高考中的圆锥曲线问题第1课时
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2020·模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23
－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．
解 (1)∵双曲线的离心率为
233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，
∴椭圆方程为x 24
＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，
M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立?????
y ＝kx ＋m ，x 24
＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，
则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2
， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )
＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.
又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，
故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
x 1x 2
＝k 2， 则－8k 2m 2
1＋4k 2＋m 2＝0.
由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12
. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)
＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0 显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)． 设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝12 |MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2 ＝12 |m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－(m 2－1)2＋1. 故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)． 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上． (1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆x 2＋y 2 4 ＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． (1)证明 设P (x 0，y 0)，A ????14y 21，y 1，B ????14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上， 高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（） 数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 微专题5高考中的圆锥曲线问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是() A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为() A. B. C. D. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是() A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,] 4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是() A.(,) B.[-,-] C.[,] D.[-,-]∪[,] 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0 7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ 平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值. 图5-1 8.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-,0), 且过点T(,). (1)求椭圆C的方程; (2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围. 9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB 面积的最小值为16. (1)求抛物线的方程; (2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由. 图5-2 10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l与线段CB的交点为P. (1)求点P的轨迹Γ的方程; (2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D两点,求的取值范围. 答案 圆锥曲线高考常见题型与分析 湖南 黄爱民 有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型． 一、轨迹问题 例1 椭圆方程为2 2 14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2 OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，， 由题意，得122x x x +=，122 y y y +=，21211y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上， 代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++-+=． 当12x x ≠时，有121212121()04y y x x y y x x -++ +=-g ． 即112204y x y x -+=g g ， 整理，得2240x y y +-=；① 当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)，，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①． 故点P 的轨迹方程为：2 212111 1616 y x ??- ???+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键． 二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22 143 x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称． 解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，， 代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．① 专题五 高考中的圆锥曲线问题 1． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2 9 ＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB | ＝_______. 2． 设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( ) A.p 2 B ．p C ．2p D ．无法确定 3． 若双曲线x 2a 2－y 2 3 ＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 4． 在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 5． 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB → 等于( ) A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例 1 (浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，1 2 ) 到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为5 4 .点M (t,1)是C 上的 定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线 OM 上． (1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB | 1＋4m 2 ，求d 的最大值． 思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型五：共线向量问题 解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y + =于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。 分析：由DP DQ l =uuu r uuu r 可以得到121 23(3)x x y y l l ì?=?í ?=+-??，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), Q DP DQ l =uuu r uuu r \(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121 23(3)x x y y l l ì=??í?=+-??? 方法一：方程组消元法 又Q P 、Q 是椭圆29x +2 4 y =1上的点 \22222222 194()(33)194x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=???? 消去x 2， 可得222 222 (33)14 y y l l l l +--=- 即y 2= 135 6l l - 又Q －2￡y 2￡2， \－2￡ 135 6l l -￡2 解之得： 1 55 λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55?? ???? 。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠， 由22 3 4936 y kx x y =+?? +=?消y 整理后，得 22(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点 22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k -≥ 即2 95k ≥ ① 由韦达定理得： 121222 5445 ,4949k x x x x k k +=- =++ 21212 1221()2x x x x x x x x +=++ 222 254(1)45(49)k k λλ +∴= + 即2222 3694415(1)99k k k λλ+==++ ② 由①得211 095 k < ≤，代入②，整理得 2 369 15(1)5λλ< ≤+， 解之得 1 55 λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15 λ=。 总之实数l 的取值范围是1,55?? ???? 。 方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。 例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24 1x y =的焦点，离心率为 5 5 2． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1λ=， 2019届高考理科数学专题 高考中的圆锥曲线问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是() A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠ F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为() A. B. C. D. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是() A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,] 4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是() A.(,) B.[-,-] C.[,] D.[-,-]∪[,] 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0 用定义解决高考解析几何中圆锥曲线问题 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质，用定义解题是一种重要的基本方法，如：在解决圆锥曲线上的点与焦点连线（焦半径）的问题或题目中出现“准线”、“离心率”这样的条件时，能及时地返回定义（用定义解题），往往会收到事半功倍之效果。 以下就一些解析几何有关问题举例说明。 例1：设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。 解法一：由双曲线方程知a＝2，b＝1 ∴c＝，因此|F1F2|＝2 由于双曲线是轴对称图形，设P点为（x，），由已知有F1P⊥F2P， ∴kF1P·kF2P＝-1，即·＝－1，得x2＝ ∴S△F1PF2＝|F1F2|＝··1/＝1 解法二：∵（|PF1|－|PF2|）2＝4a2＝16，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝20 则|PF1|－|PF2|＝[|PF1|2＋|PF2|2－（|PF1|－|PF2|）2]＝（20－16）＝2 ∴S△F1PF2＝1 说明：解法二利用了双曲线（第一）定义和勾股定理，思路清晰，运算简便，远较解法一简单。 例2：动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意得，动点P到M（2，0）的距离等于这点到直线x＝-2的距离，由定义知，P点轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则|x＋4|－＝2。 当x≥-4时，化简得y2＝8x；当x＜-4时，无解 圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16 ＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2 －x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.34x 2－38y 2＝1 D.34y 2－38 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2，c a ＝2， c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) 高考真题之圆锥曲线问题的浅析 摘要圆锥曲线作为高考试题的“压轴”题目，因题目形式多样，运算求解复杂，很多学生在碰到圆锥曲线问题感到束手无策，自动放弃。本文通过分析从2006年到2018年全国卷和新课标卷圆锥曲线真题，寻找出了全国卷在圆锥曲线问题上的一些规律，并给出备考建议。 关键词研究考纲；专题训练；定值定点 圆锥曲线作为高考试题的“压轴”题目，充分体现数学学科的数形结合思想，等价转化思想，特殊与一般的思想，考查学生的运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力和学生的个性品质。由于圆锥曲线问题的命题形式和考查内容丰富多样，运算求解能力要求高的特点，很多学生在碰到圆锥曲线问题感到束手无策，加之考试时间紧迫，学生在求解过程不得已自动放弃，本文就自2006年到2018年全国Ⅰ卷、新课标卷的高考真题中的圆锥曲线问题进行进行汇总分析，寻找出一些规律，并研究圆锥曲线问题的备考策略和建议。 1.命题规律 1.1 试题的变化跟随考纲变化 从2006年至今，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查非常严格的遵循考试大纲对知识点掌握层次的要求。在2011年之前，全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查形式多样，双曲线也曾以解答题的形式出现，如2009年 的第21题，这是因为在2011年之前，全国Ⅰ卷的考纲明确指出，对双曲线的考试要求为“掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质”。从2012年开始，新的考纲修订之后，考纲对双曲线的要求由“掌握”降低到“了解”。自2012年开始，双曲线均选择题和填空题的形式出现，主要考查双曲线的定义，几何性质等基本知识，考纲的变化随之在高考试题中体现，双曲线的考查难度随之降低。 如2013年全国卷第4题：已知双曲线： （）的离心率为，则的渐近线方程为（） .... 此题考查双曲线的基本定义，用定义简单计算后就可以迎刃而解，可以看出高考对双曲线知识的考查难度并不太高。 1.2 考查形式和内容相对固定 1.2.1 全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查形式非常固定，即“两小一大” 自2012年之后，圆锥曲线命题规律非常明显，每年均为两道小题和一道解答题，命题形式相对固定，双曲线知识年年考查，抛物线和椭圆问题随机考查。 1.2.2 全国Ⅰ卷对圆锥曲线的考查内容非常固定，即“三线皆考” 高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2 +y 2 =36内切,与圆C 2:(x-1)2 +y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2 α b S = ；双曲线焦点三角形面积2 cot 2 α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α，求证：△F 1PF 2的面积为b 2 2 tan α。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正 三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 圆锥曲线的七种常考题型 题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （１）椭圆 （２）双曲线 （3)抛物线 ２、定义的应用 (1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切，与圆C ２：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。 例２、8=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆:由2 2 x y 、分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则ｍ的取值范围是 例2、ｋ为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (１)是椭圆;（2）是双曲线. 题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点Ｐ与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F , 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为２,Ｆ１、F 2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S .求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率,渐近线的求法 １、a ，b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率，渐进线的值; 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，)的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( ） A ． 324+ Ｂ. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若Ｐ为其 上一点，且|ＰＦ1|=2|ＰＦ２|，则双曲线离心率的取值范围为 A ． （1,3)??B.(]13，?? ?C ．(３,＋∞） ?Ｄ.[)3,+∞ 专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得， 可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得 ，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设，， 要使其为定值，需满足， 解得 . 故定点的坐标为 . 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1 2 k =时，弦MN 的长为. （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()() 222 1122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1 2 MN k t t = +， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点． 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 范围、最值问题 题型一 范围问题 例1 (2020·模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为 233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立????? y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列， 故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 x 1x 2 ＝k 2， 则－8k 2m 2 1＋4k 2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12 . 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0 解析：（1）设 P( x , y ), A( y 2 , y ), B( y 2 , y ) 1 4 4 y + y 1 )2 = 4( y + y 2 )2 = 4( y + y 所以 y , y 是方程 ( 0 )2 = 4( 2 2 2 1.【2018 浙江 21】如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C : y 2 = 4 x 上存在不同的两点 A, B 满足 P A, PB 的中点均在 C 上。 （1） 设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴； （2） 若 P 是半椭圆 x 2 + y 2 4 = 1(x < 0) 上的动点，求 ?P AB 面积的取值范围。 1 0 1 1 2 2 AP 中点满足： ( 0 x 2 + 0 2 2 y 2 1 4 ) BP 中点满足： BP : ( x 2 + 0 2 2 y 2 2 4 ) 1 2 x 2 + 0 y 2 4 ) 即 y 2 - 2 y y + 8 x - y 2 = 0 的两 0 0 0 个根，所以 y 1 + y 2 = y ，故 PM 垂直于 y 轴。 y 2 - 3x , | y - y |= 2 2( y 2 - 4 x ) 4 0 1 3 2 2 4 （2）由（1）可知 y + y = 2 y , y ? y = 8 x - y 1 2 1 2 2 所以 | PM |= 1 8 ( y 2 + y 2 ) - x = 1 2 0 3 0 1 2 0 0 因此， S ?PAB 3 = | PM | ? | y - y |= ( y 2 - 4 x ) 2 1 2 0 0 因为 x 2 + 0 y 2 0 4 = 1(x < 0) ，所以 y 2 - 4 x = -4 x 2 - 4 x + 4 ∈ [4,5] 0 0 0 0 0 因此， ?P AB 面积的取值范围是[6 2, 15 10 ] 4 1. 距离型问题 2.【2018 全国 3 理 20】已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C : x 2 y 2 + = 1 交于 A, B 两点， 4 3 线段 AB 的中点为 M (1,m )(m > 0) （1）证明： k < - 1 ； 2 （2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点且 FP + FA + FB = 0 ，证明： FP , FA, FB 为 等差数列，并求出该数列的公差。高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
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