第十三章 函数列与函数项级数
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
华东师大数学分析13章_函数项级数
都落在曲线 y f ( x ) 与
y f ( x) y fn ( x)
y f ( x)
y f ( x ) 所夹的带状区域内.
O
a
b
x
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ f n ( x )}
n
Sn ( x ) uk ( x ),
k 1
n
x E , n 1,2,
(10)
为函数项级数(9)的部分和函数列.
若 x0 E , 数项级数
u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
n k 1
(11)
收敛, 即部分和 S n ( x0 ) uk ( x0 ) 当 n 时极限 存在, 则称级数(9)在点 x0 收敛, x0 称为级数(9)的收 敛点. 若级数(11)发散, 则称级数(9)在点 x0 发散. 若 级数(9)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数 (9)在 D 上收敛. 若 D 为级数全体收敛点的集合, 就称 D为函数项级数的收敛域. 级数在 D上每一
解：x [0,1], 有 lim nx(1 x ) n 0 即极限函数 f ( x ) 0. n
设 ( x) | f n ( x) f ( x) | nx(1 x)n ,
x [0,1]
( x )在[0,1]连续， 必有最大值
( x) n(1 x)n1 (1 x nx)
1
1 n0
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 2 2 即函数列 {x n }在区间 [0,1)不一致收敛 .
第十三章---函数项级数习题课
第十三章 函数项级数习题课一概念叙述1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε⇔∃>∀∃>∃∈使得0000()()n f x f x ε-≥．3．{}n f 在数集D 上一致收敛⇔柯西准则0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<．⇔柯西准则0,,,,0N n N x D p ε∀>∃∀>∀∈∀>，有()()n p n f x f x ε+-<．4．{}n f 在数集D 上不一致收敛⇔柯西准则00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0000()()n m f x f x ε-≥．⇔柯西准则00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>使得0000()()n p n f x f x ε+-≥．5．1()nn u x ∞=∑在D 上一致收敛于函数()S x ⇔部分和函数列{}()nS x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ．二 疑难解析与注意事项1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？答：函数列理论中重要问题是(){}n f x 的性质〔连续性，可积性，可导性〕在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛性可以转化为相应部分和函数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性．2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？答：1〕定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ；2〕柯西准则：0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断；3〕确界〔最大值方法〕：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ；4〕估计方法〔放大法〕：|()()|0n n f x f x a -≤→；5〕1()nn fx ∞=∑在D 上一致收敛()n f x ⇒在D 上一致收敛于0．6〕Dini-定理：条件1〕闭区间[,]a b ；2〕连续性；3〕关于n 的单调性．设函数列{()}n f x 和函数()f x 都定义于闭区间[,]a b 上，{()}n f x 在[,]a b 上点态收敛于()f x ，如果〔1〕{()}n f x 在[,]a b 连续； 〔2〕()f x 在[,]a b 连续；〔3〕{()}n f x 关于n 单调，即对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 是单调数列，则{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．注除柯西准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点态收敛性计算出极限函数．注定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断．注Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的〞，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n N >时〞条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n N >时，对所有任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立．3．判断函数列{}n f 在D 上不一致收敛有哪些方法？答：1〕定义：0000,,,N n N x D ε∃>∀∃>∃∈，使得0000()()n f x f x ε-≥；2〕柯西准则：00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0000()()n m f x f x ε-≥；3〕limsup ()()0;n n x Df x f x →∞∈-≠4〕{}n f 在D 上连续，但极限函数()f x 在D 上不连续则{}n f 在D 上不一致收敛． 4．判断1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛于函数()S x 有哪些方法？答：1〕定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ；2〕柯西准则：0>∀ε，N ∃，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有ε<-+)()(x S x S n p n ，即ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n ；3〕0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n ；4〕放大法：()()()0n n n R x S x S x a =-<→； 5〕M 判别法； 6〕阿贝耳判别法； 7〕狄利克雷判别法． 5．判断1()n n u x ∞=∑在D 上不一致收敛于函数()S x 有哪些方法？答：1〕定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上不一致收敛于函数()S x ；2〕柯西准则：00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>，使得0102000()()()n n n p u x u x u x ε++++++≥；3〕limsup ()limsup ()()0n n n n x Dx DR x S x S x →∞→∞∈∈=-≠；4〕()n u x 在D 上连续，但()S x 在D 上不连续； 5〕1()nn u x ∞=∑在(),D a b =的端点处发散，则1()nn u x ∞=∑在D 上不一致收敛．即：设)(x un∑在(),a b 内收敛，每个()n u x 在x b =做左连续，若()n u b ∑发散，则)(x un∑在(),a b 内非一致收敛；应用：1x n ∑在()1,+∞内不一致收敛，n nx ∑当1x >时不一致收敛．6〕()n u x 在D 上不一致收敛于0，则1()n n u x ∞=∑在D 上不一致收敛．三 典型例题1．讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性． 〔1〕 ()22,011n x f x x n x =≤≤+； 〔2〕()22,011nnxf x x n x =≤≤+； 〔3〕()1,01nn n f x x xx +=-≤≤； 〔4〕()(1)n n f x nx x =-，01x ≤≤．