圆周角和圆心角
圆周角圆心角定义
圆周角圆心角定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆周角和圆心角。
你说这俩家伙像不像一对欢喜冤家呀！
咱先说说圆心角，它呀，就像是圆心这个“老大”派出的代表，那可是正儿八经地对着圆心呢！它的两条边就像是圆心伸出来的两只胳膊，大大方方地拥抱住了一段弧。
这圆心角的度数那可是明明白白的，多直接呀！
再看看圆周角，它可就调皮多啦！它呀，就像是在圆这个大舞台上到处乱窜的小精灵，随便找个地方就站住脚啦。
它的顶点在圆上，两边和圆相交，嘿，就这么独特！
你想想看，一个圆里那得有多少个圆周角呀，就跟一群小猴子似的，到处都是。
可别小瞧了这些圆周角，它们和圆心角之间可有奇妙的关系呢！就好像它们之间有着一种神秘的联系，等着我们去发现。
比如说，在同一个圆里，同一条弧所对的圆周角那可都是相等的哦！这就好比一群小伙伴，面对同一件事情都有着相同的反应。
而且呀，圆周角的度数还等于它所对弧上的圆心角度数的一半呢！这就好像圆周角是圆心角的小跟班，但又有着自己独特的地位。
咱再来打个比方，圆心角就像是舞台上的主角，光芒万丈，而圆周角呢，就是那些配角，但没有配角的衬托，主角也没法那么耀眼呀，对吧？它们相互配合，才能让这个圆的世界变得更加精彩有趣呢！
你说要是没有圆周角，这圆得多单调呀！只有圆心角在那孤孤单单地展示。
而有了圆周角，就好像给圆注入了无限的活力和生机。
所以呀，圆周角和圆心角这对“活宝”，在圆的世界里可是缺一不可呢！它们共同构成了圆的丰富多彩，让我们在数学的海洋里尽情遨游，去探索它们的奥秘，去感受它们带来的乐趣。
这就是圆周角和圆心角，它们是不是很有意思呀？。
圆心角与圆周角的定义
圆心角与圆周角的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆心角和圆周角呀！
咱先说说圆心角哈，你就想象一下，那圆心就像是一个班级的老大，圆心角呢，就是从这个老大这儿发出的一种特殊的“眼光”。
这“眼光”可厉害啦，它能把圆分成不同的部分呢！比如说，一个圆就像一个大蛋糕，圆心角就是切蛋糕的那一刀，把蛋糕切成了不同大小的块儿。
那圆周角又是啥呢？嘿，这圆周角啊，就像是围着圆心这个老大转的一群小伙伴。
它们虽然没有圆心角那么牛气哄哄，但也有自己的特点呢！圆周角总是和圆上的一段弧有关系，就好像小伙伴总是和特定的事情联系在一起。
你说这圆心角和圆周角之间有没有啥特别的关系呢？那当然有啦！就好像一个班级里，老大和小伙伴们之间总会有一些互动和关联嘛。
有时候，圆周角的度数会和圆心角的度数有一定的比例关系呢。
咱举个例子哈，你看那个圆，想象一下圆心角是个直角，那和它对应的圆周角会是多少度呢？嘿嘿，是不是很有意思呀！这就像是玩一个解谜游戏一样。
再想想，如果有很多个圆周角都围着同一个圆心角，那它们之间是不是也很有趣呢？就好像一群小伙伴围着老大，各自有着不同的表现。
而且啊，这圆心角和圆周角在我们生活中也有很多应用呢！比如说，在设计圆形的东西的时候，我们就得考虑到它们的角度问题，这样才能
让东西更完美呀！难道不是吗？
总之啊，圆心角和圆周角就像是圆这个奇妙世界里的两个重要角色，它们相互关联，又各有特点。
我们要好好了解它们，才能更好地理解圆的奥秘呀！所以啊，可别小瞧了它们哟！。
圆心角与圆周角的关系圆周角定理PPT教学课件
❖ 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
❖ 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
∴ ∠ABC = ∠1 AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所
有另一个交点,像这样 的角,叫做圆周角.
想一想
圆周角
驶向胜利 的彼岸
❖ 当球员在B,D,E处射门时,
他所处的位置对球门AC
分别形成三个张角∠ABC,
∠ADC,∠AEC.这三个角
A
C
的大小有什么关系?.
