2019年镇海中学数学高考模拟卷

2019年浙江省数学高考试题

数学

（镇海中学模拟卷及答案）

考生须知：（与答题卷上的要求一致）

1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共4页，有3大题，22小题。满分150分，考试时间120分钟。 3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}

0A x x =>，{}

(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =

A ．(0,2)

B ．(0,1)

C ．(1,2)-

D ．(1,)-+∞

2. ()61x +展开式中含4

x 项的系数是 A ．3

6C

B ．4

6C C ．5

6C D ．6

6C

3. 若,x y 满足约束条件0,

3,2,x x y y ≥??

+≤??≥?

3z x y =+的最大值是

A ． 6

B ．7

C ．8

D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q = A ．1- B ． 1 C ． 2- D ． 2 5. 已知a 为实数，“1a >”是“2

3

a a <”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示

若2E ξ=，则D ξ的值可能是

A ．43 B.32

C. 2

D.2

3

7. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则

A ．12ab ≥ B.2

2142b a +≥ C. 1122a b

+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ???等的等边三角形，且123,,,O A A A 若点123,,P P P 分别是边112233,,A

B A B A B 上的动点，记113I OB OP =?，222I OB OP =?，331I OB OP =?，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数2

1

()(0)f x ax bx a x

=+-

>有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>

C ． 12120,0x x x x +<>

D ． 12120,0x x x x +><

10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''?内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11. 已知复数i(1i)z =+，i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ，z = ▲ ．

12. 双曲线2

2

13

y x -=的焦距是 ▲ ，离心率的值 是 ▲ .

13. 某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视

图均为腰长为1(单位：cm )的等腰直角三角形， 则该几何体的表面积是 ▲ 2

cm ，体积是 ▲ 3

cm .

正视图 侧视图

俯视图

14. 已知ABC ?

面积为

2

，60A ∠=，D 是边AC 上一点，2AD DC =,2BD =，则AB = ▲ ，cos C = ▲ ．

15. 将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球

的个数互不相同，则不同的分配方法共有 ▲ 种.

16. 已知向量a 和单位向量b 满足22a b a b +=-，则a b ?的最大值是 ▲ . 17. 若,x y 是实数，e 是自然对数的底数，()2

3ln 213x y e

y x x ++-≤-++，则

2x y += ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分

14分）

已知函数()2

cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若???

???∈127,40ππx 且()2

1330-=x f ，求02cos x 的值.

19．（本题满分15分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，

BC CD ⊥,60ABC ∠=，22BC AD ==，3PC =，PAB ?是正三角形，

E 是PC 的中点．

（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；

（Ⅱ）求直线BE 与平面PAB 所成角的正弦值．

P

A

B

C

D

E

20.（本题满分15分）

设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且22

11,3,1n n S S ++-成等差数列

()n *∈N .

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

12

1111

12

n S S S <+++

≤ ()n *∈N .

20.（本题满分15分）

已知F 是抛物线2

:2(0)T y px p =>的焦点，点()1,P m 是抛物线上一点，且

2PF =,直线l 过定点()4,0，与抛物线T 交于,A B 两点，点P 在直线l 上的射影

是Q .

（Ⅰ）求,m p 的值；

（Ⅱ）若0m >，且2

PQ QA QB =?，求直线l

22. （本题满分15分）

已知函数()()2

1ln ()2

R f x x x a x x a =

+-+∈ （Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围； （Ⅱ） 若3122

a a x ≤

≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1

,ln 24

M a b ≥-.

数学答案及评分标准

一、选择题：

二、填空题：

11.1 12. 4，21，16

14. 2 15. 18 16. 4 17. 83

- 三、解答题：

18.已知函数()2

cos cos (0)f x x x x ωωωω->的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若???

?

??∈127,40ππx 且()2

1330-=x f ，求02cos x 的值.

解（Ⅰ）()21cos 2cos cos 222

x

f x x x x x ωωωωω+=

-=

-

1

sin(2)62

x π

ω-

-.......................................4分 因为T π=，所以1ω=.............................................................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

()sin(2)62

f x x π=--

01

()32

f x =

-，所以0sin(2)63x π-=

因为??????∈127,40ππx ，所以

02,63x π

ππ??

-

∈????

..............................................8分

因为0sin(2)632x π-=<

所以022,63x π

ππ??-

∈????

，0cos(2)6x π-=..................................10分

00003

cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666

6

x x x x π

πππππ

=-

+=---=-

.........14分

19．在四棱锥P ABCD -中，E 是侧棱PC 的中点，PAB ?是正三角形，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠=，

22BC AD ==，3PC =． （Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；

（Ⅱ）求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值．

解；（Ⅰ）取PB 的中点F ，连,EF AF ，---------------2分 因为EF 是PBC 的中位线，所以//EF BC ，且1

2

EF BC =

因为//AD BC ，1

2

AD BC =，所以四边形EFAD 是平行四边形， 所以//DE AF ，----------------------4分

又因为DE ?平面PAB ，AF ?平面PAB ， 所以//DE 平面PAB -----------------6分

B P

A C

E

F

Q

G

（Ⅱ）取AB 中点Q ，连,PQ CQ ，

因为PAB ?是正三角形，所以PQ AB ⊥，------------8分 在直角梯形ABCD 中，因为60ABC ∠=，22BC AD ==，

计算得2AB AC ==

，所以CQ =CQ AB ⊥，------------10分 所以AB ⊥平面PCQ ，即平面PCQ ⊥平面PAB ，

过点E 作EG PQ ⊥，垂足是G ，连BG ，则EBG ∠即是直线BD 与平面

PAB 所成角，------12分

则PQC ?