解：〔1〕当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当(]0,1x ∈，22()lim ()lim01n n n xf x f x n x →∞→∞===+，因此极限函数为()0f x =．因而()2222211|()|01122n x nx f x f x n x n x n n-==⋅≤→++，n →∞． 所以()n f x 在01x ≤≤上一致收敛．〔2〕当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当(]0,1x ∈，22()lim ()lim01n n n nxf x f x n x →∞→∞===+，因此极限函数为()0f x =．因而()22|()|1n nxf x f x n x -=+，由基本不等式知221nx n x +在1nx =，即1x n=取到最大值，因此有 [][]220,10,11lim sup ()()lim sup012n n n x x nx f x f x n x →∞→∞∈∈-==≠+，所以()n f x 在01x ≤≤上不一致收敛．〔3〕当0x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当1x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当01x <<时，()1()lim ()lim 0n n n n n f x f x x x+→∞→∞==-=，因此极限函数为()0f x =．因而，()1|()|nn n f x f x x x+-=-，令()1nn x x xϕ+=-，则()1()1n n x nx n x ϕ-'=-+，令()0x ϕ'=，得1n x n =+，故()n f x 在1nx n =+处取得最大值，故有 ()11|()|||()[1]0111n n n n n n f x f x x x n n n +-=-≤-<→+++，n →∞．所以()n f x 在01x ≤≤上一致收敛．〔4〕当0x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当1x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当01x <<时，()lim ()lim (1)0nn n n f x f x nx x →∞→∞==-=．则有|()()|(1)n n f x f x nx x -=-，令()(1)nx nx x ϕ=-，则1()(1)[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+，令()0x ϕ'=，得11x n =+，则()x ϕ在11x n =+处达到最大值，因而 [][]0,10,111lim sup ()()lim sup (1)lim(1)011n n n n n n x x n f x f x nx x n n e→∞→∞→∞∈∈-=-=-=≠++，故{()}n f x 在[0,1]不一致收敛．2．讨论 () 1nn nx f x x=+在下列区间上： 1〕[]0,a ()01a <<，2〕[]0,1， 3〕()1,+∞，4〕(),a +∞()1a >是否一致收敛．解：1〕当[]0,x a ∈时，()lim ()lim01nn n n n x f x f x x →∞→∞===+，n →∞．因而 ()()01nn n n nx f x f x x a x -=≤≤→+， 因此 () 1nn nx f x x=+在[]0,a 上一致收敛． 2〕当[)0,1x ∈，()lim ()lim01nn nn n x f x f x x →∞→∞===+， 当1x =，1 () 2n f x =，1()lim ()2n n f x f x →∞==．因此，极限函数为()0011,1x f x x ≤<⎧=⎨=⎩，，由 () 1nn nx f x x =+在[]0,1连续，但极限函数()f x 不连续，因此 () 1nn nx f x x =+在[]0,1上不一致收敛． 3〕当()1,x ∈+∞，1()lim ()lim lim1111nn nn n n n x f x f x x x →∞→∞→∞====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因而1()()111n n n nx f x f x x x-=-=++，于是()()1,1,11lim sup ()()lim sup012n n n n x x f x f x x →∞→∞∈+∞∈+∞-==≠+，因此 () 1nn nx f x x=+在()1,+∞上不一致收敛． 4〕当(),x a ∈+∞，1()lim ()lim lim1111nn nn n n n x f x f x x x →∞→∞→∞====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因而11()()10111n n n n nx f x f x x x a -=-=≤→+++，n →∞．因此 () 1nn nx f x x =+在(),a +∞上一致收敛． 3． 讨论下列级数的一致收敛性． 〔1〕()()12211n nx x --+∑，(),x ∈-∞+∞；〔2〕()121n x n--+∑(),x ∈-∞+∞，〔3〕()2121n x x -+∑，(),x ∈-∞+∞．解〔1〕 法1：看成交错级数，利用交错级数的余项估计式当0x ≠时，()222121()1(1)1n n x x R x n x n x +≤≤=+++，〔利用不等式()11x x x α+≥+α≥α〕 当0x =时，221()0(1)n n x R x x +≤=+ 因此1limsup ()lim01n n n x DR x n →∞→∞∈≤=+，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上一致收敛.法2：看成等比级数利用等比级数的余项〔等比级数的和是首项/〔1-公比〕〕()()()122221111n nnx x x x --⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭+∑∑为等比级数， ()1222222222111111()01222111n nn n x x x x x R x n x x x x +⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭===≤→ ⎪+++⎝⎭++ 因此limsup ()0n n x DR x →∞∈=，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上一致收敛.〔2〕因为211limsup ()limsuplim 011n n n n x Dx DR x n x n →∞→∞→∞∈∈≤==+++，因此()121n x n--+∑在(),-∞+∞上一致收敛.〔3〕21222111()1111nn n x x R x x x -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭-+ 因此limsup ()10n n x DR x →∞∈=→/，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上不一致收敛.注：交错级数的莱布尼兹判别法:若01>≥+n n a a ，1,2,n =，0lim =∞→n n a ，则交错级数()∑∞--1n 11＝n n a 收敛，且和1a S ≤，余项()1111+∞+=-≤-=∑n n k k k n a a r .4． 讨论下列级数的一致收敛性． 〔1〕10(),01nn n xxx ∞+=-≤≤∑； 〔2〕20(1) , [0,1]n n x x x ∞=-∈∑；〔3〕1(1)(),01nnn n xxx ∞+=--≤≤∑； 〔4〕20, (0,)nx n x e x ∞-=∈+∞∑．解：〔1〕由于110()()1n kk n n k S x xx x -+==-=-∑，因此1,01()lim ()0,1n n x S x S x x →∞≤<⎧==⎨=⎩， 而()S x 在]1,0[上不连续． 于是10()nn n xx ∞+=-∑在]1,0[上不一致收敛．〔2〕法1：因为120()(1)=(1) (1) n kn n k S x xx x x -==---∑，故()lim ()1 n n S x S x x →+∞==-，[0,1]x ∈．因而|()()|(1) n n S x S x x x -=-．令()(1)n g x x x =-，则11()(1)n n g x nxx n -+'=-，令()0g x '=，则1nx n =+，于是()(1)n g x x x =-在1nx n =+处取最大值，因而 [][]0,10,11lim sup ()()=lim sup (1)=lim()=0 11n nn n n n x x n S x S x x x n n →∞→∞→∞∈∈--++．