A
E
E ●O
B
D
B
D
C
圆周角 顶点在圆上, 它的两边分别 与圆还
有另一个交点,像这样
的角,叫做圆周角.
制 乙烯
如何验证乙烯中混有SO2、CO2？
品红 溶液
酸性 品红 澄清 高锰 溶液 石灰水 酸钾
小结：在确定气体发生装置和收集装置是时应
常 考虑的因素 见
反应物的状态 固体+固体
气 体
气体发生装置
的
固体+液体 反应条件 ：是否需要加热等
制
取
与
气体密度比空气
净 化
排空气法 大——向上排气法
气体收集装置
鉴定所用试剂
C2H2 C2H4
通过装有酸性 KMnO4溶液 (或Br2水)的洗 气瓶洗气
通入装有酸性 KMnO4溶液(或 Br2水、或Br2的 四氯化碳溶液)， 是否褪色
第08讲 圆心角与圆周角
第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是度．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB 交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC 于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．1611．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝06．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣28．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．1610．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE＝6cm，DE＝3cm，则CE＝cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH 与线段PK的积等于．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．。
圆心角和圆周角
O A B
.
顶点在圆上
两边都与圆相交
ห้องสมุดไป่ตู้
这样的角叫圆周角。
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
问题解决：
你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度 数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？ 你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？
M
如图，在⊙O中，若 ∠AMB=∠CMD， 则 AB 与 CD 是否相 等？
D O A B C
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（D ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
① ×
② ×
③ ×
④ √
顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB , 圆心角AOB 所 对 所对的弦为AB；
O
B
M
的弧为 AB， 过点O作弦AB的垂线, 垂 则垂线段OM的长度,即圆 足 心到弦的距离，叫 弦心距 , 图1 为 M, 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
A
图1
2、下列图中弦心距做对了的是（ ④ ）
┐
①
②
┐
③
④
三、定理
这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等， 所对的弦________ 圆心角_____ 相等 ； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 相等 ，所对的弧_________ 相等 ． 圆心角______ 同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：
情况1：，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)
圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.ODCBA2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55° 【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°， ∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ． （1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数； （2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC ， ∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°； （2）证明：∵EC=BC ，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）DABCOA ．2B ． 4C ． 4D ．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4． 故选：C ．类型三、圆内接四边形及应用5．圆内接四边形ABCD 的内角∠A ：∠B ：∠C=2:3:4，求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴ ∠A ：∠B ：∠C ：∠D=2:3:4：3 设∠A=2x ，则∠B=3x ，∠C=4x ，∠D=3x ， ∴2x+3x+4x+3x=360°， ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.举一反三：【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（）.A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.C。
弦所对的圆周角和圆心角的关系
弦所对的圆周角和圆心角的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个看似有点儿高深、其实很简单的几何概念，那就是弦所对的圆周角和圆心角的关系。
听起来是不是有点儿复杂？别担心，我们慢慢来，肯定能把这个“圆”搞明白。
首先，咱们得了解这两个概念，顺便给大家普及一下，让你在下次喝茶聊天时也能来一句“你知道圆周角和圆心角的关系吗？”绝对能让朋友们刮目相看！1.1 圆心角的定义好，咱们先从圆心角说起。
圆心角，顾名思义，就是以圆心为顶点，连接圆上两点的角。
想象一下，你在圆心位置，像个“老大”，一手指向圆周上的A点，另一手指向B 点，然后就形成了一个“心”的角度。
这个角度的大小，基本上就是这两条线和圆心之间的“角斗”结果。
嘿，听起来是不是很酷？这就像你和朋友之间比拼谁的手机拍照更好，看谁的角度更完美。
1.2 圆周角的定义接着，咱们聊聊圆周角。
圆周角和圆心角的区别可大了！圆周角的顶点在圆的边缘，而不是圆心。
它是由两条弦的延长线形成的角度。
想象一下，你在海边，看到两条长长的沙滩，跟朋友说：“你看，这两个地方的海水都很漂亮！”然后你伸出手，想要把两个地方连起来，这样形成的角度就是圆周角。
