江苏省苏州中学高三数学第一学期中考试 苏教版

2008-2009学年江苏省苏州中学高三数学第一学期中考试

本试卷文科满分160分，考试时间120分钟．理科满分200分，考试时间150分钟 解答直接做在答案专页上．

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分

1．已知集合231{|},{|log }M x x N x x =<=>，则M

N = ▲

2．命题“若a b =-，则2

2

a b =”否命题的真假为 ▲

3．函数()f x =

的定义域为A ，若2A ?，则a 的取值范围为 ▲

4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若245,,a a a 成等比数列，则2a 的值为 ▲ 5．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n = ▲6．等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q = ▲

7．已知函数2log ,0,()2,

0.x x x f x x >?=?≤?若1

()2f a =，则a = ▲

8．若函数()lg(42)x f x k =-?在(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是 ▲ 9． 函数2sin(

2),,662y x x π

ππ??

=-∈????

的值域为 ▲ 10．为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 ▲ 平

移 ▲ 个单位长度

11．当04x π

<<时,函数2

2c o s ()cos sin sin x

f x x x x

=-的最小值是 ▲ _

12．①存在)2

,

0(π

α∈使3

1

cos sin =

+a a ②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2

sin(2cos x x y -+=π

既有最大、最小值，又是偶函数

⑤|6

2|sin π

+

=x y 最小正周期为π

以上命题正确的为 ▲ 13．若函数()23

k k

h x x x =-

+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 ▲

14．函数()22log 1

log 1

x f x x -=

+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 ▲

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（本题满分15分）)3

3sin(32)(π

ω+=x x f （ω＞0）

（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值 （2）f (x )在（0，3

π

）上是增函数，求ω最大值.

16．（本题满分20分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,)n n S S +在直线1y kx =+上 （1）求k 的值；

（2）求证{}n a 是等比数列；

（3）记n T 为数列{}n S 的前n 项和，求10T 的值.

17．（本题满分20分）设函数2()1f x ax bx =++（a ,b 为实数），()(0)

()()(0)

f x x F x f x x >?=?-

（1）若(1)f -=0且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 表达式；

（2）在（1）的条件下，当[]3,3x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；

18．（本题满分15分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足

1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）

． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设14(1)2(n a

n n n b λλ-=+-?为非零整数，*

n ∈N ），试确定λ的值，使得对

任意*

n ∈N ，都有n n b b >+1成立．

19．（本题满分10分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.

（I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；

（II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若2

1

2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.

20．（本题满分10分）已知32()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根. （Ⅰ）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围; （Ⅱ）求证：(1)2f ≥；

（Ⅲ）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式.

理科附加题

21．（本题满分10分）计算由2

23,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积

拟稿：朱威 张中华 校对：张中华 审阅：王思俭

22．（本题满分10分）周长为12的矩形围成圆柱（无底），当矩形的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？

23．（本题满分20分）如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）

是曲线C ：23y x =

（0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n =）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -?是

正三角形（0A 是坐标原点）．

（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；

（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设123

2111

1

n n n n n

b a a a a +++=++++

，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈

-时，不等式21

26

n t mt b -+

>恒成立，求实数t 的取值范围．

拟稿：朱威 张中华 校对：张中华 审阅：王思俭

江苏省苏州中学2008－2009学年度第一学期中考试

高三数学答案

一、填空题（每小题5分，共70分）

1. (2,3)

2. 假命题

3. （1，3）

4. －8

5. 5或6

6. 1

2

-

或1(,)-∞ 9. 21[,]-- 10. 右，

3

π

11. 4 12. ④ 13. [2,)-+∞ 14.

23

二、解答题（共6小题 共90分）

15. （1）13ω=， 6

,()k k Z π

θπ=+∈.

(2) ω最大值为1

6

.

16. （1）2k =

（2）{}n a 是公比为2的等比数列

（3）21n n S =-， 11102122036T =-=. 17. 解：（1）∵ (1)0f -=， ∴1b a =+.

由()0f x ≥恒成立，知2224(1)4(1)0b a a a a ?=-=+-=-≤， ∴ a =1. 从而2()21f x x x =++.

∴ 2

2

(1)

(0)()(1)

(0)

x x F x x x ?+>?=?-+

（2）由（1）可知2()21f x x x =++，∴2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+.

由于()g x 在[]3,3-上是单调函数，知232k --

≤-或232

k

--≥，

解得4k ≤-或8k ≥.

18. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*

n ∈N ），

即11n n a a +-=（2n ≥，*

n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． ∴1n a n =+．

（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-?，要使n n b b >+1恒成立，

∴()()1

12

114412120n

n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-?--?>恒成立，

∴()

1

1343120n n

n λ-+?-?->恒成立，

∴()

1

112n n λ---<恒成立．

（ⅰ）当n 为奇数时，即1

2

n λ-<恒成立，

当且仅当1n =时，1

2n -有最小值为1，

∴1λ<．

（ⅱ）当n 为偶数时，即1

2

n λ->-恒成立，

当且仅当2n =时，1

2

n --有最大值2-，

∴2λ>-．

即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．

综上所述，存在1λ=-，使得对任意*

n ∈N ，都有1n n b b +>．

19. 解: （I ）,2)(x

a

x x f -

='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①

又x a

x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .

∵上式恒成立,∴.2≥a ② 由①②得2=a .

∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=

（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1

122)(x

x x x h +--

='则

令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得

知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, 当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,

∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.

即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解.

（III ）设2

'

23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x

??=--+

=---<则, ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >-

所以：11≤<-b 为所求范围.

20. 解（1）

](]((),0f x -∞在上是增函数,在0,2上是减函数

20'()0'()32'(0)0

x f x f x x bx c f ∴===++∴=是的根又

0c ∴=

()0,2,(2)0840

'(2)0

12403

84f x f b d f b b d b αβ

=∴=∴++=≤∴+≤∴≤-=--又的根为又

又

4d ∴≥

（2）

(1)1(2)0f b d f =++=

843

(1)18473d b b f b b b

∴=--≤-∴=+--=--且

2≥

（3）

()0f x αβ=有三根,2,

32()()(2)()

(2)222

f x x x x x x b d αβαβαβαβαβ∴=---=-++?-++=-??∴?=-??

222222||()4(2)244168412

(2)163||3b d b b b

b b b b βααβαβ

βα∴-=+-=++=++--=--=--≤-∴-≥又当且仅当b=-3时取最小值,此时d=4

32()34f x x x ∴=-+.

理科附加题答案 21. 9

2

S = 22. 1:2

23. 解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；

（2）依题意，得12n n n a a x -+=

，12n n n a a y --，由此及2

3n

n y x =得

2

113()22

n n n n a a a a ---?=+??， 即211()2()n n n n a a a a ---=+． 由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；

（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及

211()2()k k k k a a a a ++-=+

得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即

2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-?++=，

解之得

1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）

， 即当1n k =+时，命题成立．

由（1）、（2）知：命题成立． （Ⅲ）123

2111

1n n n n n

b a a a a +++=

++++

11

1

(1)(2)(2)(3)

2(21)

n n n n n n =

++

+

+++++

2111

112123123

n n n n n n n =

-==

++++?

?++ ??

?． 令1()2f x x x =+（1x ≥），则21

()2210f x x

'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函

数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，max 1

()6

n b =．

21

26n t mt b -+>（n *?∈N ，[1,1]m ?∈-）

2max 11

2()66

n t mt b ?-+>=，即220t mt ->（[1,1]m ?∈-）

2

2

20

20

t t t t ?->???+>??． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．