故20(1) nn xx ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛．法2：记2()(1)n n u x x x =-，则121()(1)2(1)(1)[(2)]n n n n u x nx x x x x x n n x --'=---=--+故()n u x 在2n nx n =+处达到最大值，因而 220()()()()222n n n n n u x u n n n ≤≤=+++2224()2n n≤≤+ 由M -判别法可得，20(1) nn xx ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛．〔3〕法1：由于121()||02n n n R x x xn ++≤-<→+，n →∞．因此10(1)()n n n n x x ∞+=--∑ 在[0,1]上一致收敛．法2：令1()nn n u x x x+=-由于1|(1)|1n kk -=-≤∑有界，而()21()[(1)]0n n n u x u x x x +-=--<，故()n u x 对任意固定的x 单调下降，且()110()1nn n u x x xn n +=-<→→∞+，即()n u x 在01x ≤≤上一致收敛到零，故由狄利克雷判别法知()n u x 在01x ≤≤上一致收敛．〔4〕法1：记2()nx n u x x e -=，则()[2]nxn u x xe nx -'=-，故()n u x 在2n x n=处达到最大值，因而22222240()()()n n u x u e e n n n--≤≤==，故20nxn x e∞-=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛．法2：利用用Taylor 展开得，221(), 02nxn n x e nx R x x =++++>，因而，222222222201()22nxnx n x x x x en x n x ennx R x -≤==≤=++++，0x > 故20nxn x e∞-=∑在(0,)x ∈+∞一致收敛．5．在[]0,1上定义函数列2214, 0211()44, 210, 1n n x x n f x n x n x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩，计算其极限函数并讨论其一致收敛性．解显然，(0)0n f =，且对任意固定的(0,1]x ∈，则当1n x>时，总有()0n f x =，因此lim ()0n n f x →+∞=，故极限函数为()0f x =．因而|()()|()n n f x f x f x -=，由()n f x 在10,2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦增，在11,2n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦减，因此 [][]0,10,11lim sup |()()|lim sup ()lim ()lim 22n n n n n n n x x f x f x f x f n n →∞→∞→∞→∞∈∈-====+∞因此，{()}n f x 在[0,1]上不一致收敛．6．设()f x 定义于(,)a b ，令[()]()n nf x f x n=(1,2,)n =⋅⋅⋅， 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x ．证：因为()()()1nf x nf x nf x -<≤⎡⎤⎣⎦，因此()()()1nf x f x f x n n⎡⎤⎣⎦-<≤，因此()[()]lim ()limn n n nf x f x f x n→∞→∞==，故 ()(),1lim sup ()lim0n n n x a b f x f x n→∞→∞∈-==， 故{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x ．7．设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()nx ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么()nx ϕ∑在[,]a b 上一致收敛．证明：不妨设()n x ϕ单调递增，因此有()()()n n n x a b ϕϕϕ≤+，而()(),nna b ϕϕ∑∑绝对收敛，即()(),nna b ϕϕ∑∑收敛，于是()()()nna b ϕϕ+∑收敛，由M -判别法知()nx ϕ∑在[,]a b 一致收敛．8.设级数1nn a∞=∑收敛，证明011lim n n x x n n a a n +∞∞→== = ∑∑． 分析：本题实质上是证明极限和∑求和可以交换，即证00111lim lim n n n x x x x n n n a a a n n ++∞∞∞→→=== = =∑∑∑， 而极限和∑求和可以交换的条件是1nx n a n ∞=∑一致收敛． 证因为1n n a ∞=∑收敛，且与x 无关，则1nn a ∞=∑在()0,δ上一致收敛，对每个()0,x δ∈，1x n 单调，11x n ≤，()0,,x n δ∀∈∀，即1x n 在()0,δ上一致有界，因此由阿贝尔定理知1nxn a n∞=∑一致收敛．因此00111lim lim n n n x x x x n n n a a a n n ++∞∞∞→→=== = =∑∑∑．..9.证明1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续．分析：1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内不一致收敛，因为1nxn ne∞-=∑在0x =处为1n n ∞=∑发散．因此不好直接用一致连续的性质，要证1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续，只要证1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内每一点连续，()00,x ∀∈+∞，即证1nxn ne∞-=∑在0x 连续，限定[)()0,0,,0x a a ∈+∞⊂+∞>，若能证1nxn ne∞-=∑在[),a +∞连续，就能保证1nxn ne∞-=∑在0x 连续．证 ()00,x ∀∈+∞，限定[)()0,0,,0x a a ∈+∞⊂+∞>，因为nx na ne ne --≤，而11nana n n n nee ∞∞-===∑∑收敛，因为11a n e =<，由M -判别法，1nx n ne ∞-=∑在[),a +∞一致收敛，又nxne-在[),a +∞连续，因此1nxn ne∞-=∑在[),a +∞连续，因此1nxn ne∞-=∑在0x 连续，由0x 任意性，1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续．注类似可证明11x n n ∞=∑在(1,)+∞内连续． 10．求证31sin ()n nxf x n ∞==∑在(,)-∞+∞内连续，并有连续导函数． 证：由33sin 1nx n n ≤，且311n n∞=∑收敛，由M -判别法知31sin n nxn ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，由3sin nxn 在(,)-∞+∞内连续，因此31sin ()n nx f x n ∞==∑在(,)-∞+∞内连续． 因为32sin cos nx nxn n '⎛⎫= ⎪⎝⎭，而22cos 1nx n n ≤，且211n n∞=∑收敛，由M -判别法知21cos n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，又2cos nxn 在(,)-∞+∞内连续，因此31sin n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞内有连续导函数．。
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《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．。
01-函数列的概念
这就证明了{ fn } 在 (1，1]上收敛, 且极限就是(3)式.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函项项级级数数 的的一一致致收
函数列极限的 N 定义
对每一固定的 x D , 任给正数 , 总存在正数 N (注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所 以有时也用N( , x)表示三者之间的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
| fn (x) f ( x) | .