虽然不那么显眼，但它的存在可一点也不简单。
2. 它们之间的关系说到这儿，大家可能会问：“这两个角到底有什么关系呢？”别急，接下来就是重点了！其实，弦所对的圆周角恰好等于相应的圆心角的一半。
简单来说，就是圆心角大，圆周角小。
就像在家里吃饭，你爸妈给你做了一个大份的菜，你能吃的部分就得少一些。
哎，这就叫“量入为出”嘛！2.1 数学公式所以，数学上我们可以用公式表示出来：圆周角 = 圆心角 / 2。
是不是简单明了？这个公式就像是一把钥匙，打开了圆心角和圆周角之间的秘密。
记住这句话，下次在考试时可别忘了！2.2 实际应用那么，这个关系有什么用呢？当然有了！在生活中，尤其是建筑设计和艺术创作中，我们常常需要用到这两种角度。
比如说，画一个大圆时，你需要确定一些关键点，这时候就得运用圆心角和圆周角的关系。
圆心角圆周角定理推论笔记
圆心角圆周角定理推论笔记一、圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等二、圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。
（不在同圆或等圆中其实也相等的。
注：仅限这一条。
）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。
三、圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
1、弦：连接圆上任意两点的线段。
2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
《圆周角和圆心角的关系》 讲义
《圆周角和圆心角的关系》讲义在我们探索圆的奇妙世界时，圆周角和圆心角的关系是一个至关重要的知识点。
这不仅是数学中的基础概念，也是解决许多与圆相关问题的关键。
首先，让我们来明确一下什么是圆周角和圆心角。
圆心角是以圆心为顶点的角，角的两边与圆相交。
而圆周角则是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
接下来，我们来探讨圆周角和圆心角之间最基本的关系。
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
这是一个非常重要的定理，理解并掌握它对于解决问题有极大的帮助。
为了更好地理解这个关系，我们通过几个具体的例子来分析。
假设在一个圆中，有一段弧 AB，圆心为 O。
∠AOB 是圆心角，∠ACB 是圆周角。
连接 CO 并延长交圆于点 D。
此时，∠AOD 是圆心角，∠ACD 是圆周角。
因为 OA ＝ OC，所以∠OAC ＝∠OCA。
又因为∠AOD ＝∠OAC ＋∠OCA，所以∠AOD ＝ 2∠ACD。
而∠AOD 和∠AOB 是同弧所对的圆心角，所以∠AOB ＝ 2∠ACB，也就证明了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
在圆 O 中，有两条弦 AB 和 CD相交于点 E，连接 AD 和 BC。
我们知道∠A 和∠C 所对的弧分别是弧BD 和弧 AC。
因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A ＝∠C，从而可以证明三角形 ADE 和三角形 CBE 相似。
在这个证明过程中，圆周角和圆心角的关系起到了关键的作用。
那么，圆周角和圆心角的关系在实际问题中有哪些应用呢？比如在测量角度的问题中，如果我们知道了圆中的某条弧所对的圆心角的度数，就可以很容易地求出同弧所对的圆周角的度数。
在几何证明题中，经常会利用圆周角和圆心角的关系来推导角之间的相等或倍数关系，从而得出三角形的相似或全等，进一步解决问题。
另外，在解决与圆相关的函数问题时，也会用到这一关系来构建方程或不等式。
圆周角和圆心角的关系还可以推广到一些更复杂的情况。
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圆心角和圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
弦、弧、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
例题
1.下列结论中，正确的是（）
A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆是中心对称图形
2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．
A．30 B．45 C．50 D．60
3.在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度．
4.如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
5.如图，已知点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．25°C．28°D．40°
5题6题7题8题
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=1
2
∠BOD，则⊙O的
半径为（）
A．B．5 C．4 D．3
7．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）
O D
B
A
A．50°
B．80°或50°C．130°D．50°或130°
8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2，弦BC的长为．
9. 如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°
9题10题11题12题13题10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10 cm，∠CAB=30°，则BC=
11．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= ．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BD= ．
13. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=8，∠DCB=30°.则弦BD=_________。
14. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求BE的长；
（2）求△ACD外接圆的半径．
15. 下列关于圆内接四边形的叙述正确的有（）
①圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫做圆内接四边形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．70°C．110°D．140°
16题17题18题
17．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）
A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
18. 如图，点A，B，C，D均在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ．
19. 一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径．。