反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数的图象与性质应(对称性)3
①在图9—5中画出函数图象上的点Ａ （４，－２），找出点Ａ关于原点Ｏ 的对称点Ａ’，点Ａ’在这个图象上 吗？ ②画出函数图象上的任意一点Ｂ，找 出点Ｂ关于原点Ｏ的对称点Ｂ’，点 Ｂ’在这个图象上吗？
如果将反比例函数的图象绕原点旋 转180°后，能与原来的图象重合吗？
如果将反比例函数的图象沿着某条 直线对折，两条双曲线能重合吗？
3.根据所画图象填写下表
k 正比例函数y=kx 反比例函数 y x
0
k<0
k>0
k<0
图象所在 象限
增减性
根据图象分组探讨 反比例函数的性质
反比例函数y= k 线．
(k为常数，k≠0)的图象是双曲
x 当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三 象限，在每一个象限内，y随x的增大而减 小； 当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四 象限，在每一个象限内，y随x的增大而增 大
反比例函数的图象是一个以原点为 对称中心的中心对称图形； 反比例函数也是一个以y=±x 为对 称轴的轴对称图形。
例2．已知反比例函数y= 的图象上有两点 P(1,a), Q(b,2.5). (1) 求a、b的值； (2) 过点P作y轴的垂线交于点M，求△PMO的面积； (3) 过点Q作x轴的垂线交于点N，求△QNO的面积； (4)过双曲线上任意一点A（m,n）作x轴(或y轴) y 的垂线，垂足为B，求△ABO的面积； (5)你发现了什么规律？ M (2010年中考题）
k ( k 0) x
双曲线 一、三象限 随x的增大 而减少
双曲线 二、四象限 随x的增大 而增大
对称性
与x、y轴 是否相交
即是轴对称， 又是中心对称
不相交
即是轴对称， 又是中心对称
第14讲 反比例函数的性质及其图象
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
反比例函数专题知识点归纳 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。
18.4反比例函数的图象和性质
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
-4
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
-4
k 10、已知反比例函数 y (k是不为0的常数） 的图象在 x
第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（ C ）
A 、第一、二、三象限 C 、第一、三、四象限
B、 第一、二、四象限 D 、第二、三、四象限
练习达标
2 6.对于函数 y = x
(A) y = -5x -1
一 ,当x>0时,y__0,这部分图象在第__象限; >
7.设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总 是增大的函数是(C)
w 2 8.已知反比例函数 y x 的图像的一支在第一象限。 （1）图像的另一支在那个象限？常数w的取值范围是什么？
双曲线
y
0
y x 一三 象限
0
K>0
x
y随x的增大而增大
在每个象限内，y 随x的增大而减小
二四 象限
y
0
二四 x 象限
y
0
x
K<0
增 减 性
y随x的增大而减小
在每个象限内，y 随x的增大而增大
例 2
已知反比例函数的图像经过点A（2，6）
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随 x的增大如何变化？ （2）点B（3，4）、C（-2.5，-4.8)和
-1 .. 1
2
专题21反比例函数的图象与性质(3个知识点5种题型2种中考考法)(原卷版-初中数学北师大版9年级上册
专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】1.能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。
2.理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。
3.理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y ＝kx +1在同一坐标系的图象可能是（）A ．B ．C．D．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2B．x≥1或x≤﹣2C．0＜x≤1或x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x≥1【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k，与两条坐标轴围成矩形面积为k，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．﹣2D ．﹣4【变式】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x =上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．A B CDE Oxy【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A ．P 1（1，﹣4）B ．P 2（4，﹣1）C ．P 3（2，4）D ．2.（2023•西湖区校级开学）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），都在反比例函数（k 为常数，k＞0）的图象上，其中y 2＜0＜y 1＜y 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 33.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y ≤4，且y ≠0时自变量x 的取值范围．4.（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．5.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数3kyx=图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若2POQs∆=，求k的值；（2）已知反比例函数kyx=的图像上有一点A，过A点向x轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点B C，，且四边形ABOC的面积为15，求这个反比例函数解析式．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．39．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D 两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4B．3C．2D．1(1)若点A（1，1），分别求线段(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知1A，2A，3A，…，n A…是x轴上的点，且15．（2021秋·河北石家庄每个台阶凸出的角的顶点记作（1）若L 过点1T ，则k =（2）若曲线L 使得1T T ～16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．y ABCDOx18.正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x=>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．yABPFOxED19.如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)ky k x x=>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x=>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．A BC PE FyOx【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B．﹣C．D ．32．（2023•湘西州）如图，点A 在函数y＝（x ＞0）的图象上，点B 在函数y＝（x ＞0）的图象上，且AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【方法四】成果评定法一、单选题A．1 43．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在x轴于B、D两点，连结A ．4B ．65．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形A ．4B ．4-6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数A ．函数图像分别位于第一、三象限C ．函数图像过()(23A mB n -，、，A．4 10．（2023·江苏宿迁图像上，点E在yA．1B 二、填空题11．（2022秋·湖南永州13．（2022秋·黑龙江大庆的大小关系是14．（2023·安徽滁州15．（2023秋·重庆沙坪坝比例函数()0ky k x=≠上两点，平行线，两直线交于点16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线(00)a y x a x =>>，和b y x =象于点D ，过点C 作CE ∥17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点112232021OA A A A A A ==== 图象分别交于点123,,,B B B 18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点所示，分别过点A ，C 作x 轴与构成的阴影部分面积为2，则矩形三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数(1)函数的图象在第二、四象限？(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出(3)设（2）中的角平分线与⊥．证：DE OA(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()121,7552,,,,2A y B y C x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当函数值2y =时，求自变量x 的值；(1)求点A 的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足12PBO ODE S S∆∆=。
反比例函数的图像和性质二
则S 矩形OAPB AB OB | m | | n || k | (如图所示).