则称函数列 { fn } 在数集D上收敛于函数 f . 使函数列{ fn }收敛的全体收敛点集合, 称为函数 列 { fn }的收敛域.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
§1 一致收敛性
对于一般项是函 数的无穷级数，其收敛 性要比数项级数复杂得 多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富， 它在理论和应用上有着 重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性
二、函数项级数及其一致收 敛性
三、函数项级数的一致收敛 性判别法
§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
n
所以函数列sinnx n的收敛域为(, ),
极限函数为 f ( x) 0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远
不够的, 重要的是要研究极限函数与函数列所具有的
如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称
§131级数的收敛性数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东师大教材配套课件-图文
§131级数的收敛性数学分析课件（华师大四版）高教社ppt华东师大教材配套课件-图文数学分析第十三章函数列与函数项级数§13.1级数的收敛性一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛判别法某点击以上标题可直接前往对应内容对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性设f1,f2,,fn,函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法(1)是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可记为{fn}或fn,n1,2,.以某0E代入(1),可得数列f1(某0),f2(某0),,fn(某0),.后退前进(2)目录退出数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法如果数列(2)收敛,则称函数列(1)在点某0收敛,某0称为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数列(1)在点某0发散当函数列(1)在数集DE上每一.点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点某都有数列{fn(某)}的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数列(1)的极限函数.若将此极限函数记作f,则有或limfn(某)f(某),n某Dfn(某)f(某)(n),某D.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法函数列极限的N定义对每一固定的某D,任给正数,总存在正数N,(注意:一般说来N值与和某的值都有关,所以有时也用N(,某)表示三者之间的依赖关系)使当nN时,总有|fn(某)f(某)|.使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合,称为函数列{fn}的收敛域.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法例1设fn(某)某,n1,2,为定义在(-,)上的函数列,证明它的收敛域是(1,1],且有极限函数0,|某|1,f(某)1,某1.证任给0(不妨设1),当0|某|1时,由于n|fn(某)f(某)||某|,ln只要取N(,某),当nN(,某)时,就有ln|某|n|fn(某)f(某)||某||某|.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社nN。
数学分析13-2132 一致收敛函数列与函数项级数的性质
( x0,b) , 有
|
fn(x)
f
( x) |
3
和
|
an
A
|
3
同时成立. 特别当 n N 1时, 有
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|
fN 1( x)
f
( x) |
3
和 | aN 1
A |
3
又因为 lim x x0
fN 1( x) aN 1,
b
b
a un( x) dx a un( x) dx.
(7)
定理13.14 (逐项求导定理) 若函数项级数 un( x)
在 [a, b] 上每一项都有连续的导函数, x0 [a, b]为
un( x) 的收敛点, 且 un ( x) 在 [a,b]上一致收敛, 则
d dx
un( x)
d dx
同时
1 0
fn(
x)dx
1 2
也不收敛于
1
f ( x)d x 0.
0
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例1说明当{ fn( x)}收敛于 f ( x)时, 一致收敛性是极 限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件.
定理13.11(可微性)设{ fn }为定义在[a, b]上的函数列,
若 x0 [a, b]为{ fn }的收敛点, { fn }的每一项在 [a, b]
lim
n
fn( x)
0
[lim n
fn( x)].
