函数列与函数项级数
第十三章 函数列与函数项级数
(12学时)
§1 一致收敛性
教学目的： 让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法．
教学重点难点：一致收敛定义、一致收敛的柯西准则、一致收敛的充要条件、一致收敛的优级数判别法、阿
贝耳判别法和狄利克雷判别法．一致收敛与非一致收敛的定义的几何解释、例3、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法的应用和证明．
学时安排： 6学时 教学方法： 讲授法． 教学过程：
我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。 一 函数列及其一致收敛性。
设
ΛΛ,,,,21n f f f （1）
是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。也可简记为： }{n f 或 n f ， Λ,2,1=n 。 设E x ∈0，将0x 代入ΛΛ,,,,21n f f f 得到数列：
ΛΛ),(,),(),(00201x f x f x f n （2）
若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点0x 收敛，0x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点0x 发散。则称函数列（1）在数集E D ?上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。这时D x ∈?，都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D 上的一个函数，称它为函数列}{n f 的极限函数。记作f 。于是，有
)()(lim x f x f n n =∞
→， D x ∈，或 )()(x f x f n →)(∞→n ，D x ∈。
函数列极限的N -ε定义 对每一个固定的D x ∈，对0>?ε，0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关），使得当N n >时，总有 ε<-)()(x f x f n 。
使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列}{n f 的收敛域。
例1 设n
n x x f =)(，Λ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列，证明它的收敛域是]1,1(-，且有极限函
数 ??
?=<=1
,11,0)(x x x f （3）
证 任给0>ε（不妨设1<ε），当10< n x x f x f =-)()(，故只要取x x N ln ln ),(ε ε=，则当),(x N n ε>时，就有ε<-)()(x f x f n 。而当0=x 和1=x 时，则对任何正整数n ，都有 ε<=-0)0()0(f f n ，ε<=-0)1()1(f f n 。 这就证得{}n f 在]1,1(-上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。 当1>x 时，则有)(∞→+∞→n x n ，当1-=x 时，对应的数列为Λ,1,1,1,1--它显然是发散的。所 以函数列{}n x 在区间]1,1(-外都是发散的。 例2 定义在),(+∞-∞上的函数列n nx x f n sin )(= ，Λ,2,1=n ，由于对任何实数x ，都有 n n nx 1sin ≤，故对任给的0>ε，只要ε1=>N n ，就有ε<-0sin n nx 。所以函数列? ?? ???n nx sin 的收敛域为无限区间),(+∞-∞，函数极限0)(=x f 。 定义1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切的D x ∈，都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作： )(x f n )(x f )(∞→n ， D x ∈。 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列{}n f 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当,n m N >时，对一切x D ∈，都有 ε<-)()(x f x f n 。 （4） 证 [必要性] 设)(x f n )(x f )(∞→n ，D x ∈，即对任给0>ε，存在正数N ，使得当 N n >时，对一切D x ∈，都有 2 )()(ε <-x f x f n 。 （5） 于是当N m n >,，由（5）就有 εε ε =+ < -+-≤-2 2 )()()()()()(x f x f x f x f x f x f m n m n 。 [充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为 )(x f ，D x ∈。现固定（4）式中的n ，让∞→m ，于是当N n >时，对一切D x ∈都有 ε≤-)()(x f x f n 。由定义1，)(x f n )(x f )(∞→n ，D x ∈。 定理13-2 函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是： 0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D x n 。 （6） 证 [必要性] 若)(x f n )(x f )(∞→n ，D x ∈。则对任给的正数ε，存在不依赖与x 的正整数N ，当N n >时，有 ε<-)()(x f x f n ， D x ∈。 由上确界的定义，亦有 ε≤-∈)()(sup x f x f n D x 。 则有 0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D x n 。 [充分性] 由假设，对任给的0>ε，存在正整数N ,使得当N n >，有 ε<-∈)()(sup x f x f n D x 。 （7） 因为对一切D x ∈，总有)()(sup )()(x f x f x f x f n D x n -≤-∈。 故由（7）式得 ε<-)()(x f x f n 。于是{}n f 在D 上一致收敛于f 。 例3 定义在]1,0[上的函数列 ??? ? ? ? ???≤<≤<-≤≤=11 ,0121,22210,2)(22 x n n x n x n n n x x n x f n Λ,2,1=n （8） 由于0)(=x f n ，故0)0(lim )0(==∞ →n n f f 。当10≤ n 1 > ，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有0)(lim )(==∞ →x f x f n n 。于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于 ∞→==-∈n n f x f x f n n x )21 ( )()(sup ] 1,0[ )(∞→n ， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。 二 函数顶级数及其一致收敛性 设{}()n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++L L ，x E ∈ （9） 称为定义在E 上的函数顶级数，简记为 1 ()n n u x ∞ =∑或∑)(x u n 。称 ∑== n k k n x u x S 1 )()(， E x ∈，Λ,2,1=n （10） 为函数顶级数（9）的部分和函数列。 若E x ∈0，数顶级数ΛΛ++++)()()(00201x u x u x u n （11） 收敛，既部分和∑== n k k n x u x S 1 00)()(当∞→n 时极限存在，则称级数（9）在点0x 收敛，0x 称为级数（9） 的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点0x 发散。若级数（9）在E 某个子集D 上每个点都收敛，则称级数（9）在点D 上收敛，若D 为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城D 为级数（9）的收敛域。级数（9）在D 上每一点x 与其所对应的数项级数（11）的和)(x S 构成一个定义在D 上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作 )()()()(21x S x u x u x u n =++++ΛΛ ，x D ∈， 即 )()(lim x S x S n n =∞ →，x D ∈。 也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。 例4 定义在),(+∞-∞上的函数项级数（几何级数） ΛΛ+++++n x x x 2 1 （12） 的部分和函数为x x x S n n --=11)(。故当1 x x S x S n n -= =∞ →11)(lim )(。 所以几何级数（12）在)1,1(-内收敛于和函数x x S -= 11 )(；当1≥x 时，几何级数是发散的。 定义2（函数项级数一致收敛性定义） 设{}()n S x 是函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的部分和函数列。 若{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上 一致收敛于函数)(x S ，或称 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛 ?对 于0>?ε，N ?，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有 ε<-+)()(x S x S n p n ， 即 ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n Λ。 