连续的函数列，(,)()()n f x f x -∞+∞????→一致

。

6、设{()}n f x 是[,]a b 上连续函数列，[,]

()()a b n f x f x ???→一致

，()g x 在(,)-∞+∞连续。求证：[,]

(())(())a b n g f x g f x ???→一致

。 提示：()f x 、{()}n f x 在[,]a b 一致有界，()g x 在有限闭区间上一致连续。

7、设{()}n f x 是[,]a b 上连续函数列，[,]

()()a b n f x f x ???→一致

，在[,]a b 上()0f x ≠。求证：

[,]

11()()

a b n f x f x ???→一致

。 8、证明：()0D

n f x ???→一致

的充分必要条件是：{}n x D ??都有lim ()0n n n f x →∞

=。

9、判断32

22

()1n n x

f x x n

=

+(1,2,)n = 在[0,1]的一致收敛性。 10、设{()}n f x 为[,]a b 上连续函数列，并且[,]

()()a b n f x f x ???→一致

。求证：()[,]()

n f x a b f x e e ???→一致

。 提示：首先证明{()}n f x 在[,]a b 上一致有界，然后利用函数y

e 在任何有限区间上一致连续。

11、设1

1()cos()n

n k k

f x x n n ==+∑(1,2,)n = ，求证：{()}n

f x 在(,)-∞+∞上

一致收敛。

提示：极限函数为1

()cos()d f x x t t =

+?，又由周期性只须讨论

[0,2]x π∈的情形。

12、判断级

数

21

)n

n n x x ∞

-=+在数集122x ≤≤上的一致收敛性。

提示：把通项适当放大，用M 判别法。 13、求证：

(1)(1)n

n

x x

+∞

--∑在[0,1]上一致收敛；

(1)n

x x

+∞

-∑在[0,1]上

收敛但不一致收敛。

14、判断级数

21

1n

n n x n +∞

=??+ ??

?∑

在(1,)+∞上收敛和一致收敛性。

15、判断

21

(1)n

n x

x ∞

=-∑在[0,1]的一致收敛性。

16、求证：

21

sin n

n x

x π∞

=∑在[0,1]一致收敛。

提示：只须考察级数在[0,1)上的一致收敛性。用确界法证明余和

()n R x 一致趋于0。注意s i n 1x x ππ≤-。

按本题的证法可以得到更一般的命题：若()x ?在[0,1]连续，且存在0M >、1α>，当1x -

→时()(1)x M x α

?≤-。则

()n n x x ?∞

=∑在[0,1]一致

收敛。

17、判断12

21

(1)(1)n n

n x x -∞

=-+∑在(,)-∞+∞的一致收敛性。 提示：应用狄利克雷判别法。或直接利用莱布尼兹型级数的余和性质。

18、证明

1

cos n nx

n ∞

=∑在点0的任何邻域内非一致收敛。 19、证明：

11(1)x n n x e n n ∞

=??-+???

?∑在(0,)+∞非一致收敛。 提示：x →+∞时通项不一致收敛于0。 20、设{()}n u x 是[,]a b 上可导函数列，1{

()}n

k k u x ='∑一

致有界。求证：若

1

()n n u x +∞

=∑在[,]a b 收敛，则必为一致收敛。

提示：应用柯西准则，且111()()()d x

n p n p

n p k k k

k n k n k n x u x u x u t t +++=+=+=+'??

''=+ ???

???∑∑∑ 21、证明：11n

n x n ∞

=?

?+ ??

?∑在(1,1)-收敛，和函数()S x 在(1,1)-连续。

提示：由根式判别法可知1x ?<级数收敛。然后再证明级数在

(1,1)-内闭一致收敛。注意级数在(1,1)-上非一致收敛。

22、证明：

(1)1

(1)nx

n x n nxe

n xe +∞

--+=??-+??∑在[0,)+∞收敛，但对任意0A >，

级数在[0,]A 上不一致收敛；求出和函数()f x ；并问在[0,]A 上可否逐项积分？

提示：数列{}n a 与级数11()n n n a a ∞

+=-∑同敛散；1l n (1)n

n t t n

+∞

==--∑。

23、证明：1

()nx

n f x ne

+∞

-==

∑在(0,)+∞收敛，但非一致收敛。而和函

数在(0,)+∞

内无穷次可微。 提示：可证级数

1

k nx

n n e

+∞

-=∑在(0,)+∞内闭一致收敛。

24、设1

1

()x n f x n +∞

==

∑，求证：()f x 在(1,)+∞上存在任意阶导数。 提示：证明1ln k x n n

n

∞

=∑在(1,)+∞上内闭一致收敛。

25、求极限1

0d lim 1n x n n

x

x e n →∞??++ ?

??

?

???。 26、证明：1

1101d lim ln(1)()n n n k x x n n x n k +∞→+∞==????

=-+????+????

???∑∑ 27、证明：2

0ln n

n x x +∞

=∑在[0,1]一致收敛，21

301ln 2

d 1n x x x n

+∞

==-∑?。

28、证明：00ln d x n

n t t t +∞

=∑?在[0,1]一致收敛，1

201ln 1

d 1n x x x n

+∞

==--∑?。

提示：应用范例27。

29、设21s i n 0

()00x x g x x

x ?≠?=??=?

，111()()2n n f x g x n ∞

==-∑，求证： （1）()f x 在1

1,??

?上可导，且导函数只在点1处不连续