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在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收
敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中
(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能
数学分析13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十三章 函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8：设函数列{f n }在(x,x 0)∪(x 0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n ，x n lim →f n (x)=a n ，则∞→n lim a n 和0x n lim →f(x)均存在且相等.证：∀ε>0，∵{f n }一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N 和任意自然数p ， 对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)有，|f n (x)-f n+p (x)|< ε，∴|a n -a n+p |=0x n lim →|f n (x)-f n+p (x)|≤ε，∴{a n }是收敛数列. 设∞→n lim a n =A ，则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)同时有， |f n (x)-f(x)|<3ε和|a n -A|<3ε. 特别取n=N+1，有|f N+1(x)-f(x)|<3ε和|a N+1-A|<3ε. 又0xn lim →f N+1(x)=a N+1，∴∃δ>0， 当0<|x-x 0|<δ时，|f N+1(x)-a N+1|<3ε，从而当x 满足0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|f N+1(x)-f(x)|+|f N+1(x)-a N+1|+|a N+1-A|<3ε+3ε+3ε=ε， 即0xn lim →f(x)=A ，得证！注：定理13.8指出：∞→→n x n lim lim 0f n (x)=0xn n lim lim →∞→f n (x).定理13.9：(连续性)若函数列{f n }在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续.证：设x 0为I 上任一点，∵0xn lim →f n (x)=f n (x 0)，由定理13.8知， 0x n lim →f(x)存在，且0x n lim →f(x)=∞→n lim f n (x 0)=f(x 0)，∴f(x)在I 上连续.注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 如： 函数列{x n }各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=⎩⎨⎧=< 1x 11|x |0，，在x=1时不连续，所以{x n }在(-1,1]上不一致收敛.推论：若连续函数列{f n }在区间I 上内闭一致收敛于f ，则f 在I 上连续.定理13.10：(可积性)若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰∞→b an lim f n (x)dx=⎰∞→ban n (x )f lim dx.证：设f 是{f n }在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f 在[a,b]上连续， ∴f n (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上f n (x)⇉f(x) (n →∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]都有|f n (x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N 时，有⎰⎰-baban f(x)dx (x)dx f =f(x))dx (x)(f ban -⎰≤dx f(x )(x )f ban ⎰-≤ε(b-a).∴⎰∞→ban n(x )f lim dx=⎰ba f(x )dx =⎰∞→ba n lim f n (x)dx. 得证！例1：举例说明当{f n (x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.解：如f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤ 1x n 10，n 1x n 21x ，2na -a 2n21x 0 ，x 2na n n n , n=1,2,…. 其图像如图：{f n (x)}是[0,1]上的连续函数列，且∀x ∈[0,1]，∞→n lim f n (x)=0=f(x). 又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=a n ，∴{f n (x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：∞→n lim a n =0.∵⎰10n (x )f dx=2na n，∴⎰10n (x )f dx →⎰10f(x )dx=0的充要条件是：2n a lim n n∞→=0. 当a n ≡1时，{f n (x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当a n =n 时，{f n (x)}不一致收敛于f(x)， 且⎰10n (x )f dx ≡21不一致收敛于⎰10f(x )dx=0.定理13.11：(可微性)设{f n }为定义在[a,b]上的函数列，若x 0∈[a,b]为{f n }的收敛点，{f n }的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f ’n }在[a,b]上一致收敛，则())x (f lim dx d n n ∞→=⎪⎭⎫⎝⎛∞→)x (f dx d limn n . 证：设)x (f lim 0n n ∞→=A ，f ’n ⇉g (n →∞), x ∈[a,b]，则对任一x ∈[a,b]，总有f n (x)=f n (x 0)+⎰'x x n 0(t)f dt. 两边对n →∞取极限得：)x (f lim n n ∞→=A+⎰xx 0g(t)dt ，又)x (f lim n n ∞→=f(x)，∴f(x)=A+⎰xx 0g(t)dt. 两边微分得证！推论：设函数列{f n }定义在区间I 上的，若x 0∈I 为{f n }的收敛点，且{f ’n }在I 上内闭一致收敛，则f 在I 上可导，且f ’(x)=())x (f lim n n '∞→.例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列f n (x)=2n 1 ln(1+n 2x 2)及f ’n (x)=22x n 1nx+, n=1,2,… 在[0,1]上都收敛于0，即∞→n lim f n (x)=∞→n lim f ’n (x)=0，∴在[0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.又由][0,1x ∞n max lim ∈+→|f ’n (x)-f ’(x)|=nx 2nx lim∞n +→=21, 知 导函数列{f ’n (x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有,1][δx sup ∈|f ’n (x)-f ’(x)|=22,1] [δx x n 1nx sup+∈≤22δn 1n+→0 (n →∞), ∴{f ’n }在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.定理13.12：(连续性)若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛→(x)u lim nx n 0=()∑→(x)u lim n x n 0. 证：设x 0为[a,b]上任意一点，∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，有|S(x)-S n (x)|<3ε, |S n (x 0)-S(x 0)|<3ε, 又u n (x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N ，S n (x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0， 当x ∈[a,b]，且|x-x 0|<δ时，|S n (x)-S n (x 0)|<3ε ，∴当x ∈[a,b]时，|S(x)-S(x 0)|=|S(x)-S n (x)+S n (x)-S n (x 0)+S n (x 0)-S(x 0)| ≤|S(x)-S n (x)|+|S n (x)-S n (x 0)|+|S n (x 0)-S(x 0)|<ε. 