函数项级数

第十章 函数项级数

一、内容简介

本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。

二、学习要求

1. 了解用多项式来逼近函数的思想；

2. 正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质；

3. 掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass 判别法和A-D 判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。

三、学习的重点和难点

重点：函数项级数的一致收敛性, 初等函数的幂级数展开;

难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别,

四、研究级数的目的

1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。

3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。

§１ 一致收敛性

一．点收敛的收敛域 函数项级数：

1

()n n u x ∞

=∑．

定义１ 设()n u x (1,2,

,)n =在E 上有定义，0x E ∈．若数项级数01

()n n u x ∞

=∑收敛，

则称函数项级数在0x 点收敛，称0x 是

1

()n

n u x ∞=∑的收敛点．收敛点全体D 称为1

()n

n u x ∞

=∑的收

敛域．其和()S x 是定义在D 上的函数称为其和函数．

例：（１）

1

()1n n x S x x

∞

===

-∑ (1,1)x ∈-． （２）1

n

p n x n ∞

=∑ 1p >　，收敛域为［－１，１］；01p <≤，收敛域为［－１，１］；

0P ≤，收敛域为（－１，１）．

（３）

1sin p

n x

n

∞

=∑ 0p >时，(,)-∞∞．

例：nx

e

- 收敛域为(0,)∞．

部分和函数列：{()}n S x ．

1

()n

n u x ∞

=∑在D 上收敛?{()}n

S x 在D 上收敛．

二．函数序列的一致收敛性

{()}n S x ．lim ()().n n S x S x →∞

= x D ∈．

00

lim(lim ())lim(lim ())lim ()n n x x n n x x x x S x S x S x →→∞

→∞→→==．即逐项求极限．是否逐项求导，求积分？

一般否．反例：

例：()n n S x x = 收敛域(1,1]D =- 0(1,1)()11

x S x x ∈-?=?

=?　

．

1lim ()0x S x -

→= 1

lim lim ()lim11n n n x S x -

→∞→∞

→==。

例：()0n S x =

→．(,)D =-∞+∞ ()0S x =

()n S x nx '==．

例：1!()0n n x S x ∈?=?

?

其他

．

x ＝无理数时，()0n S x =；x ＝有理数

q p

时，n p >时，!q

n p 整数，()1n S x =．

()n S x 在任何区间[,]a b 上可积，而()S x 不可积．

定义２ 设lim ()().n n S x S x →∞

= x D ∈．若0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有：

()()n S x S x ε-<成立，则称在D 上{()}n S x 一致收敛于()S x ，记为()().D

n S x S x ?

若级数

1

()n

n u x ∞=∑的部分和函数列在D 上一致收敛于()S x ，则称1

()n

n u x ∞

=∑一致收敛于

()S x ．

例１：22

()1n x

S x n x =+．

1

()n n S x ∞

=∑

0x =时，()00n S x =→；0x ≠时，()0n S x →．

22

1()()122n x x S x S x n x n x

n

-=

≤

=

+． 0ε∴?>，只须取1[

]2N ε=，则当n N >时，1()()2n S x S x n

ε-≤<． 例２：()n

n S x x = 01

()11x S x x ?

(1,1]D =-

要使()()n n S x S x x ε-=<，必须ln ln n x

ε

>

．当1x →时，，取不到与x 无关的()N ε，或取012ε=．0,1N n N ??>+及01

00

1(1)n x n =+，0000111(1)112n

x n N ε=->-≥=+，无

论n 怎么大，n

x 不可能落在01y ε<<<的带状区域中．但是若缩小范围在[0,1]δ-上，内闭一致收敛于()S x ．

定义３ 若对于任何给定的闭区间[,]a b D ?，{()}n S x 在[,]a b 上一致收敛于()S x ，则称()n S x 在D 上内闭一致收敛于()S x ．

{}n x 在[0,1)上内闭一致收敛于０．

三 函数序列一致收敛判别法

定理１ 设lim ()()n n S x S x →∞

=，x D ∈．(,)sup ()()n n x D

d S S S x S x ∈=-，则

()()lim (,)0D

n n n S x S x d S S →∞

??=．

证明：)?设()()D

n S x S x ??0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有：

()()2

n S x S x ε

-<

，则(,)2

n d S S ε

ε≤

<，lim (,)0n n d S S →∞

∴=．

)?0,()0.N n N εε?>?>?>，(,)n d S S ε<．?()()(,)n n S x S x d S S ε-≤<．

例：{}n x [,1)

(,)sup 10n

n x p d S S x ∈==→/．

例：()ln n x x

S x n n

=

．收敛域(0,)D =+∞ ()0()n S x S x →=． 0

0(,)sup

ln sup ln n x x x x x x

d S S n n n n

>>==()n x >设ln ()x x f x n n =

011()(ln )ln 00n x e x x x n f x x n n n n n e n x e ?

>

?''==-==???

<>?? ． 在n

x e

=取最大值．

当3,1n x ≥≤时，

ln x x n n ↑ 1

(,)ln 0n d S S n n

=→． 在(0,1)上，．1

(,)ln 0n d S S n n =→，致收敛．

在(1,)+∞上，1

(,)()ln 0n n d S S f e e e

==→/．

定理２ 设()()n n S x S x →∞

→ x D ∈，则()(){}D

n n S x S x x D ???成立．

lim(()())0n n S x S x →∞

-=．

证明：)? ()()D

n S x S x ??(,)0()n d S S n →→∞，则

()()(,)0()n n S x S x d S S n -≤→→∞．

)?若()()D

n S x S x ?/，则000,,,,..

N n N x D s t ε???>?∈000()()n S x S x ε-≥． 取11111,,:n N n N x D =?>?∈1110()()n n n S x S x ε-≥，

22121,,:n N n n n x D =?>?∈2220()()n n n S x S x ε-≥， 11,,:k k k k k n N n n n x D --=?>?∈0()()k k k n n n S x S x ε-≥，

任取n x D ∈，..{}k n s t x 为{}n x 的子列，则()()0k k k n n n S x S x -→/，()()0n S x S x ∴-→/． 矛盾．