议一议
设P(m, n)是双曲线y 面积是多少呢？
k (k 0)上任意一点 , 有 : 过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则三角形OAP的 x
SOAP
y
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2 y
P(m,n)
P(m,n) o A x
k y x
o
A
x
过反比例函数
图象上任意一点向x轴,y轴
k
作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若与 原点相连,所构成的直角三角形的面积等于 2 .
巩固练习
1 如图, 在y ( x 0)的图象上有三点 A, B, C , x 经过三点分别向 x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 连接OA, OB, OC, 记OAA1 , OBB1 , OCC1的 面积分别为S1 , S 2 , S 3 , 则有（ __） . A
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6 6 5
新课探究
y
y= 6 x
y= x
6
4 3 2 1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2345源自6x对称中心是：原点
新课探究
A点和B点，C点和D点有什么关系？ A点和B点，C点和D点还有这样的关系吗？
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
反比例函数的图象与性质
（05江西省中考题）已知甲,乙两地相 距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如 果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地 到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶 速度v(km/h)的函数图象大致是( ).
Y/L Y/L Y/L Y/L
o
o (1)
V(km/h)
V(km/h)
o (2)
V(km/h)
o (3)
10
-10
-5
-2
反比例函数的图象是 由两支曲线组成的. 因此称反比例函数的 图象为双曲线;
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分别 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
4k y 1.已知反比例函数 x 若函数的图象位于第一、三象限，则 ＜4 k_____________; 若在每一象限内，y随x增大而增大， 则 >4 k_____________.
已知反比例函数 y
m 1x
m 2 3
的
图象在第二、四象限，求m的值，并
指出在每个象限内y随x的变化情况。
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3 -4 -5 -6
反比例函数的 图象和性质
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
中考数学专题复习 反比例函数及其应用
(教材母题链接：北师九上 P162T11)
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反比例函数与几何图形的综合 9．(2020 滨州)如图，点 A 在双曲线 y＝4x上，点 B 在双曲线 y＝1x2上， 且 AB∥x 轴，点 C，D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 (C )
(C ) A．k＝2 B．函数图象分布在第一、三象限
C．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
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2．(2020 河南)若点 A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y＝ －6x的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( C )
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2．关于反比例函数 y＝－3x，下列说法不正确的是( D ) A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大
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三、反比例函数解析式的确定 待定系数法： (1)设所求的反比例函数的解析式为 y＝kx(k≠0)； (2)将图象上的一点坐标代入 y＝kx中，求出 k； (3)把 k 代入解析式 y＝kx中，写出解析式.
第一部分 夯实基础
第三章 函 数
第3节 反比例函数及其应用
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课标导航 ·结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例 函数的表达式． ·能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 y＝kx(k≠0)．探索并理 解 k＞0 和 k＜0 时，图象的变化情况． ·能用反比例函数解决简单实际问题．
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(2)若一次函数图象与 y 轴交于点 C，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点， 求△ACD 的面积．
反比例函数的性质
反比例函数定义一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
k大于0时，图像在一、三象限。
k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
反比例函数图像及性质反比例函数图像：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。
反比例函数性质：1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
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反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数是一种特殊的函数，反比例函数图象具有一定的对称性。
其主要表示形式如 y=（1/x），其中变量x和y皆为正数数，x轴上有一个特殊的点0，当X>0时，函数图象在ｘ轴上可以看做
是一个对称轴，即垂直于X轴的Y=1/x的函数图象具有对称性，
其中X轴为一个对称轴。
反比例函数图象的主要特点是：
1、它的函数图象具有对称性，即函数图象具有上下或者左右对称，当X>0时，函数图象位于x轴上，其中X轴可以看做是一个特殊
的对称轴。
2、若X变化，则函数图象也会发生变化，当X变大时，则函数图
象向原点靠拢，当X变小时，则函数图象会向X轴的右方延伸，
由此可知，反比例函数的函数图象具有一定的可逆性。
反比例函数的主要应用是：
1、它可以用来表达不同量的间接比例关系，反比例函数的函数表
达式为：y=（1/x），即当X变大时，Y变小，当X变小时，Y变大。
例如，在货币贬值的动态市场中，当币值贬值时，相应地，
其价格就会上涨，这就可以用反比例函数来表示。
2、反比例函数也可以用来表达物体关于空间来描述它们之间的关系，如在西洋棋中，每一颗棋子都有一定的位置，从而确定它们之间的关系，也就是说，反比例函数可以用来描述它们之间的关系。
3、反比例函数可以用来描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化，例如当食物的价格越低，销量越高，当价格越高，销量越低，这就可以用反比例函数来描述这种关系的变化。
因此，反比例函数具有其特定的应用和优势，它可以用来表达不同量的间接比例关系，表达物体关于空间的关系，也可以描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化。
凭借其独特的属性，反比例函数的应用领域可以说是非常广泛的，在生活中。