即S(x)在x 0连续， 从而在[a,b]上连续. 得证！定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰ba n (x )u dx =⎰∑ba n (x )u dx.定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数∑(x)u n 在每一项都有连续的导函数，x 0∈[a,b]为∑(x)u n 的收敛点，且∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛，则∑⎪⎭⎫ ⎝⎛(x )u dx d n =()∑(x)u dxdn . 证：设∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛于S *(x)，∵u ’n (x)在[a,b]上连续， 由定理13.12知，S *(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x ∈[a,b]， 有⎰xa *(t)S dt=⎰∑'ba n (t)u dt=∑⎰'xa n (t)u dt =∑(x)u n -∑(a)u n =S(x)-S(a). 等式两端对x 求导得：S ’(x)=S *(x)=∑'(x)u n ，得证！例3：设u n (x)=3n1ln(1+n 2x 2), n=1,2,…. 证明：函数项级数∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n ，易见u n (x)在[0,1]上递增，且当t ≥1时，有ln(1+t 2)<t ， ∴u n (x)≤u n (1)=3n 1ln(1+n 2)<3n 1·n=2n1, n=1,2,… 又∑2n1收敛，∴∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛. 由每一个u n (x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积.又u ’n (x)=)x n 1(n x2n 2232+=)x n 1(n 2x 22+≤)x n 1(n 2nx 222+≤2n 1, n=1,2,…知 ∑'(x)u n在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微.例4：证明：函数ζ(x)=∑∞=1n x n 1在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. 证：记u n (x)=x n 1, u n (k)(x)=(ln n 1)k x n 1=(-1)k x knn ln , k=1,2,…. 对任意x ∈[a,b]⊂(1,+∞)，有|u n (k)(x)|=xkn nln≤a k nnln , k=1,2,….由∞→n lim 1)/2-(a k n n ln =0知，当n 充分大时，有1)/2-(a k n nln <1，从而 xk n n ln =1)/2-(a k 1)/2(a n n ln n 1⋅+<1)/2(a n 1+, 又∑+1)/2(a n 1收敛， ∴∑∞=1n (k )n (x )u 在[a,b]上一致收敛，从而∑∞=1n (k )n (x)u 在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ (k)(x)=(-1)k xkn nln, k=1,2,….习题1、讨论下列函数列在所定义的区间上：a. {f n }与{f ’n }的一致收敛性；b. {f n }是否有定理13.9~11的条件与结论.(1)f n (x)=nx n2x ++, x ∈[0,b]；(2)f n (x)=x-n x n , x ∈[0,1]；(3)f n (x)=nx 2-nx e, x ∈[0,1].解：(1)记∞n lim +→f n (x)=nx n2x lim∞n +++→=1=f(x)； b][0,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=nx xsupb][0,x +∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,b]上一致收敛性；记∞n lim +→f ’n (x)=2∞n n)(x nlim++→=g(x)； b][0,x sup ∈|f ’n (x)-g(x)|=2b][0,x n)(x nsup+∈→0 (n →∞)，∴{f ’n }在[0,b]上一致收敛性. 又∵f n (x)=nx n2x ++和f ’n (x)=2n)(x n +, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， ∴{f n }有定理13.9~11的条件与结论.(2)记∞n lim +→f n (x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n x -x lim n ∞n =x=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=n x sup n[0,1]x ∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=∞n lim +→(1-x n-1)=⎩⎨⎧<≤=1x 01，1 x 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性.又f n (x)=x-nx n, n=1,2,… 在[0,1]上都连续，∴{f n }有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f ’(x)=x ’=1≠∞n lim +→f ’n (x)，∴{f n }也不具有13.11的条件.(3)记∞n lim +→f n (x)=2-nx ∞n nx e lim +→=0=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=2-nx [0,1]x nxe sup ∈=n ·2)1/2n n(e n21-=1/2e 2n →∞ (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上不一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=2-nx ∞n ne lim +→(1-2nx 2)=⎩⎨⎧=∞+≤<0x ，1x 0 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续，∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性. 从而{f n }不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{f n }有定理13.9的结论.∵⎰+→10nx -∞n 2nx e lim dx=⎰+→10nx -∞n 2e 21lim d(nx 2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→n ∞n e 2121lim =21≠⎰+→10n ∞n )x (f lim dx=0. 又{f ’n (x)}在x=0不收敛；∴{f n }不具有定理13.10~11的结论.2、证明：若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{f n }在[a,b]上一致收敛.证：设f ’n (x)⇉g(x) (n →∞), x ∈[a,b]，则∀ε>0，∃N 1>0，当n>N 1时， 对一切t ∈[a,b]，有|f ’n (t)-g(t)|<)a b (2ε-； 又f n (x)点x 0收敛，∴对上述的ε>0，∃N 2>0，当n>N 2时，有|f n (x 0)-f(x 0)|<2ε. ∵对任意x,x 0∈[a,b]有f n (x)=f n (x 0)+⎰'xx n 0(t)f dt ，∴f(x)=∞→n lim f n (x)=f(x 0)+⎰xx 0g(t)dt. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，有∴|f n (x)-f(x)|=|f n (x 0)-f(x 0)+[]⎰'xx ng(t)-(t)f dt | ≤|f n (x 0)-f(x 0)|+|⎰'xx ng(t)-(t)f dt |<ε. 