特别地，当1=p 时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论 函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛的必要条件是函数列{})(x u n 在D 上一致收敛 于0。 设 1 ()n n u x ∞ =∑)(x S =，D x ∈，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑的余项。 定理13-4 函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛于)(x S ? 0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n D x n n D x n 。 例5 讨论几何级数 ∑∞ =0 n n r 在所给区间上的一致收敛性：（1） )10](,[<<-a a a ；（2） )1,1(-。 三 函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则（定理13-3）； 3．定理13-4（必须已知和函数)(x S 才可用此判别法）； 4．定理13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称M 判别法或优级数判别法） 设函数项级数 1 ()n n u x ∞=∑定义在数集D 上，∑∞ =1 n n M 为收敛的正项级数，若D x ∈?，有 n n M x u ≤)(，Λ,2,1=n ， 则函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛。 注：（1）应用此判别法的关键是：从)(x u n 出发找到所需的n M 。 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 课后记 1、以函数列{}n x 在区间)1,0(内不一致收敛为例给出不一致收敛的几何意义是本节的一个难点，通过对照它 在),0(b 内一致收敛说明非一致收敛的几何意义效果较好。 2、例3也是本节的难点其中要求：∞→==-∈n n f x f x f n n x )21 ( )()(sup ] 1,0[，先讲清给出函数)(1x f 、)(2x f 、 )(3x f 、的表达式和图像，作图时结合图像求出函数)(x f n 在n x 21= 时取到最大值n n f n =?? ? ??21能起到化解 难点的作用，且讲清这一函数列对第二节的例1有帮助。 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学目的： 让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用． 教学重点难点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性．定理13.8的证明极限函数的 分析性质的反例． 学时安排： 4学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 主要讨论连续性、可积性、可微性。 定理13-8设函数列{})(x f n 在),(),(00b x x a ?上一致收敛于)(x f ，且对n ?， n n x x a x f =→)(lim 0 ，则n n a ∞ →lim 、)(lim 0 x f x x →均存在，且相等，即 )(lim lim )(lim lim 00 x f x f n n x x n x x n ∞ →→→∞→=。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 定理13-9（连续性）若函数列{})(x f n 在区间I 上一致收敛于)(x f ，且对n ?，)(x f n 在I 上连续，则)(x f 在I 上也连续。 说明：若各项为连续函数的函数列{})(x f n 在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列 {})(x f n 在区间I 上不一致收敛。如：{}n x 在]1,1(-上。 定理13-10（可积性）若函数列{})(x f n 在],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则 ?? ∞→∞ →=b a n n n b a n dx x f dx x f )(lim )(lim 。 注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例1 设函数 n x x n n x n n x n x f n n n n 111,021,22210,2)(<≤??? ? ? ???? ≤≤-<≤=ααα，Λ,2,1=n 。 定理13-11（可微性）设{})(x f n 为定义在],[b a 上的函数列，若0x ],[b a ∈为{})(x f n 的收敛点，{})(x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且{})(x f n '在],[b a 上一致收敛，则 )(lim ))(lim (x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞ →=。 注1：在该定理的条件下可以证明{})(x f n 在区间],[b a 上一致收敛； 注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如： 例2 设函数列 )1ln(21 )(22x n n x f +=，Λ,2,1=n 。 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。 定理13-12（连续性）若函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，且每一项)(x u n 都连续，则其和函数 也在区间],[b a 上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 ∑∑∞ =→∞ =→=1 1 ))((lim ))(lim (0 n n x x n n x x x u x u 。 定理13-13（逐项求积）若函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，且每一项)(x u n 都连续，则 = ∑?∞ =dx x u n n b a ))((1 ∑? ∞ =1 )(n b a n dx x u 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理13-14（逐项求导）若函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在区间],[b a 上每一项)(x u n 都有连续导函数，],[0b a x ∈为 函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的收敛点，且∑∞ ='1 )(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛，则 ∑∑∞ =∞ == 11))(())((n n n n x u dx d x u dx d 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。 课后记 定理13.8的证明是一难点, 需要花费一定的时间，在讲授时先讲清证明思路： 1先证{}n a 是收敛的，在证明时用到已知条件{}n f 是一致收敛的和柯西收敛准则得到 ε<-+)()(x f x f p n n ，取极限得到ε≤-+p n n a a ，再由柯西收敛准则得到{}n a 是收敛的，设A a n n =∞ →lim 2 再证A x f x x =→)(lim 0 ，证明A x f x x =→)(lim 0 要用到已知条件{}n f 一致收敛)(x f 、A a n n =∞ →lim 及 n n x x a x f =→)(lim 0 ， 再由函数极限及数列极限的定义可得ε<-)()(x f x f n ，ε<-A a n 及当δ<-<00x x 时ε<-n n a x f )(综上所述得ε3)()()()(<-+-+-≤-A a a x f x f x f A x f n n n n 效果较好， §4.2 复变函数项级数 教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用 判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级 数的收敛半径；能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数． 教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E 的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1．【幂级数的定义】通常把形如： 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级 幂级数求和函数方法概括与总结 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L 111 第十章 函数项级数习题课 一、 主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断： （1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→ （5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。 注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义 （2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在 Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x . 