中，3PQ QC PC ===，所以3

sin 304

EG PE ==

，又2

BE =

，--------14分

所以sin EG EBG BE ∠=

=，-----------------------15分 所以直线BE 与平面PAB

． 解法2：如图，以D 为原点，,DA DC 为x 轴，y

由已知条件得，2AB =，DC =，

所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()

C ，()

B ，----8设(),,P x y z ，由(

)()((2

22222

2

2214

249x y z x y z x y z ?-++=??-+-+=???+-+=?

得9342P ?? ? ???分

z

所以5342AP ??

= ? ???

，()

AB =，

由560

x z x ?++=??+=??得平面PAB 的法向量是()

3,3,2n =--，----------------12分

又73,84BE ??=- ? ???

，-----------------------14分

sin BE n BE n

θ?

=

=

分 所以直线

BD 与平面PAB ． 20.设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列

()n *∈N .

（Ⅰ）求数列}{

n a 的通项公式；

12

1111

12

n S S S <

+++

≤ ()n *∈N . 解：（Ⅰ）由题2

2

14n n S S +-=，2

14S =---------------2分

所以数列{}

2

n S 是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 2

4n

S n =，

又0n a >，所以0n S >

，所以n

S =--------------4分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=

当1n =时，1

2a =也满足上式，所以N n *?∈

都有n a =--------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知n S =，所以

1

n

S

==>=分

所以

12

111

1

n

S S S

+++>

---------------------------------------------------10分

又因

为

1

(2

n

n n

S n

=-

------------------12分

当2

n≥

时

121

11111

1

2

n

S S S S

+++≤

+=------------------14分

当1

n=时上式也成立

12

1111

1

2

n

S S S

<+++≤()

N

n*

∈

---------------------15分

21．已知F是抛物线2

:2(0)

T y px p

=>的焦点，点()

1,

P m是抛物线上一点，且2

PF=,直线l过定点()

4,0，与抛物线T交于,A B两点，点P在直线l 上的射影是Q.

（Ⅰ）求,m p的值；

（Ⅱ）若0

m>，且2

PQ QA QB

=?，求直线l的方程．

解：（Ⅰ）由2

PF=得，12

2

p

+=，所以2

p=，

-------------------------2分

将1,

x y m

==代入22

y px

=得，2

m=±，

--------------------------4分

（Ⅱ）因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =，

设直线l 的方程是4x ny =+，由24

4x ny y x

=+??=?得，24160y ny --=，

设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ?=-，-----------------------6分

因为2

PQ QA QB =?，所以PA PB ⊥，所以0PA PB ?=,且124n ≠+，----------8分

所以()()()()121211220x x y y --+--=，且32

n ≠-，

------------------------------10分

由()()()()121233220ny ny y y +++--=，得，

()()()2

1212132130n

y y n y y ++-++=，

()()()2161324130n n n -++-+=，24830n n ++=，--------------------13分

解得，32n =-（舍去）或1

2

n =-，

所以直线l 的方程是：1

42

x y =-+，即

280x y +-=．---------------------15分

（Ⅱ）解法二：因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =，

设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x

=+??=?得，24160y ny --=，

设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ?=-，------------------6分

由()421x ny y n x =+???-=--??

解得Q 点的纵坐标是02

231n y n -=+，------------------8分

PQ =

， -------------------------------------------10

分

()()()210201QA QB n y y y y ?=-+--

()()22001164n ny y =-+--+，-------------------------------12

分

因为2

PQ QA QB =?，所以

()

()()()

()2

222

2

222342323116111n n n n PQ n n n n ??

+-- ?=

=++-

?+++??

化简得24830n n ++=，

解得，32n =-（舍去）或1

2

n =-， ---------------------------14

分

所以直线l 的方程是：1

42x y =-+，即

280x y +-=．--------------------15分

22．已知函数()()2

1ln ()2

R f x x x a x x a =

+-+∈ （Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围；

（Ⅱ） 若3122

a a

x ≤≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值，

证明：()1

,ln 24M a b ≥-.

解：（Ⅰ）由题意()()()x

x a x x x a a x x f 111'+-+=--+=

()()x

x a x 1+-=

-----------------------------------3分

由()'0,0x f x >=得a x =，又()x f 无极值点，所以0a ≤ ---------------------5分

（Ⅱ）因为2a ≥，由（Ⅰ）可知()x f 在??????a a ,2上单调递减，()x f 在??

?

???23,

a a 上单调递增，

又()3ln 22344

9212232

2+-??? ??-+???? ??-=??? ??-

??

?

??a a a a a a a f a f ()03ln 1<-=a

所以 322a a f f ????

< ? ?????

-----------------------------------7分

所以当

322

a a

x ≤≤时，()()??

?

??≤≤2a f x f a f 又因为 ()()(),,

,2a M a b f b M a b f a b

??

≥-≥- ???

-----------------------------------9分

所以 ()()()

2,22-a a M a b f b f a b f f a ????

≥-+-≥ ? ?????-------------------------------11分

即 ()()221112,ln 2ln 22ln 2282822a a a M a b f f a a a a ??

??≥-=-+=+-≥- ? ???

??

所以()1,ln 24M a b ≥-，当且仅当()()4

1

2ln 212,2--=+==f f b a 时取等号

-------15分