得证.3、设S(x)=∑∞=1n 21-n nx , x ∈[-1,1]，计算积分⎰x 0S(t)dt .解：∵21-n n x ≤2n 1, x ∈[-1,1]，由M 判别法知∑∞=1n 21-n n x 在[-1,1]上一致收敛.又21-n n x (n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴⎰x 0S(t)dt =∑⎰∞=1n x 021-n dt n t =∑∞=1n 3nnx .4、S(x)=∑∞=1n nn cosnx , x ∈R ，计算积分⎰x0S(t)dt .解：∵nn cosnx ≤nn 1, x ∈R ，由M 判别法知∑∞=1n nn cosnx 在R 上一致收敛.又nn cosnx (n=1,2,…)在R 上连续，∴⎰x0S(t)dt =∑⎰∞=1n xdt nn cosnt =∑∞=1n 2nnsinnx .5、S(x)=∑∞=1n nx -ne , x>0，计算积分⎰ln3ln2S(t)dt .解：由(ne -nx )’=-n 2e -nx <0，知ne -nx 单调减，∴对任何x ∈[ln2,ln3]，有 ne -nx ≤ne-nln2=n 2n . 又由n n 2n =2n n→21<1 (n →∞)，知∑n 2n收敛.∴∑∞=1n nx -ne 在[ln2,ln3]上一致收敛. 又ne -nx (n=1,2,…)在[ln2,ln3]上连续，∴⎰ln3ln2S(t)dt =∑⎰∞=1n ln3ln2nt-dt ne =∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1n n n3121=21.6、证明：函数f(x)=∑3n nxsin 在R 上连续，且有连续的导函数. 证：∵3n nx sin ≤3n 1, x ∈R ，由M 判别法知∑3nnxsin 在R 上一致收敛. 又3nnxsin (n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上连续. ∵|(3n nx sin )’|=|2n cosnx |≤2n 1，由M 判别法知∑2n cosnx在R 上一致收敛.又2ncosnx(n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上有连续的导函数.7、证明：定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π0n n dt cosnx r =2π. 证： ∵|r n cosnx|≤r n (0<r<1), x ∈[0,2π]，又∑ r n (0<r<1)收敛， 由M 判别法知∑∞=0n n cosnx r 在[0,2π]上一致收敛.又r ncosnx 在[0,2π]上连续，∴∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=2π0n n dx cosnx r =∑⎰∞=0n 2π0ncosnx dx r . 又⎰2π0dx =2π，⎰2π0cosnx dx =0(n=1,2…)∴⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π00n n dt cosnx r =2π.8、讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：(1)f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…, x ∈[-L,L]； (2)f n (x)=1nx nx+, n=1,2,…, I. x ∈[0,+∞)；II. x ∈[a,+∞) (a>0). 解：(1)∵∞n lim +→f n (x)=0=f(x), x ∈[-L,L]，且L][-L,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=L][-L,x sup ∈| x 2-nx e |≤2ne1→0 (n →∞)，∴{f n (x)}在[-L,L]上一致收敛于0，且其极限函数f(x)=0在[-L,L]上连续可积可微. 又f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…在[-L,L]上连续，∴()⎰+→LL -n ∞n dx (x )f lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+→LL -n ∞n (x)dx f lim . ∵f ’n (x)=2-nx e(1-2nx 2), 且(x)f lim n ∞n '+→=⎩⎨⎧=≠≤≤ 0x 10x L x L -0，，且， ∴[(x)f lim n ∞n +→]’≠(x)f lim n ∞n '+→.(2)∵f(x)=∞n lim +→f n (x)=1=⎩⎨⎧+∞<≤<=x a 010x 0，，,且)[a,x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=1nx 1-sup)[a,x ++∞∈=1na 1+→0 (n →∞)， ∴{f n (x)}在[a,+∞) (a>0)上一致收敛于1，在[0,+∞)上内闭一致收敛. ∴其极限函数不在[0,+∞)上连续可积可微；但在[a,+∞) (a>0)上其极限函数f(x)=1连续可微，但不可积.9、证明：函数S(x)=∑xn 1在(1,+∞)上连续，且有连续的各阶导数. 证：∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，则0<x n 1≤p n1，由M 判别法，知 ∑x n 1在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. 又x n 1在(1,+∞)上连续，∴S(x)在(1,+∞)上连续. 又)k (x n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛=x k kn n ln )1(-, k=1,2,…在(1,+∞)上连续. ∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，使x k kn n ln )1(-≤p k n n ln . 固定k ，取q>p>1， 由p k n n ln /q n 1=q -p k n n ln →0 (n →∞)，及∑q n1收敛，知∑p k n n ln 收敛， ∴∑-x k kn n ln )1(在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴S (k)(x)=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛)k (x n 1=∑-x k kn n ln )1( 在(1,+∞)上连续. 得证！10、设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数，记F n =f (n), 且在任何有限区间内F n ⇉φ (n →∞)，试证：φ(x)=ce x (c 为常数). 证：由条件可知φ’(x)=[∞n lim +→f (n)(x)]’=∞n lim +→[f (n)(x)]’ =∞n lim +→f (n+1)(x)=φ(x). 即有φ(x )(x )φ'=1，两边取积分得：⎰'φ(x )(x )φdx =⎰dx +C ，即⎰φ(x )1d φ(x) =x+c 1， ∴ln φ(x)=x+c 1，即φ(x)=1c x e +=1c e e x =ce x (其中c=1c e 为常数).。
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．
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存在某个正整数 0对任何正数N ,都有
D上某一点x'与自然数n' N , 使得
fn' (x') f (x') 0
定理13.1： 函数列{ fn}在数集D上一致收敛的充要条件
是：对任给正数，总存在正数N , 使得当n, m N时，对一切x D,都有 fn (x) fm (x)
第十三章 函数列与函数项级数
∮1 一致收敛性
㈠ 函数列及其一致收敛性
函数列： f1, f2.., fn ,..(1) 是一列定义在同一数集E上的函数，则称之为 定义在E上的函数列。
设x0 E,以x0代入(1)可得函数列： f1( x0 ), f2 ( x0 ),..fn ( x0 ),..(2)
fn (0) f (0) 0 , fn (1) f (1) 0 ,
即证得{ fn}在(1,1]上收敛，且有如题所示 的极限函数。
例2： 定义在(,)上的函数列fn (x) sin nx / n, n 1,2,...由. 于对任何实数x,都有sin nx / n
1/ n,故对任给的 0,只要n N 1/ , 就有sin nx / n 0 .
