高中数学复习教案：导数的概念及运算

第十节导数的概念及运算

[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根

据导数的定义求函数y＝c(c为常数),y＝x,y＝1

x,y＝x

2,y＝x3,y＝x的导数.4.能利用基本初等函数

的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：

①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数,记作f′(x0)或y′

|x＝x0,即f′(x0)＝＝

②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率．相应地,切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝

为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0

f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a＞0)

f(x)＝e x f′(x)＝e x

f(x)＝log a x f′(x)＝

1 x ln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1 x

3.导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)??????

f (x )

g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．

[常用结论]

1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0,y 0)处的切线”与“过点P (x 0,y 0)的切线”的区别：前者P (x 0,y 0)为切点,而后者P (x 0,y 0)不一定为切点．

2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切,公共点不一定只有一个．

3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．

( )

(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2,则f ′(a )＝3a 2＋2x . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3

t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )

A.194

B.174

C.154

D.134

D [由题意知,机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3

t 2,故当t ＝2时,机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝13

4.]

3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x

C ．x cos x

D ．－x cos x

B [y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ,故选B.] 4．若f (x )＝x e x ,则f ′(1)＝________. 2e [f ′(x )＝e x ＋x e x ,则f ′(1)＝e 1＋e 1＝2e.]

5．曲线y ＝sin x

x 在点M (π,0)处的切线方程为________． x ＋πy －π＝0 [y ′＝x cos x －sin x x 2,则y ′|x ＝π

＝πcos π－sin ππ2＝－1π,则切线方程为y ＝－1

π(x

－π),即x ＋πy －π＝0.]

导数的计算

1．f (x )＝x 00A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e

B [f ′(x )＝2 018＋ln x ＋1＝2 019＋ln x ,则f ′(x 0)＝2 019＋ln x 0＝2 019,解得x 0＝1,故选B.]

2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1),则f ′(0)＝________.

－4 [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1),则f ′(1)＝2＋2f ′(1),解得f ′(1)＝－2 所以f ′(x )＝2x －4,则f ′(0)＝－4.] 3．求下列函数的导数． (1)y ＝cos x

e x ； (2)y ＝x －sin x 2cos x

2； (3)y ＝x 2e x －1.

[解] (1)y ′＝? ????

cos x e x ′＝(cos x )′e x

－cos x (e x

)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .

(2)∵y ＝x －12sin x ,∴y ′＝1－1

2cos x .

(3)∵y ＝e －1x 2e x ,∴y ′＝e －1(2x ·e x ＋x 2e x )＝e x －1(x 2＋2x )． [规律方法] 导数运算的常见形式及其求解方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式,再求导

公式形式 观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导 对数形式 先化为和、差的形式,再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式,再求导

三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导 含待定系数 如含f ′(x 0),a ,b 等的形式,先将待定系数看成常数,再求导

导数的几何意义

?考法1 求切线方程

【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数,则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )

A ．y ＝－2x

B ．y ＝－x

C ．y ＝2x

D ．y ＝x

(2)已知函数f (x )＝x ln x ,若直线l 过点(0,－1),并且与曲线y ＝f (x )相切,则直线l 的方程为________．

(1)D (2)x －y －1＝0 [(1)因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),由此可得a ＝1,故f (x )＝x 3＋x ,f ′(x )＝3x 2＋1,f ′(0)＝1,所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .

(2)∵点(0,－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上,∴设切点为(x 0,y 0)． 又∵f ′(x )＝1＋ln x ,∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由???

y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，

解得x 0＝1,y 0＝0.

∴直线l 的方程为y ＝x －1, 即x －y －1＝0.] ?考法2 求切点坐标

【例2】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0,则点P 的坐标为( )

A ．(0,0)

B ．(1,－1)

C ．(－1,1)

D ．(1,－1)或(－1,1)

D [由f (x )＝x 3＋ax 2得f ′(x )＝3x 2＋2ax ,记y 0＝f (x 0),

由题意可得???

x 3

0＋ax 20＝y 0，①

x 0＋y 0＝0，②

3x 20＋2ax 0＝－1.③

由①②可得x 30＋ax 20＝－x 0,即x 0(x 2

0＋ax 0＋1)＝0.④

由③可得3x 2

0＋2ax 0＋1＝0.⑤

由⑤可得x 0≠0,所以④式可化为x 20＋ax 0＋1＝0.⑥

由⑤⑥可得x 0＝±1,代入②式得 ??? x 0＝1，y 0＝－1或???

x 0＝－1，y 0＝1. 即P (1,－1)或P (－1,1)．故选D.] ?考法3 求参数的值

【例3】 (1)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x (其中e 是自然对数的底数,a ∈R ),若f (x )在(0,f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直,则a ＝( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

(2)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1

2x ＋ln x 相切,则b 的值为( )

A ．2

B ．－1

C ．－1

2

D ．1

(1)C (2)B [(1)f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′ ＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x ,

故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.

因为f (x )在(0,f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直,故f ′(0)＝1,即a －1＝1,解得a ＝2. (2)设切点坐标为(x 0,y 0), y ′＝－12＋1

x ,

则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0,由－12＋1x 0＝12得x 0＝1,切点坐标为? ????1，－12,又切点? ?

???1，－12在直线y

＝12x ＋b 上,故－12＝1

2＋b ,得b ＝－1,故选B.]

[规律方法] 导数几何意义的应用类型及求解思路

(1)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可.

(3)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.

________．

(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3),则2a ＋b 的值等于________． (1)(e,e) (2)1 [(1)由题意得y ′＝ln x ＋1,直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ,n ),则1＋ln m ＝2,解得m ＝e,所以n ＝eln e ＝e,即点P 的坐标为(e,e)．

(2)依题意知,y ′＝3x 2

＋a ,则???

13＋a ＋b ＝3，

3×12

＋a ＝k ，

k ＋1＝3，

由此解得???

a ＝－1，

b ＝3，

k ＝2，

所以2a ＋b ＝1.]

1．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．

y ＝2x －2 [由题意知,y ′＝2

x ,所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2,故所求切线方程为y －0＝2(x －1),即y ＝2x －2.]

2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a ＝________.

1 [先用“导数法”求出切线方程,然后代入点(2,7)求出a 的值． ∵f ′(x )＝3ax 2＋1, ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2,

∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7),∴7－(a ＋2)＝3a ＋1,解得a ＝1.]

3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )＝e －x －1－x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．

2x －y ＝0 [设x ＞0,则－x ＜0,f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数,∴f (－x )＝f (x ),∴f (x )＝e x －1＋x .

∵当x ＞0时,f ′(x )＝e x －1＋1, ∴f ′(1)＝e 1－

1＋1＝1＋1＝2.

∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1), 即2x －y ＝0.]

4．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.

8 [法一：∵y ＝x ＋ln x ,∴y ′＝1＋1x ,y ′

| x ＝

1＝2.

∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1.

∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,

∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由???

y ＝2x －1，y ＝ax 2

＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8.

法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.

设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 2

0＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋

2),

∴y ′??

x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．

由???

2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得?????

x 0＝－12，a ＝8.

]