156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-) 第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛. 这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10< 第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈， 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 幂级数求和函数方法概括与汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件） § 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ). 第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等 函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解 析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函 数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 推论1 在D上 , ，. D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选为函数 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33(),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x =++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞ ⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim ()n n f x dx ->∞?可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠?? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞=-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列 第十讲 函数列与函数项级数 一、知识结构 1、函数列收敛性 （1）函数列收敛的概念和定义 定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，记作}{n f 或n f ， ,3,2,1=n . 定义 2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列 ,,,,21n f f f 的数列 ()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛, 点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ?上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈,)(x f 称为函数列 }{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f . 定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于) (x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0, 对0>?ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ，记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈或) ()(x f x f n →（∞→n ）,D x ∈. 说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. （2）函数列收敛的判定方法 数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列 幂级数求和法的归纳总结与推广 摘要：本文研究的是如何对幂级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幂级数进行求和。对那些能用这三种方法进行求和的幂级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。 关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角 引言 级数是高等数学的一个重要组成部分, 其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263 年创立了“割圆术”, 其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆, 从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法, 即无限多个数的累加问题。而今, 级数的理论已发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 可用来表示函数、研究函数的性质, 也是其进行数值计算的一种工具。 同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。 用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。 在幂级数收敛性的判断，求和问题等性质中，求和问题不免也是一处重要的知识点。幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值。 幂级数求和，包括求某些数项级数的和，利用技术性质，展开定理、收敛定理等求函数项级数的和函数，函数的幂级数展开式、Fourier级数等，无疑是级数理论学习中的重要内容，在一定意义上对这部分知识掌握的程度，也是衡量学生数学能力、数学素质的一项检验指标。 而作为特殊函数项级数的幂级数，由于具有结构形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数的求和就是一个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算求积运算、求导运算可以换序。而幂级数更具有收敛半径易求，在（-R，R）上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛 学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。 第十三章 函数项级数习题课 一 概念叙述 1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε??>??>?∈使得0 000()()n f x f x ε-≥． 3．{}n f 在数集D 上一致收敛?柯西准则 0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<． ?柯西准则 0,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>，有()()n p n f x f x ε+-<． 4．{}n f 在数集D 上不一致收敛?柯西准则 00000,,,,N m n N x D ε?>??>?∈使得0 000()()n m f x f x ε-≥． ?柯西准则 00000,,,,0N n N x D p ε?>??>?∈?>使得0 000()()n p n f x f x ε+-≥． 5． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛于函数()S x ?部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函 数()S x ． 二 疑难解析与注意事项 1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？ 答：函数列理论中重要问题是(){} n f x 的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛性可以转化为相应部分和函 数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性． 2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？ 答：1）定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε??>??>?∈有ε<-)()(x f x f n ； 2）柯西准则：0,,,,N m n N x D ε?>??>?∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断； 3）确界（最大值方法）：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D x n ； 4）估计方法（放大法）：|()()|0n n f x f x a -≤→；复变函数项级数
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
10函数项级数和幂级数 习题课
函数列与函数项级数
第十三章函数列和函数项级数
第十二讲函数列与函数项级数
函数列与函数项级数
幂级数求和函数方法概括与汇总
函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用
幂级数概念
函数列与函数项级数
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
函数项级数的一致收敛性精选
数学分析第十讲函数项级数资料
幂级数求和法的归纳总结与推广
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
第十三章---函数项级数习题课