证明：必要性
设fn (x) f (x)(n ), x D,即对给任何 0
存在正数N，使得当n N时，对一切x D都
有 fn (x) f (x) / 2,于是当n, m N时，就可
得 fn (x) fm (x) fn (x) f (x) f (x) fm (x)
fn(x) f (x) f (x) fm(x) / 2 / 2
..
xn
..的部分和函数为Sn
(x)
1 xn 1 x
.
当x
1时, S(x)
limnSn(x)1 1 x
, 所以几何级数
1 x x2 .. xn ..在(1,1)内收敛于函数S(x) 1 1 x
当 x 1时,几何级数是发散的.
定义2 : 设Sn (x)是函数项级数 un (x)的部分和函
数列,若Sn (x)在数集D上一致收敛于函数S(x),则
x D.
定理13.2
函数列{ fn}在区间D上一致收敛于f的充要条件
是 lim sup x xD
fn (x)
f
(x)
0
证明: 必要性: 若fn (x) f (x)(n )x D.则对任给的
正数 , 存在不依赖于x的自然数N，当n N时，
有 fn (x) f (x) , x D.由上确界的性质亦得
函数列极限的 N定义：
对于每一个固定的 x D，都给正数
,衡存在正整数 N，使得当 n N时， 总有 fn (x) f (x) .
收敛域：
使函数列{ fn}收敛的全体收敛点集合， 称之为函数列{ fn}收敛域。
例1：
设fn (x) xn , n 1,2..。为定义在(,) 上的函数列, 证明它的收敛域是(1,1],且 有极限函数
充分性：若 fn (x) fm (x) 成立，由数列收
敛得柯西准则，{ fn}在D上任何一点都收敛,记 其极限函数为f (x), x D,现固定 fn (x) fm (x)
中的n,让m ,于是当n N时, 对一切x D 都有 fn (x) fm (x) ,由定义1, fn (x) f (x)(n )
称函数项级数 un (x)在D上一只收敛于S(x),或称 un (x)在D上一致收敛.
若函数列(2)收敛, 则称函数列(1) 在点x0收敛.x0称为函数列(1)的收 敛点.若数列(2)发散, 则称函数列(1) 在点x0发散.若函数列(1)在数集D E 上每一点都收敛，则称(1)在数集D上 收敛.这时D上每一点x, 都有数列{ fn (x)} 的一个极限值与之相对应,由这个对应法 则所确定的D上的函数, 称为函数列(1)的极 限函数.
收敛点的集合，则称为D级数(9)的收敛域.
级数(9)在D上每一点x于其所对应的数项级数
(11)的和构成一个定义在上的函数，称为级数
的和函数.记作u1(x) u2 (x) ... un (x) .. Sx
x
D即
lim
n
Sn
(
x)
S
x
,
x
D.
例4 : 定义在 ,上的函数项级数(几何级数)
1
x
x2
若x E,数项级数:
u1(x0 ) u2 (x0 ) ... un (x0) ...,即部分和
Sn (x0 ) un (x0 )当n 时，极限存在 n1
则称级数(9)在x0收敛。反之则称之为在 x0点发散。若级数(9)在E某个子集D上每点 都收敛，则称级数(9)在D上收敛.若为级数(9)全体
二 函数项级数及其一致收敛性
函数项级数: 设un (x)是定义在数集E上的
一个函数列, 表达式: u1(x) u2 (x) ... un (x) ...,x E称之为定义
在数集E上的函数项级数,简记 un (x)或 un (x) n1
部分和数列：Sn (x) un (x), x E, n 1,2.. n1
所以函数列{sin nx / n}的收敛域为无限区间 (,),极限函数f (x) 0
定义1： 设函数列{ fn}与函数f定义在同一数集D上，
若对任给的正数 ,总存在某一自然数N , 使
得当n N时, 对一切x D,都有
fn (x) f (x) ,则称函数列{ fn}在D上一致
收敛于f , 记作fn (x) f (x)
f
(x)
{0, x 1 1, x 1
证：任给 0(不妨设 1),当0 x 1时
由于 fn (x) f (x) x n ,
只要取N ( , x) ln / ln x ,当n N ( , x)时， 就有 fn (x) f (x) .
当x 0和x 1时，则对任何自然数n, 都有
sup fn (x) f (x) ,即证得成立。
xD
充分性:
由假设, 对任给 0, 存在自然数N0 , 使得当n N0 有sup fn (x) f (x) ,因为对一切x D,都有
xD
fn (x) f (x) sup fn (x) f (x) .故可得:
xD
fn (x) f (x) .于是{ fn}在D上一致收敛于f